Гатчинський соціально-гуманітарний інститут (філія)
автономного освітньої установи вищої професійної освіти
Ленінградський державний університет ім. А. С. Пушкіна
Факультет: МФІ
Курсова робота
Дисципліна: Геометрія
Геометрія місця точок на площині
Студент: Кузвесов І. М.
3-го курсу
Науковий керівник:
Ігнатьєва І. В.
Гатчина
2009
План
Введення
1. Визначення геометричного місця точок
2. Суть методу геометричних місць
3. Основні геометричні місця точок на площині
4. Приклади завдань на геометричні місця точок
Список літератури
Введення
Геометрія - це наука про властивості геометричних фігур. Слово «геометрія» грецьке, в перекладі на російську мову означає «землемірство». Таку назву цій науці була дана тому, що в стародавній час головною метою геометрії було вимірювання відстаней і площ на земній поверхні.
Легко уявити собі поверхню як кордон тіла: плоска поверхня столу, сферична поверхня м'яча, циліндрична поверхня труби. Але таке уявлення не повно. Візьмемо тонку замкнуту дріт зігнутої форми і опустимо її в мильну піну. Якщо ми обережно винесемо її з піни, то побачимо, що просвіт у дротовому "кільці" затягнуть найтоншої мильною плівкою. Правильно уявляти собі поверхню саме як тонку плівку (але позбавлену будь-якої товщини).
Найважливіша і найпростіша поверхню - площину. Пряма m, що лежить в площині, розбиває її на дві частини - півплощини; точки цієї прямої і тільки вони є спільними точками обох півплощини. Якщо А - точка однієї півплощини, а В - інший, то відрізок АВ перетинає кордон m півплощини в деякій точці С, що лежить між А і В.
Площини задаються трьома точками і позначаються часто так: площину АВС або PQR і т.д. Іноді буває простіше позначати площину однією літерою грецького алфавіту: a, b, g, d. ..
Під фігурою звичайно розуміють деяке сполучення певним чином розташованих в одній площині (а іноді і в просторі) елементів: точок, прямих, променів, відрізків (іноді і площин).
Під тілом розуміють звичайно частину простору, обмежену будь-якої замкнутої поверхнею. Так, конус - тіло, обмежене канонічної поверхнею з боків і плоским круглим підставою знизу. Куб - тіло, обмежене шістьма квадратними гранями, і т.д. Курс геометрії традиційно поділяється на планіметрії та стереометрії; в планіметрії розглядаються властивості різних фігур (трикутників, багатокутників, кіл), що лежать у площині. У стереометрії вивчаються властивості просторових фігур і тіл.
1. Визначення геометричного місця точок
Геометричне місце точок - це множина всіх точок, які відповідають певним заданим умовам.
Приклад 1. Серединний перпендикуляр будь-якого відрізка є геометричне місце точок (тобто множина всіх точок), рівновіддалених від кінців цього відрізка. Нехай PO AB і AO = OB:
Тоді, відстані від будь-якої точки P, що лежить на серединному перпендикуляре PO, до кінців A і B відрізка AB однакові і рівні d. Таким чином, кожна точка серединного перпендикуляра відрізка має наступну властивість: вона рівновіддалена від кінців відрізка.
Приклад 2. Окружність - це геометричне місце точок (тобто множина всіх точок), рівновіддалених від її центру (одна з цих точок - А).
Тоді відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якої її точкою, називається радіусом і позначається r або R. Частина площини, обмежена колом, називається колом. Частина кола AmB, називається дугою. Пряма PQ, що проходить через точки M і N кола, називається січною, а її відрізок MN, що лежить всередині кола - хордою. Хорда, що проходить через центр кола наприклад, BC називається діаметром і позначається d або D. Діаметр - це найбільша хорда, рівна двом радіусам (d = 2r). Припустимо, дана точка А (7, 3, 5); цей запис означає, що точка А визначається координатами х = 7, у = 3, z = 5. Якщо масштаб для побудови креслення заданий або обраний, то відкладають на осі х від деякої точки О відрізок ОАХ, рівний 7 одиницям, і на перпендикуляре до цієї осі, проведеному з точки Ах, відрізки АХА '= 3 од. і АХА "= 5 од. Отримуємо проекції А 'і А". Для побудови взяти тільки вісь х. Приймаючи осі проекцій за осі координат, можна знайти координати точки за даними її проекція. Наприклад, відрізок ОАХ - висловлює абсцису точки А, відрізок АХА '- її ординату, відрізок АХА "- аплікат. Якщо задається лише абсциса, то цьому відповідає площина, паралельна площині, яка визначається осями у і z. Дійсно, така площину є геометричним місцем точок , у яких абсциси рівні заданій величині. Якщо задаються дві координати, то цим визначається пряма, паралельна відповідної координатної осі.
Наприклад, маючи заданими абсцису і ординату, отримуємо пряму, паралельну осі z (це пряма АВ). Вона є лінією перетину двох площин _ і _, де _ - геометричне місце точок з рівними ординатами. Пряма АВ служить геометричним місцем точок, у яких рівні між собою абсциси і рівні між собою ординати. Якщо задаються всі три координати, то цим визначається крапка. Точка К, отримана в перетині трьох площин, з яких _ є геометричне місце точок по заданій абсциси, _ - по заданій ординаті і _ - по заданій аплікат. Точка може знаходитися в будь-якому з восьми октантів. Отже, потрібно знати не тільки відстань даної точки від тієї чи іншій площині координат, а й напрямок, по якому треба це відстань відкласти; для цього координати точок висловлюють відносними числами.
2. Суть методу геометричних місць
Суть методу геометричних місць, використовуваного при вирішенні завдань, полягає в наступному. Нехай, вирішуючи завдання, нам треба знайти точку X, що задовольняє двом умовам. Геометричне місце точок, що задовольняють першому умові, є деяка фігура F 1, а геометричне місце точок, що задовольняють другій умові, є деяка фігура F 2. Шукана точка X належить F 1 і F 2 т. е. є їх точкою перетину. Якщо ці геометричні місця прості (скажімо, складаються з прямих і кіл), то ми можемо їх побудувати і знайти цікаву для нас точку X.
Ламаній А 1 А 2 А 3 ... A n називається фігура, яка складається з точок А 1, А 2, ..., A n і з'єднують їх відрізків А 1 A 2, A 2 A 3, ..., A n-1, A n . Точка 1, А 2, ..., А n називаються вершинами ламаної, а відрізки A 1 A 2, A 2 A 3, ..., A n-1, A n - ланками ламаної. Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів (рис. 1).
Рис. 1
А 1 A 2 A 3 A 4 - проста ламана з трьох ланок.
Ламана називається замкнутою, якщо у неї кінці збігаються. Проста замкнена ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій. Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, а ланки ламаної - сторонами багатокутника. Відрізки, що сполучають не сусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями. Багатокутник з n-вершинами, а значить, і з n-сторонами називається n-кутником.
Плоским багатокутником і багатокутної областю називається кінцева частина площини, обмежена багатокутником.
Багатокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, яка містить його сторону (рис. 2). Багатокутник називається неопуклих, якщо він виявляється лежачим по обидві сторони прямої, що містить будь-яку його сторону (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Опуклий багатокутник називають правильним, якщо у нього всі сторони рівні, і всі кути рівні.
Багатокутник називається вписаним в коло, якщо всі його вершини лежать на деякій окружності. Багатокутник називається описаним близько окружності, якщо всі його сторони стосуються деякої окружності.
Геометрія часто застосовується на практиці. Її треба знати і робітнику, і інженеру, й архітектору, і художнику. Одним словом, геометрію треба знати всім.
Планіметрія - це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури на площині.
Фігура - це довільна множина точок на площині. Точка, пряма, відрізок, промінь, трикутник, коло, квадрат і так далі - все це приклади геометричних фігур.
Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма. Цим фігур в геометрії не дається визначень.
Також не визначаються такі поняття (відносини), як «лежати поміж», «приписатися», «проходити через ...» і так далі.
Решті геометричних фігур і інших понять даються визначення. Визначення - це речення, в якому роз'яснюється зміст і зміст того чи іншого поняття. При цьому роз'яснення складається в тому, що воно зводиться до раніше певних понять.
Існує декілька підходів до побудови курсу планіметрії (і геометрії в цілому): аксіоматичний, аналітичний, векторний, груповий.
Аксіоматична теорія будується таким чином:
1) даються невизначені поняття (у нашому випадку це точка і пряма);
2) вводяться невизначені відносини (зв'язки між поняттями - «лежати поміж», «приписатися» і так далі);
3) дається система аксіом - тобто тверджень, які приймаються без доведення;
4) на основі аксіом і законів математичної логіки доводяться теореми.
Аксіом, як правило, небагато, а от теорем - нескінченна безліч. До аксіомам планіметрії можна віднести наступні:
1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.
2. З трьох точок на даній прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
3. Кожен відрізок має певну довжину, велику нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин його частин, на які він розбивається будь-якої його точкою.
4. Пряма розбиває площину на дві півплощини.
5. Кожен кут має певну градусну міру, велику нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180 °. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, які пройшли між його сторонами.
6. На будь-якому промені від його початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і тільки один.
7. Від будь-якого променя в задану полуплоскость можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180 °, і тільки один.
8. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у заданому розташуванні відносно даного променя.
9. Через точку, не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.
3. Основні геометричні місця точок на площині
Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від сторін кута, буде бісектриса даного кута (рис. 4). АК = AT, де А - будь-яка точка на бісектрисі.
Рис. 4.
Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох даних точок, буде пряма, перпендикулярна до відрізка, що з'єднує ці точки, і що проходить через його середину (мал. 5). MA = MB, де М - довільна точка на серединний перпендикуляр відрізка АВ.
Рис. 5.
Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від заданої точки, буде коло з центром у цій точці (рис. 6). Точка О рівновіддалена від точок кола.
Рис. 6.
Розташування центру кола, описаної близько трикутника.
Центр кола, описаного близько трикутника, є точкою перетину перпендикулярів до сторін трикутника, проведених через середини цих сторін (рис. 7). А, В, С - вершини трикутника, що лежать на колі.
АМ = МВ і АК = КС.
Точки М та ДО - підстави перпендикулярів до сторонам АВ й АС відповідно.
Рис. 7.
Розташування центру кола, вписаного в трикутник.
Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис (рис. 8). У ⊿ ABC відрізки AT і СК є биссектрисами.
Рис. 8.
4. Приклади завдань на геометричні місця точок
1. Два колеса радіусів r 1 і r 2 катаються по прямій l. Знайдіть безліч точок перетину M їх спільних внутрішніх дотичних.
Рішення: Нехай O 1 і O 2 - центри коліс радіусів r 1 і r 2 відповідно. Якщо M - точка перетину внутрішніх дотичних, то O 1 M: O 2 M = r 1: r 2. З цієї умови легко отримати, що відстань від точки M до прямої l одно 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2). Тому всі крапки перетинання загальних внутрішніх дотичних лежать на прямій, паралельної прямої l і віддаленої від неї на відстань 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2).
2. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які проходять через дві дані точки.
Рішення: Нехай коло з центром O проходить через дані точки A і B. Оскільки OA = OB (як радіуси одному колі), точка O лежить на серединний перпендикуляр до відрізка AB. Зворотно, кожна точка O, що лежить на серединний перпендикуляр до AB, рівновіддалена від точок A і B. Значить, точка O - центр окружності, що проходить через точки A і B.
3. Сторони AB і CD чотирикутника ABCD площі S не паралельні. Знайдіть ГМТ X, що лежать всередині чотирикутника, для яких S ABX + S CDX = S / 2.
Рішення: Нехай O - точка перетину прямих AB і CD. Відкладемо на променях OA і OD відрізки OK і OL, рівні AB і CD відповідно. Тоді S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ± S KXL. Отже, площа трикутника KXL постійна, тобто точка X лежить на прямій, паралельній KL.
4. На площині дано точки A і B. Знайдіть ГМТ M, для яких різниця квадратів довжин відрізків AM і BM постійна.
Рішення: Введемо систему координат, вибравши точку A в якості початку координат і направивши вісь Ox по променю AB. Нехай точка M має координати (x, y). Тоді AM 2 = x 2 + y 2 і BM 2 = (x - a) 2 + y 2, де a = AB. Тому AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2. Ця величина дорівнює k для точок M з координатами ((a 2 + k) / 2a, y); всі такі точки лежать на прямій, перпендикулярній AB.
5. Дан прямокутник ABCD. Знайдіть ГМТ X, для яких AX + BX = CX + DX.
Рішення: Нехай l - пряма, що проходить через середини сторін BC і AD. Припустимо, що точка X не лежить на прямій l, наприклад що точки A і X лежать по один бік від прямої l. Тоді AX <DX і BX <CX, а значить, AX + BX <CX + DX. Тому пряма l - шукане ГМТ.
6. Дано дві прямі, що перетинаються в точці O. Знайдіть ГМТ X, для яких сума довжин проекцій відрізків OX на ці прямі постійна.
Рішення: Нехай a і b - одиничні вектори, паралельні даними прямим; x дорівнює вектору ох. Сума довжин проекцій вектора x на дані прямі дорівнює | (a, x) | + | (b, x) | = | (a ± b, x) |, причому зміна знака відбувається на перпендикулярах, восставленних з точки O до даних прямим. Тому шукане ГМТ - прямокутник, сторони якого паралельні бісектриса кутів між даними прямими, а вершини лежать на зазначених перпендикуляри.
7. Дано коло S і точка M поза нею. Через точку M проводяться всілякі кола S 1, що перетинають коло S; X - точка перетину дотичної в точці M до кола S 1 з продовженням загальної хорди кіл S і S 1. Знайдіть ГМТ X.
Рішення: Нехай A і B - точки перетину кіл S і S 1. Тоді XM 2 = XA. XB = XO 2 - R 2, де O і R - центр і радіус кола S. Тому XO 2 - XM 2 = R 2, а значить, точки X лежать на перпендикуляре до прямої OM.
8. Дани дві непересічні окружності. Знайдіть геометричне місце точок центрів кіл, що поділяють навпіл дані кола (тобто перетинають їх у діаметрально протилежних точках).
Рішення: Нехай O 1 і O 2 - центри даних кіл, R 1 і R 2 - їх радіуси. Коло радіуса r з центром X перетинає перший окружність у діаметрально протилежних точках тоді і тільки тоді, коли r 2 = XO 1 2 + R 1 2, тому шукане ГМТ складається з таких точок X, що XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2, всі такі точки X лежать на прямій, перпендикулярній O 1 O 2.
9. Всередині кола взята точка A. Знайдіть геометричне місце точок перетину дотичних до кола, проведених через кінці всіляких хорд, що містять точку A.
Рішення: Нехай O - центр окружності, R - її радіус, M - точка перетину дотичних, проведених через кінці хорди, яка містить точку A, P - середина цієї хорди. Тоді OP * OM = R 2 і OP = OA cos f, де f = AOP. Тому AM 2 = OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2, а значить, величина OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 постійна. Отже, всі крапки M лежать на прямій, перпендикулярній OA.
10. Знайдіть геометричне місце точок M, що лежать всередині ромба ABCD і володіють тим властивістю, що AMD + BMC = 180 o.
Рішення: Нехай N - така точка, що вектора MN = DA. Тоді NAM = DMA і NBM = BMC, тому чотирикутник AMBN вписаний. Діагоналі вписаного чотирикутника AMBN рівні, тому AM | BN або BM | AN. У першому випадку AMD = MAN = AMB, а в другому випадку BMC = MBN = BMA. Якщо AMB = AMD, то AMB + BMC = 180 o і точка M лежить на діагоналі AC, а якщо BMA = BMC, то точка M лежить на діагоналі BD. Ясно також, що якщо точка M лежить на одній з діагоналей, то AMD + BMC = 180 o.
11. а) Дан паралелограм ABCD. Доведіть, що величина AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 не залежить від вибору точки X.
б) Чотирикутник ABCD не є параллелограммом. Доведіть, що всі крапки X, що задовольняють співвідношенню AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2, лежать на одній прямій, перпендикулярній відрізку, що з'єднує середини діагоналей.
Рішення: Нехай P і Q - середини діагоналей AC та BD. Тоді AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 / 2 і BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 / 2, тому в задачі б) шукане ГМТ складається з таких точок X, що PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2) / 4, а в задачі a) P = Q, тому розглянута величина дорівнює (BD 2 - AC 2) / 2.
Література
1. Погорєлов А.В. Геометрія: Підручник для 7-9 класів загальноосвітніх установ. - М.: Просвещение, 2000, с. 61.
2. Савін А.П. Метод геометричних місць / Факультативний курс з математики: Навчальний посібник для 7-9 класів середньої школи. Сост. І.Л. Нікольська. - М.: Просвещение, 1991, с. 74.
3. Смирнова І.М., Смирнов В.А. Геометрія: Підручник для 7-9 класів загальноосвітніх установ. - М.: Мнемозина, 2005, с. 84.
4. Шаригін І.Ф. Геометрія. 7-9 класи: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. - М.: Дрофа, 1997, с. 76.
5. Інтернет ресурс: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm
автономного освітньої установи вищої професійної освіти
Ленінградський державний університет ім. А. С. Пушкіна
Факультет: МФІ
Курсова робота
Дисципліна: Геометрія
Геометрія місця точок на площині
Студент: Кузвесов І. М.
3-го курсу
Науковий керівник:
Ігнатьєва І. В.
Гатчина
2009
План
Введення
1. Визначення геометричного місця точок
2. Суть методу геометричних місць
3. Основні геометричні місця точок на площині
4. Приклади завдань на геометричні місця точок
Список літератури
Введення
Геометрія - це наука про властивості геометричних фігур. Слово «геометрія» грецьке, в перекладі на російську мову означає «землемірство». Таку назву цій науці була дана тому, що в стародавній час головною метою геометрії було вимірювання відстаней і площ на земній поверхні.
Легко уявити собі поверхню як кордон тіла: плоска поверхня столу, сферична поверхня м'яча, циліндрична поверхня труби. Але таке уявлення не повно. Візьмемо тонку замкнуту дріт зігнутої форми і опустимо її в мильну піну. Якщо ми обережно винесемо її з піни, то побачимо, що просвіт у дротовому "кільці" затягнуть найтоншої мильною плівкою. Правильно уявляти собі поверхню саме як тонку плівку (але позбавлену будь-якої товщини).
Найважливіша і найпростіша поверхню - площину. Пряма m, що лежить в площині, розбиває її на дві частини - півплощини; точки цієї прямої і тільки вони є спільними точками обох півплощини. Якщо А - точка однієї півплощини, а В - інший, то відрізок АВ перетинає кордон m півплощини в деякій точці С, що лежить між А і В.
Площини задаються трьома точками і позначаються часто так: площину АВС або PQR і т.д. Іноді буває простіше позначати площину однією літерою грецького алфавіту: a, b, g, d. ..
Під фігурою звичайно розуміють деяке сполучення певним чином розташованих в одній площині (а іноді і в просторі) елементів: точок, прямих, променів, відрізків (іноді і площин).
Під тілом розуміють звичайно частину простору, обмежену будь-якої замкнутої поверхнею. Так, конус - тіло, обмежене канонічної поверхнею з боків і плоским круглим підставою знизу. Куб - тіло, обмежене шістьма квадратними гранями, і т.д. Курс геометрії традиційно поділяється на планіметрії та стереометрії; в планіметрії розглядаються властивості різних фігур (трикутників, багатокутників, кіл), що лежать у площині. У стереометрії вивчаються властивості просторових фігур і тіл.
1. Визначення геометричного місця точок
Геометричне місце точок - це множина всіх точок, які відповідають певним заданим умовам.
Приклад 1. Серединний перпендикуляр будь-якого відрізка є геометричне місце точок (тобто множина всіх точок), рівновіддалених від кінців цього відрізка. Нехай PO AB і AO = OB:
Тоді, відстані від будь-якої точки P, що лежить на серединному перпендикуляре PO, до кінців A і B відрізка AB однакові і рівні d. Таким чином, кожна точка серединного перпендикуляра відрізка має наступну властивість: вона рівновіддалена від кінців відрізка.
Приклад 2. Окружність - це геометричне місце точок (тобто множина всіх точок), рівновіддалених від її центру (одна з цих точок - А).
Тоді відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якої її точкою, називається радіусом і позначається r або R. Частина площини, обмежена колом, називається колом. Частина кола AmB, називається дугою. Пряма PQ, що проходить через точки M і N кола, називається січною, а її відрізок MN, що лежить всередині кола - хордою. Хорда, що проходить через центр кола наприклад, BC називається діаметром і позначається d або D. Діаметр - це найбільша хорда, рівна двом радіусам (d = 2r). Припустимо, дана точка А (7, 3, 5); цей запис означає, що точка А визначається координатами х = 7, у = 3, z = 5. Якщо масштаб для побудови креслення заданий або обраний, то відкладають на осі х від деякої точки О відрізок ОАХ, рівний 7 одиницям, і на перпендикуляре до цієї осі, проведеному з точки Ах, відрізки АХА '= 3 од. і АХА "= 5 од. Отримуємо проекції А 'і А". Для побудови взяти тільки вісь х. Приймаючи осі проекцій за осі координат, можна знайти координати точки за даними її проекція. Наприклад, відрізок ОАХ - висловлює абсцису точки А, відрізок АХА '- її ординату, відрізок АХА "- аплікат. Якщо задається лише абсциса, то цьому відповідає площина, паралельна площині, яка визначається осями у і z. Дійсно, така площину є геометричним місцем точок , у яких абсциси рівні заданій величині. Якщо задаються дві координати, то цим визначається пряма, паралельна відповідної координатної осі.
Наприклад, маючи заданими абсцису і ординату, отримуємо пряму, паралельну осі z (це пряма АВ). Вона є лінією перетину двох площин _ і _, де _ - геометричне місце точок з рівними ординатами. Пряма АВ служить геометричним місцем точок, у яких рівні між собою абсциси і рівні між собою ординати. Якщо задаються всі три координати, то цим визначається крапка. Точка К, отримана в перетині трьох площин, з яких _ є геометричне місце точок по заданій абсциси, _ - по заданій ординаті і _ - по заданій аплікат. Точка може знаходитися в будь-якому з восьми октантів. Отже, потрібно знати не тільки відстань даної точки від тієї чи іншій площині координат, а й напрямок, по якому треба це відстань відкласти; для цього координати точок висловлюють відносними числами.
2. Суть методу геометричних місць
Суть методу геометричних місць, використовуваного при вирішенні завдань, полягає в наступному. Нехай, вирішуючи завдання, нам треба знайти точку X, що задовольняє двом умовам. Геометричне місце точок, що задовольняють першому умові, є деяка фігура F 1, а геометричне місце точок, що задовольняють другій умові, є деяка фігура F 2. Шукана точка X належить F 1 і F 2 т. е. є їх точкою перетину. Якщо ці геометричні місця прості (скажімо, складаються з прямих і кіл), то ми можемо їх побудувати і знайти цікаву для нас точку X.
Ламаній А 1 А 2 А 3 ... A n називається фігура, яка складається з точок А 1, А 2, ..., A n і з'єднують їх відрізків А 1 A 2, A 2 A 3, ..., A n-1, A n . Точка 1, А 2, ..., А n називаються вершинами ламаної, а відрізки A 1 A 2, A 2 A 3, ..., A n-1, A n - ланками ламаної. Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів (рис. 1).
Рис. 1
А 1 A 2 A 3 A 4 - проста ламана з трьох ланок.
Ламана називається замкнутою, якщо у неї кінці збігаються. Проста замкнена ламана називається багатокутником, якщо її сусідні ланки не лежать на одній прямій. Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, а ланки ламаної - сторонами багатокутника. Відрізки, що сполучають не сусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями. Багатокутник з n-вершинами, а значить, і з n-сторонами називається n-кутником.
Плоским багатокутником і багатокутної областю називається кінцева частина площини, обмежена багатокутником.
Багатокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, яка містить його сторону (рис. 2). Багатокутник називається неопуклих, якщо він виявляється лежачим по обидві сторони прямої, що містить будь-яку його сторону (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Опуклий багатокутник називають правильним, якщо у нього всі сторони рівні, і всі кути рівні.
Багатокутник називається вписаним в коло, якщо всі його вершини лежать на деякій окружності. Багатокутник називається описаним близько окружності, якщо всі його сторони стосуються деякої окружності.
Геометрія часто застосовується на практиці. Її треба знати і робітнику, і інженеру, й архітектору, і художнику. Одним словом, геометрію треба знати всім.
Планіметрія - це розділ геометрії, в якому вивчаються фігури на площині.
Фігура - це довільна множина точок на площині. Точка, пряма, відрізок, промінь, трикутник, коло, квадрат і так далі - все це приклади геометричних фігур.
Основними геометричними фігурами на площині є точка і пряма. Цим фігур в геометрії не дається визначень.
Також не визначаються такі поняття (відносини), як «лежати поміж», «приписатися», «проходити через ...» і так далі.
Решті геометричних фігур і інших понять даються визначення. Визначення - це речення, в якому роз'яснюється зміст і зміст того чи іншого поняття. При цьому роз'яснення складається в тому, що воно зводиться до раніше певних понять.
Існує декілька підходів до побудови курсу планіметрії (і геометрії в цілому): аксіоматичний, аналітичний, векторний, груповий.
Аксіоматична теорія будується таким чином:
1) даються невизначені поняття (у нашому випадку це точка і пряма);
2) вводяться невизначені відносини (зв'язки між поняттями - «лежати поміж», «приписатися» і так далі);
3) дається система аксіом - тобто тверджень, які приймаються без доведення;
4) на основі аксіом і законів математичної логіки доводяться теореми.
Аксіом, як правило, небагато, а от теорем - нескінченна безліч. До аксіомам планіметрії можна віднести наступні:
1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.
2. З трьох точок на даній прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.
3. Кожен відрізок має певну довжину, велику нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин його частин, на які він розбивається будь-якої його точкою.
4. Пряма розбиває площину на дві півплощини.
5. Кожен кут має певну градусну міру, велику нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180 °. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних заходів кутів, на які він розбивається будь-яким променем, які пройшли між його сторонами.
6. На будь-якому промені від його початкової точки можна відкласти відрізок заданої довжини, і тільки один.
7. Від будь-якого променя в задану полуплоскость можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180 °, і тільки один.
8. Який би не був трикутник, існує рівний йому трикутник у заданому розташуванні відносно даного променя.
9. Через точку, не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.
3. Основні геометричні місця точок на площині
Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від сторін кута, буде бісектриса даного кута (рис. 4). АК = AT, де А - будь-яка точка на бісектрисі.
Рис. 4.
Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох даних точок, буде пряма, перпендикулярна до відрізка, що з'єднує ці точки, і що проходить через його середину (мал. 5). MA = MB, де М - довільна точка на серединний перпендикуляр відрізка АВ.
Рис. 5.
Геометричним місцем точок площини, рівновіддалених від заданої точки, буде коло з центром у цій точці (рис. 6). Точка О рівновіддалена від точок кола.
Рис. 6.
Розташування центру кола, описаної близько трикутника.
Центр кола, описаного близько трикутника, є точкою перетину перпендикулярів до сторін трикутника, проведених через середини цих сторін (рис. 7). А, В, С - вершини трикутника, що лежать на колі.
АМ = МВ і АК = КС.
Точки М та ДО - підстави перпендикулярів до сторонам АВ й АС відповідно.
Рис. 7.
Розташування центру кола, вписаного в трикутник.
Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис (рис. 8). У ⊿ ABC відрізки AT і СК є биссектрисами.
Рис. 8.
4. Приклади завдань на геометричні місця точок
1. Два колеса радіусів r 1 і r 2 катаються по прямій l. Знайдіть безліч точок перетину M їх спільних внутрішніх дотичних.
Рішення: Нехай O 1 і O 2 - центри коліс радіусів r 1 і r 2 відповідно. Якщо M - точка перетину внутрішніх дотичних, то O 1 M: O 2 M = r 1: r 2. З цієї умови легко отримати, що відстань від точки M до прямої l одно 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2). Тому всі крапки перетинання загальних внутрішніх дотичних лежать на прямій, паралельної прямої l і віддаленої від неї на відстань 2r 1 r 2 / (r 1 + r 2).
2. Знайдіть геометричне місце центрів кіл, які проходять через дві дані точки.
Рішення: Нехай коло з центром O проходить через дані точки A і B. Оскільки OA = OB (як радіуси одному колі), точка O лежить на серединний перпендикуляр до відрізка AB. Зворотно, кожна точка O, що лежить на серединний перпендикуляр до AB, рівновіддалена від точок A і B. Значить, точка O - центр окружності, що проходить через точки A і B.
3. Сторони AB і CD чотирикутника ABCD площі S не паралельні. Знайдіть ГМТ X, що лежать всередині чотирикутника, для яких S ABX + S CDX = S / 2.
Рішення: Нехай O - точка перетину прямих AB і CD. Відкладемо на променях OA і OD відрізки OK і OL, рівні AB і CD відповідно. Тоді S ABX + S CDX = S KOX + S LOX ± S KXL. Отже, площа трикутника KXL постійна, тобто точка X лежить на прямій, паралельній KL.
4. На площині дано точки A і B. Знайдіть ГМТ M, для яких різниця квадратів довжин відрізків AM і BM постійна.
Рішення: Введемо систему координат, вибравши точку A в якості початку координат і направивши вісь Ox по променю AB. Нехай точка M має координати (x, y). Тоді AM 2 = x 2 + y 2 і BM 2 = (x - a) 2 + y 2, де a = AB. Тому AM 2 - BM 2 = 2ax - a 2. Ця величина дорівнює k для точок M з координатами ((a 2 + k) / 2a, y); всі такі точки лежать на прямій, перпендикулярній AB.
5. Дан прямокутник ABCD. Знайдіть ГМТ X, для яких AX + BX = CX + DX.
Рішення: Нехай l - пряма, що проходить через середини сторін BC і AD. Припустимо, що точка X не лежить на прямій l, наприклад що точки A і X лежать по один бік від прямої l. Тоді AX <DX і BX <CX, а значить, AX + BX <CX + DX. Тому пряма l - шукане ГМТ.
6. Дано дві прямі, що перетинаються в точці O. Знайдіть ГМТ X, для яких сума довжин проекцій відрізків OX на ці прямі постійна.
Рішення: Нехай a і b - одиничні вектори, паралельні даними прямим; x дорівнює вектору ох. Сума довжин проекцій вектора x на дані прямі дорівнює | (a, x) | + | (b, x) | = | (a ± b, x) |, причому зміна знака відбувається на перпендикулярах, восставленних з точки O до даних прямим. Тому шукане ГМТ - прямокутник, сторони якого паралельні бісектриса кутів між даними прямими, а вершини лежать на зазначених перпендикуляри.
7. Дано коло S і точка M поза нею. Через точку M проводяться всілякі кола S 1, що перетинають коло S; X - точка перетину дотичної в точці M до кола S 1 з продовженням загальної хорди кіл S і S 1. Знайдіть ГМТ X.
Рішення: Нехай A і B - точки перетину кіл S і S 1. Тоді XM 2 = XA. XB = XO 2 - R 2, де O і R - центр і радіус кола S. Тому XO 2 - XM 2 = R 2, а значить, точки X лежать на перпендикуляре до прямої OM.
8. Дани дві непересічні окружності. Знайдіть геометричне місце точок центрів кіл, що поділяють навпіл дані кола (тобто перетинають їх у діаметрально протилежних точках).
Рішення: Нехай O 1 і O 2 - центри даних кіл, R 1 і R 2 - їх радіуси. Коло радіуса r з центром X перетинає перший окружність у діаметрально протилежних точках тоді і тільки тоді, коли r 2 = XO 1 2 + R 1 2, тому шукане ГМТ складається з таких точок X, що XO 1 2 + R 1 2 = XO 2 2 + R 2 2, всі такі точки X лежать на прямій, перпендикулярній O 1 O 2.
9. Всередині кола взята точка A. Знайдіть геометричне місце точок перетину дотичних до кола, проведених через кінці всіляких хорд, що містять точку A.
Рішення: Нехай O - центр окружності, R - її радіус, M - точка перетину дотичних, проведених через кінці хорди, яка містить точку A, P - середина цієї хорди. Тоді OP * OM = R 2 і OP = OA cos f, де f = AOP. Тому AM 2 = OM 2 + OA 2 - 2OM * OA cos f = OM 2 + OA 2 - 2R 2, а значить, величина OM 2 - AM 2 = 2R 2 - OA 2 постійна. Отже, всі крапки M лежать на прямій, перпендикулярній OA.
10. Знайдіть геометричне місце точок M, що лежать всередині ромба ABCD і володіють тим властивістю, що AMD + BMC = 180 o.
Рішення: Нехай N - така точка, що вектора MN = DA. Тоді NAM = DMA і NBM = BMC, тому чотирикутник AMBN вписаний. Діагоналі вписаного чотирикутника AMBN рівні, тому AM | BN або BM | AN. У першому випадку AMD = MAN = AMB, а в другому випадку BMC = MBN = BMA. Якщо AMB = AMD, то AMB + BMC = 180 o і точка M лежить на діагоналі AC, а якщо BMA = BMC, то точка M лежить на діагоналі BD. Ясно також, що якщо точка M лежить на одній з діагоналей, то AMD + BMC = 180 o.
11. а) Дан паралелограм ABCD. Доведіть, що величина AX 2 + CX 2 - BX 2 - DX 2 не залежить від вибору точки X.
б) Чотирикутник ABCD не є параллелограммом. Доведіть, що всі крапки X, що задовольняють співвідношенню AX 2 + CX 2 = BX 2 + DX 2, лежать на одній прямій, перпендикулярній відрізку, що з'єднує середини діагоналей.
Рішення: Нехай P і Q - середини діагоналей AC та BD. Тоді AX 2 + CX 2 = 2PX 2 + AC 2 / 2 і BX 2 + DX 2 = 2QX 2 + BD 2 / 2, тому в задачі б) шукане ГМТ складається з таких точок X, що PX 2 - QX 2 = ( BD 2 - AC 2) / 4, а в задачі a) P = Q, тому розглянута величина дорівнює (BD 2 - AC 2) / 2.
Література
1. Погорєлов А.В. Геометрія: Підручник для 7-9 класів загальноосвітніх установ. - М.: Просвещение, 2000, с. 61.
2. Савін А.П. Метод геометричних місць / Факультативний курс з математики: Навчальний посібник для 7-9 класів середньої школи. Сост. І.Л. Нікольська. - М.: Просвещение, 1991, с. 74.
3. Смирнова І.М., Смирнов В.А. Геометрія: Підручник для 7-9 класів загальноосвітніх установ. - М.: Мнемозина, 2005, с. 84.
4. Шаригін І.Ф. Геометрія. 7-9 класи: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. - М.: Дрофа, 1997, с. 76.
5. Інтернет ресурс: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm