Міністерство освіти Республіки Білорусь

Гомельський Державний університет імені Франциска Скорини

Курсова робота

«Диференціальні системи, еквівалентні автономних систем з відомим першим інтегралом»

Гомель 2006

Реферат
Курсова робота складається з 19 сторінок, 3-х джерел.
Ключові слова: еквівалентна система, перший інтеграл диференціальної системи, що відображає функція, еквівалентність систем в сенсі збігу відображають функцій, безперервно дифференцируемая функція, безперервна скалярна непарна функція.
Метою курсової роботи є знаходження зв'язку між першим інтегралом системи та еквівалентними системами.

Зміст
Введення
Відбиваюча функція
Перший інтеграл диференціальної системи та умови його існування
Обурення диференціальних систем, що не змінюють тимчасових симетрій
Загальне рішення
Висновок
Список використаних джерел

Введення
У курсовій роботі ми знаходимо зв'язок між першим інтегралом та еквівалентними системами.
У результаті приходимо до теореми, яка звучить так:
Нехай перший інтеграл системи , (1). Якщо , Задовольняє рівнянню , То зазначена система еквівалентна системі , , (2). І якщо, крім того , Де - Деяка функція ( -Може дорівнювати const), тоді перший інтеграл системи (2) виражається наступною формулою , Де і .

Відбиваюча функція
Визначення. Розглянемо систему
(1)
cчітая, що права частина якої неперервна і має неперервні частинні похідні по . Загальне рішення у формі Коші позначене через ). Через позначимо інтервал існування рішення .
Нехай

Відбиває функцією системи (1) назвемо диференційовану функцію , Яка визначається формулою

Для відбиває функції справедливі властивості:
1.) Для будь-якого рішення системи (1) вірно тотожність

2.) Для відображає функції F будь-якої системи виконані тотожності


3) дифференцируемая функція буде відбиває функцією системи (1) тоді і тільки тоді, коли вона задовольняє системі рівнянь в приватних похідних

та початкової умові

Розглянемо систему (1 *) вважаючи, що її права частина безперервно диференціюється. Будемо говорити, що безліч систем вигляду (1 *) утворює клас еквівалентності, якщо існує диференційована функція з властивостями: 1) відбиває функція будь-якої системи з розглянутого безлічі збігається в області визначення з функцією ; 2) Будь-яка система виду (1 *), що відображає функція яка збігається в області з функцією , Міститься в даному множині.
Дві системи виду (1 *), що належать одному класу еквівалентності, будемо називати еквівалентними. Допускаючи певну вільність мови, будемо говорити також, що вони мають одну й ту ж відображає функцію. Функцію при цьому будемо називати відбиває функцією класу, а клас - відповідним відбиває функції .

Перший інтеграл диференціальної системи та умови його існування

Розглянемо систему = (1) з безперервною в області D функцією f. Дифференцируемая функція U (t, x), задана в деякій підобласті G області D, називається першим інтегралом системи (1) в області G, якщо для будь-якого рішення x (t), t , Системи (1), графік якого розташований в G функція U (t, x (t)), t , Постійна, тобто U (t, x (t)) залежить тільки від вибору рішення x (t) і не залежить від t.
Нехай V (t, x), V: G R, є деяка функція. Похідною від функції V на підставі системи (1) назвемо функцію V V R, яка визначається рівністю
.
Позначимо V (T, x (t)) t .
Лемма
Дифференцируемая функція U (t, x), U: G R, являє собою перший інтеграл системи (1) тоді і тільки тоді, коли похідна U в силу системи (1) тотожне в G звертається в нуль.
Необхідність. Нехай U (t, x) є перший інтеграл системи (1). Тоді для будь-якого рішення x (t) цієї системи на підставі визначення, будемо мати тотожності
U

Звідки при t = t одержимо рівність U (T справедливе при всіх значеннях t і x (t ). Необхідність доведена.
Достатність. Нехай тепер U при всіх (t, x) Тоді для будь-якого рішення x (t) системи (1) з визначення будемо мати тотожності

а з ним і достатність.
З визначення першого інтеграла випливає, що постійна на G функція також є першим інтегралом системи (1). За цим першим інтегралом на G будемо називати функцію , Для якої виконується нерівність
і
Функцію U (x) будемо називати стаціонарним першим інтегралом системи (1), якщо вона не залежить від t і є першим інтегралом системи (1).
Обурення диференціальних систем, що не змінюють тимчасових симетрій
Поряд з вихідною диференціальної системою

будемо розглядати безліч обурених систем


де безперервна скалярна непарна функція, а довільна безперервно диференціюється вектор-функція. З'ясуємо питання про еквівалентність в сенсі збігу відображають функцій диференціальних систем (1) і (2). При збігу відображають функцій двох систем збігаються їхні оператори зсуву на симетричному проміжку виду і, значить, для періодичних систем збігаються їх відображення за період .
Як відомо, відбиває функція системи (1) зобов'язана задовольняти співвідношенню

Якщо вектор-функція, а
вектор-стовпець, то вважаємо
,
Лемма 1.
Для будь-яких трьох вектор-функцій з яких функція двічі неперервно диференційовна, а функції і диференційовні, має місце тотожність


Лемма 2.
Нехай відбиває функція системи з безперервно диференційовною правою частиною. Тоді для кожної безперервно диференційовною вектор функції функція

задовольняє тотожність


Доказ. З огляду на співвідношення , Простими викладками встановимо тотожності

До перших двох доданком останньої частини цієї тотожності застосуємо тотожність . Тоді після нескладних формальних перетворень прийдемо до співвідношення



Додамо до лівої і правої частин цього співвідношення вираз прийдемо до потрібного нам тотожності
Лема доведена.
Теорема 1
Нехай вектор-функція є рішенням диференціального рівняння в приватних похідних

Тоді обурена диференціальна система
,
де - Довільна безперервна скалярна непарна функція, еквівалентна диференціальної системі .
Доказ. Нехай відбиває функція системи . Отже, ця функція задовольняє диференціальному рівнянню . Покажемо, що вона задовольняє і тотожність


Для цього введемо функцію за формулою . Згідно лемі 2, ця функція задовольняє тотожність . За умов доводити теореми з урахуванням співвідношення це тотожність переписується у вигляді

Крім того, оскільки для будь-якої відображає функції вірно тотожність , Має місце співвідношення
.
Таким чином, функція є рішенням задачі Коші

Вирішення цієї задачі існує і єдино. Отже, має місце тотожність що несе за собою тотожність .
Тепер покажемо, що відображає функція системи є також і відбиває функцією системи . Для цього потрібно перевірити виконання основного співвідношення , Яке в даному випадку має бути переписано у вигляді

Дійсно, послідовно перетворюючи ліву частину останнього співвідношення та враховуючи непарність функції приходимо до наступної ланцюжку тотожностей:


Обидва доданків, що стоять у квадратних дужках, тотожний рівні нулю. Перше - в силу того, що для відображає функції системи вірно тотожність , Друге - тому, що за умов теореми вірно тотожність . Отже, тотожність виконується і функція є відбиває функцією системи . Теорема доведена.
А тепер розглянемо приклад.
Приклад
Розглянемо систему

в якій безперервні і періодичні функції , такі, що і - Непарні функції.
Ця система еквівалентна стаціонарної системі

Тут і , ,
.
Так як стаціонарна система має асимптотично стійкий граничний цикл , Якому відповідають періодичні рішення, то зі сказаного випливає, що всі рішення , розглянутої системи, що починаються при на колі , Є періодичними, а кожне з інших рішень, окрім нульового, при прагне до одного з зазначених періодичних.
Загальне рішення системи
Розглянемо дві диференціальні системи
, (1)
, , , (2)
де - Безперервна скалярна непарна функція, -Довільна безперервно дифференцируемая функція.
Лемма 1
Для будь-якої непарної функції , Визначеної в околиці , Справедливо .
Доказ.
Так як - Безперервна непарна функція, то і
при
Лемма 2
Нехай є перший інтеграл системи . Тоді є перший інтеграл системи .
Доказ. Оскільки є перший інтеграл системи , То його похідна чинності системи дорівнює , Тобто .
Вважаючи тут , Отримуємо , Що й означає що перший інтеграл системи
.
Теорема 1.
Нехай - Відображає функція системи і задовольняє наступному співвідношенню (3)
Тоді система еквівалентна системі в сенсі збігу відображають функцій.
Доказ. Оскільки відбиває функція системи , То (4). Розглянемо вираз
(Так само тому що відбиває функція системи ) + (Так само по ) (4)
означає, що відбиває функція системи . Оскільки у систем і відображають функції збігаються, то системи і еквівалентні в сенсі збігу відображають функцій.
Введемо такі позначення
і - Сімейства функцій, які є рішеннями систем і , Відповідно і - Рішення систем і відповідно.
Лемма 4
Нехай перший інтеграл системи . Якщо виконано співвідношення (5), де деяка функція, то є перший інтеграл системи , Де .
Доказ. Так як , То задовольняє рівнянню , Так як , То . Помножимо обидві частини праворуч на , Отримаємо . Перенесемо все в ліву частину і до лівої частини додамо вираз . Так як - Перший інтеграл, одержимо . Тобто похідна функції в силу системи дорівнює , А це означає, що є перший інтеграл системи . Ч.т.д.
Лемма 5. Якщо задовольняє наступному рівнянню в приватних похідних:
(6), де - Права частина системи (1), перший інтеграл (2), то система (1) еквівалентна системі (2), у якої в сенсі збігу відбиває функції.
Доказ. Помножимо (6) на скалярну функцію , Отримаємо:
(7)
Так як - Перший інтеграл системи (1), то
(8)
Додамо (7) до (8) і перетворимо, отримаємо: . Таким чином, задовольняє теоремі 1 (якщо задовольняє , То (1) еквівалентно (2) і значить, якщо , То система (2) еквівалентна системі (1).
Теорема 2
Нехай перший інтеграл системи (1). Якщо , Задовольняє рівнянню (6), то система (1) еквівалентна системі (2). І якщо, крім того (9), де - Деяка функція ( -Може дорівнювати const), тоді перший інтеграл системи (2) виражається наступною формулою , Де і .
Доказ.
Доказ 1-ї частини теореми прямо з леми 3.
Потрібно довести другу частину теореми. Знайдемо похідну в силу системи (2)
і
позначимо її (*).
Вираз в [...] = 0, так як -Перший інтеграл системи (1), (*) Перетвориться в такий вираз
[Так як ] = (**)
Так як задовольняє рівнянню , То таким чином (**)= 0, що і означає, що перший інтеграл системи (2). Вимога випливає з леми 2.
Лемма
Нехай системи і еквівалентні в сенсі збігу відображають функцій. Нехай їх відбиває функція і нехай є перший інтеграл системи , Тоді U , , і .
Доказ. Візьмемо довільне рішення системи . Покажемо, що на ньому U звертається в постійну.
Дійсно, т. к. відбиває функція, то . За визначенням функції і т. к. перший інтеграл системи , То U .
Те, що U очевидно. Дійсно, візьмемо будь-яку функцію . Позначимо по властивості відбиває функції .
Позначимо , Так як тільки функцій з зіставляє функції з , То і за визначенням першого інтеграла U відмінна від і звертається до тільки уздовж рішень системи . А це і означає, що U - перший інтеграл системи .
(U задовольняє лемі 2).
Лемма дає розуміння першого інтеграла і взаємозв'язку перших інтегралів обуреної і не обуреної систем.

Висновок
У даній роботі розглянуті еквівалентні системи. Сформульовано теорема, яка говорить про еквівалентність систем. Сформульовані та доведені леми, які застосовуються для доказу теореми.
Сформульовано визначення диференціальних систем, еквівалентних систем в сенсі збігу відображають функцій, першого інтеграла, визначення відбиває функції та загальні властивості відбиває функції.

Список використаних джерел
1. Мироненко В.І. Лінійна залежність функцій вздовж рішень диференціальних рівнянь. - Мн., Вид-во БГУ ім. В.І. Леніна, 1981, 50 - 51 с.
2. Мироненко В.І. Відбиваюча функція і періодичні рішення диференціальних рівнянь. - Мн.: Вид-во «Університетська», 1986, 11,17 - 19 с.
3. Мироненко В.В. Обурення диференціальних систем, що не змінюють тимчасових симетрій. 2004