Перехідні та імпульсні характеристики електричних ланцюгів

Академія Росії
Кафедра Фізики
Лекція
Перехідні та імпульсні характеристики електричних ланцюгів

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Орел 2009

Навчальні та виховні цілі:
Роз'яснити слухачам сутність перехідної та імпульсної характеристик електричних ланцюгів, показати зв'язок між характеристиками, звернути увагу на застосування розглянутих характеристик для аналізу і синтезу ЕЦ, націлити на якісну підготовку до практичного заняття.

Розподіл часу лекції

Вступна частина ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5 хв.
Навчальні питання:
1. Перехідні характеристики електричних ланцюгів ... ... ... ... ... ... 15 хв.
2. Інтеграли Дюамеля ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 25 хв.
3. Імпульсні характеристики електричних ланцюгів. Зв'язок між характеристиками ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ... ... 25 хв.
4. Інтеграли згортки ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .15 хв.
Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5 хв.

1. Перехідні характеристики електричних ланцюгів
Перехідна характеристика ланцюга (як і імпульсна) відноситься до тимчасових характеристиках ланцюга, тобто виражає певний перехідний процес при заздалегідь встановлених впливах і початкових умовах.
Для порівняння електричних ланцюгів з їхньої реакції до цих впливів, необхідно ланцюга поставити в однакові умови. Найбільш простими і зручними є нульові початкові умови.
Перехідною характеристикою ланцюга називають відношення реакції ланцюга на поетапне вплив до величини цього впливу при нульових початкових умовах.
За визначенням ,
де - Реакція ланцюга на поетапне вплив;
- Величина ступеневої впливу [В] або [А].
Так як і ділиться на величину впливу (це дійсне число), то фактично - Реакція ланцюга на одиничне поетапне вплив.
Якщо перехідна характеристика ланцюга відома (або може бути обчислена), то з формули можна знайти реакцію цьому ланцюгу на поетапне вплив при нульових НУ
.
Встановимо зв'язок між операторної передавальної функцією ланцюга, яка часто відома (або може бути знайдена), та перехідною характеристикою цього ланцюга. Для цього використовуємо введене поняття операторної передаточної функції:
.
Ставлення перетвореної по Лапласа реакції ланцюга до величини впливу являє собою операторну перехідну характеристику ланцюга:
.
Отже .
Звідси знаходиться операторна перехідна характеристика ланцюга по операторної передаточної функції.
Для визначення перехідної характеристики кола необхідно застосувати зворотне перетворення Лапласа:
,
скориставшись таблицею відповідностей або (попередньо) теоремою розкладання.
Приклад: визначити перехідну характеристику для реакції напруга на ємності в послідовній -Ланцюга (рис. 1):

Рис. 1

Тут реакція на поетапне вплив величиною :
,
звідки перехідна характеристика:
.
Перехідні характеристики найбільш часто зустрічаються ланцюгів знайдені й дані в довідковій літературі.

2. Інтеграли Дюамеля
Перехідну характеристику часто використовують для знаходження реакції ланцюга на складне вплив. Встановимо ці співвідношення.
Домовимося, що вплив є безперервною функцією і підводиться до ланцюга в момент часу , А початкові умови - нульові.
Заданий вплив можна представити як суму ступеневої впливу прикладеної до ланцюга в момент і нескінченно великого числа нескінченно малих східчастих впливів, безупинно наступних один за одним. Одне з таких елементарних дій, відповідних моменту додатка показано на малюнку 2.

Рис. 2
Знайдемо значення реакції ланцюга в деякий момент часу .
Поетапне вплив з перепадом на момент часу обумовлює реакцію, рівну добутку перепаду на значення перехідної характеристики ланцюга при , Тобто дорівнює:
.
Нескінченно мале ж поетапне вплив з перепадом , Обумовлює нескінченно малу реакцію , Де є час, що минув від моменту прикладання впливу до моменту спостереження. Оскільки за умовою функція неперервна, то:
.
Відповідно до принципу накладення реакції буде дорівнює сумі реакцій, обумовлених сукупністю впливів, що передують моменту спостереження , Т. е.
.
Зазвичай в останній формулі замінюють просто на , Оскільки знайдена формула вірна за будь-яких значеннях часу :
.
Або, після нескладних перетворень:
.
Будь-яке з цих співвідношень і вирішує завдання обчислення реакції лінійної електричного кола на заданий безперервна дія за відомою перехідної характеристики ланцюга . Ці співвідношення називають інтегралами Дюамеля.
3. Імпульсні характеристики електричних ланцюгів
Імпульсною характеристикою ланцюга називають відношення реакції ланцюга на імпульсний вплив до площі цього впливу при нульових початкових умовах.
За визначенням ,
де - Реакція ланцюга на імпульсний вплив;
- Площа імпульсу впливу.
За відомою імпульсної характеристиці ланцюга можна знайти реакцію ланцюга на заданий вплив: .
Як функції впливу часто використовується одиничне імпульсний вплив зване також дельта-функцією або функцією Дірака.
Дельта-функція - це функція всюди рівна нулю, крім , А площа її дорівнює одиниці ( ):
.
До поняття дельта-функція можна прийти, розглядаючи межа прямокутного імпульсу висотою і тривалістю , Коли (Рис. 3):

Рис. 3
Встановимо зв'язок між функцією передачі ланцюга та її імпульсною характеристикою, для чого використовуємо операторний метод.
За визначенням:
.
Якщо вплив (оригінал) розглядати для найбільш загального випадку у вигляді добутку площі імпульсу на дельта-функцію, тобто у вигляді , То зображення цього впливу згідно таблиці відповідностей має вигляд:
.
Тоді з іншого боку, ставлення перетвореної по Лапласа реакції ланцюга до величини площі імпульсу впливу, являє собою операторну імпульсну характеристику ланцюга:
.
Отже, .
Для знаходження імпульсної характеристики ланцюга необхідно застосувати зворотне перетворення Лапласа:
, Тобто фактично .
Узагальнюючи формули, отримаємо зв'язок між операторної передавальної функцією ланцюга і операторними перехідної та імпульсної характеристиками ланцюга:
.
Таким чином, знаючи одну з характеристик ланцюга, можна визначити будь-які інші.
Зробимо тотожне перетворення рівності, додавши до середньої частини .
Тоді будемо мати .
Оскільки являє собою зображення похідної перехідної характеристики, то початковий рівність можна переписати у вигляді:
.
Переходячи в область оригіналів, одержуємо формулу, що дозволяє визначити імпульсну характеристику ланцюга за відомою її перехідною характеристикою:
.
Якщо , То .
Зворотне співвідношення між зазначеними характеристиками має вигляд:
.
За передавальної функції легко встановити наявність у складі функції доданка .
Якщо ступеня чисельника і знаменника однакові, то розглядається доданок буде присутній. Якщо ж функція є правильною дробом, то цього доданка не буде.
Приклад: визначити імпульсні характеристики для напружень і в послідовній -Ланцюга, показаної на малюнку 4.

Рис. 4
Визначимо :
.
По таблиці відповідностей перейдемо до оригіналу:
.
Графік цієї функції зображений на малюнку 5.

Рис. 5

Передавальна функція :
.
Згідно таблиці відповідностей маємо:
.
Графік отриманої функції показаний на малюнку 6.

Рис. 6
Зазначимо, що такі самі висловлювання можна було отримати за допомогою співвідношень, що встановлюють зв'язок між і .
Імпульсна характеристика по фізичній змісту відображає собою процес вільних коливань і з цієї причини можна стверджувати, що в реальних ланцюгах завжди повинна виконуватися умова:
.
4. Інтеграли згортки (накладення)
Розглянемо порядок визначення реакції лінійної електричного кола на складне вплив, якщо відома імпульсна характеристика цього ланцюга . Будемо вважати, що вплив є кусково-безперервну функцію , Показану на малюнку 7.

Рис. 7
Нехай потрібно знайти значення реакції в деякий момент часу . Вирішуючи це завдання, представимо вплив у вигляді суми прямокутних імпульсів нескінченно малої тривалості, один з яких, відповідний моменту часу , Зображений на малюнку 7. Цей імпульс характеризується тривалістю і висотою .
З раніше розглянутого матеріалу відомо, що реакцію ланцюга на короткий імпульс можна вважати рівними добутку імпульсної характеристики ланцюга на площу імпульсного впливу. Отже, нескінченно мала складова реакції, обумовлена ​​цим імпульсним впливом, в момент часу буде рівною:
,
оскільки площа імпульсу дорівнює , А від моменту його застосування до моменту спостереження проходить час .
Використовуючи принцип накладення, повну реакцію ланцюга можна визначити як суму нескінченно великого числа нескінченно малих складових , Викликаних послідовністю нескінченно малих за площею імпульсних впливів, що передують моменту часу .
Таким чином:
.
Ця формула вірна для будь-яких значень , Тому зазвичай змінну позначають просто . Тоді:
.
Отримане співвідношення називають інтегралом згортки або інтегралом накладення. Функцію , Яка перебуває у результаті обчислення інтеграла згортки, називають згорткою і .
Можна знайти іншу форму інтеграла згортки, якщо в отриманому виразі для здійснити заміну змінних:
.
Приклад: знайти напруга на ємності послідовної -Ланцюга (рис. 8), якщо на вході діє експонентний імпульс види:


Рис. 8
Скористаємося інтегралом згортки:
.
Вираз для було отримано раніше.
Отже, , І .
Тоді

Такий же результат можна отримати, застосувавши інтеграл Дюамеля.

Література:
Білецький А. Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1986. (Підручник)
Бакалов В. П. та ін Теорія електричних ланцюгів. - М.: Радіо і зв'язок, 1998. (Підручник);
Качанов Н. С. та ін Лінійні радіотехнічні пристрої. М.: Воен. издат., 1974. (Підручник);
Попов В. П. Основи теорії ланцюгів - М.: Вища школа, 2000. (Підручник)