Зміст
Завдання 1
Завдання 2
Завдання 3
Завдання 4
Завдання 5
Завдання 6
Список використаної літератури
.
Рішення:
Перетворимо рівняння і розділяючи змінні, отримаємо рівняння з розділеними змінними:
Інтегруємо його і отримуємо загальне рішення даного рівняння
Відповідь: Загальне рішення даного рівняння
.
Рішення:
Вводимо заміну
→
Так як одну з допоміжних функцій можна взяти довільно, то виберемо в якості який-небудь приватний інтеграл рівняння . Тоді для відшукання одержимо рівняння . Отже, маємо систему двох рівнянь:
Далі
Перевірка:
вірне тотожність. Ч. т.д.
Відповідь:
,
Рішення:
Загальне рішення даного рівняння
шукається за схемою:
Знаходимо спільне рішення однорідного рівняння. Складемо характеристичне рівняння
і
Загальне рішення має вигляд:
,
де
Знаходимо частинний розв'язок . Права частина рівняння має спеціальний вид. Шукаємо рішення
, Тобто
Знайдемо похідні першого і другого порядків цієї функції.
Т.ч. приватне рішення
Загальне рішення
Використовуючи дані початкових умов, обчислимо коефіцієнти
Одержимо систему двох рівнянь:
→
Шукане приватне рішення:
Відповідь:
Рішення:
Нехай є безліч N елементів, з яких M елементів володіють деякими ознакою A. Витягується випадковим чином без повернення n елементів. Ймовірність події, що з m елементів мають ознакою А визначається за формулою:
(N = 6, M = 3, n = 2, m = 2)
Відповідь:
появи події A в кожному з незалежних випробувань. Знайти ймовірність того, що в цих випробуваннях подія A з'явиться не менш і не більше разів.
Рішення:
Застосуємо інтегральну формулу Муавра-Лапласа
Де
і
Ф (x) - функція Лапласа , Має властивості
1 0. - Непарна, тобто
2 0. При , Значення функції представлені таблицею (табульований) для
Так
Відповідь:
Знайти:
1) знайти математичне сподівання ,
2) дисперсію ;
3) середнє квадратичне відхилення .
Математичне сподівання (очікуване середнє значення випадкової величини):
Дисперсія (міра розсіювання значень випадкової величини Х від середнього значення а):
.
Другий спосіб обчислення дисперсії:
де
.
Середнє квадратичне відхилення (характеристика розсіювання в одиницях ознаки Х):
→
Відповідь:
Математичне сподівання
Дисперсія
Середнє квадратичне відхилення
Завдання 7
Випадкові відхилення розміру деталі від номіналу розподілені нормально. Математичне сподівання розміру деталі дорівнює 200 мм, середнє квадратичне відхилення дорівнює 0,25 мм. Стандартними вважаються деталі, розмір яких укладено між 199,5 мм і 200,5 мм. Знайти відсоток стандартних деталей.
Рішення:
Таким чином, відсоток стандартних деталей становить 95,45%
Відповідь: Стандартних деталей 95,45%.
2. Ковбаса С.І., Іванівський В.Б. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навчальний посібник для економістів. - СПб.: Альфа, 2001. - 192 с.
3. Кочетков Є.С., Смерчинського С.О., Соколов В.В. Теорія ймовірностей і математична статистика: Підручник. - М.: ФОРУМ, 2008. - 200 с.
4. Кремер Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика: Підручник. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 551 с.
5. Пехлецкій І.Д. Математика. / Под ред. І.Д. Пехлецкого. - М.: Видавничий центр "Академія", 2003. - 421с.
6. Пугачов В.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навчальний посібник. - М.: Фізматліт, 2002. - 496 с.
Завдання 1
Завдання 2
Завдання 3
Завдання 4
Завдання 5
Завдання 6
Список використаної літератури
Завдання 1
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння першого порядку:Рішення:
Перетворимо рівняння і розділяючи змінні, отримаємо рівняння з розділеними змінними:
Інтегруємо його і отримуємо загальне рішення даного рівняння
Відповідь: Загальне рішення даного рівняння
Завдання 2
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння першого порядку:.
Рішення:
Вводимо заміну
→
Так як одну з допоміжних функцій можна взяти довільно, то виберемо в якості який-небудь приватний інтеграл рівняння . Тоді для відшукання одержимо рівняння . Отже, маємо систему двох рівнянь:
Далі
Перевірка:
вірне тотожність. Ч. т.д.
Відповідь:
Завдання 3
Знайти приватне рішення диференціального рівняння другого порядку, що задовольняє зазначеним початковим умовам:Рішення:
Загальне рішення даного рівняння
шукається за схемою:
Знаходимо спільне рішення
Загальне рішення має вигляд:
де
Знаходимо частинний розв'язок
Знайдемо похідні першого і другого порядків цієї функції.
-2 | |
1 | |
1 |
Загальне рішення
Використовуючи дані початкових умов, обчислимо коефіцієнти
Одержимо систему двох рівнянь:
Шукане приватне рішення:
Відповідь:
Завдання 4
У читальному залі є 6 підручників з теорії ймовірностей, з яких 3 в м'якій палітурці. Бібліотекар взяв 2 підручники. Знайти ймовірність того, що обидва підручника в м'якій палітурці.Рішення:
Нехай є безліч N елементів, з яких M елементів володіють деякими ознакою A. Витягується випадковим чином без повернення n елементів. Ймовірність події, що з m елементів мають ознакою А визначається за формулою:
(N = 6, M = 3, n = 2, m = 2)
Відповідь:
Завдання 5
Дана ймовірністьРішення:
Застосуємо інтегральну формулу Муавра-Лапласа
Де
Ф (x) - функція Лапласа
1 0.
2 0. При
Так
Відповідь:
Завдання 6
Задано закон розподілу дискретної випадкової величини X (у першому рядку вказані можливі значення величини X, у другому рядку дані ймовірності p цих значення). X i | 8 | 4 | 6 | 5 |
p i | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
1) знайти математичне сподівання
2) дисперсію
3) середнє квадратичне відхилення
Математичне сподівання (очікуване середнє значення випадкової величини):
Дисперсія (міра розсіювання значень випадкової величини Х від середнього значення а):
Другий спосіб обчислення дисперсії:
Середнє квадратичне відхилення (характеристика розсіювання в одиницях ознаки Х):
Відповідь:
Математичне сподівання
Дисперсія
Середнє квадратичне відхилення
Завдання 7
Випадкові відхилення розміру деталі від номіналу розподілені нормально. Математичне сподівання розміру деталі дорівнює 200 мм, середнє квадратичне відхилення дорівнює 0,25 мм. Стандартними вважаються деталі, розмір яких укладено між 199,5 мм і 200,5 мм. Знайти відсоток стандартних деталей.
Рішення:
Таким чином, відсоток стандартних деталей становить 95,45%
Відповідь: Стандартних деталей 95,45%.
Список використаної літератури
1. Горєлова Г.В. Теорія ймовірностей і математична статистика в прикладах і задачах з застосуванням MS Excel. / Под ред. Г.В. Горєлової, І.А. Кацко. - Ростов н / Д: Фенікс, 2006. - 475 с.2. Ковбаса С.І., Іванівський В.Б. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навчальний посібник для економістів. - СПб.: Альфа, 2001. - 192 с.
3. Кочетков Є.С., Смерчинського С.О., Соколов В.В. Теорія ймовірностей і математична статистика: Підручник. - М.: ФОРУМ, 2008. - 200 с.
4. Кремер Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика: Підручник. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. - 551 с.
5. Пехлецкій І.Д. Математика. / Под ред. І.Д. Пехлецкого. - М.: Видавничий центр "Академія", 2003. - 421с.
6. Пугачов В.С. Теорія ймовірностей і математична статистика: Навчальний посібник. - М.: Фізматліт, 2002. - 496 с.