| Розподіл випадкової величини Емпіричні лінії регресії[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.
скачати
Контрольна робота № 1 Задача 1 Робочі обслуговують три верстати, на яких обробляється однотипні деталі. Ймовірність виготовлення бракованої деталі на першому верстаті дорівнює 0,2, на другому - 0,3, на третьому - 0,4. Оброблені деталі складаються в один ящик. Продуктивність першого верстата в три рази більше ніж другого, а третього - в два рази менше ніж другого. Узята на удачу деталь виявилася бракованою. Знайти ймовірність того, що вона виготовлена на третьому верстаті. Рішення: Подія А - взята деталь виявилася бракованою. Деталь може бути виготовлена на першому, другому чи третьому верстаті, позначимо через В 1, В 2 і В 3. Відповідно Р (В 1) =  , Р (В 2) =  , Р (В 3) =  . Умовна ймовірність того, що бракована деталь виготовлена перших верстатів Р В1 (А) = 0,02, аналогічно Р В2 (А) = 0,03 і Р В3 (А) = 0,04. За формулою повної ймовірності Р (А) =  За формулою Бейеса  Відповідь: Р А (У 3) = 0,1818 Задача 2 Кожна з п'яти упаковок зошитів містить два зошити в лінійку і три в клітку. З кожної упаковки випадковим чином відбираються за два зошити. Знайти ймовірність того, що не менш ніж у трьох з відібраних п'яти пар зошитів обидві зошити будуть в клітку. Рішення: Ймовірність взяти 2 зошити в клітку з пачки Р =  . Не менше трьох пар з п'яти відібраних повинні бути - 3 пари, 4 пари, 5 пар. Обчислимо Р 5 (3) + Р 5 (4) + Р 5 (5). P n (k) =  , де р = 0,3 і q = 0,7. Р 5 (3) = 0,1323 Р 5 (4) = 0,0284 Р 5 (5) = 0,0024 Шукана ймовірність дорівнює 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631 Відповідь: 0,1631 Задача 3 Ймовірність того, що договір страхової кампанії завершиться виплатою по страховому випадку, дорівнює 0,1. Страхова кампанія уклала 2000 договорів. Знайти ймовірність того, що страховий випадок наступить: а) 210 разів; б) від 190 до 250 разів включно. Рішення: а) Використовуємо локальну теорему Лапласа, де k = 210, р = 0,1 і q = 0,9. P n (k) =  , Де  =  Р 2000 (210) =  б) Використовуємо інтегральну теорему Лапласа, де n = 2000, k 2 = 250, k 1 = 190. P n (k 1; k 2) = F (x'') - F (x '), х''=  . х '=  . F (x'') = F (3,73) = 0,4999. F (x ') = F (-0, 75) = - 0,2764. P 2000 (190; 250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763 / Відповідь: а) Р 2000 (210) = 0,0224, б) Р 2000 (190, 250) = 0,7763 Задача 4 Законне розподіл незалежних випадкових величин Х і У мають вигляд: Х:
Y:
Знайти ймовірність P (X = 1), P (Y = 2). Скласти закон розподілу випадкової величини Z = X * Y. Перевірити виконання властивості математичного сподівання: M (Z) = M (X) * M (Y) Рішення: Р (Х = 1) = 1 - (0,3 + 0,2) = 0,5 Р (Y = 2) = 1 - 0,4 = 0,6 Складемо закон розподілу випадкової величини Z = X * Y
| x j | 0 | 1 | 2 | y i | p j p i | 0,3 | 0,5 | 0,2 | 1 | 0,4 | 0 |
0,12 1 0,2 | 2 0,08 | 2 | 0,6 | 0 0,18 | 20,3 | 4 0,12 | z i | 0 | 1 | 2 | 4 | p i | 0,3 | 0,2 | 0,38 | 0,12 | |
S p i = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1
M (Z) = 0 * 0,3 + 1 * 0,2 + 2 * 0,38 + 4 * 0,12 = 1,44
M (X) = 0 * 0,3 + 1 * 0,5 + 2 * 0,2 = 0,9
M (Y) = 1 * 0,4 + 2 * 0,6 = 1,6
M (Z) = M (X) * M (Y) = 0,9 * 1,6 = 1,44.
Відповідь:
Z i | 0 | 1 | 2 | 4 |
P i | 0,3 | 0,2 | 0,38 | 0,12 |
Задача 5
Функції розподілу неперервної випадкової величини Х має вигляд:
0 при х <-1,
F (x) = (х + 1) 2 при -1 £ х £ 0,
1 при х> 0.
Знайти математичне сподівання цієї випадкової величини і ймовірність того, що при кожному з трьох незалежних спостережень цієї випадкової величини буде виконана умова 
.
Рішення:
Знайдемо щільність розподілу
0 при х <-1,
f (x) = F '(x) = 2 (x + 1) при -1 £ х £ 0,
1 при х> 0.
М (х) = 
- Математичне очікування.
Р (х £ 
) = Р (-1 £ х < ) = F ( ) - F (-1) = 
Відповідь: М (х) = 
і Р (х < ) =
Контрольна робота № 4
Задача 1
При вибірковому опитуванні ста телеглядачів, які користуються послугами супутникового телебачення, отримані наступні результати розподілу їх за віком
Вік (років) | Менше 20 | 20 - 30 | 30 - 40 | 40 - 50 | 50 - 60 | 60 - 70 | Більше 70 | Разом |
Кількість користувачів (осіб) | 8 | 17 | 31 | 40 | 32 | 15 | 7 | 150 |
Знайти:
а) Ймовірність того, що середній вік телеглядачів відрізняється від середнього віку, отриманого за вибіркою, не більше ніж на два роки (за абсолютною величиною);
б) Межі, в яких з імовірністю 0,97 укладена частка телеглядачів, вік яких становить від 30 до 50 років;
в) Обсяг бесповторном вибірки, при якому ті ж межі для частки можна гарантувати з ймовірністю 0,9876; дати відповідь на те ж питання, якщо ніяких попередніх відомостей про частку немає.
Рішення:
Обчислимо середню арифметичну і дисперсію розподілу. Величина інтервалу k = 10 і з = 45, середині п'ятого інтервалу. Обчислимо нові варіанти в робочій таблиці:
i | [X i; x i +1] | x i | u i | n i | u i; n i | u 2 i; n i | u i +1 | (U i + 1) n i |
1 | 10 - 20 | 15 | -3 | 8 | -24 | 72 | -2 | 32 |
2 | 20 - 30 | 25 | -2 | 17 | -34 | 68 | -1 | 17 |
3 | 30 - 40 | 35 | -1 | 31 | -31 | 31 | 0 | 0 |
4 | 40 - 50 | 45 | 0 | 40 | 0 | 0 | 1 | 40 |
5 | 50 - 60 | 55 | 1 | 32 | 32 | 32 | 2 | 128 |
6 | 60 - 70 | 65 | 2 | 15 | 30 | 60 | 3 | 135 |
7 | 70 - 80 | 75 | 3 | 7 | 21 | 63 | 4 | 112 |
| S | 315 | 0 | 150 | -6 | 326 | 7 | 464 |
a) Знайдемо середню квадратическую помилку бесповторном вибірки
Шукана довірча ймовірність
б) Вибіркова частка глядачів від 30 до 50 років
Середня квадратична помилка бесповторном вибірки для частки
Зі співвідношення g = Ф (t) = 0,97; t = 2,17
Гранична помилка вибірки для частки D = 2,17 * 0,0376 = 0,08156
Бажаємий довірчий інтервал
0,4733 - 0,08156 £ р £ 0,4733 + 0,08156
0,3918 £ р £ 0,5549
в) Враховуючи g = Ф (t) = 0,3876; t = 2,5
осіб.
Якщо про частку p = w нічого не відомо, вважаємо (pq) max = 0,25
осіб.
Відповідь: а) 
; Б) 0,3918 £ р £ 0,5549; в) 190 осіб
Задача 2
За даними задачі 1, використовуючи критерій c 2 - Пірсона, при рівні значущості, а = 0,5 перевірити гіпотезу про те, що випадкова величина Х - кількість телеглядачів - розподілена за нормальним законом. Побудувати на одному кресленні гістограму емпіричного розподілу і відповідну нормальну криву.
Рішення:
Висувається гіпотеза Н 0: випадкова величина Х - кількість телеглядачів - розподілена нормально. з параметрами а = 44,6 і d 2 = 217,17.
Для розрахунку р i використовуємо функцію Лапласа
Подальші розрахунки покажемо в таблиці
i | [X i; x i +1] | n i | p i | np i | (N i - np i) |  |
1 | 10 - 20 | 8 | 0,0582 | 8,7225 | 0,522 | 0,0598 |
2 | 20 - 30 | 17 | 0,1183 | 17,738 | 0,5439 | 0,0307 |
3 | 30 - 40 | 31 | 0,2071 | 31,065 | 0,0042 | 0,0001 |
4 | 40 - 50 | 40 | 0,2472 | 37,073 | 8,5703 | 0,2312 |
5 | 50 - 60 | 32 | 0,2034 | 30,51 | 2,2201 | 0,0728 |
6 | 60 - 70 | 15 | 0,1099 | 16,478 | 2,183 | 0,1325 |
7 | 70 - 80 | 7 | 0,0517 | 7,755 | 0,57 | 0,0735 |
S |
| 150 | 0,9956 | 149,34 |
| 0,6006 |
Фактичне значення c 2 = 0,6006 співвідносимо критичне значення c 2 0,05; 4 = 9,49 k = m - r - 1 = 7 - 2 - 1 = 4.
Так як c 2 <c 2 0,05; 4, гіпотеза Н 0 узгоджується з досвідченими даними. Виконаємо побудову:
Відповідь: Гіпотеза про обраний теоретичному нормальному законі N (44,6; 217,17) узгоджується з досвідченими даними.
Задача 3
Розподіл 50 однотипних малих підприємств за основними фондами Х (млн., грн.) І собівартості випуску одиниці продукції. У (тис., грн.) Представлено в таблиці:
у х | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2,0 | 2,25 | Разом |
80 - 130 |
|
| 1 | 2 | 3 | 6 |
130 - 180 |
|
| 1 | 4 | 3 | 8 |
180 - 230 |
| 4 | 8 | 3 | 1 | 16 |
230 - 280 | 2 | 5 | 4 |
|
| 11 |
280 - 330 | 3 | 4 | 2 |
|
| 9 |
Разом: | 5 | 3 | 16 | 9 | 7 | 50 |
Необхідно:
1. Обчислити групові середні x j і y i і побудувати емпіричні лінії регресії.
2. Припускаючи, що між змінними Х і Y існує лінійна кореляційна залежність:
а) знайти рівняння прямих регресій і побудувати їх графіки на одному кресленні з емпіричними лініями регресії;
б) обчислити коефіцієнт кореляції на рівні значущості, а = 0,05, оцінити його значимість і зробити висновок про тісноту і напрямку зв'язку між змінними Х і Y;
в) використовуючи відповідні рівняння регресії, визначити кількість продукції, що випускається при вартості однієї одиниці продукції, що дорівнює 2,5 тис., руб.
Рішення:
1) Складемо кореляційну таблицю
х | у x i | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 | 2,25 | n i | у i |
80 - 130 | 105 |
|
| 1 | 2 | 3 | 6 | 2,0833 |
130 - 180 | 155 |
|
| 1 | 4 | 3 | 8 | 2,0625 | 180 - 230 | 205 |
| 4 | 8 | 3 | 1 | 16 | 1,7656 | 230 - 280 | 255 | 2 | 5 | 4 |
|
| 11 | 1,5456 | 280 - 330 | 305 | 3 | 4 | 2 |
|
| 9 | 1,4722 |
| n j | 5 | 13 | 16 | 9 | 7 | 50 |
|
| x j | 285 | 255 | 220,63 | 160,56 | 140,71 |
|
|
Побудуємо емпіричні лінії регресії 
2) Припустимо, що між змінними Х і Y існує лінійна кореляційна залежність; а) Обчислимо середнє значення       Знайдемо рівняння
у х = b yx (x - x) + y, де b yx =  у х = - 0,0036 (х - 214) + 1,75 у х = - 0,0036 х + 2,5105 х у - х = b yx (у - у), де b ху =  х у = - 157,14 (х - 1,75) + 214 х у = - 157,14 х + 489 б) Коефіцієнт кореляції  зв'язок зворотній і тісний; Статистика критерію  При а = 0,05 і k = 48; t 0,05; 48 = 2,01, так як t> t 0,05; 48 коефіцієнт значно відрізняється від 0. в) Використовуючи х у = - 157,14 у + 489 х = - 157,14 * 2,5 + 489 = 96,14 Відповідь: а) у х = - 0,0036 х + 2,5105; х у = - 157,14 х + 489. б) k = - 0,7473. в) х = 96,14 при у = 2,5
Додати в блог або на сайт
Цей текст може містити помилки.
Математика | Контрольна робота
70.2кб. | скачати
Схожі роботи:
Поняття багатовимірної випадкової величини
Моделювання дискретної випадкової величини по геометричному закону розподілу
Перевірка гіпотези про закон розподілу випадкової величини за критерієм Пірсона
Поняття множини Змінні та постійні величини Функція область визначення Лінії та поверхні рів
Емпіричні методи пізнання
Емпіричні дослідження моделі CAPM
Імовірність випадкової події
Дослідження статистичних характеристик випадкової послідовності
Нелінійні регресії
|