Академія
Кафедра Фізики
Реферат
«Основні положення синтезу електричних ланцюгів»
Орел 2009
Зміст
Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
Поняття про синтез електричних ланцюгів ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 4
Умови фізичної реалізованості передавальних функцій ... ... ... ... ... ... 4
Етапи розв'язання задачі синтезу ЕЦ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7
Методи апроксимації заданих характеристик ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 9
Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
Введення
Найважливішою складовою частиною проектування систем передачі та обробки інформації, а також їх компонентів, є задача синтезу, під яким розуміють побудову ланцюгів з заданими властивостями.
Головне в задачах синтезу, неодмінно підлягає виконанню, полягає в тому, що проектована ланцюг повинна відтворювати з необхідною точністю одну або декілька заданих характеристик.
Поняття про синтез електричних ланцюгів
Наближене опис необхідних властивостей з допомогою математичних рівнянь, функцій, алгоритмів і т.д. надалі будемо називати математичної моделлю.
Якщо по ній можна побудувати електричну схему, то таку модель називають задовольняє умовам фізичної реалізованості (УФР) або здійсненності (УФО).
Відзначимо також той факт, що однією і тією ж математичною моделлю, що задовольняє УФР, можуть бути поставлені в точну відповідність не одна, а безліч схем.
Очевидно, що формулювання УФР для тієї чи іншої математичної моделі не є можливими без знання властивостей функцій лінійних електричних ланцюгів. У задачах аналізу і синтезу ЛРТУ частіше за інших використовуються фізично здійсненні математичні моделі у вигляді:
- Операторних передавальних функцій [Т (p), Z (p), Y (p)];
- Комплексних передавальних функцій [T (jω), АЧХ, ФЧХ];
- Часових характеристик [h (t), g (t)].
Розглянемо властивості лише деяких з них, які найбільшою мірою використовуються в задачах синтезу ТЕЦ.
Умови фізичної реалізованості передавальних функцій
а) Властивості операторних передавальних функцій.
Перелічимо основні властивості операторних передатних функцій і квадрата АЧХ пасивних ланцюгів:
1. Передавальна функція є дробово-раціональної функцією з дійсними коефіцієнтами. Речовинність коефіцієнтів пояснюється тим, що вони визначаються елементами схеми.
2. Полюси передавальних функцій розташовуються в лівій півплощині комплексної змінної
де W (p)-поліном чисельника передавальної функції; А 1, А 2, ... А m-коефіцієнти розкладання дробово-раціональної функції на суму простих дробів. Перейдемо від зображення до оригіналу
де в загальному випадку
У пасивних і стійких активного чотириполюсника коливання на виході чотириполюсника після припинення впливу повинні мати затухаючий характер. Це означає, що речові частини полюсів
3. Ступені поліномів числителей передавальної функції і квадрата АЧХ не перевищують ступенів поліномів знаменників, тобто
Отже, будемо вважати, що ВПФ відповідає УФР, якщо Т (р) має:
- Дрібно-раціональну математичну конструкцію (
- Речові коефіцієнти;
- Поліном знаменника - поліном Гурвіца V (p).
б) властивості комплексних передавальних функцій.
де
З отриманого виразу знаходимо
Таким чином, АЧХ є ірраціональною парною функцією частоти ω, а ФЧХ - непарної, трансцендентною функцією.
Для математичного моделювання більш зручною є функція
оскільки вона у всіх випадках є парна дробово-раціональна функція.
Її властивості випливають безпосередньо з властивостей КПФ і АЧХ і дозволяють в простому вигляді висловити УФР відповідних математичних моделей. Отже, для {АЧХ} 2 ці умови мають такий вигляд:
- Дрібно-раціональні математичні конструкції;
- Речовинність коефіцієнтів;
- Парність функцій чисельника і знаменника;
- {АЧХ} 2
Властивості тимчасових характеристик реальних ланцюгів пропонується вивчити самостійно.
Етапи розв'язання задачі синтезу ЕЦ
Суть задачі синтезу в найбільш загальному вигляді полягає в знаходженні ланцюга, що володіє необхідними характеристиками або властивостями і що має в своєму складі елементи тільки заздалегідь певних різновидів, які в подальшому будемо називати елементних базисом.
Припустимо, простоти заради, що синтезируемая ланцюг повинна відтворювати тільки одну характеристику ξ (х), під якою може матися на увазі АЧХ, характеристика загасання, тимчасові характеристики і т.д.
В якості аргументу з «х» найчастіше виступають частота або час.
Як правило ξ (х) задається або у вигляді графіка, або таблиці і, дещо рідше ξ у вигляді аналітичного виразу.
Необхідна функція f (х) завжди задається в деякому інтервалі х Є (x а, х b), який прийнято називати робочим інтервалом.
Проектована ланцюг на цьому інтервалі в ідеальному випадку повинна мати відповідну функцію f (х) точно збігається з ξ (х).
Однак цього домогтися практично неможливо, та й немає в цьому необхідності. Важливо, щоб ланцюгом кінцевої складності забезпечувалася необхідна точність збігів функцій f (х) і ξ (х).
Математичне відстань ρ {ξ (x), f (x)} як характеристика близькості функцій конструюється таким чином, щоб це було одне єдине позитивне число. У теорії синтезу ЕЦ зазвичай використовується чебишовської оцінка точності збігу функцій ξ (х) і f (х). (ЧОТС)
При цьому математичне відстань між ξ (х) і f (х) визначається наступним виразом
Геометричний сенс чебишовської оцінки точності ілюструється графіками (рисунок 1).
У загальному випадку, при синтезі (проектуванні) електричних ланцюгів можна виділити два істотних етапу, які будуть розглянуті в подальшому:
1. Знаходження такої f (х), що задовольняє УФР, щоб у робочому інтервалі
2. Конструювання по знайденій f (х) електричної ланцюга. Назвемо це етапом реалізації.
Малюнок 1.
Методи апроксимації заданих характеристик
У загальному випадку задача апроксимації полягає в конструюванні функцій
Через нестачу часу не представляється можливим висвітлити всі відомі методи вирішення цієї задачі. Тому зупинимося з одного боку на найпростішої з них, що мають досить велику історію їх практичного застосування, а з іншого боку - з сучасними числовими методами, які є не тільки універсальними, але і самими ефективними при відшуканні оптимальних рішень за допомогою ЕОМ.
а) Інтерполяція функцій
При інтерполювання коефіцієнти апроксимуючої функції
Ясно, що зазначена умова дозволяє скласти систему з N рівнянь з N невідомими
Її рішення дозволяє визначити всі варійовані параметри
Переваги методу:
- Ξ (х) може бути задана в будь-якій формі;
- Простота рішення.
Поряд з перевагами, метод інтерполювання володіє двома істотними недоліками:
- В ході виконання завдання апроксимації не контролюється точність наближення функцій d;
- Отримана апроксимуюча функція f (x) може не задовольняти УФР. У цьому випадку вибираються нові вузли інтерполювання, хоча і в цьому випадку немає гарантії виконання УФР.
б) Апроксимація по Тейлору.
Цей вид апроксимації вимагає завдання функції ξ (х) у вигляді аналітичного виразу. При цьому функції f (x) і ξ (х) повинні допускати розкладання в ряд Тейлора в деякій точці x = х 0.
Якщо N - число варійованих коефіцієнтів функції f (х), то в точці x = х 0 повинні бути рівні значення функцій f (х) і ξ (х), а також N-1 їх похідних молодших порядків, тобто
Вирішивши систему рівнянь, знайдемо значення параметрів (коефіцієнти рівняння f (х)).
Хоча такий апроксимації притаманні як і при інтерполювання недоліки, однак на практиці вона знаходить широке застосування.
в) Апроксимація за Чебишевим.
Апроксимація за Чебишевим, або рівномірна найкраща апроксимація, формулюється як задача відшукання таких коефіцієнтів апроксимуючої функції f (х), при яких найбільше відхилення функції f (х) від заданої аналітично ξ (х) в інтервалі апроксимації було б мінімальним, тобто перебуває
Завдання рівномірного найкращого наближення функцій була вперше сформульована великим російським математиком П.Л. Чебишева (1821-1894), а зазначені їм загальні методи її вирішення заклали основи теорії наближення функцій, розвинутої в роботах наших співвітчизників Є.І. Золотарьова, А.А, Макарова, С.М. Бернштейна і ін
Найпростішим і найбільш повно вивчених випадком чебишовської апроксимації є завдання поліноміального наближення я.
Будемо вважати, що функція ξ (х) неперервна на заданому інтервалі. Тоді виявляється справедливою наступна теорема Чебишова:
Для того, щоб поліном f (х) ступеня n найменш відхилявся від заданої функції ξ (х) в інтервалі x а <х <х b. Необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі різниця
На малюнку 2 показаний результат чебишовської апроксимації деякої функції ξ (х) алгебраїчним поліномом 3-го ступеня (n = 3).
Малюнок 2.
Тут число найбільших відхилень в інтервалі
Відзначимо, що відшукання поліномів f (х), що відповідає зазначеним вимогам, є досить трудомістким завданням.
У випадках, коли функція ξ (х) задана в табличній або графічній формі або завдання рівномірного найкращого наближення не має аналітичного рішення, використовуються в даний час чисельні методи математичного програмування.
г) Чисельні методи розв'язання задачі чебишовської апроксимації.
Ці методи дозволяють здійснити найкраще рівномірне наближення заданих на будь-якому кінцевому інтервалі залежностей довільного виду.
Розглянемо один з варіантів чисельних методів, що зводяться до задачі лінійного програмування.
Нехай на інтервалі
f (х) = а 0 х 2 + а 1 х + а 2
Малюнок 3.
Замінимо вказаний інтервал деякою сукупністю точок х а, х 1 ,...., х .. і нехай їх число буде дорівнює a. Функцію ξ (х) також замінимо сукупністю точок
ξ (x а), ξ (х 1 ),...., ξ (х b) і будемо вирішувати завдання чебишовської апроксимації цієї сукупності точок поліномом f (х) = а 0 х 2 + а 1 х + а 2.
Можна довести, що якщо кількість точок взято досить велика, то результати рішення безперервної і дискретної завдань чебишовської наближення збігаються, з точністю до нескінченно малої величини.
Експериментально встановлено, що при апроксимації поліномами практично достатнім буде вибір числа точок, в 5-10 разів перевищує ступінь полінома.
Для вибраних точок можна записати наступну систему з нерівності:
В якості цільової функції виберемо параметр d, який будемо мінімізувати шляхом підбору коефіцієнтів а 0, а 1, а 2, тобто
У наведеній постановці розв'язувана задача повністю вписується в основну задачу лінійного програмування і може бути вирішена за стандартними програмами. Знайдені в результаті вирішення цієї задачі коефіцієнти а 0, а 1, а 2 і будуть визначати поліном найкращого наближення. Аналогічним чином вирішується завдання чебишовської наближення дробово-раціональними функціями.
Переваги чисельних методів:
- Застосовність методу для апроксимації ξ (х) довільного виду, заданої аналітично, або графічно, або таблицею;
- Можливість простого введення в завдання апроксимації УФР у вигляді обмежень, що доповнюють систему (2).
Література
1. Білецький А.Ф. «Теорія лінійних електричних ланцюгів» Москва 1986 - с. 375-379, 407-414.
Кафедра Фізики
Реферат
«Основні положення синтезу електричних ланцюгів»
Орел 2009
Зміст
Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
Поняття про синтез електричних ланцюгів ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 4
Умови фізичної реалізованості передавальних функцій ... ... ... ... ... ... 4
Етапи розв'язання задачі синтезу ЕЦ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7
Методи апроксимації заданих характеристик ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 9
Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .16
Введення
Найважливішою складовою частиною проектування систем передачі та обробки інформації, а також їх компонентів, є задача синтезу, під яким розуміють побудову ланцюгів з заданими властивостями.
Головне в задачах синтезу, неодмінно підлягає виконанню, полягає в тому, що проектована ланцюг повинна відтворювати з необхідною точністю одну або декілька заданих характеристик.
Поняття про синтез електричних ланцюгів
Наближене опис необхідних властивостей з допомогою математичних рівнянь, функцій, алгоритмів і т.д. надалі будемо називати математичної моделлю.
Якщо по ній можна побудувати електричну схему, то таку модель називають задовольняє умовам фізичної реалізованості (УФР) або здійсненності (УФО).
Відзначимо також той факт, що однією і тією ж математичною моделлю, що задовольняє УФР, можуть бути поставлені в точну відповідність не одна, а безліч схем.
Очевидно, що формулювання УФР для тієї чи іншої математичної моделі не є можливими без знання властивостей функцій лінійних електричних ланцюгів. У задачах аналізу і синтезу ЛРТУ частіше за інших використовуються фізично здійсненні математичні моделі у вигляді:
- Операторних передавальних функцій [Т (p), Z (p), Y (p)];
- Комплексних передавальних функцій [T (jω), АЧХ, ФЧХ];
- Часових характеристик [h (t), g (t)].
Розглянемо властивості лише деяких з них, які найбільшою мірою використовуються в задачах синтезу ТЕЦ.
Умови фізичної реалізованості передавальних функцій
а) Властивості операторних передавальних функцій.
Перелічимо основні властивості операторних передатних функцій і квадрата АЧХ пасивних ланцюгів:
1. Передавальна функція є дробово-раціональної функцією з дійсними коефіцієнтами. Речовинність коефіцієнтів пояснюється тим, що вони визначаються елементами схеми.
2. Полюси передавальних функцій розташовуються в лівій півплощині комплексної змінної
де W (p)-поліном чисельника передавальної функції; А 1, А 2, ... А m-коефіцієнти розкладання дробово-раціональної функції на суму простих дробів. Перейдемо від зображення до оригіналу
де в загальному випадку
У пасивних і стійких активного чотириполюсника коливання на виході чотириполюсника після припинення впливу повинні мати затухаючий характер. Це означає, що речові частини полюсів
3. Ступені поліномів числителей передавальної функції і квадрата АЧХ не перевищують ступенів поліномів знаменників, тобто
Отже, будемо вважати, що ВПФ відповідає УФР, якщо Т (р) має:
- Дрібно-раціональну математичну конструкцію (
- Речові коефіцієнти;
- Поліном знаменника - поліном Гурвіца V (p).
б) властивості комплексних передавальних функцій.
З формули (1) при Р = jω отримуємо
де
З отриманого виразу знаходимо
Таким чином, АЧХ є ірраціональною парною функцією частоти ω, а ФЧХ - непарної, трансцендентною функцією.
Для математичного моделювання більш зручною є функція
оскільки вона у всіх випадках є парна дробово-раціональна функція.
Її властивості випливають безпосередньо з властивостей КПФ і АЧХ і дозволяють в простому вигляді висловити УФР відповідних математичних моделей. Отже, для {АЧХ} 2 ці умови мають такий вигляд:
- Дрібно-раціональні математичні конструкції;
- Речовинність коефіцієнтів;
- Парність функцій чисельника і знаменника;
- {АЧХ} 2
Властивості тимчасових характеристик реальних ланцюгів пропонується вивчити самостійно.
Етапи розв'язання задачі синтезу ЕЦ
Суть задачі синтезу в найбільш загальному вигляді полягає в знаходженні ланцюга, що володіє необхідними характеристиками або властивостями і що має в своєму складі елементи тільки заздалегідь певних різновидів, які в подальшому будемо називати елементних базисом.
Припустимо, простоти заради, що синтезируемая ланцюг повинна відтворювати тільки одну характеристику ξ (х), під якою може матися на увазі АЧХ, характеристика загасання, тимчасові характеристики і т.д.
В якості аргументу з «х» найчастіше виступають частота або час.
Як правило ξ (х) задається або у вигляді графіка, або таблиці і, дещо рідше ξ у вигляді аналітичного виразу.
Необхідна функція f (х) завжди задається в деякому інтервалі х Є (x а, х b), який прийнято називати робочим інтервалом.
Проектована ланцюг на цьому інтервалі в ідеальному випадку повинна мати відповідну функцію f (х) точно збігається з ξ (х).
Однак цього домогтися практично неможливо, та й немає в цьому необхідності. Важливо, щоб ланцюгом кінцевої складності забезпечувалася необхідна точність збігів функцій f (х) і ξ (х).
Математичне відстань ρ {ξ (x), f (x)} як характеристика близькості функцій конструюється таким чином, щоб це було одне єдине позитивне число. У теорії синтезу ЕЦ зазвичай використовується чебишовської оцінка точності збігу функцій ξ (х) і f (х). (ЧОТС)
При цьому математичне відстань між ξ (х) і f (х) визначається наступним виразом
Геометричний сенс чебишовської оцінки точності ілюструється графіками (рисунок 1).
У загальному випадку, при синтезі (проектуванні) електричних ланцюгів можна виділити два істотних етапу, які будуть розглянуті в подальшому:
1. Знаходження такої f (х), що задовольняє УФР, щоб у робочому інтервалі
2. Конструювання по знайденій f (х) електричної ланцюга. Назвемо це етапом реалізації.
Малюнок 1.
Методи апроксимації заданих характеристик
У загальному випадку задача апроксимації полягає в конструюванні функцій
Через нестачу часу не представляється можливим висвітлити всі відомі методи вирішення цієї задачі. Тому зупинимося з одного боку на найпростішої з них, що мають досить велику історію їх практичного застосування, а з іншого боку - з сучасними числовими методами, які є не тільки універсальними, але і самими ефективними при відшуканні оптимальних рішень за допомогою ЕОМ.
а) Інтерполяція функцій
При інтерполювання коефіцієнти апроксимуючої функції
Ясно, що зазначена умова дозволяє скласти систему з N рівнянь з N невідомими
Її рішення дозволяє визначити всі варійовані параметри
Переваги методу:
- Ξ (х) може бути задана в будь-якій формі;
- Простота рішення.
Поряд з перевагами, метод інтерполювання володіє двома істотними недоліками:
- В ході виконання завдання апроксимації не контролюється точність наближення функцій d;
- Отримана апроксимуюча функція f (x) може не задовольняти УФР. У цьому випадку вибираються нові вузли інтерполювання, хоча і в цьому випадку немає гарантії виконання УФР.
б) Апроксимація по Тейлору.
Цей вид апроксимації вимагає завдання функції ξ (х) у вигляді аналітичного виразу. При цьому функції f (x) і ξ (х) повинні допускати розкладання в ряд Тейлора в деякій точці x = х 0.
Якщо N - число варійованих коефіцієнтів функції f (х), то в точці x = х 0 повинні бути рівні значення функцій f (х) і ξ (х), а також N-1 їх похідних молодших порядків, тобто
Вирішивши систему рівнянь, знайдемо значення параметрів (коефіцієнти рівняння f (х)).
Хоча такий апроксимації притаманні як і при інтерполювання недоліки, однак на практиці вона знаходить широке застосування.
в) Апроксимація за Чебишевим.
Апроксимація за Чебишевим, або рівномірна найкраща апроксимація, формулюється як задача відшукання таких коефіцієнтів апроксимуючої функції f (х), при яких найбільше відхилення функції f (х) від заданої аналітично ξ (х) в інтервалі апроксимації було б мінімальним, тобто перебуває
Завдання рівномірного найкращого наближення функцій була вперше сформульована великим російським математиком П.Л. Чебишева (1821-1894), а зазначені їм загальні методи її вирішення заклали основи теорії наближення функцій, розвинутої в роботах наших співвітчизників Є.І. Золотарьова, А.А, Макарова, С.М. Бернштейна і ін
Найпростішим і найбільш повно вивчених випадком чебишовської апроксимації є завдання поліноміального наближення я.
Будемо вважати, що функція ξ (х) неперервна на заданому інтервалі. Тоді виявляється справедливою наступна теорема Чебишова:
Для того, щоб поліном f (х) ступеня n найменш відхилявся від заданої функції ξ (х) в інтервалі x а <х <х b. Необхідно і достатньо, щоб в цьому інтервалі різниця
На малюнку 2 показаний результат чебишовської апроксимації деякої функції ξ (х) алгебраїчним поліномом 3-го ступеня (n = 3).
Малюнок 2.
Тут число найбільших відхилень в інтервалі
Відзначимо, що відшукання поліномів f (х), що відповідає зазначеним вимогам, є досить трудомістким завданням.
У випадках, коли функція ξ (х) задана в табличній або графічній формі або завдання рівномірного найкращого наближення не має аналітичного рішення, використовуються в даний час чисельні методи математичного програмування.
г) Чисельні методи розв'язання задачі чебишовської апроксимації.
Ці методи дозволяють здійснити найкраще рівномірне наближення заданих на будь-якому кінцевому інтервалі залежностей довільного виду.
Розглянемо один з варіантів чисельних методів, що зводяться до задачі лінійного програмування.
Нехай на інтервалі
f (х) = а 0 х 2 + а 1 х + а 2
Малюнок 3.
Замінимо вказаний інтервал деякою сукупністю точок х а, х 1 ,...., х .. і нехай їх число буде дорівнює a. Функцію ξ (х) також замінимо сукупністю точок
ξ (x а), ξ (х 1 ),...., ξ (х b) і будемо вирішувати завдання чебишовської апроксимації цієї сукупності точок поліномом f (х) = а 0 х 2 + а 1 х + а 2.
Можна довести, що якщо кількість точок взято досить велика, то результати рішення безперервної і дискретної завдань чебишовської наближення збігаються, з точністю до нескінченно малої величини.
Експериментально встановлено, що при апроксимації поліномами практично достатнім буде вибір числа точок, в 5-10 разів перевищує ступінь полінома.
Для вибраних точок можна записати наступну систему з нерівності:
В якості цільової функції виберемо параметр d, який будемо мінімізувати шляхом підбору коефіцієнтів а 0, а 1, а 2, тобто
У наведеній постановці розв'язувана задача повністю вписується в основну задачу лінійного програмування і може бути вирішена за стандартними програмами. Знайдені в результаті вирішення цієї задачі коефіцієнти а 0, а 1, а 2 і будуть визначати поліном найкращого наближення. Аналогічним чином вирішується завдання чебишовської наближення дробово-раціональними функціями.
Переваги чисельних методів:
- Застосовність методу для апроксимації ξ (х) довільного виду, заданої аналітично, або графічно, або таблицею;
- Можливість простого введення в завдання апроксимації УФР у вигляді обмежень, що доповнюють систему (2).
Література
1. Білецький А.Ф. «Теорія лінійних електричних ланцюгів» Москва 1986 - с. 375-379, 407-414.