Імовірність випадкової події
Подія називається випадковим, якщо в результаті випробування (досвіду) воно може відбутися, а може і не відбутися.
Приклади.
1. Випробування - кидання монети, випадкова подія - випадання герба.
2. Випробування - участь у грі "Російське лото", випадкова подія - виграш.
3. Випробування - стрибок з парашутом, випадкова подія - вдале приземлення.
4. Випробування - народження дитини, випадкова подія - стать дитини - чоловічий.
5. Випробування - спостереження за погодою протягом дня, випадкова подія - протягом дня був дощ.
Як бачимо наступ випадкового події в результаті випробування, взагалі кажучи, не можна передбачити заздалегідь у принципі. Цей факт - непередбачуваність наступу - можна в деяких випадках вважати головною відмітною властивістю випадкової події. Тим не менш, є можливість деякі випадкові події піддати аналізу методами математики.
Нехай деяке випробування вироблено
Стійкість відносної частоти була виявлена і багаторазово підтверджена експериментально натуралістами в 17-19 століттях. Найбільш вражаючим є результат К. Пірсона, який кидав монету 12000 разів, потім здійснив ще одну серію кидання - 24000 разів. У цих серіях він підраховував кількість випадань герба і отримав значення відносної частоти для нього 0,5016 і 0,5005, що відрізняються один від одного на 0,0011.
Для випадкових подій володіють властивістю стійкості, відносну частоту настання події природно вважати мірою можливості настання випадкової події.
Приклад. Баскетболіст А з деякого положення потрапив у кільце 4 рази при 11 кидках. Баскетболіст В з цього ж положення - 6 разів при 18 кидках. Якому з гравців довірити виконання штрафного удару з цього положення?
Рішення. Знайдемо відносні частоти потрапляння в кільце цими гравцями:
При використанні відносної частоти в якості запобіжного можливості настання випадкової події виникають дві труднощі. Перша - у різних серіях випробувань виходять різні значення частоти, незрозуміло яке з отриманих значень "більш істинно". Друга - відносну частоту можна знайти тільки після випробувань, причому бажана досить довга серія, так як властивість стійкості проявляється тим виразніше, чим довша серія. Все це разом узяте змушує шукати способи однозначного визначення міри можливості настання випадкової події, причому до випробування, до досвіду.
Спочатку визначимо ймовірність регулярного випадкового події як число, біля якого коливається відносна частота в довгих серіях випробувань. Потім введемо поняття рівноможливими, равновероятности двох подій. Сенс цього поняття ясний інтуїтивно, мета введення - ми хочемо визначити математично поняття ймовірності зводячи його до більш простому не визначає поняття равновероятности. Наявність равновероятности деяких подій є наслідками деякого випробування встановлюється з "загальних міркувань", не доводиться математично і не може бути доведено, не потребує доказів як первинне. Наприклад, при киданні гральної кістки випадання 1, 2, ..., 6 очок вважають подіями рівноімовірними (або "майже" рівноімовірними) виходячи з передбачуваної фізичну однорідність матеріалу кістки і геометричної правильності, тобто вважаючи кістка ідеальним кубом. Якщо в результаті випробування можливе настання
Якщо, подія А ініціюється одним з
Приклад. Позначимо
Тут доречно навести коментар характерний для фізики: відносні частоти регулярних випадкових подій, отримані в довгих серія випробувань, добре узгоджуються зі значеннями знайденими за формулою класичної ймовірності.
Приклади розв'язання задач.
А) Студент, готуючись до іспиту, встиг підготувати 18 квитків з 25. Яка ймовірність вийняти на іспиті "хороший" квиток?
Рішення.
Б) Яка ймовірність, що при киданні двох гральних кубиків сума випали очок менше п'яти?
Рішення. Всього два кубики можуть випасти 36 способами: (1; 1), (1, 2), ... (1, 6), (2; 1), (2, 2), ..., (2, 6), (3; 1), ..., (6, 6). Всі ці результати вважаємо рівноможливими, не наступаючими одночасно, значить
В) Ліфт у п'ятиповерховому будинку відправляється з трьома пасажирами з першого поверху. Знайти ймовірність того, що на кожному поверсі вийде не більше одного пасажира.
Рішення. При вирішенні припускаємо, що всілякі способи розподілу пасажирів по поверхах рівноймовірні. Очевидно, кожен пасажир має чотири можливості для виходу з ліфта (на 2, 3, 4, 5 поверхах). Тоді для двох пасажирів є
Зародження теорії ймовірностей і формування перших понять цієї гілки математики відбулося в середині 17 століття, коли Паскаль, Ферма, Бернуллі спробували здійснити аналіз завдань пов'язаних з азартними іграми новими методами. Скоро стало ясно, що виникає теорія знайде широке коло застосування для вирішення багатьох завдань що виникають у різних сферах діяльності людини.
Література:
1. В.Є. Гмурман Теорія ймовірностей і математична статистика. М., ВШ, 1977.
2. Л.В. Тарасов Світ, побудований на ймовірності. М., Пр., 1984.
Подія називається випадковим, якщо в результаті випробування (досвіду) воно може відбутися, а може і не відбутися.
Приклади.
1. Випробування - кидання монети, випадкова подія - випадання герба.
2. Випробування - участь у грі "Російське лото", випадкова подія - виграш.
3. Випробування - стрибок з парашутом, випадкова подія - вдале приземлення.
4. Випробування - народження дитини, випадкова подія - стать дитини - чоловічий.
5. Випробування - спостереження за погодою протягом дня, випадкова подія - протягом дня був дощ.
Як бачимо наступ випадкового події в результаті випробування, взагалі кажучи, не можна передбачити заздалегідь у принципі. Цей факт - непередбачуваність наступу - можна в деяких випадках вважати головною відмітною властивістю випадкової події. Тим не менш, є можливість деякі випадкові події піддати аналізу методами математики.
Нехай деяке випробування вироблено
Стійкість відносної частоти була виявлена і багаторазово підтверджена експериментально натуралістами в 17-19 століттях. Найбільш вражаючим є результат К. Пірсона, який кидав монету 12000 разів, потім здійснив ще одну серію кидання - 24000 разів. У цих серіях він підраховував кількість випадань герба і отримав значення відносної частоти для нього 0,5016 і 0,5005, що відрізняються один від одного на 0,0011.
Для випадкових подій володіють властивістю стійкості, відносну частоту настання події природно вважати мірою можливості настання випадкової події.
Приклад. Баскетболіст А з деякого положення потрапив у кільце 4 рази при 11 кидках. Баскетболіст В з цього ж положення - 6 разів при 18 кидках. Якому з гравців довірити виконання штрафного удару з цього положення?
Рішення. Знайдемо відносні частоти потрапляння в кільце цими гравцями:
При використанні відносної частоти в якості запобіжного можливості настання випадкової події виникають дві труднощі. Перша - у різних серіях випробувань виходять різні значення частоти, незрозуміло яке з отриманих значень "більш істинно". Друга - відносну частоту можна знайти тільки після випробувань, причому бажана досить довга серія, так як властивість стійкості проявляється тим виразніше, чим довша серія. Все це разом узяте змушує шукати способи однозначного визначення міри можливості настання випадкової події, причому до випробування, до досвіду.
Спочатку визначимо ймовірність регулярного випадкового події як число, біля якого коливається відносна частота в довгих серіях випробувань. Потім введемо поняття рівноможливими, равновероятности двох подій. Сенс цього поняття ясний інтуїтивно, мета введення - ми хочемо визначити математично поняття ймовірності зводячи його до більш простому не визначає поняття равновероятности. Наявність равновероятности деяких подій є наслідками деякого випробування встановлюється з "загальних міркувань", не доводиться математично і не може бути доведено, не потребує доказів як первинне. Наприклад, при киданні гральної кістки випадання 1, 2, ..., 6 очок вважають подіями рівноімовірними (або "майже" рівноімовірними) виходячи з передбачуваної фізичну однорідність матеріалу кістки і геометричної правильності, тобто вважаючи кістка ідеальним кубом. Якщо в результаті випробування можливе настання
Якщо, подія А ініціюється одним з
Приклад. Позначимо
Тут доречно навести коментар характерний для фізики: відносні частоти регулярних випадкових подій, отримані в довгих серія випробувань, добре узгоджуються зі значеннями знайденими за формулою класичної ймовірності.
Приклади розв'язання задач.
А) Студент, готуючись до іспиту, встиг підготувати 18 квитків з 25. Яка ймовірність вийняти на іспиті "хороший" квиток?
Рішення.
Б) Яка ймовірність, що при киданні двох гральних кубиків сума випали очок менше п'яти?
Рішення. Всього два кубики можуть випасти 36 способами: (1; 1), (1, 2), ... (1, 6), (2; 1), (2, 2), ..., (2, 6), (3; 1), ..., (6, 6). Всі ці результати вважаємо рівноможливими, не наступаючими одночасно, значить
В) Ліфт у п'ятиповерховому будинку відправляється з трьома пасажирами з першого поверху. Знайти ймовірність того, що на кожному поверсі вийде не більше одного пасажира.
Рішення. При вирішенні припускаємо, що всілякі способи розподілу пасажирів по поверхах рівноймовірні. Очевидно, кожен пасажир має чотири можливості для виходу з ліфта (на 2, 3, 4, 5 поверхах). Тоді для двох пасажирів є
Зародження теорії ймовірностей і формування перших понять цієї гілки математики відбулося в середині 17 століття, коли Паскаль, Ферма, Бернуллі спробували здійснити аналіз завдань пов'язаних з азартними іграми новими методами. Скоро стало ясно, що виникає теорія знайде широке коло застосування для вирішення багатьох завдань що виникають у різних сферах діяльності людини.
Література:
1. В.Є. Гмурман Теорія ймовірностей і математична статистика. М., ВШ, 1977.
2. Л.В. Тарасов Світ, побудований на ймовірності. М., Пр., 1984.