Теорія електричних ланцюгів

МІНІСТЕРСТВО ЗВ'ЯЗКУ

Сибірський державний університет

телекомунікацій та інформатики.

Міжрегіональний центр перепідготовки фахівців

ЕКЗАМЕНАЦІЙНА РОБОТА

з дисципліни

«Теорія електричних ланцюгів»

Варіант № 10

Виконав:

студент групи

2009

Квиток № 10 за курсом ТЕЦ

Розрахунок реакції кола на вплив довільної форми. Імпульсна характеристика ланцюга. Інтеграл накладення.

Відповідь:

В основі тимчасового методу лежить поняття перехідної та імпульсної характеристик ланцюга. Перехідний характеристикою ланцюга називають реакцію ланцюга на вплив у формі одиничної функції. Позначається перехідна характеристика ланцюга g (t). Імпульсною характеристикою ланцюга називають реакцію ланцюга на вплив одиничної імпульсної функції (d-функції). Позначається імпульсна характеристика h (t). Причому, g (t) і h (t) визначаються при нульових початкових умовах в ланцюзі. У залежності від типу реакції і типи впливу (струм або напруга) перехідні і імпульсні характеристики можуть бути безрозмірними величинами, або мають розмірність А / В або В / А.

Використання понять перехідної та імпульсної характеристик ланцюга дозволяє звести розрахунок реакції кола від дії неперіодичного сигналу довільної форми до визначення реакції ланцюга на найпростіше вплив типу одиничною 1 (t) або імпульсної функції d (t), за допомогою яких апроксимується вихідний сигнал. При цьому результуюча реакція лінійного ланцюга знаходиться (з використанням принципу накладення) як сума реакцій ланцюга на елементарні впливу 1 (t) або d (t).

Між перехідною g (t) і імпульсною h (t) характеристиками лінійної пасивної ланцюга існує певний зв'язок. Її можна встановити, якщо уявити одиничну імпульсну функцію через граничний перехід різниці двох одиничних функцій величини 1 / t, зсунутих один щодо одного на час t:

тобто одинична імпульсна функція дорівнює похідної одиничної функції. Оскільки розглянута ланцюг передбачається лінійної, то співвідношення зберігається і для імпульсних і перехідних реакцій ланцюга

тобто імпульсна характеристика є похідною від перехідної характеристики ланцюга.

Рівняння (8.2) справедливо для випадку, коли g (0) = 0 (нульовим початковим е умови для ланцюга). Якщо ж g (0) ¹ 0, то представивши g (t) у вигляді g (t) = , Де = 0, отримаємо рівняння зв'язку для цього випадку:

Для знаходження перехідних та імпульсних характеристик ланцюга можна використовувати як класичний, так і операторний методи. Сутність класичного методу полягає у визначенні тимчасової реакції ланцюга (у формі напруги або струму в окремих гілках ланцюги) на вплив одиничної 1 (t) або імпульсної d (t) функції. Зазвичай класичним методом зручно визначати перехідну характеристику g (t), а імпульсну характеристику h (t) знаходити за допомогою рівнянь зв'язку (8.2), (8.3) або операторних методом.

При знаходженні реакції ланцюга за допомогою інтеграла накладення використовується імпульсна характеристика ланцюга h (t). Для отримання загального вираження інтеграла накладення апроксимуємо вхідний сигнал f ₁ (t) за допомогою системи одиничних імпульсів тривалості d t, амплітуди f ₁ (t) і площі f ₁ (t) d t (рис. 8.5). Вихідна реакція ланцюга на кожен з одиничних імпульсів

Використовуючи принцип накладення, неважко

отримати сумарну реакцію ланцюга на систему одиничних імпульсів:

Інтеграл (8.12) носить назву інтеграла накладення *. Між інтегралами накладення та Дюамеля існує простий зв'язок, обумовлена зв'язком (8.3) між імпульсної h (t) і перехідною g (t) характеристиками ланцюга. Підставивши, наприклад, значення h (t) з (8.3) у формулу (8.12) з урахуванням фільтруючого властивості d-функції (7.23), отримаємо інтеграл Дюамеля у формі (8.11).

Приклад. На вхід R С-ланцюга подається стрибок напруги U _1. Визначити реакцію ланцюга на виході з використанням інтегралів накладення (8.12) і Дюамеля (8.11).

Імпульсна характеристика даної ланцюга дорівнює (див. табл. 8.1): h _u (t) = = (1 / R C) e ^{- t / RC.} Тоді, підставляючи h _u (t - T) = (1 / R C) e ^{- (t - t) / RC} у формулу (8.12), отримуємо:

Аналогічно результат отримуємо при використанні перехідної функції даної ланцюга та інтеграла Дюамеля (8.11):

Якщо початок впливу не збігається з початком відліку часу, то інтеграл (8.12) приймає вигляд

Інтеграли накладення (8.12) і (8.13) являють собою згортку вхідного сигналу з імпульсною характеристикою ланцюга і широко застосовуються в теорії електричних ланцюгів і теорії передачі сигналів. Її фізичний сенс полягає в тому, що вхід ної сигнал f ₁ (t) як би зважується за допомогою функції h (t - t): чим повільніше убуває з часом h (t), тим більший вплив на вихідний сигнал надає більш віддалені від моменту спостереження значення вхідного впливу.

На рис. 8.6, а показаний сигнал f ₁ (t) і імпульсна характеристика h (t - t), що є дзеркальним відображенням h (t), а на рис. 8.6, б приведена згортка сигналу f ₁ (t) з функцією h (t - t) (заштрихована частина), чисельно рівна реакції ланцюга в момент t.

З рис. 8.6 видно, що відгук на виході ланцюга не може бути коротше сумарної тривалості сигналу t ₁ і імпульсної характеристики t _h. Таким чином, для того щоб вихідний сигнал не спотворювався імпульсна характеристика ланцюга повинна прагнути до d-функції.

Очевидно також, що у фізично реалізованої ланцюга реакція не може виникнути раніше впливу. А це означає, що імпульсна характеристика фізично реалізованої ланцюга повинна задовольняти умові

Для фізично реалізованої стійкою ланцюга крім того має виконуватися умова абсолютної інтегровності імпульсної характеристики:

Якщо вхідний вплив має складну форму або задається графічно, то для обчислення реакції ланцюга замість інтеграла згортки (8.12) застосовують Графоаналитический спосіб.

2. Завдання

Дано: