Поняття багатовимірної випадкової величини
Основні питання лекції: м атематичні сподівання випадкової величини, властивості математичного сподівання, дисперсія випадкової величини, дисперсія суми випадкових величин, ф УНКЦІЇ від випадкових величин, м атематичні очікування функцій від випадкових величин, коефіцієнт кореляції, моменти, кореляційний момент, види збіжності послідовності випадкових величин , нерівності Чебишева, графік функції розподілу для випадкової величини, р азлічние форми закону великих чисел, теорема Чебишева, теорема Бернуллі, теорема Маркова, ц ентральная гранична теорема теорії ймовірностей, застосування ц ентральн ой гранично ой теорем и, обгрунтування ролі нормального закону розподілу, висновок наближеною формули Лапласа.
Гіпергеометричний розподіл
Вище ми розглянули способи обчислення ймовірностей появи події рівно т раз в n незалежних повторних випробуваннях (за формулами Бернуллі і Пуассона). Тепер познайомимося з обчисленням ймовірності появи події рівно т раз в n залежних повторних випробуваннях. Випадкова величина, що визначає число успіхів в n повторних залежних випробуваннях, підпорядковується гіпергеометричний закону розподілу.
Приклад. В урні N куль, серед яких До білих і (N-K) чорних. Без повернення витягнуті n куль. Визначимо ймовірність того, що у вибірці з n куль виявиться т білих (і відповідно n-m чорних) куль. Зобразимо ситуацію на схемі:
Випадкова величина, яка цікавить нас, X = т - число білих куль в вибіркою обсягом в n куль. Число всіх можливих випадків відбору n куль з N дорівнює числу сполучень з N по n (C N n), а число випадків відбору т білих куль з наявних До білих куль (і значить, n-m чорних куль з N-K наявних чорних) дорівнює добутку C K m C N-K n-m (відбір кожного з т білих куль може поєднуватися з відбором кожного з n-т чорних). Подія, імовірність якого ми хочемо визначити, полягає в тому, що у вибірці з n куль виявиться рівно т білих куль. За формулою для ймовірності події в класичній моделі ймовірність отримання у вибірці т білих куль (тобто ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення т) дорівнює
, (1)
де C N n - про щ її число всіх єдино можливих, равновозможних і несумісних результатів, C K m C N-K n-m - число результатів, що сприяють цікавого для нас події.
Отже, ймовірність появи цікавить нас рівно т раз в n залежних випробуваннях обчислюється за формулою (1), яка задає значення гіпергеометричного закону розподілу для т = 0, 1, 2, ..., n (табл. 1).
Таблиця 1. Гіпергеометричний закон розподілу
т | 0 | 1 | 2 | ... | n |
Р (X = m) | C K 0 C N-k n / C N n | C K 1 C N-K n -1 / C N n | C K 2 C N-K n -2 / C N n | ... | C K m C N-K 0 / C N n |
M (т) = n q, (2)
D (m) = n q (1 - q) [1 - (n-1) / (N-1)], (3)
де q - частка одиниць з цікавлять нас ознакою в сукупності N, тобто q = K / N, а 1 - (n-1) / (N-1) називається поправкою для бесповторном вибірки.
Твірна функція
Вище були розглянуті способи визначення вірогідності Р n, m для випадків, коли ймовірність події А у всіх n незалежних випробуваннях одна й та ж. На практиці доводиться зустрічатися і з такими випадками, коли ймовірність настання події А від випробування до випробування змінюється.
Мультіноміальное розподіл
Нагадаємо, що в біноміальної експерименті ми класифікуємо результати як успіхи і неуспіхи. Якщо узагальнити ситуацію, то результати можна класифікувати більш ніж за двома категоріями. Припустимо, є k категорій результатів: «покупка товару А», «покупка товару В», «покупка товару К». Позначимо Х 1 - число проданих одиниць товару A, Х 2 - число проданих одиниць товару В, ...., Х k - число проданих одиниць товару К. Імовірнісне розподіл Х 1, Х 2, ..., Х k в вибіркою обсягом n є мультіноміальное розподіл з параметрами n і ймовірностями р 1, р 2, ..., р k, де р i - імовірність появи категорії i (р i = 1 - q i), і вони залишаються незмінними від випробування до випробування і випробування незалежні.
Формула мультіномінального розподілу має такий вигляд:
P (Х 1, Х 2., Х k) = n! / (Х 1! Х 2! ... ∙ Х k!) ∙ р 1 x 1 ∙ р 2 x 2 · ... ∙ р k xk. (4)
Геометричний розподіл
Розглянемо біноміальний експеримент зі звичайними умовами. Нехай замість обчислення числа успіхів в незалежних випробуваннях випадкова величина визначає число випробувань до першого успіху. Така випадкова величина розподілена за законом геометричного розподілу. Вірогідність геометричного розподілу обчислюються за формулою
P (m) = pq m -1, (5)
де т = 1, 2, 3, ...; p і q - Біноміальні параметри. Математичне сподівання геометричного розподілу
M (m) = 1 / p, (6)
а дисперсія σ 2 = D (m) = q / p 2. (7)
Наприклад, число деталей, які ми повинні відібрати дотого, як знайдений перший дефектну деталь, є випадкова величина, розподілена по геометричному закону. У чому тут сенс математичного очікування? Якщо частка дефектних деталей дорівнює 0, 1, то цілком логічно, що в середньому ми будемо мати вибірки, що складаються з 10 деталей до тих пір, поки не зустрінемо дефектну деталь.
Безперервні випадкові величини
Неперервної випадкової величиною називають випадкову величину, яка може приймати будь-які значення на числовому інтервалі.
Приклади неперервних випадкових величин: вік студентів, довжина ступні ноги людини, маса деталі і т.д. Це положення відноситься до всіх випадковим величинам, що вимірюється на безперервній шкалі, таким як міри ваги, довжини, часу, температури, відстані. Вимірювання може бути проведене з точністю до якого-небудь десяткового знака, але випадкова величина - теоретично безперервна величина. В економічному аналізі знаходять широке застосування відносні величини, різні індекси економічного стану, які також обчислюються з певною точністю, скажімо, до двох знаків після коми, хоча теоретично їх значення - безперервні випадкові величини.
У безперервної випадкової величини можливі значення заповнюють деякий інтервал (або сегмент) з кінцевими або нескінченними межами.
Закон розподілу випадкової величини можна задати у вигляді інтегральної функції розподілу, що є найбільш загальною формою задання закону розподілу випадкової величини, а також у вигляді диференціальної функції (плотностіраспределенія ймовірностей), яка використовується для опису розподілу ймовірностей тільки безперервної випадкової величини.
Функція розподілу (або інтегральна функція) F (x) - універсальна форма завдання закону розподілу випадкової величини. Для неперервної випадкової величини функція розподілу також визначає ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, менше фіксованого дійсного числа х, тобто
F (x) = F (X <x). (8)
При зміні х змінюються ймовірності Р (Х <x) = F (x). Тому F (x) і розглядають як функцію змінної величини. Прийнято вважати, що випадкова величина X відома, якщо відома її функція розподілу F (x).
Тепер можна дати більш точне визначення безперервної випадкової величини: випадкову величину називають безперервною, якщо її функція розподілу є безперервна, кусочно-дифференцируемая функція з неперервною похідною.
Функція розподілу є невід'ємна функція, укладена між 0 і 1, тобто 0 ≤ F (x) ≤ 1.
Функція розподілу є неубутною функція, тобто F (x 2) ≥ F (x 1), якщо х 2> х 1. Тоді P (x 1 ≤ Х <х 2) = P (Х <х 2) - P (Х <х 1) = F (x 2) -
- F (x 1).
Так як будь-яка ймовірність є число невід'ємне, то P (x 1 ≤ Х <х 2) ³ 0, а отже, F (x 2) - F (x 1) ≥ 0и F (x 2) ≥ F (x 1).
Слідство 1. Ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, укладену в інтервалі (α, β), дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі, тобто
P (α ≤ Х <β) = F (β) - F (α). (9)
Наслідок 2. Ймовірність того, що неперервна випадкова величина X прийме одне певне значення, дорівнює нулю.
Р (Х = х 1) = 0. (10)
Відповідно до сказаного, рівність нулю ймовірності Р (Х = х 1) не завжди означає, що подія Х = х 1 неможливо. Говорячи про ймовірність події Х = х 1, апріорно намагаються вгадати, яке значення прийме випадкова величина в досвіді.
Якщо х 1 лежить в області можливих значень випадкової величини X, то з деякою впевненістю можна передбачити область, в яку випадкова величина може потрапити. У той же час неможливо хоча б з найменшої ступенем впевненості вгадати, яке конкретне значення з нескінченного числа можливих візьме безперервна випадкова величина.
З перерахованих вище властивостей F (х) може бути представлений графік функції розподілу (рис. 1).
Рис. 1. Графік функції розподілу випадкової величини
Графік функції розподілу змішаної випадкової величини - кусочно-безперервна функція (рис. 2).
Рис. 2. Графік кусочно-неперервної функції розподілу
Щільністю розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини X називається функція W (x), рівна першої похідної від функції розподілу F (x),
W (x) = F '(x), (1)
де W (x) - диференціальна функція розподілу. Диференціальна функція застосовується тільки для опису розподілу ймовірностей безперервних випадкових величин.
Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу (α, β), дорівнює певному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від α до β,
P (Α <X <β) = . (2)
Використовуючи співвідношення (2) і (1), отримаємо P (α ≤ X <β) = P (α <<X <<β) = .
Геометрично цей результат дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої віссю ОХ, кривою розподілу W (x) і прямими х = α, х = β.
Знаючи щільність розподілу W (x), можна знайти функцію розподілу F (x) за формулою
F (x) = . (3)
Справді, так як нерівність X <х можна записати у вигляді подвійного нерівності - ∞ <X <х, то F (x) = P (- ∞ <X <х) = (Рис. 3).
Рис. 3. Зв'язок функції розподілу з щільністю розподілу ймовірностей
Таким чином, для повної характеристики випадкової величини досить задати функцію розподілу або щільність її ймовірності.
1. Диференціальна функція - невід'ємна функція:
W (x) ≥ 0. (4)
Це випливає з того, що F (x) - неубутною функція, а значить, її похідна неотрицательна.
2. Невласний інтеграл від диференціальної функції в межах від - ∞ до + ∞ дорівнює 1
. (5)
Очевидно, що цей інтеграл виражає ймовірність достовірної події - ∞ <Х + ∞.
Математичним очікуванням випадкової величини називається невласний інтеграл виду
М (Х) = . (6)
Дисперсією випадкової величини називається невласний інтеграл виду
D (x) = σ 2 = . (7)
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь з дисперсії
σ = . (8)
Для числових характеристик безперервних випадкових величин справедливі ті ж властивості, що й для дискретних. Зокрема, для дисперсії неперервної випадкової величини справедлива формула
D (X) = . (9)
Початковим моментом k-го порядку (m k) випадкової величини X називається математичне сподівання її k-го ступеня:
для дискретної випадкової величини m k = ;
для неперервної випадкової величини m k = . (10)
Центральним моментом k-го порядку (μ к) випадкової величини X називають математичне сподівання k-го ступеня відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання:
для дискретної випадкової величини μ k = ;
для неперервної випадкової величини
μ k = . (10)
Зауважимо, що початковий момент першого порядку m 1 являє собою математичне сподівання випадкової величини, а центральний момент другого порядку μ 2 - дисперсію випадкової величини.
Центральний момент третього порядку застосовується для характеристики скошеності або асиметрії розподілу (коеффіціентасімметріі):
β 1 = μ 3 / σ 3. (12)
Для симетричних розподілів β 1 = 0. Центральний момент 4-го порядку застосовується для характеристики крутості (ексцесу) розподілу (неприведення коефіцієнт ексцесу):
β 2 = μ 4 / σ 4. (13)
Часто в практичних ситуаціях використовують квадрат коефіцієнта асиметрії і приведений коефіцієнт ексцесу.
γ 1 = β 1 2 = μ 2 3 / σ 6; γ 2 = β 2 -3 = μ 4 / σ 4 -3.
Величина х р, обумовлена рівністю F (x p) = Р (Х <х р), називається квантиль рівня p. Квантиль х 0,5 називається медіаною. Значення х, при якому W (x) приймає максимальне значення, називається модою.
Нормальний розподіл
Найбільш важливим розподілом безперервних випадкових величин є нормальний розподіл. Безліч явищ в практичному житті можна описати за допомогою моделі нормального розподілу, наприклад розподіл висоти дерев, площ садових ділянок, маси людей, денної температури і т.д. Нормальне розподіл використовується і для вирішення багатьох проблем в економічному житті. Наприклад, розподіл числа денних продажів в магазині, числа відвідувачів універмагу на тиждень, числа працівників в деякій галузі, обсягів випуску продукції на підприємстві і т.д.
Нормальне розподіл знаходить широке застосування і для апроксимації розподілу дискретних випадкових величин. Так, наприклад, доходи від певних видів ризикованого бізнесу приблизно підкоряються нормальному розподілу.
Нормальне розподіл іноді називають законом помилок. Наприклад, відхилення в розмірах деталей від встановленого пояснюються багатьма причинами, кожна з яких впливає на розмір деталі, так що відхилення, яке фактично реєструється при вимірах, є сумою великої кількості відхилень (помилок).
Нормальна випадкова величина має щільність розподілу, яка визначається формулою
(1)
де - ∞ <x <+ ∞, а = М (Х), λ = σ (Х).
Основні властивості W (x):
а) функція W (x) існує при будь-яких дійсних значеннях х і приймає тільки позитивні значення. Отже, нормальна крива розподілу розташована вище осі абсцис;
б) при необмеженому зростанні х за абсолютною величиною W (x) прагне до нуля, значить, вісь абсцис служить горизонтальної асимптотой кривої нормального розподілу;
в) максимальне значення функція W (x) приймає в точці, що відповідає математичному очікуванню случайнойвелічіни х.
Дійсно, прирівнюючи першу похідну від W (x) до нуля, тобто
переконуємося в тому, що W (x) '= 0 при х = a; W' (х)> 0 при х <а; W '(x) <<0 при х> а.
Отже, функція W (х) приймає максимальне значення в точці х = а;
г) крива нормального розподілу симетрична відносно прямої х = а, оскільки різниця x - а входить в формулу (1) в квадраті;
д) крива нормального розподілу має дві точки перегину, симетрично розташовані відносно прямої х = а, з абсцисами точок перегину а - λ і а + λ і ординатами .
Формула (6.1) містить два параметри: математичне сподівання а = М (Х) і стандартне відхилення λ = σ (X). Отже, існує нескінченно багато нормально розподілених випадкових величин, у яких різні M (Х) і σ (X). Графіки їх щільності мають однакову форму - симетричну, колоколообразную. Якщо М (Х) і σ (X) відомі, то з сімейства нормальних випадкових величин виділяємо конкретну нормальну випадкову величину з певною щільністю.
Математичне сподівання а - це величина, яка характеризує положення кривої розподілу на осі абсцис (рис. 1). Зміна параметра а при незмінному λ призводить до переміщення осі симетрії (х = а) уздовж осі абсцис і, отже, до відповідного переміщенню кривої розподілу. М (Х) = а іноді називають центрам розподілу або параметром зсуву. При х = М (Х) = = а щільність розподілу ймовірності найбільша, а внаслідок симетрії щільності а = М о = М е, і площа, розташована під кривою, ділиться навпіл віссю симетрії. Тут М о - мода розподілу, М е - медіана.
Рис. 1. Криві щільності нормального розподілу з різними а і λ
Зміна середнього квадратичного відхилення при фіксованому значенні математичного очікування призводить до зміни форми кривої розподілу. Зі зменшенням λ вершина кривої розподілу буде підніматися, крива буде більш «островершінной» (витягнутої вздовж осі симетрії). Зі збільшенням λ крива розподілу менш островершінная і більше розтягнута вздовж осі абсцис. Одночасна зміна параметрів a і λ призведе до ізмененіюі форми, і положення кривої нормального розподілу.
Домовимося про форму запису випадкових величин. Наприклад, запис X ~ а (X; М (Х), σ 2) означає: випадкова величина X підкоряється закону розподілу а з математичним очікуванням М (Х) і середнім квадратичним відхиленням σ, або дисперсією σ 2. Це загальна форма запису випадкової величини, розподіленої за законом а. Якщо мова йде про Біноміальний закон, то будемо позначати В; про нормальний - N і т.д.
Отже, якщо ми маємо справу з випадковою величиною, що підкоряється нормальному закону розподілу, з математичним очікуванням а = 5,7 і λ = 2, то запис буде X ~ N (X; 5,7; 2 2). Λ 2 записується як 2 2, а не 4.
Стандартне (нормоване) нормальний розподіл
Якщо вформуле (1) а = 0; λ = 1, то
φ (z) = . (2)
При а = 0 і λ = 1 нормальний розподіл називають стандартним (нормованим) нормальним розподілом (рис. 2), а криву - Нормованої.
Стандартна нормальна випадкова величина позначається Z. Запишемо за встановленим правилом: Z ~ N (z; 0,1 2). Розподіл φ (z) табульованого.
Властивості функції φ (z):
а) функція φ (z) - парна, тобто
φ (z) = φ (- z);
б) зі збільшенням z за абсолютною величиною φ (z) монотонно убуває і при z → ∞ має межею нуль;
в) при z = 4 φ (z) = 0,0001, при z = 5 φ (z) = 0,0000015, тому при | z |> 5 можна вважати, що φ (z) = 0. У зв'язку з цим таблиці обмежуються значеннями функції φ (z) для аргументів z = 4 або z = 5;
Рис. 2. Графік кривої стандартного нормального розподілу
г) максимальне значення функція φ (z) приймає при z = 0.
Порівнюючи (1) і (2), можна зробити висновок: щільність випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, можна записати як:
W (x) = . (3)
Будь нормально розподілена випадкова величина може бути перетворена в стандартну (нормовану) нормально розподілену випадкову величину.
Отже, перехід X в Z досягається перетворенням:
Z = (x - a) / λ. (4)
За допомогою формули (6.4) можна перетворити будь-яку нормально розподілену випадкову величину X в стандартну нормально розподілену випадкову величину Z. Зворотне перетворення стандартної нормальної випадкової величини Z в Х ~ N (Х; a; λ 2) можна здійснити за формулою:
X = a + Z ∙ λ. (5)
Ймовірність попадання в заданий інтервал нормально розподіленої випадкової величини.
Ми знаємо, що якщо випадкова величина задана щільністю розподілу W (x), то ймовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу (α, b), визначається з виразу
.
Якщо випадкова величина X ~ N (a; σ 2), то
P (a <X <b) = dx.
Для того щоб можна було користуватися готовими таблицями для обчислення ймовірностей, перетворимо X в Z і знайдемо нові межі інтегрування. Якщо х = a, то z = (a-а) / λ, якщо х = b, то z = (b - а) / λ. Тоді P (a <X <b) = 1 / (λ ),
де x = a + z λ; dx = λ dz.
Інтеграл виду dt називається інтегралом ймовірностей, або функцією Лапласа. Його зазвичай позначають символом F 0 (z):
(6)
Інтеграл Лапласа в загальному вигляді не береться. Його можна обчислити одним із способів наближеного обчислення інтегралів. Ця функція табульованого. Користуючись функцією Лапласа, остаточно отримуємо:
P (a <X <b) = . (7)
Формула (7) називається інтегральною теоремою Лапласа.
Властивості F 0 (z):
а) функція F 0 (z) є непарною функцією; тобто F 0 (-z) = - F 0 (z);
б) при z = 0 функція Лапласа дорівнює нулю = 0;
в) при z ® + ∞ F 0 (z) ® 0,5; при z ® - ∞ F 0 (z) ® -0,5.
Рис. 4. Графік інтегральної функції Лапласа-Гаусса
Ф 0 (4) = 0,499997, Ф 0 (-4) = -0,499997. Значить, при ú z ú> 4 можна вважати, що Ф 0 (4) »± 0,5. Отже, всі можливі значення інтегральної функції Лапласа належать інтервалу (-0,5; +0,5).
Отже, функція розподілу випадкової величини, що підкоряється нормальному закону розподілу, представлена через функцію Лапласа,
F (x) = 0,5 + Ф о [(x - a) / λ]. (8)
Розглянемо ряд прикладів на обчислення ймовірностей за допомогою таблиць стандартного нормального розподілу і знаходження значень Z по заданій ймовірності.
Правило «трьох сигм»
Якщо позначити (x-a) / σ = Z, Δ = (x - a) = σ Z, то
P (| X - a | <z) = 2Ф 0 (z), (9)
де 2Ф 0 (z) - імовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання М (Х) = а за абсолютною величиною буде менше z сигм. Додамо z значення 1, 2, 3. Користуючись формулою (9) і таблицею інтеграла імовірностей, обчислимо ймовірність того, що відхилення за абсолютною величиною буде менше σ, 2 σ и З σ:
при z = 1, Δ = σ і P (| X-a | <σ) = 2Ф 0 (1) = 0,6826;
при z = 1, Δ = 2 σ і P (| X-a | <2 σ) = 2Ф 0 (2) = 0,9544
при z = 1, Δ = 3 σ і P (| X-a | <3 σ) = 2Ф 0 (3) = 0,9973.
Наведені результати обчислень представлені на рис. 5.
Ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал (а - σ; а + σ), дорівнює 0,6826. Геометрично цю ймовірність можна уявити заштрихованої частиною площі під кривою, зображеної на рис. 8. Ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал (а - 2 σ; а +2 σ), дорівнює 0,9544. Ймовірність того, що випадкова величина потрапить в інтервал (а - 3 σ; а +3), дорівнює 0,9973 (на рис. 8 ця ймовірність представлена майже всією площею, укладеної між кривою розподілу і віссю абсцис).
Рис. 5. До правилом «трьох сигм»
Отже, вірогідність того, що відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання за абсолютною величиною перевищить утроенное середньоквадратичне відхилення, дуже мала і дорівнює 0,0027. Такі події вважаються практично неможливими.
У цьому й полягає правило «трьох сигм»: якщо випадкова величина розподілена за нормальним законом, то її відхилення від математичного очікування практично не перевищує ± 3 σ.
Поняття про теоремах, що відносяться до групи «центральної граничної теореми»
В теоремах цієї групи з'ясовуються умови, за яких виникає нормальний розподіл. Спільним для цих теорем є наступна обставина: закон розподілу суми досить великого числа незалежних випадкових величин при деяких умовах необмежено наближається до нормального. Познайомимося з вмістом (без доведення) з однією з таких теорем.
Центральна гранична теорема для однаково розподілених доданків (П. Леві). Якщо незалежні випадкові величини Х 1, Х 2, ... Х n, мають один і той же закон розподілу з математичним очікуванням і дисперсією σ а 2, то при необмеженому збільшенні n закон розподілу суми Х 1 + Х 2 + ... + Х n необмежено наближається до нормального.
Теорема Ляпунова. Якщо випадкова величина Y є сумою великої кількості незалежних випадкових величин Y 1, Y 2, ... Y n, вплив кожної з яких на всю суму рівномірно мало, то величина Y має розподіл, близький до нормального, і тим ближче, чим більше п.
При цьому приємно те, що закони розподілу сумовних випадкових величин можуть бути будь-якими, заздалегідь не відомими досліднику. Практично даної теоремою можна користуватися і тоді, коли мова йде про суму порівняно невеликого числа випадкових величин. Досвід показує, що при числі доданків близько 10 закон розподілу суми близький до нормального.
Теорема Ляпунова має важливе практичне значення, оскільки багато випадкові величини можна розглядати як суму окремих незалежних доданків. Наприклад: помилки різних вимірів; відхилення розмірів деталей, виготовлених при незмінному технологічному режимі; розподіл числа продажів деякого товару, обсягів прибутку від реалізації однорідного товару різними виробниками; валютні курси; зріст, вага тварин і рослин даного виду; відхилення точки падіння снаряда від цілі і т.д. можуть розглядатися як сумарний результат великої кількості доданків і тому наближено слідувати нормальному закону розподілу.
Показовий (експоненційний) розподіл
Експоненціальне (показовий) розподіл тісно пов'язане з розподілом Пуассона, яке використовується для обчислення ймовірності появи події в деякий період часу. Розподіл Пуассона - це розподіл числа появи подій в заданий інтервал часу довжиною t. Єдиний параметр розподілу Пуассона λ характеризує інтенсивність процесу, тобто з його допомогою ми можемо обчислити середнє число появи події.
Закон рівномірного розподілу (рівномірної щільності)
Якщо можливі значення випадкової величини належать певного інтервалу, а щільність її розподілу на цьому інтервалі залишається постійною, то говорять, що дана випадкова величина розподілена за законом рівномірної щільності.
У рівномірному розподілі ймовірність того, що випадкова величина буде приймати значення всередині заданого інтервалу, пропорційна довжині цього інтервалу.
Нехай безперервна випадкова величина X розподілена на інтервалі (α, β) з рівномірною щільністю. Її щільність W (х) на цій ділянці постійна і дорівнює C. Поза цим інтервалу вона дорівнює нулю, так як випадкова величина X за межами інтервалу (α, β) значень не має (рис. 6).
Рис. 6. Загальний вигляд графіка функції щільності рівномірного розподілу
Знайдемо значення постійної С. Площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, повинна дорівнювати одиниці, тобто С (β - α) = 1. Отже, С = 1 / (β - α) і щільність для рівномірного розподілу можна записати:
(1 0) Функція розподілу
(1 1)
Рис. 7. Графік функції розподілу для випадкової величини, розподіленої за законом рівномірної щільності
Математичне сподівання неперервної рівномірно розподіленої випадкової величини
М (Х) = (α + β) / 2, (12)
дисперсія D (x) = (β - α) 2 / 12, (13)
середньоквадратичне відхилення
s (x) = = (Β - α) / (2
). (14)
Для безперервної рівномірно розподіленої випадкової величини X, заданої на інтервалі
(A <X <b), P (a <X <b) = (b - a) / (β - α), (15)
якщо .
Література: [2], [4], [5].
Література
1. Вища математика для економістів: Підручник для вузів / Під ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2003.
2. Е.С. Кочетков, С.О. Смерчінская Теорія ймовірностей у задачах і вправах / М. ИНФРА-М 2005.
3. Вища математика для економістів: Практикум / За ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2004.Ч1, 2
4. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення завдань з теорії ймовірностей і математичної статистики. М., Вища школа, 1977
5. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., Вища школа, 1977
6. М.С. Красс Математика для економічних спеціальностей: Підручник / М. ИНФРА-М 1998.
7. Вигодський М.Я. Довідник з вищої математики. - М., 2000.
8. Берман Г.Н. Збірник задач з курсу математичного аналізу. - М.: Наука, 1971.
9. А.К. Казашев Збірник задач з вищої математики для економістів - Алмати-2002 р.
10. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення. - М.: Наука, 1985, Т1, 2.
11. П.Є. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Вища математика у вправах і завданнях / М. ОНІКС -2005.
12. І.А. Зайцев Вища математика / М. Вища школа-1991
13. Головіна Л.І. Лінійна алгебра і деякі її застосування. - М.: Наука, 1985.
14. Замків О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математичні методи аналізу економіки. - М.: ДІС, 1997.
15. Карасьов А.І., Аксютіна З.М., Савельєва Т.І. Курс вищої математики для економічних вузів. - М.: Вища школа, 1982 - Ч 1, 2.
16. Колесников А.Н. Короткий курс математики для економістів. - М.: Инфра-М, 1997.
17. В.С. Шіпацев Задачник по вищій математиці-М. Вища школа, 2005 р.