До емпіричним методам пізнання відносяться спостереження, опис, вимірювання та експеримент. Найбільш часто ці методи застосовуються в природничо дисциплінах (хімії, біології, астрономії, фізики, географії і т. д.). Для математики ці методи не є характерними. Історія розвитку математики свідчить про те, що емпіричні методи відіграли неоціненну роль у зародженні математичних знань, становленні математики як самостійної теоретичної дисципліни. Шкільне навчання математики в певній мірі повторює її історичний шлях розвитку. Використання засобів наочності і технічних засобів навчання, як правило, передбачає застосування різних емпіричних методів. Часто має місце одночасне використання методів спостереження, опису, вимірювання й експерименту. Це допомагає уникнути пасивної споглядальності, активізувати дії учнів, залучити їх до цілеспрямовану роботу з використання демонстраційних наочних посібників, приладів, моделей і т. п.
Математика не є експериментальною наукою, і, отже, дослідне підтвердження не може служити достатньою підставою істинності її пропозицій. Це безсумнівно вірно, якщо під математикою розуміти сукупність готових, вже побудованих дедуктивних теорій, але це невірно, якщо під математикою розуміти розумову діяльність, результатом якої є подібні теорії. В останньому випадку дедуктивна теорія лише одна фаза математики. Але вона має ще дві фази - попередню дедуктивної теорії фазу накопичення фактів (дослідну, інтуїтивну) і наступну за нею фазу додатків. Ці дві фази незалежно від того, чи вважають їх власне математичними або "околоматематіческімі", не менш важливі в навчанні, ніж сама дедуктивна теорія: перша - для розуміння цієї теорії, друга - для її виправдання.
Виходячи із завдань, що стоять перед школою, мова йде про навчання не тільки готовим знаніямно і методам пізнання призводить до цих знань. Тому природно застосовувати у навчанні і ті емпіричні методи пізнання, за допомогою яких формулюються гіпотези, що підлягають обгрунтуванню (або спростуванню) вже іншими методами.
Спостереження, досвід і вимірювання повинні бути спрямовані на створення в процесі навчання спеціальних ситуацій та надання учням можливості отримати від них очевидні закономірності, геометричні факти, ідеї докази і т, д. Найчастіше результати спостереження, досвіду і вимірювань служать посилками індуктивних висновків, за допомогою яких здійснюються відкриття нових істин. Тому спостереження, досвід і вимірювання відносять і до евристичних методів навчання, тобто до методів, що сприяє відкриттів.
Проілюструємо таке застосування спостереження, досвіду і вимірювань кількома прикладами.
Якщо показати учням IV-V класів різні фігури, в тому числі навколишні нас предмети, серед яких одні мають, а інші не мають осьовою симетрією, то спостереження цих фігур дозволяє помітити, що кожна з "симетричних" фігур ділиться деякої прямої на дві частини так , що, якщо зігнути фігуру у цій прямий, одна її частина повністю належиться на іншу. Для кожної ж з "несиметричних" фігур такої прямої не можна знайти.
Після такого спостереження "симетричних" фігур навколо нас (архітектурних прикрас, будівельних та інших деталей, деяких листя на деревах і т. д.) можна перейти до подальшого вивчення осьової симетрії за допомогою спеціального досвіду (експерименту).
Кожному учню пропонується зігнути аркуш паперу так, щоб одна частина листа впала на іншу і утворилася лінія згину. Потім пропонується випрямити знову лист і відзначити на ньому довільну точку А, що не лежить на лінії згину, потім знову зігнути аркуш з тієї ж лінії згину і визначити, дивлячись на світ через зігнутий лист, з якою точкою збіглася при цьому точка А. Нехай це точка А1 Учням повідомляють, що точки А та А1 називаються симетричними відносно прямої l (лінії згину), званої віссю симетрії цих точок. Для іншої точки В, що лежить по іншу сторону від лінії згину, ніж точка А, пропонується визначити (дослідним шляхом, за допомогою згинання аркуша) симетричну їй крапку щодо тієї ж осі l. Помічаємо, що, якщо взяти точку С на лінії згину, вона залишається нерухомою при згинанні аркуша, тобто не збігається з якою-небудь іншою точкою аркуша. Ми говоримо, що будь-яка точка осі симетрії (лінії згину) симетрична сама собі.
Природно виникає питання: чим. ж характеризується розташування щодо осі пари симетричних точок (А, А1, В, В1, як це можна описати за допомогою вже відомих геометричних термінів? Учні помічають (можливо, за допомогою вчителя), що симетричні точки (якщо вони різні) завжди лежать по різні сторони від осі симетрії. Пропонується поєднати симетричні точки відрізком прямої. Учні висловлюють гіпотезу, що симетричні точки відстоять на рівних відстанях від осі симетрії, тобто що відрізки АА1 і ВВ1 діляться віссю симетрії навпіл. Це припущення підкріплюється за допомогою вимірювання відрізків відповідних. Якщо учні не помічають перпендикулярності відрізка АА1 і ВВ1 до осі симетрії (зазвичай рівність кутів не так швидко виявляється, як рівність відрізків), то беруть дві точки, равностоящими від осі по різні боки від неї, але не на одному перпендикуляре до неї, і задають питання: чи будуть ці точки симетричні відносно тієї ж осі? Зіставляючи розташування цих точок з розташуванням симетричних точок, учні виявляють, що останні лежать на одному перпендикуляре до осі симетрії. Це поки припущення, яке також підкріплюється виміром відповідних кутів.
Якщо з'єднати відрізками точки А і В і симетричні їм точки А1 і В1, то при згинанні аркуша паперу по лінії l відрізок АВ накладеться на відрізок А1В1 тобто виявляється, що відстань між двома точками А і В дорівнює відстані між симетричними ним точками А1 і В1.
Досвідченим же шляхом можна знайти також, що кожна з півплощини з кордоном l "накладається" (перетвориться, відображається) на іншу.
Таким чином, за допомогою спостереження, досвіду і вимірювань формується уявлення про осьової симетрії як про перетворення площини, при якому кожній точці зіставляється симетрична їй щодо осі l точка і ми отримуємо можливість описати осьову симетрію на вже відомому учням геометричному мовою за допомогою наступної сукупності пропозицій.
(П1) Кожна точка осі симетрії симетрична сама собі. Будь-які дві різні симетричні точки лежать:
(П2) по різні сторони від осі симетрії,
(П3) на одному перпендикуляре до осі і
(П4) на однаковій відстані від осі.
(П5) Відстань між будь-якими двома точками дорівнює відстані між симетричними ним точками.
(П6) Кожна з півплощини з кордоном перетвориться в іншу. Отримане опис нашого досвіду не є, однак, досконалим. По-перше, всі пропозиції П1 - П6 "обгрунтовані" лише дослідним шляхом. По-друге, ще не розкриті логічні зв'язки між ними, не з'ясовано, які з цих пропозицій можуть служити посилками для виведення з них інших пропозицій цієї сукупності (за допомогою, можливо, і деяких інших, вже відомих геометричних істин).
Проте усунення цих дефектів нашого опису вимагає вже застосування інших методів, про які йтиметься далі.
Наведемо приклад, коли досвід сприяє відкриттю геометричного властивості і підказує шлях його докази.
Експериментально виявити, що сума кутів даного трикутника дорівнює 180 °, можна відразу ж, як тільки учні навчаться вимірювати кути за допомогою транспортира.
Учням пропонується виміряти транспортиром кути накресленого в зошиті трикутника і скласти результати вимірювання. У деяких сума кутів трикутника виходить менше 180 °, в інших - більше, але у всіх результати близькі до 180 °, а в деяких навіть "точно", 180 ° (!). Учні здогадуються, що повинне вийти 180 °, а інші результати пояснюються похибками вимірювання. Вони "роблять відкриття": "У всякому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180 °".
Це припущення підкріплюється друге досвідом, підказує ідею доказу (одного з можливих доказів). У кожного школяра заготовлений вирізаний з паперу трикутник. Учитель пропонує "відірвати" два кути і прикласти їх до третього так, як він це робить сам на великому трикутнику. Учні помічають, що отримані три кути із загальною вершиною А, розташовані по один бік від прямої. Отже, сума цих кутів дорівнює 180 °. За допомогою цього досвіду (вже без вимірювань) ми прийшли до тієї ж гіпотези, і всім здається, що виявлене властивість вірогідно. Але чи можна бути впевненим у тому, що два промені, що сходяться в точці А, утворюють пряму лінію? Адже вони можуть утворити ламану, так мало відрізняється від прямої, що ми цього не помітимо. Але в цьому випадку сума кутів вже не буде дорівнює 180 °.
Таким чином, проведений досвід не замінює доказ. Він лише підказує один з можливих шляхів докази відкритого досвідченим шляхом властивості.
За допомогою простого досліду формується і наочне уявлення про переміщення як про відображення площині на себе, що зберігає відстань між точками. На аркуш паперу кладуть тонку прозору "o платівку з багатьма отворами. За допомогою олівця наголошується на аркуші положення одного отвору (одного місця). Нехай це точка А площині. Потім переміщують довільно платівку на аркуші і через цей же отвір відзначається нова точка А При цьому наголошується, що так можна вчинити з будь-якою точкою площині. Потім відзначають вістрям олівця через два отвори пластинки точки В і С площині і після деякого переміщення платівки через ті ж отвори відзначають нові точки-В1 і С1 відповідно. Так як при переміщенні платівка не розтягується і не стискається, то відстані між точками зберігаються, т. е.
| ЗС | == | В1 С1 |
Таким чином, будь-яка точка Х нерухомого листа відображається точно в одну точку Х1 цього ж листа. Так виходить відображення площині на себе, при якому відстань між будь-якими двома точками дорівнює відстані між їхніми образами.
За допомогою описаного досвіду виявляються і найважливіші властивості руху:
а) якщо три точки А, М, В лежать на одній прямій, то і їх образи А1, М1, В1 теж лежать на одній прямій;
б) якщо точка М лежить між точками А і В, то й М лежить між А1 і В1
Відкриті досвідченим шляхом, ці властивості, зрозуміло, підлягають доведенню. Тут знову досвід проявляється як евристичний метод.
Розглянемо приклад застосування досвіду для відкриття алгебраїчної закономірності.
Припустимо, що в одному, синьому, мішечку є т синіх паличок, а в іншому, червоному, мішечку - п червоних паличок. Потрібно звільнити один мішечок. Ми можемо це зробити двома способами. Можна пересипати всі червоні палички з червоного мішечка в синій, і тоді в ньому виявиться т + п паличок. Але можна пересипати всі сині палички в червоний мішечок, і тоді в ньому виявиться п + т паличок. Але і в одному, і в іншому випадку ми маємо в мішечку одне і те ж безліч паличок. Отже,
т + п =-- п + т.
Зрозуміло, в конкретному досвіді т і п позначають певні числа. Тому отримане рівність є лише одній з посилок, за допомогою яких вже іншим методом (індукцією) отримують загальний закон комутативності додавання натуральних чисел:
"Т + п = п + т; для будь-яких натуральних чисел т і п".
Підрахунок двома способами (по рядах і по стовпцях) одиничні квадратиків, що заповнюють прямокутник, вимірювання якого виражаються натуральними числами, є досвідом, за допомогою якого виявляється комутативність множення натуральних чисел.
Важливо відзначити, що за допомогою емпіричних методів (спостереження, досвіду, вимірювань) виконується лише початковий етап роботи з математичного опису реальних ситуацій. Одержуваний математичний матеріал (інтуїтивні поняття, гіпотези, сукупності математичних пропозицій) підлягає подальшій обробці вже іншими методами.