Міністерство освіти Республіки Білорусь

Установа освіти Гомельський державний

університет імені Франциска Скорини

Математичний факультет

Кафедра диференціальних рівнянь

Курсова робота

«Системи, еквівалентні системам з відомим типом точок спокою»

Гомель 2005

Реферат

Курсова робота складається з 14 сторінок, 2-х джерел.
Ключові слова: вкладеного система, з відомим типом точок спокою, перший інтеграл диференціальної системи, що відображає функція, клас систем еквівалентних системі з відомим типом точок спокою, безперервно дифференцируемая функція.
Метою курсової роботи є дослідження системи з відомим типом точок спокою, знаходження першого інтеграла системи, застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем.

Зміст
Введення
Визначення вкладеного системи. Умови вкладеного
Загальне рішення системи
Знаходження першого інтеграла диференціальної системи та умови його існування
Відбиваюча функція
Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем
Висновок
Список використаних джерел

Введення
У курсовій роботі розглядається вкладеного система з ізаестним типом точок спокою. Як відомо система є вкладеного, якщо будь-яка компонента цієї системи вкладеного, тобто система вкладеного тоді і тільки тоді, коли безліч її рішень є підмножиною множини рішень деякої лінійної стаціонарної системи.
У 1-2 м пунктах розглядається вкладеного система, з відомим типом точок спокою. Далі перевіряємо чи є x і y загальним рішенням нашої системи рівнянь.
Під 3-му ми знаходимо перший інтеграл системи та перевіряємо виконання тотожності.
В 4-му пункті застосовуємо теорему про еквівалентність диференціальних систем.

1. Визначення вкладеного системи. Умови вкладеного
Розглянемо диференціальну систему
D. (1)
Будемо називати i-ю компоненту x системи (1) вкладеного, якщо для будь-якого рішення x (t) = (x (T), ..., x (T)), t , Цієї системи функція x t , Є квазімногочленів. Таким чином i-я компонента системи (1) вкладеного тоді і тільки тоді, коли для кожного рішення x (t) цієї системи існує лінійне стаціонарне рівняння виду

, (2)
для якого є рішенням.
Взагалі кажучи, порядок і коефіцієнти рівняння (2) залежать від вибору рішення . В окремому випадку, коли компонента будь-якого рішення системи (1) є одночасно і рішенням деякого, спільного для всіх рішень рівняння (2), компоненту системи (1) будемо називати сильно вкладеного в рівняння (2).
2. Загальне рішення системи
Розглянемо вкладеного систему
(1)

(B> 0 і а-постійні) із загальним рішенням
, Якщо з 0;
x = 0, y = at + c , Якщо з = 0, де постійні с, з , З пов'язані співвідношенням з (B + c + C ) = A , Має два центри в точках і .
Рішення:
Підставимо спільне рішення
в нашу систему (1) отримаємо

= = C (c cosct-c sinct) =
a-
Для стислості розпишемо знаменник і перетворимо

x + Y + B =
=

= A + c (c sinct + c cosct)
a-

Отримуємо, що x і y є спільним рішенням системи.

3. Знаходження першого інтеграла диференціальної системи та умови його існування

Розглянемо систему = F (t, x), x = (x , ..., X ), (T, x) (1) з безперервною в області D функцією f. Дифференцируемая функція U (t, x), задана в деякій підобласті G області D, називається першим інтегралом системи (1) в області G, якщо для будь-якого рішення x (t), t , Системи (1), графік якого розташований в G функція U (t, x (t)), t , Постійна, тобто U (t, x (t)) залежить тільки від вибору рішення x (t) і не залежить від t.
Нехай V (t, x), V: G R, є деяка функція. Похідною від функції V на підставі системи (1) назвемо функцію V V R, яка визначається рівністю
V (T, x (t)) t .
Лемма 1.
Для будь-якого рішення x (t), t , Системи (1), графік якого розташований в G, має місце тотожність
V t .
Без докази.
Лемма 2.
Дифференцируемая функція U (t, x), U: G R, являє собою перший інтеграл системи (1) тоді і тільки тоді, коли похідна U в силу системи (1) тотожне в G звертається в нуль.
Необхідність. Нехай U (t, x) є перший інтеграл системи (1). Тоді для будь-якого рішення x (t) цієї системи, застосовуючи лему 1 будемо мати тотожності
U
Звідки при t = t одержимо рівність U (T справедливе при всіх значеннях t і x (t ). Необхідність доведена.
Достатність. Нехай тепер U при всіх (t, x) Тоді для будь-якого рішення x (t) системи (1) на підставі лемми1 будемо мати тотожності


а з ним і достатність.
З визначення першого інтеграла випливає, що постійна на G функція також є першим інтегралом системи (1). Перший інтеграл U (t, x) будемо називати на G, якщо при всіх (t, x) виконується нерівність.

Функцію U (x) будемо називати стаціонарним першим інтегралом системи (1), якщо вона не залежить від t і є першим інтегралом системи (1).
Знайдемо перший інтеграл нашої системи:

Зведемо в квадрат і висловимо з

y




Покладемо , Отримаємо





Перевіримо, що функція - Це перший інтеграл системи (1), тобто перевіримо виконання тотожності (2)
Знайдемо похідні по t, x, y


Після вище зроблених перетворень отримуємо, що функція - Це перший інтеграл системи (1),

2) Покладемо , Тобто ,
де , Q
3) Перевіримо виконання тотожності:
(3), де
Перетворимо (3).
[В нашому випадку ] = = [Враховуючи всі зроблені позначення] =
=
=
= [З огляду на те, що яке в свою чергу як ми вже показали є тотожний нуль]
Таким чином, тотожність (3) істинне.


4. Відбиваюча функція
Визначення. Розглянемо систему
(5)
cчітая, що права частина якої неперервна і має неперервні частинні похідні по . Загальне рішення у формі Коші позначене через ). Через позначимо інтервал існування рішення .
Нехай

Відбиває функцією системи (5) назвемо диференційовану функцію , Яка визначається формулою

Для відбиває функції справедливі властивості:
1.) Для будь-якого рішення системи (5) вірно тотожність

2.) Для відображає функції F будь-якої системи виконані тотожності


3) дифференцируемая функція буде відбиває функцією системи (5) тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє системі рівнянь в приватних похідних

та початкової умові

5. Застосування теореми про еквівалентність диференціальних систем
Отримуємо де - Будь-яка непарна безперервна функція.
Поряд з диференціальною системою (1)
розглянемо обурену систему (2), де - Будь-яка безперервна непарна функція. Відомо по [3], що диференціальна система (3)
еквівалентна обуреної системі
(4), де безперервна скалярна непарна функція задовольняє рівнянню
Так як вище вже показано, що функція де {Є перший інтеграл} задовольняє цього рівняння, то справедлива наступна теорема.

Теорема1.

Система (1) еквівалентна системі (2) в сенсі збігу відбиває функції.
Так як система (1) має дві особливі точки, в кожній з яких знаходиться центр, то і система (2) має центри в цих точках.

Висновок
У цій роботі розглянута вкладеного система з відомим типом точок спокою, перевірено задоволення спільного рішення нашій системі, знайдені перший інтеграл і перевірено виконання тотожності, потім за допомогою теореми 1 доведена еквівалентність диференціальних систем. Сформульовано визначення вкладеного системи, першого інтеграла, що відбиває функції та загальні властивості відбиває функції. Cформулірована теорема за допомогою якої ми довели еквівалентність нашої системи з диференціальною системою.

Список використаних джерел
1. Мироненко В.І. Лінійна залежність функцій вздовж рішень диференціальних рівнянь. - Мн., Вид-во БГУ ім. В.І. Леніна, 1981, 50 - 51 с.
2. Мироненко В.І. Відбиваюча функція і періодичні рішення диференціальних рівнянь. - Мн.: Вид-во «Університетська», 1986, 11,17 - 19 с.
3. Мироненко В.В. Обурення диференціальних систем, що не змінюють тимчасових симетрій. 2004