Московський авіаційний інститут
/ Державний університет /
Філія «Зліт».
Курсова робота
по Теорії ймовірності та математичної статистики
Виконав: студент групи
Р 2 / 1 Костенко В.В.
Перевірив: Єгорова Т.П.
г.Ахтубінск 2004
Зміст
Завдання № 1: Перевірка теореми Бернуллі на прикладі моделювання електричної схеми. Розподіл випадкової величини по геометричному закону розподілу
Завдання № 2: Змоделюємо випадкову величину, що має геометричний закон розподілу випадкової величини
Завдання № 3: Перевірка критерієм Колмогорова: чи має даний масив відповідний закон розподілу
Список використаної літератури
Завдання № 1. Перевірка теореми Бернуллі на прикладі моделювання електричної схеми
Визначення: При необмеженому збільшенні числа дослідів n частота події A сходиться за ймовірністю до його ймовірності p.
План перевірки: Скласти електричну схему з послідовно і паралельно з'єднаних 5 елементів, розрахувати надійність схеми, якщо надійність кожного елементу: 0.6 <pi <0.9. Розрахунок надійності схеми провести двома способами. Скласти програму в середовищі Turbo Pascal.
Схема:
Електричне коло, використовувана для перевірки теореми Бернуллі:
Розрахунок:
Щоб довести здійснимість теореми Бернуллі, необхідно щоб значення частоти появи події в серії дослідів в математичному моделюванні дорівнювало значенню ймовірності роботи ланцюга при теоретичному розрахунку цієї ймовірності.
Математичне моделювання в середовищі Turbo Pascal
Program KURSOVIK;
Uses CRT;
Const c = 5;
Var op, i, j, n, m: integer;
a, rab, pp, ppp, ppp1, ppp2: real;
p: array [1 .. c] of real;
x: array [1 .. c] of byte;
Begin
ClrScr;
Randomize;
p [1]: = 0.7; p [2]: = 0.8; p [3]: = 0.9; p [4]: = 0.7; p [5]: = 0.8;
Writeln ('Дослідів: Виходячи: Ймовірність:'); Writeln;
For op: = 1 to 20 do Begin
n: = op * 100; m: = 0;
Write ('n =', n: 4);
For i: = 1 to n do Begin
For j: = 1 to c do Begin
x [j]: = 0;
a: = random;
if a <p [j] then x [j]: = 1;
End;
rab: = x [i] + x [2] * (x [3] + x [4] + x [5]);
If rab> 0 then m: = m +1;
End;
pp: = m / n;
writeln ('M =', m: 4, 'P *=', pp: 3:3);
End;
ppp1: = p [1] + p [2] * (p [3] + p [4] + p [5]-p [3] * p [4]-p [3] * p [5]-p [4] * p [5] + p [3] * p [4] * p [5]);
ppp2: = p [1] * p [2] * (p [3] + p [4] + p [5]-p [3] * p [4]-p [3] * p [5]-p [4] * p [5] + p [3] * p [4] * p [5]);
ppp: = ppp1-ppp2;
Writeln; Writeln ('Вер. В досвіді: p = ', ppp: 6:3);
Readln;
End.
Результат роботи програми
Дослідів: Виходячи: Ймовірність:
n = 100 M = 94 P *= 0.940
n = 200 M = 163 P *= 0.815
n = 300 M = 247 P *= 0.823
n = 400 M = 337 P *= 0.843
n = 500 M = 411 P *= 0.822
n = 600 M = 518 P *= 0.863
n = 700 M = 591 P *= 0.844
n = 800 M = 695 P *= 0.869
n = 900 M = 801 P *= 0.890
n = 1000 M = 908 P *= 0.908
n = 1100 M = 990 Р *= 0.900
n = 1200 M = 1102 P *= 0.918
n = 1300 M = 1196 P *= 0.920
n = 1400 M = 1303 P *= 0.931
n = 1500 M = 1399 P *= 0.933
n = 1600 M = 1487 P *= 0.929
n = 1700 M = 1576 P *= 0.927
n = 1800 M = 1691 P *= 0.939
n = 1900 M = 1782 P *= 0.938
n = 2000 M = 1877 P *= 0.939
Ймовірність в досвіді: p = 0.939
Теоретичний розрахунок ймовірності роботи ланцюга:
I спосіб:
II спосіб:
Висновок: З математичного моделювання з допомогою Turbo Pascal видно, що частота появи події в серії дослідів сходиться за ймовірністю до розрахованої теоретично ймовірності даної події P (A) = 0.939.
Розподіл випадкової величини по геометричному закону розподілу
Моделювання випадкової величини, що має геометричний закон розподілу:
(X = xk) = p (1 - p) k
де x k = k = 0,1,2 ..., р - визначальний параметр, 0 <p <1. Цей закон є дискретним. Складемо теоретичний ряд розподілу, привласнюючи р = 0,4 і k = 0,1,2 ... і вважаючи Р (Х = x k) отримаємо теоретичний багатокутник розподілу, зображений на рис.1.
По ряду розподілу складемо теоретичну функцію розподілу F (x), зображену на мал.2. Змоделюємо дискретну випадкову величину, що має геометричний закон розподілу, методом Монте - Карло. Для цього треба:
Розбити інтервал (0; 1) осі ОК на k часткових інтервалів:
D 1 - (0; р 1), D 2 - (р 1; р 1 + р 2) ... D k - (p 1 + p 2 + ... + p k-1; 1)
Розкидати по цих інтервалах випадкові числа r j з масиву, змодельованого датчиком випадкових чисел в інтервалі (0; 1). Якщо r j потрапило в частковий інтервал D I, то розігрується випадкова величина прийняла можливе значення x i.
За даними розігрування складемо статистичний ряд розподілу Р * (Х) і побудуємо багатокутник розподілу, зображений на рис.1. Побудуємо статистичну функцію розподілу F * (X), зображену на мал.2. Тепер порахуємо теоретичні і статистичні характеристики дискретної випадкової величини, що має геометричний закон розподілу.
Рис.1.
Рис.2.
Завдання № 2. Змоделюємо випадкову величину, що має геометричний закон розподілу випадкової величини
Програма в Turbo Pascal:
Program kursovik;
Uses crt;
Const M = 300;
Var
K, I: integer;
P, SI, SII, SP, DTX, DSX, MX, MSX, GT, GS: real;
X: array [1 .. 300] of real;
PI, S, P1, MMX, MS, D, DS, PS, STA, STR: ARRAY [0 .. 10] OF REAL;
BEGIN;
CLRSCR;
randomize;
{ТЕОРЕТИЧНИЙ РЯД}
WRITELN ('ТЕОРЕТИЧНИЙ РЯД:');
P: = 0.4; SI: = 0;
FOR K: = 0 TO 10 DO BEGIN
IF K = 0 THEN PI [K]: = P ELSE
IF K = 1 THEN PI [K]: = P * (1-P) ELSE
IF K = 2 THEN PI [K]: = P * SQR (1-P) ELSE
IF K = 3 THEN PI [K]: = P * SQR (1-P) * (1-P) ELSE
IF K = 4 THEN PI [K]: = P * SQR (SQR (1-P)) ELSE
IF K = 5 THEN PI [K]: = P * SQR (SQR (1-P)) * (1-P) ELSE
IF K = 6 THEN PI [K]: = P * SQR (SQR (1-P)) * SQR (1-P) ELSE
IF K = 7 THEN PI [K]: = P * SQR (SQR (1-P)) * SQR (1-P) * (1-P) ELSE
IF K = 8 THEN PI [K]: = P * SQR (SQR (SQR (1-P))) ELSE
IF K = 9 THEN PI [K]: = P * SQR (SQR (SQR (1-P )))*( 1-P) ELSE
IF K = 10 THEN PI [K]: = P * SQR (SQR (SQR (1-P))) * SQR (1-P) ELSE
SI: = SI + PI [K];
WRITELN ('P [', K ,']=', PI [K]: 6:5);
END;
READLN;
WRITELN ('Інтервали:');
P1 [1]: = 0.4;
FOR K: = 1 TO 10 DO BEGIN
P1 [K +1]: = PI [K] + P1 [K];
WRITELN ('PI [', K ,']=', P1 [K]: 6:5);
END;
READLN;
{СТАТИСТИЧНИЙ РЯД}
WRITELN;
WRITELN ('СТАТИСТИЧНИЙ РЯД:');
FOR I: = 1 TO 9 DO BEGIN
X [I]: = RANDOM;
WRITE (X [I]: 5:2);
END;
READLN;
FOR I: = 10 TO 99 DO BEGIN
X [I]: = RANDOM;
WRITE (X [I]: 5:2);
END;
READLN;
FOR I: = 100 TO 200 DO BEGIN
X [I]: = RANDOM;
WRITE (X [I]: 5:2);
END;
READLN;
FOR I: = 201 TO 300 DO BEGIN
X [I]: = RANDOM;
WRITE (X [I]: 5:2);
END;
READLN;
PS [K]: = 0;
FOR I: = 1 TO M DO BEGIN
FOR K: = 0 TO 10 DO BEGIN
IF ((X [I] <P1[K]) AND (X[I]> = P1 [K-1])) THEN BEGIN
PS [K]: = PS [K] +1;
END;
END;
END;
FOR K: = 0 TO 10 DO BEGIN
STA [K]: = PS [K +1] / M;
WRITELN ('P * [', K ,']=', STA [K]: 6:5);
END;
WRITELN;
WRITELN ('СТАТИСТИЧНІ Інтервали:');
STR [1]: = STA [0];
FOR K: = 1 TO 10 DO BEGIN
STR [K +1]: = STR [K] + STA [K];
WRITELN ('PS [', K ,']=', STR [K]: 6:5);
END;
READLN;
{ТЕОРЕТИЧНЕ І СТАТИСТИЧНЕ матожиданием Mx}
MX: = 0;
FOR K: = 0 TO 10 DO BEGIN
MMX [K]: = K * PI [K];
MX: = MX + MMX [K];
END;
WRITELN ('ТЕОРЕТИЧНЕ матожиданием MX:', MX: 6:5);
MSX: = 0;
FOR K: = 0 TO 10 DO BEGIN
MS [K]: = K * STA [K];
MSX: = MSX + MS [K];
END;
WRITELN ('СТАТИСТИЧНЕ матожиданием Mx *:', MSX: 6:5);
WRITELN;
{ТЕОРЕТИЧНА І статистичну дисперсію Dx}
DTX: = 0; DSX: = 0;
FOR K: = 0 TO 10 DO BEGIN
D [K]: = SQR (K-MX) * PI [K];
DTX: = DTX + D [K];
DS [K]: = SQR (K-MSX) * STA [K];
DSX: = DSX + DS [K];
END;
WRITELN ('ТЕОРЕТИЧНА дисперсії Dx:', DTX: 6:5);
WRITELN ('статистичну дисперсію Dx *:', DSX: 6:5);
WRITELN;
{ТЕОРІЇ І СТАТ Середнє квадратичне відхилення G}
GT: = SQRT (DTX);
GS: = SQRT (DSX);
WRITELN ('теорії середніх відхилення G:', GT: 6:5);
WRITELN ('СТАТ Середнє квадратичне відхилення G *:', GS: 6:5);
WRITELN;
READLN;
END.
Результати:
ТЕОРЕТИЧНИЙ РЯД:
P [0] = 0.40000
P [1] = 0.24000
P [2] = 0.14400
P [3] = 0.08640
P [4] = 0.05184
P [5] = 0.03110
P [6] = 0.01866
P [7] = 0.01120
P [8] = 0.00672
P [9] = 0.00403
P [10] = 0.00242
Інтервали:
PI [1] = 0.40000
PI [2] = 0.64000
PI [3] = 0.78400
PI [4] = 0.87040
PI [5] = 0.92224
PI [6] = 0.95334
PI [7] = 0.97201
PI [8] = 0.98320
PI [9] = 0.98992
PI [10] = 0.99395
Статистичний ряд:
0.57 0.86 0.58 0.11 0.81 0.26 0.17 0.14 0.51 0.53 0.80 0.57 0.17 0.14 0.30 0.58 0.80 0.55 0.86 0.81 0.80 0.18 0.39 0.02 0.74 0.67 0.57 0.32 0.30 0.92 0.64 0.95 0.96 0.25 0.10 0.87 0.44 0.76 0.87 0.43 0.84 0.58 0.62 0.87 0.90 0.70 0.20 0.62 0.08 0.54 0.53 0.47 0.08 0.40 0.30 0.09 0.26 0.54 0.29 0.60 0.95 0.52 0.27 0.99 0.54 0.84 0.75 0.74 0.03 0.42 0.98 0.92 0.32 0.07 0.06 0.49 0.36 0.15 0.03 0.75 0.05 0.17 0.20 0.03 0.54 0.76 0.28 0.16 0.09 0.58 0.96 0.29 0.92 0.88 0.92 0.03 0.57 0.78 0.61 0.05 0.71 0.67 0.10 0.62 0.39 0.10 0.01 0.72 0.27 0.09 0.14 0.60 0.24 0.88 0.40 0.07 0.43 0.39 0.28 0.84 0.68 0.93 0.66 0.65 0.81 0.02 0.02 0.05 0.32 0.29 0.17 0.10 0.34 0.81 0.02 0.26 0.02 0.34 0.23 0.28 0.66 0.43 0.52 0.00 0.16 0.17 0.07 0.11 0.75 0.21 0.37 0.45 1.00 0.29 0.35 0.37 0.54 0.28 0.63 0.25 0.08 0.67 0.30 0.17 0.58 0.93 0.64 0.25 0.68 0.06 0.39 0.35 0.79 0.43 0.80 0.99 0.36 0.64 0.52 0.65 0.29 0.02 0.81 0.01 0.53 0.98 0.89 0.61 0.25 0.32 0.44 0.99 0.14 0.30 0.28 0.44 0.83 0.97 0.01 0.72 0.36 0.09 0.03 0.57 0.21 0.66 0.26 0.80 0.39 0.95 0.48 0.10 0.59 0.39 0.94 0.25
0.28 0.86 0.03 0.98 0.36 0.13 0.80 0.88 0.82 0.64 0.76 0.08 0.28 0.70 0.31 0.49 0.58 0.84 0.60 0.03 0.72 0.04 0.81 0.86 0.84 0.85 0.03 0.87 0.96 0.77 0.28 0.59 0.75 0.38 0.40 0.55 0.57 0.04 0.70 0.70 0.46 0.21 0.79 0.21 0.88 0.70 0.89 0.10 0.35 0.30 0.44 0.25 0.40 0.80 1.00 0.84 0.29 0.16 0.68 0.28 0.48 0.41 0.49 0.17 0.98 0.58 0.53 0.83 0.84 0.70 0.76 0.44 0.40 0.64 0.81 0.89 0.32 0.39 0.21 0.77 0.22 0.05 0.76 0.24
P * [0] = 0.44333
P * [1] = 0.21000
P * [2] = 0.12667
P * [3] = 0.11000
P * [4] = 0.04000
P * [5] = 0.02333
P * [6] = 0.01667
P * [7] = 0.01000
P * [8] = 0.01000
P * [9] = 0.00333
P * [10] = 0.00148
Статистичні інтервали:
PS [1] = 0.44333
PS [2] = 0.65333
PS [3] = 0.78000
PS [4] = 0.89000
PS [5] = 0.93000
PS [6] = 0.95333
PS [7] = 0.97000
PS [8] = 0.98000
PS [9] = 0.99000
PS [10] = 0.99333
Числові характеристики:
MX: 1.45465
Mx *: 1.36478
Dx: 3.29584
Dx *: 3.20549
G: 1.81544
G *: 1.79039
Завдання № 3. Перевірка критерієм Колмогорова: чи має даний масив відповідний закон розподілу
Скористаємося критерієм Колмогорова. В якості міри розбіжності між теоретичним і статистичним розподілами розглядається максимальне значення модуля різниці між статистичної функцією розподілу F * (x) і відповідної теоретичної функцією розподілу F (x).
D = max | F * (x) - F (x) |
D = 0.04
Далі визначаємо величину l за формулою:
l = D \ | n,
де n - число незалежних спостережень.
l = D \ | n = 0,04 * \ / 300 = 0,693
і по таблиці значень ймовірності P (l) знаходимо ймовірність P (l).
P (l) = 0,711.
Це є ймовірність того, що (якщо величина х дійсно розподілена за законом F (x)) за рахунок чисто випадкових причин максимальне розбіжність між F * (x) і F (x) буде не менше, ніж спостерігається.
Немає підстав відкидати гіпотезу про те, що наш закон розподілу є геометричним законом розподілу.
Скористаємося критерієм Колмогорова. В якості міри розбіжності між теоретичним і статистичним розподілами розглядається максимальне значення модуля різниці між статистичної функцією розподілу F * (x) і відповідної теоретичної функцією розподілу F (x).
D = max | F * (x) - F (x) |
D = 0.04
Далі визначаємо величину l за формулою:
l = D \ | n,
де n - число незалежних спостережень.
l = D \ | n = 0,04 * \ / 300 = 0,693
і по таблиці значень ймовірності P (l) знаходимо ймовірність P (l).
P (l) = 0,711.
Це є ймовірність того, що (якщо величина х дійсно розподілена за законом F (x)) за рахунок чисто випадкових причин максимальне розбіжність між F * (x) і F (x) буде не менше, ніж спостерігається.
Немає підстав відкидати гіпотезу про те, що наш закон розподілу є геометричним законом розподілу.
Список використаної літератури
«Теорія ймовірностей» В. С. Вентцель.
«Теорія ймовірностей (Завдання і Вправи)» В.С. Вентцель, Л. А. Овчаров.
«Довідник з імовірнісним розрахунками».
«Теорія ймовірностей і математична статистика» В. Є. Гмурман.
«Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей і математичної статистики» В. Є. Гмурман.