ЗАДАЧА 1
За вихідними даними обчислити основні аналітичні показники рядів динаміки (за ланцюговою та базисної схемами):
а) середній рівень ряду динаміки;
б) абсолютний приріст;
в) темп зростання;
г) темп приросту;
д) абсолютне значення 1% приросту;
е) середній темп зростання і середній темп приросту.
Середній рівень інтервального ряду визначимо за формулою:
де Y i - Значення вантажообігу;
n - число значень у динамічному ряду.
Абсолютний приріст щодо базисного рівня вантажообігу визначимо за формулою:
ΔY i = Y i-Y 0
Абсолютний приріст вантажообігу щодо попереднього року визначимо за формулою:
ΔY i = Y i-Y i -1
Темп зростання щодо базисного рівня вантажообігу визначимо за формулою:
Темп зростання вантажообігу щодо попереднього року визначимо за формулою:
Темп приросту щодо базисного рівня вантажообігу визначимо за формулою:
Темп приросту вантажообігу щодо попереднього року визначимо за формулою:
Середній темп зростання вантажообігу визначимо за формулою:
Середній темп приросту вантажообігу визначимо за формулою:
Абсолютне значення одного відсотка приросту визначимо за формулою:
Результати розрахунку аналітичних показників ряду динаміки представимо в таблиці 1.1
Таблиця 1 - Основні аналітичні показники ряду динаміки
Зробимо згладжування даних за три роки за допомогою дванадцятимісячний ковзної середньої, централізованої на сьомий місяць. Розрахуємо коефіцієнт сезонності за даними трьох років, і побудуємо графік сезонної хвилі.
Згладжування рядів динаміки проводиться за допомогою простих середніх, ковзної середньої, методами аналітичного вирівнювання. Ковзаючі середні розраховуються за формулами:
;
і т.д. - Нецентралізована
- Централізована
Коефіцієнт сезонності визначається як відношення рівнів ряду до їх середнього рівня за формулою:
Середній коефіцієнт сезонності за аналізований період знаходимо за формулою:
де n - кількість розрахованих коефіцієнтів сезонності за однойменною місяців.
Розрахунок ковзної середньої і коефіцієнта сезонності наведемо в таблиці 1.2.
Простроено графік сезонної хвилі за середніми коефіцієнтами сезонності. Графік приведений на малюнку 1.
Рисунок 1 - Графік сезонної хвилі
Таблиця 2 - Розрахунок коефіцієнта сезонності
З графіка видно, що коефіцієнт сезонності на початку року збільшується, а в кінці - зменшується. Найбільше відхилення спостерігається на початку року 2-ий і десятий місяць.
ЗАВДАННЯ 2
Провести аналітичне вирівнювання рядів динаміки за даними задачі 1 про розміри вантажообігу за родами вантажів:
а) при рівномірному розвитку y = a 0 + a 1 t;
б) при розвитку з змінним прискоренням (уповільненням) y t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3;
в) при вивченні сезонних коливань за даними про відправлення вантажів y t = a 0 + (a k cosR t + b k sinR t).
Результати розрахунків представити у вигляді таблиць і графіків.
1. Спосіб відліку часу від умовного початку, коли Σt = 0, дає можливість визначити параметри математичної функції за формулами:
Результати обчислень наведемо в таблиці 3:
Таблиця 3 - Обчислення параметрів функції y = a 0 + a 1 t і y = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3
Тоді:
Рівняння при рівномірному розвитку:
y = 1336,88 - 3,17 ∙ t
2. Для обчислення параметрів функції y = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3:
Тоді:
Рівняння при розвитку з змінним прискоренням (уповільненням):
y t = 1398,98 - 52,06 t - 8,28 t 2 + 4,68 t 3;
3. За розглянутими моделями визначимо теоретичні рівні тренду. Фактичні та теоретичні рівні ряду нанесемо на графік, представлений на малюнку 2.
Рисунок 2 - Графік фактичних і теоретичних рівнів ряду
Розрахуємо стандартизовану помилку апроксимації -
4. При вивченні сезонних коливань за даними про відправлення вантажів необхідно розрахувати параметри:
Результати розрахунків зведемо в таблицю 4
Таблиця 4 - Вирівнювання ряду динаміки y = a 0 + (a до cosR t + b до sinR t), 1998 рік
Фактичні та теоретичні рівні ряду нанесемо на графік, представлений на малюнку 3.
Рисунок 3 - Графік фактичних і теоретичних рівнів ряду вирівнювання
Фактичні та теоретичні рівні ряду близькі за значенням, а крива ряду (рисунок 3) схожа на гармонійну функцію.
Тому функцію можна використовувати для вирівнювання ряду динаміки.
ЗАДАЧА 3
За даними таблиці визначити:
1) виконання норм питомих витрат палива по відділеннях і дорозі в цілому;
2) зведений індекс витрат палива на дорозі;
3) зміна середнього питомої витрати палива на дорозі за рахунок зміни питомої витрати палива на 10000 т / км брутто на відділеннях і за рахунок зміни структури вантажообігу по відділеннях, а також за рахунок того й іншого чинника одночасно;
4) абсолютний розмір економії (перевитрати) палива за рахунок зміни вантажообігу на відділеннях, за рахунок зміни питомої витрати палива на відділеннях.
Таблиця 10 - Вантажообіг і питома витрата палива по відділеннях залізниці
1) виконання норм питомих витрат палива по відділеннях і дороги в цілому
Iі = Σі 1 q 1 / Σі 0 q 1 = 15670 / 16108 = 0,973
2) Зведений індекс витрат палива
Iіq = Σі 1 q 1 / Σі 0 q 0 = 15670 / 46800 = 0,335
3) Індекс питомої витрати палива змінного складу
Iі = Σі 1 q 1 / Σq 1: Σі 0 q 0 / Σq 0 = Σі 1 q 1 / Σі 0 q 1 = 15670/316: 46800/920 = 0,975
Індекс питомої витрати палива постійного складу
Iі = Σі 1 q 1 / Σq 1: Σі 0 q 1 / Σq 1 = Σі 1 q 1 / Σі 0 q 1 = 15670 / 16108 = 0,973
Індекс структурних зрушень
Iстр = Σі 0 q 1 / Σq 1: Σі 0 q 0 / Σq 0 = 16108/316: 46800/920 = 1,002
4) Економія палива за рахунок зміни питомої витрати
Δіq = Σі 1 q 1-Σі 0 q 1 = 15670 - 16108 = -438 кг за рахунок зміни вантажообігу
Δіqq = Σі 0 q 1-Σі 0 q 0 = 16108 - 46800 = -30692 кг
За вихідними даними обчислити основні аналітичні показники рядів динаміки (за ланцюговою та базисної схемами):
а) середній рівень ряду динаміки;
б) абсолютний приріст;
в) темп зростання;
г) темп приросту;
д) абсолютне значення 1% приросту;
е) середній темп зростання і середній темп приросту.
Середній рівень інтервального ряду визначимо за формулою:
де Y i - Значення вантажообігу;
n - число значень у динамічному ряду.
Абсолютний приріст щодо базисного рівня вантажообігу визначимо за формулою:
ΔY i = Y i-Y 0
Абсолютний приріст вантажообігу щодо попереднього року визначимо за формулою:
ΔY i = Y i-Y i -1
Темп зростання щодо базисного рівня вантажообігу визначимо за формулою:
Темп зростання вантажообігу щодо попереднього року визначимо за формулою:
Темп приросту щодо базисного рівня вантажообігу визначимо за формулою:
Темп приросту вантажообігу щодо попереднього року визначимо за формулою:
Середній темп зростання вантажообігу визначимо за формулою:
Середній темп приросту вантажообігу визначимо за формулою:
Абсолютне значення одного відсотка приросту визначимо за формулою:
Результати розрахунку аналітичних показників ряду динаміки представимо в таблиці 1.1
Таблиця 1 - Основні аналітичні показники ряду динаміки
Показник | Схема рахунку | Періоди | |||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||
Рівень ряду | 1199 | 1253 | 1573 | 1385 | 1276 | 1385 | 1266 | 1358 | |
Середній рівень ряду | 1336,875 | ||||||||
Абсолютний приріст | Базисна | 100 | 54,0 | 374,0 | 186,0 | 77,0 | 186 | 67 | 159 |
Ланцюгова | 100 | 54,0 | 320,0 | -188,0 | -109,0 | 109,0 | -119,0 | 92,0 | |
Темп зростання | Базисна | 100 | 104,5 | 131,2 | 115,5 | 106,4 | 115,5 | 105,6 | 113,3 |
Ланцюгова | 100 | 104,5 | 125,5 | 88,0 | 92,1 | 108,5 | 91,4 | 107,3 | |
Темп приросту | Базисна | 100 | 4,5 | 31,2 | 15,5 | 6,4 | 15,5 | 5,6 | 13,3 |
Ланцюгова | 100 | 4,5 | 25,5 | -12,0 | -7,9 | 8,5 | -8,6 | 7,3 | |
Абсолютне значення 1% приросту | 11,99 | 12,53 | 15,73 | 13,85 | 12,76 | 13,85 | 12,66 | ||
Середній темп зростання | 101,79 | ||||||||
Середній темп приросту | 1,79 |
Згладжування рядів динаміки проводиться за допомогою простих середніх, ковзної середньої, методами аналітичного вирівнювання. Ковзаючі середні розраховуються за формулами:
Коефіцієнт сезонності визначається як відношення рівнів ряду до їх середнього рівня за формулою:
Середній коефіцієнт сезонності за аналізований період знаходимо за формулою:
де n - кількість розрахованих коефіцієнтів сезонності за однойменною місяців.
Розрахунок ковзної середньої і коефіцієнта сезонності наведемо в таблиці 1.2.
Простроено графік сезонної хвилі за середніми коефіцієнтами сезонності. Графік приведений на малюнку 1.
Рисунок 1 - Графік сезонної хвилі
Таблиця 2 - Розрахунок коефіцієнта сезонності
Рік | Місяць | Рівень ряду | Змінна середня | Коефіцієнт сезонності | Середній коефіцієнт сезонності | |
нецентрірованная | центрована | |||||
1994 | 1 | 21,1 | ||||
2 | 22,8 | |||||
3 | 23,9 | |||||
4 | 23,8 | |||||
5 | 24,5 | |||||
6 | 24,6 | 23,550 | ||||
7 | 25,9 | 23,492 | 23,521 | 104,016 | ||
8 | 25,7 | 23,617 | 23,554 | 103,213 | ||
9 | 24,2 | 23,783 | 23,700 | 97,189 | ||
10 | 25,5 | 23,942 | 23,863 | 102,410 | ||
11 | 22,3 | 24,067 | 24,004 | 89,558 | ||
12 | 18,3 | 24,217 | 24,142 | 73,494 | ||
1995 | 1 | 20,4 | 24,308 | 24,263 | 81,928 | 81,53 |
2 | 24,3 | 24,408 | 24,358 | 97,590 | 97,39 | |
3 | 25,9 | 24,500 | 24,454 | 104,016 | 107,23 | |
4 | 25,7 | 24,592 | 24,546 | 103,213 | 107,03 | |
5 | 26 | 24,608 | 24,600 | 104,418 | 107,83 | |
6 | 26,4 | 24,750 | 24,679 | 106,024 | 110,84 | |
7 | 27 | 24,733 | 24,742 | 108,434 | 106,22 | |
8 | 26,9 | 24,725 | 24,729 | 108,032 | 105,62 | |
9 | 25,3 | 24,858 | 24,792 | 101,606 | 99,40 | |
10 | 26,6 | 25,017 | 24,938 | 106,827 | 104,62 | |
11 | 22,5 | 25,158 | 25,088 | 90,361 | 89,96 | |
12 | 20 | 25,358 | 25,258 | 80,321 | 76,91 | |
1996 | 1 | 20,2 | 25,517 | 25,438 | 81,124 | |
2 | 24,2 | 25,942 | 25,729 | 97,189 | ||
3 | 27,5 | 26,325 | 26,133 | 110,442 | ||
4 | 27,6 | 26,367 | 26,346 | 110,843 | ||
5 | 27,7 | 26,467 | 26,417 | 111,245 | ||
6 | 28,8 | 26,400 | 26,433 | 115,663 | ||
7 | 28,9 | |||||
8 | 32 | |||||
9 | 29,9 | |||||
10 | 27,1 | |||||
11 | 23,7 | |||||
12 | 19,2 | |||||
Разом: | 896,4 | |||||
Середня: | 24,90 |
ЗАВДАННЯ 2
Провести аналітичне вирівнювання рядів динаміки за даними задачі 1 про розміри вантажообігу за родами вантажів:
а) при рівномірному розвитку y = a 0 + a 1 t;
б) при розвитку з змінним прискоренням (уповільненням) y t = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3;
в) при вивченні сезонних коливань за даними про відправлення вантажів y t = a 0 + (a k cosR t + b k sinR t).
Результати розрахунків представити у вигляді таблиць і графіків.
1. Спосіб відліку часу від умовного початку, коли Σt = 0, дає можливість визначити параметри математичної функції за формулами:
Результати обчислень наведемо в таблиці 3:
Таблиця 3 - Обчислення параметрів функції y = a 0 + a 1 t і y = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3
Рік | t | y | Tі | ty | t 4 | t 6 | tІy | tіy | Yti * | Yt | (Yti *- y) І | (Yt-y) І |
1 | -4 | 1199 | 16 | 256 | 4096 | -4796 | 19184 | -76736 | 1324,2 | 1175,2 | 15677,13 | 566,75 |
2 | -3 | 1253 | 9 | 81 | 729 | -3759 | 11277 | -33831 | 1327,4 | 1354,3 | 5531,64 | 10254,93 |
3 | -2 | 1573 | 4 | 16 | 64 | -3146 | 6292 | -12584 | 1330,5 | 1432,5 | 58786,04 | 19730,33 |
4 | -1 | 1385 | 1 | 1 | 1 | -1385 | 1385 | -1385 | 1333,7 | 1438,1 | 2630,84 | 2817,52 |
5 | 1 | 1276 | 1 | 1 | 1 | 1276 | 1276 | 1276 | 1340,0 | 1343,3 | 4101,34 | 4532,35 |
6 | 2 | 1385 | 4 | 16 | 64 | 2770 | 5540 | 11080 | 1343,2 | 1299,2 | 1746,54 | 7364,77 |
7 | 3 | 1266 | 9 | 81 | 729 | 3798 | 11394 | 34182 | 1346,4 | 1294,6 | 6460,14 | 820,27 |
8 | 4 | 1358 | 16 | 256 | 4096 | 5432 | 21728 | 86912 | 1349,5 | 1357,8 | 71,54 | 0,05 |
разом | 0 | 10695 | 60 | 708 | 9780 | 190 | 78076 | 8914 | 10695,0 | 10695,0 | 95005,21 | 46086,98 |
Рівняння при рівномірному розвитку:
y = 1336,88 - 3,17 ∙ t
2. Для обчислення параметрів функції y = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3:
Тоді:
Рівняння при розвитку з змінним прискоренням (уповільненням):
y t = 1398,98 - 52,06 t - 8,28 t 2 + 4,68 t 3;
3. За розглянутими моделями визначимо теоретичні рівні тренду. Фактичні та теоретичні рівні ряду нанесемо на графік, представлений на малюнку 2.
Рисунок 2 - Графік фактичних і теоретичних рівнів ряду
Розрахуємо стандартизовану помилку апроксимації -
4. При вивченні сезонних коливань за даними про відправлення вантажів
Результати розрахунків зведемо в таблицю 4
Таблиця 4 - Вирівнювання ряду динаміки y = a 0 + (a до cosR t + b до sinR t), 1998 рік
Місяць | t i | y i | cos t i | sin t i | y i ∙ cos t i | y i ∙ sin t i | y ti |
1 | 0 | 21,10 | 1 | 0 | 21,1 | 0 | 21,21 |
2 | (1:6) π | 22,80 | 0,86616 | 0,5 | 19,748 | 11,4 | 21,66 |
3 | (1:3) π | 23,90 | 0,5 | 0,866 | 11,95 | 20,6974 | 22,62 |
4 | (1:2) π | 23,80 | 0 | 1 | 0 | 23,8 | 23,82 |
5 | (2:3) π | 24,50 | -0,5 | 0,866 | -12,25 | 21,217 | 24,96 |
6 | (5:6) π | 24,60 | -0,866 | 0,5 | -21,3 | 12,3 | 25,71 |
7 | π | 25,90 | -1 | 0 | -25,9 | 0 | 25,89 |
8 | (7:6) π | 25,70 | -0,866 | -0,5 | -22,26 | -12,85 | 25,44 |
9 | (4:3) π | 24,20 | -0,5 | -0,866 | -12,1 | -20,9572 | 24,48 |
10 | (3:2) π | 25,50 | 0 | -1 | 0 | -25,5 | 23,28 |
11 | (5:3) π | 22,30 | 0,5 | -0,866 | 11,15 | -19,3118 | 22,14 |
12 | (11:6) π | 18,30 | 0,866 | -0,5 | 15,848 | -9,15 | 21,39 |
- | 282,6 | -14,01 | 1,6454 | 282,60 |
Фактичні та теоретичні рівні ряду нанесемо на графік, представлений на малюнку 3.
Рисунок 3 - Графік фактичних і теоретичних рівнів ряду вирівнювання
Фактичні та теоретичні рівні ряду близькі за значенням, а крива ряду (рисунок 3) схожа на гармонійну функцію.
Тому функцію
ЗАДАЧА 3
За даними таблиці визначити:
1) виконання норм питомих витрат палива по відділеннях і дорозі в цілому;
2) зведений індекс витрат палива на дорозі;
3) зміна середнього питомої витрати палива на дорозі за рахунок зміни питомої витрати палива на 10000 т / км брутто на відділеннях і за рахунок зміни структури вантажообігу по відділеннях, а також за рахунок того й іншого чинника одночасно;
4) абсолютний розмір економії (перевитрати) палива за рахунок зміни вантажообігу на відділеннях, за рахунок зміни питомої витрати палива на відділеннях.
Таблиця 10 - Вантажообіг і питома витрата палива по відділеннях залізниці
Відділення | Питома витрата палива, кг/10000 т · км брутто. | Вантажообіг брутто, млн. т · км | Виконання норм питомих витрат палива,% | Витрата палива, тонн | |||||
Норма | Факти-но | Норма | Факти-но | % Виконан-ня | План | Факт | Звітного по питомій витраті базисного | ||
1 | 50 | 47 | 200 | 113 | 56,5 | 94,0 | 10000 | 5311 | 5650 |
2 | 55 | 57 | 320 | 102 | 31,9 | 103,6 | 17600 | 5814 | 5610 |
3 | 48 | 45 | 400 | 101 | 25,3 | 93,8 | 19200 | 4545 | 4848 |
920 | 316 | 113,6 | 46800 | 15670 | 16108 |
Iі = Σі 1 q 1 / Σі 0 q 1 = 15670 / 16108 = 0,973
2) Зведений індекс витрат палива
Iіq = Σі 1 q 1 / Σі 0 q 0 = 15670 / 46800 = 0,335
3) Індекс питомої витрати палива змінного складу
Iі = Σі 1 q 1 / Σq 1: Σі 0 q 0 / Σq 0 = Σі 1 q 1 / Σі 0 q 1 = 15670/316: 46800/920 = 0,975
Індекс питомої витрати палива постійного складу
Iі = Σі 1 q 1 / Σq 1: Σі 0 q 1 / Σq 1 = Σі 1 q 1 / Σі 0 q 1 = 15670 / 16108 = 0,973
Індекс структурних зрушень
Iстр = Σі 0 q 1 / Σq 1: Σі 0 q 0 / Σq 0 = 16108/316: 46800/920 = 1,002
4) Економія палива за рахунок зміни питомої витрати
Δіq = Σі 1 q 1-Σі 0 q 1 = 15670 - 16108 = -438 кг за рахунок зміни вантажообігу
Δіqq = Σі 0 q 1-Σі 0 q 0 = 16108 - 46800 = -30692 кг
ЗАДАЧА 4
№ 1. Для вивчення продуктивності праці токарів на машинобудівному заводі було проведено 10%-ве вибіркове обстеження 100 робочих методом випадкового бесповторного відбору. У результаті обстеження отримані дані про часовий виробленні робітників:
З імовірністю 0,997 визначите межі, в яких знаходиться середній час обробки однієї деталі токарями заводу.
Розрахуємо середню помилку вибірки за формулою:
Дисперсія
де х i - годинна вироблення
- Середня годинна вироблення по всіх робочих вибірки;
f i - сума всіх частот
Dх = ± t · μ x Dх = ± 3 · 0,66 = 2 шт.
Відповідь: з імовірністю 0,997 можна стверджувати, що частка осіб, яка схвалить складе 54% - 66%.
Література
1. Биченко О.Г. Загальна теорія статистики: Завдання на контрольну роботу № 1 з методичними вказівками. - Львів: БелГУТ, 2000. - 30 с.
2. Биченко О.Г. Загальна теорія статистики: Завдання на контрольну роботу № 2 з методичними вказівками. - Львів: БелГУТ, 2000. - 31 с.
3. Загальна теорія статистики: Підручник / Т.В. Рябушкін, М.Р. Єфімова, Н.І. Яковлєва. - М.: Фінанси і статистика, 1981. - 279 с., Іл.
№ 1. Для вивчення продуктивності праці токарів на машинобудівному заводі було проведено 10%-ве вибіркове обстеження 100 робочих методом випадкового бесповторного відбору. У результаті обстеження отримані дані про часовий виробленні робітників:
Годинна вироблення, шт. | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 | 26-28 | 28-30 |
Число робочих | 2 | 8 | 24 | 50 | 12 | 4 |
Розрахуємо середню помилку вибірки за формулою:
Дисперсія
де х i - годинна вироблення
- Середня годинна вироблення по всіх робочих вибірки;
f i - сума всіх частот
Годинна вироблення, шт. | 18-20 | 20-22 | 22-24 | 24-26 | 26-28 | 28-30 | |
Число робочих | 2 | 8 | 24 | 50 | 12 | 4 | 100 |
40 | 176 | 576 | 1300 | 288 | 120 | 2500 | |
(X i - | -10 | -24 | -24 | 50 | 36 | 20 | 48 |
Dх = ± t · μ x Dх = ± 3 · 0,66 = 2 шт.
Відповідь: з імовірністю 0,997 можна стверджувати, що частка осіб, яка схвалить складе 54% - 66%.
Література
1. Биченко О.Г. Загальна теорія статистики: Завдання на контрольну роботу № 1 з методичними вказівками. - Львів: БелГУТ, 2000. - 30 с.
2. Биченко О.Г. Загальна теорія статистики: Завдання на контрольну роботу № 2 з методичними вказівками. - Львів: БелГУТ, 2000. - 31 с.
3. Загальна теорія статистики: Підручник / Т.В. Рябушкін, М.Р. Єфімова, Н.І. Яковлєва. - М.: Фінанси і статистика, 1981. - 279 с., Іл.