ЗМІСТ
Введення
Глава 1. Теоретичні основи навчання рішенню завдань
1.1 Визначення завдання. Класифікація і функції задач у навчанні
1.2 Навчання пошуку вирішення завдань
1.3 Методичні особливості вирішення нестандартних завдань
Глава 2. Методика вирішення нестандартних завдань в старших класах середньої школи
2.1 Особливості рішення текстових завдань
2.2 Методика рішення рівнянь і нерівностей
2.3 Особливості вирішення завдань з параметрами
2.4 Педагогічний експеримент та аналіз результатів
2.4.1 Констатуючий етап експерименту
2.4.2 Пошуковий етап дослідження
2.4.3 Формуючий етап експерименту
Висновок
Список літератури
ВСТУП
У житті кожної людини постійно виникає велика кількість таких ситуацій, які пов'язані з числами і вимагають виконання арифметичних дій над ними, - це завдання. Кожному вчителю добре відомо, яке велике місце в початковому навчанні математика займала завжди, і зараз продовжують займати текстові задачі. У математичних задачах здійснюється перехід від життєвих ситуацій до арифметичних дій, отже, в загальній системі навчання математики вирішення завдань є одним з видів ефективних вправ.
Основним завданням навчання математики в школі є розвиток математичного мислення через навчання загальним способам дій з математичними моделями реальної дійсності і способам побудови цих моделей.
Навчання побудов моделей в основному здійснюється при вирішенні математичних завдань. Рішення задач включається практично до кожного уроку математики, тому дуже важливо правильно організувати і спланувати урок математики.
Засвоєння учнями математичних знань залежить не тільки від правильного вибору методів роботи, але і від форми організації навчального процесу і вмілого його здійснення. Урок - основна ланка навчально-виховного процесу. Плануючи урок, визначаючи його завдання, необхідно враховувати, що він завжди є лише частиною, однією ланкою більш-менш довгого ланцюжка уроків, реалізують тему, розділ, навчальний предмет в цілому. Тому повинен бути пов'язаний з усіма попередніми і наступними уроками [10,19].
За новим визначенням, знання представляються не як володіння будь-якою інформацією, а як вміння і здатність знайти потрібну інформацію і правильно застосовувати її на практиці. Тому найважливішим завданням школи є не формування носія певної суми знань, а сприяння становленню особистості, що орієнтується в потоці нової інформації і вміє її творчо переробити, а це значить, що сучасній системі шкільної освіти відповідає лише така теорія, яка враховує розвиваючу роль навчання і виховання в становленні особистості дитини. Школа повинна готувати не тільки знає, а й вміє учня.
При вирішенні так званих «розвиваючих завдань» прищеплюються "звички розуму", вчителі вчать тому, як думати, а не тому, що думати. Діти самі можуть осягати сенс впізнаваного за допомогою уміння міркувати, задавати питання по суті, вловлювати взаємозв'язку, виявляти моделі, вирішувати проблеми, приймати правильні рішення, розуміти і цінувати різноманітність, працювати спільно з іншими людьми, ризикувати й управляти ситуацією. Акцент робиться не на запам'ятовування фактів, а на вміння критично і творчо думати.
Основоположними працями з теорії розвивального навчання є праці Л.С. Виготського, П.Я. Гальперіна, В.В. Давидова, Л.В. Занкова, Є.І. Кабанова-Меллер, О.М. Леонтьєва, Н.А. Менчинской, С.Л. Рубінштейна, Н.Ф. Тализіної, Д. Б. Ельконіна, І.С. Якиманской і др. У сфері педагогіки в теорії розвивального навчання істотний внесок зробили Ю.К. Бабанський, Л.Я. Зоріна, І.Я. Лернер, М.І. Махмутов та ін
Розробці теоретичних основ розвивального навчання математики присвячені спеціальні дослідження Х.Ж. Ганеева, Н.Б. Істоміної, Л.Г. Петерсон, З.І. Слєпкань та ін Велика увага в роботах з розвивального навчання приділяється математичному мисленню.
Формування математичного стилю мислення є важливим для життя в сучасному суспільстві. Об'єкти математичних умовиводів і правила їх конструювання повинні виробляти вміння формулювати, обгрунтовувати і доводити судження, тобто розвивати логічне мислення. Відомий математик - педагог Д. Пойа в книзі «Як вирішувати проблему?» Писав: «Що означає володіння математикою? Це є вміння вирішувати завдання, причому не тільки стандартні, але й потребують відомої незалежності мислення, здорового глузду, оригінальності, винахідливості ». Тому найважливішим завданням школи є не формування носія певної суми знань, а сприяння становленню особистості, що орієнтується в потоці нової інформації і вміє її творчо переробити. Основи такого вміння необхідно закласти в початковій школі, де величезна роль, природно, належить вчителю [20].
Все вищесказане свідчить про актуальність проблеми дослідження.
Проблема дослідження полягає в більш глибокому вивченні теми «Методика рішення задач підвищеної труднощі в старших класах середньої школи», аналізі змісту і методів розв'язання розвиваючих завдань, пошуку шляхів підвищення ефективності використання завдань у процесі навчання.
Об'єкт дослідження - процес навчання математики в середній школі.
Предмет дослідження - сюжетні завдання курсу математики та їх використання з метою інтелектуального розвитку учнів і підвищення якості навчання.
Мета дослідження полягає у вивченні впливу завдань підвищеної складності на розумовий розвиток учнів та виявленні методичних особливостей використання завдань зазначеного типу на уроках математики.
Гіпотеза дослідження: систематичне і цілеспрямоване рішення задач підвищеної труднощі з урахуванням рівня розвитку пізнавальних здібностей учня буде сприяти розвитку всіх пізнавальних процесів школярів, а також математичної інтуїції й творчого підходу до вирішення найрізноманітніших завдань.
Виходячи з мети дослідження виділено завдання дослідження:
1. Вивчення математичної, психолого-педагогічної та методичної літератури з проблеми дослідження.
2. Пошук найбільш ефективних шляхів і способів організації вирішення завдань на уроках математики.
3. Розробка методики рішення задач підвищеної труднощі на уроках математики і в позакласній роботі в середній школі.
4. Експериментальна перевірка висунутої гіпотези в природно-педагогічному експерименті, аналіз результатів.
При вирішенні вищевикладених завдань використовувалися такі методи дослідження:
1. Вивчення та аналіз математичної, методичної, педагогічної та психологічної літератури.
2. Спостереження, анкетування.
3. Експериментальна перевірка.
Глава 1. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ НАВЧАННЯ ВИРІШЕННЯ ЗАВДАНЬ
1.1 Визначення завдання. Класифікація і функції задач у навчанні
Навчальні математичні завдання є дуже ефективним і часто незамінним засобом засвоєння учнями понять і методів шкільного курсу математики. Велика роль завдань у розвитку математичного мислення і в математичному вихованні учнів, у формуванні в них умінь і навичок у практичному застосуванні математики. Рішення задач служить досягненню всіх тих цілей, які ставляться перед навчанням математики.
Кожна конкретна навчальна математична задача призначається для досягнення найчастіше не однієї, а декількох педагогічних, дидактичних, навчальних цілей. І ці цілі характеризуються як змістом завдання, так і призначенням, яке надає завданню вчитель. Дидактичні цілі визначають роль задач у навчанні математики. Залежно від змісту завдання і дидактичних цілей її застосування з усіх ролей, які відводяться конкретного завдання, можна виділити її провідну роль.
Навчальна роль математичних задач. Цю роль математичні завдання виконують при формуванні в учнів системи знань, умінь і навичок з математики та її конкретним дисциплінам. Слід виділити кілька видів завдань з їх навчальною ролі:
· Завдання для засвоєння математичних понять,
· Завдання для оволодіння математичної символікою,
· Завдання для навчання доказам,
· Завдання для формування математичних умінь і навичок,
· Завдання, що передують вивчення нових математичних фактів, що створюють проблемну ситуацію.
Розвиваюча роль завдань. Одне з основних призначень завдань полягає в тому, щоб активізувати розумову діяльність учнів на уроці математичні завдання повинні, перш за все, будити думку учнів, змушувати її працювати, розвиватися, вдосконалюватися. Говорячи про активізацію мислення учнів, не можна забувати, що при вирішенні математичних завдань учні не тільки виконують побудови, перетворення, запам'ятовують формулювання, а й навчаються чіткому мисленню, вмінню розмірковувати, зіставляти і протиставляти факти, знаходити в них спільне і відмінне, робити правильні умовиводи.
Перерахуємо види завдань, які активізують і розвивають мислення учнів:
- Завдання та вправи, що включають елементи дослідження,
- Завдання на доказ,
- Завдання та вправи на відшукання помилок,
- Цікаві завдання,
- Відшукання різних варіантів рішення і вибір кращого з них,
- Складання задач учнями.
Виховна роль завдань полягає у формуванні особистісних якостей: сили волі, акуратності і т.п.
Завдання - це питання, яке потребує вирішення на підставі певних знань і роздуми.
Процес рішення задачі являє собою пошук виходу зі скрути або шляхи обходу перешкоди, - це процес досягнення мети, яка спочатку не здається відразу доступною.
Завдання передбачає необхідність свідомого пошуку відповідного засобу для досягнення ясно видимою, але безпосередньо недоступною мети.
Знайти рішення задачі - це значить встановити зв'язок між заздалегідь диференційованими об'єктами або ідеями (об'єктами, які в нас є, і об'єктами, які нам потрібно відшукати, даними і невідомим, передумовою і висновком).
У роботі виділяються завдання з дидактичними, пізнавальними та розвиваючими функціями. Завдання з дидактичними функціями (ввідні, тренувальні) призначаються переважно для полегшення введення або закріплення досліджуваних теоретичних відомостей. Це завдання на безпосереднє застосування досліджуваної теорії, закріплення основних понять і фактів. Завдання з пізнавальними функціями (теоретичні, практичні) містять нову для учнів навчальну інформацію. Вони орієнтовані на більш глибоке засвоєння основного матеріалу шкільного курсу, в процесі їх вирішення учні знайомляться з новими в пізнавальному відношенні теоретичними відомостями: новими поняттями, фактами, методами вирішення завдань. До завдань з розвиваючими функціями належать завдання, зміст яких кілька відходить від основного курсу, посильно ускладнює питання програми. Це завдання на кмітливість, розвиток числової і геометричної інтуїції, просторового уявлення і уяви, логічного мислення. Часто одна і та ж завдання виконує в навчанні кілька функцій одночасно.
Завдання є і предметом, і засобом навчання. Вони сприяють досягненню всіх цілей навчання: виховних, освітніх, розвиваючих. Можливі різні підходи до визначення послідовності у вивченні теоретичного матеріалу і розв'язуванні завдань:
а) вивчається невеликий блок теоретичного матеріалу, потім вирішуються завдання, пов'язані з ним (традиційний підхід);
б) ведеться «випереджаючий» вивчення теоретичного матеріалу, після вивчення великого блоку теорії вирішуються завдання відразу по всьому матеріалу цього блоку;
в) ведеться «випереджаючий» рішення завдань (теоретичний матеріал теми розглядається спочатку на ознайомлювальному рівні, теореми поки не доводяться; після ознайомлення з формулюваннями визначень і теорем відразу переходять до вирішення завдань; в міру набуття навичок вирішення завдань звертаються до вивчення доказів теорем теоретичної частини курсу , причому багато хто з цих доказів проводяться учнями самостійно). Досвід вчителів-новаторів показує, що «великоблочні» вивчення теоретичного матеріалу дозволяє вирішити проблему дефіциту навчального часу, інтенсифікувати навчальний процес, не перевантажуючи учнів [10,20].
Перейдемо до розгляду класифікацій завдань. Спочатку необхідно визначити ту ознаку, по якому будемо класифікувати.
За змістом завдання діляться на практичні (завдання з практичним змістом) і математичні. При вирішенні практичних завдань використовується метод математичного моделювання, його суть в наступному:
а) переводимо реальну ситуацію на математичну мову і будуємо математичну модель;
б) працюємо всередині математичної моделі і отримуємо результат;
в) переводимо назад на реальний мова або інтерпретуємо результат. При вирішенні математичної задачі використовується тільки другий етап.
На вимогу виділяють завдання на доказ, на побудову та на обчислення.
За характером розумової діяльності розрізняють стандартні і нестандартні задачі. До стандартних належать завдання, які мають певний алгоритм рішення (алгоритмічно розв'язні завдання). Завдання, які не мають загального алгоритму рішення, називаються нестандартними. Нестандартні завдання мають чітко виражену розвиваючу функцію. Функції розв'язуваної стандартної завдання залежать від того, якими теоретичними знаннями володіють учні до моменту її рішення. Якщо учням відомий алгоритм вирішення цієї задачі, то її можна вважати шаблонною. Якщо до моменту вирішення стандартної завдання загальний метод її вирішення не відомий, то така задача є непересічно (при її вирішенні необхідно виявити загальний метод рішення або застосувати будь-якої штучний прийом). Нестандартні та нешаблонний завдання (внаслідок спільності їх функції у навчанні) можна об'єднати в одну групу - групу творчих завдань.
По цілям застосування завдань у навчальному процесі виділяють завдання підготовчі, завдання на закріплення, на придбання нових знань, на розвиток мислення.
У початкових класах учні розглядають і вирішують різноманітні завдання, більшість яких містить числові дані. Крім того, учні повинні познайомиться з рішенням завдань, в яких значення однієї - двох величин виражені буквами. Ці завдання підводять учнів до більш широких узагальнень і служать вступним матеріалом до вивчення алгебри. Сюжет деяких вирішуються в початкових класах завдань побудований на геометричному матеріалі, тобто в них йде мова про фігури і протяжності. Більшість цих завдань назвати геометричними в повному сенсі не можна.
Таким чином, основна увага звертається на розгляд завдань з числовими даними, при вирішенні яких використовують як арифметичні, так і алгебраїчні методи. Серед математичних задач розрізняють завдання прості і складні.
До простих завдань відносять ті, які можна вирішити одним дією. Завдання, які складені з декількох простих і тому вирішуються за допомогою двох і більше дій, називають складовими завданнями.
До будь-якої простої задачі можна скласти дві обернені задачі, то є дві такі завдання, у кожної з яких у той же сюжет шукане число з прямої задачі включено у вигляді одного з даних, а в якості шуканого виступає число, відоме з умови прямої задачі.
У залежності від тих понять, які розглядаються в курсі математики початкових класів, прості завдання ділять на три групи.
Перша група включає прості завдання, при яких учні засвоюють конкретний зміст кожного з арифметичних дій. 1) Знаходження суми. 2) Знаходження залишку. 3) Знаходження суми однакових доданків. 4) Поділ на рівні частини; поділ за змістом.
Друга група включає прості завдання, при вирішенні яких учні засвоюють зв'язок між компонентами і результатами арифметичних дій. Це прості задачі на знаходження невідомого компонента.
Третя група - прості завдання, при вирішенні яких розкриваються поняття різниці і кратного відносини.
Проте, розглядаючи різні підходи до класифікації простих завдань, Л.В. Занков зауважує, що жодна класифікація не дозволяє встановити послідовність, в якій слід розглядати їх при навчанні дітей рішенню завдань. Це є істотним недоліком різних класифікацій. Однак, знаючи принципи класифікації простих завдань, вчитель з меншою витратою праці і часу навчить школярів правильно знаходити, яким дією вирішується та чи інша задача [11,12].
Методика має в своєму розпорядженні достатньо обгрунтованими судженнями про значення і системі використання простих завдань у початкових класах. Прості задачі потрібні учневі для того, щоб:
1) ознайомитися зі структурою математичної задачі;
2) виробити в дитини свідоме ставлення до вибору дії, яке потрібно зробити для знаходження відповіді на питання завдання; завдання допомагають розкрити сенс дій;
3) побачити елементарні функціональні залежності між величинами, які входять в умову, зрозуміти зв'язок між компонентами дій;
4) зв'язати різні математичні вправи з життям, що підвищує у дітей інтерес до предмета, оживляє процес оволодіння навичками;
5) робота зі зміною тексту простої задачі дозволяє учневі оволодіти більш абстрактними математичними поняттями, переходити до узагальнень і абстрагування;
6) готувати учня до розуміння вирішення різноманітних складових завдань [15].
1.2 Навчання пошуку вирішення завдань
З чого починати вирішення завдання? Рух вашої думки, як зауважив відомий радянський психолог П.Я. Гальперін, не повинно бути «броунівським», тобто безладним. Головне - потрібно зробити глибокий і всебічний аналіз завдання.
Вирішити математичну задачу - це значить знайти таку послідовність загальних положень математики (визначень, аксіом, теорем, правил, законів, формул), застосовуючи які до умов завдання або до їх наслідків (проміжними результатами рішення) отримуємо те, що потрібно в задачі, - її відповідь.
Основними методами пошуку вирішення завдань є аналіз і синтез. Завдяки аналізу здійснюється цілеспрямована актуалізація знань (знання актуалізуються не механічно, навмання, «наосліп», а в зв'язку з потребою в них). У ході аналізу природно визначаються момент використання знань (не тоді, коли згадуєш, а тоді, коли потрібно), вибір знань (беруться лише ті знання, в яких виникла потреба при аналізі), форма використання знань (не так, як у підручнику, а в тому вигляді, в якому це зручніше для вирішення задачі) та характер використання знань (все відразу або по черзі).
Раніше було розглянуто аналіз Паппа і аналіз Евкліда. Вони застосовні і при пошуку рішень завдань. Кожен з цих аналізів має свою область застосування. Наприклад, при пошуку рішень текстових задач за допомогою рівнянь більш зручним є аналіз Евкліда: шукана величина позначається через х і на основі тексту завдання виводяться слідства до тих пір, поки не буде отримано рівняння, що зв'язує шукану величину х з даними величинами. Пошук рішення текстових завдань (розв'язуваних арифметичними засобами) зручніше вести за допомогою аналізу Паппа. Пошук вирішення таких завдань починають з питання завдання і визначають, які величини треба знати, щоб відповісти на це питання. Далі з'ясовують, чи є ці величини відомими. Якщо деякі з них не дані в умові завдання, то ставиться питання, як можна знайти такі величини, що необхідно знати для цього. Подібні питання повторюють до тих пір, поки не виявиться, що знаходження «проміжних» невідомих величин зводиться до обчислень з даними величинами.
Таким чином, при вирішенні завдань можна виділити наступні загальні прийоми розумової діяльності: перший прийом - прийом розгортання терміна, він складається у виведенні всіляких наслідків з умови задачі або в з'ясуванні всіляких властивостей об'єктів, про які йдеться в задачі. Другий прийом - аналіз через синтез - «човник» полягає в чергуванні висхідного аналізу та синтетичних міркувань. Ці два прийоми підводять до формування плану виконання завдання. Третій прийом - прийом побудови дедуктивних умовиводів. Саме ці прийоми повинні бути відпрацьовані з учнями.
На закінчення відзначимо, що більшість прийомів пошуку вирішення завдань базується на досить серйозному логічному змісті, тому оволодіння ними учнями можливе лише за умови систематичного і цілеспрямованого їх застосування. Корисно практикувати в цих цілях короткий методологічний коментар, роз'яснюють учням суть застосовуваних прийомів пошуку вирішення завдань [10,12].
Сам процес вирішення завдань при певній методиці робить досить позитивний вплив на розумовий розвиток дітей, оскільки він вимагає виконання розумових операцій аналізу і синтезу, абстрагування і конкретизації, порівняння, узагальнення.
Існують різні методичні підходи до навчання дітей рішенню текстових задач. Але яку б методику навчання не вибрав вчитель, йому треба знати, як побудовані такі завдання, і вміти їх вирішувати різними способами.
Отже, будь-яка текстова завдання - як вважає Л.П. Стойлова - є опис на природній мові якогось явища (ситуації або процесу) з вимогою дати кількісну характеристику будь-якого компонента цього явища, встановити наявність або відсутність деякого відносини між компонентами або визначити вид цього відношення. М.І. Моро, А.М. Пишкало визначають завдання, як сформульований словами питання, відповідь на який може бути отриманий за допомогою арифметичних дій.
Перш за все, кожне завдання включає числа: дані і шукані. Числа в задачі характеризують чисельності множин або значення величини, висловлюють ставлення чи є абстрактними даними числами.
Кожне завдання має умову і питання. У умови завдання вказуються зв'язку між даними числами, а так само між даними і шуканими; ці зв'язки і визначають вибір відповідних арифметичних дій. Питання вказує, яке число є шуканим. Виходячи з цього, І.Б. Істоміна вважає, що будь-математичне завдання можна розглядати, як завдання, виділивши в ньому умову і вимога.
Уточнимо тепер сенс терміна «рішення задачі». Так склалося, що цим терміном позначають різні поняття:
1) рішенням задачі називають результат, тобто відповідь на вимогу завдання, на поставлене в ній питання. Найчастіше діти розуміють під рішенням завдання відповідь на поставлене нею питання.
2) рішенням задачі називають процес знаходження цього результату, причому цей процес розглядається двояко: і як метод знаходження результату, (наприклад, говорять про рішення завдання арифметичним способом) і як послідовність дій, які виконає вирішальний, застосовуючи той чи інший метод (тобто . в даному випадку під рішенням завдання розуміється вся діяльність людини, вирішального завдання).
Досить часто буває так, що як тільки вчитель повідомив завдання, діти відразу ж дають відповідь на її питання. Але це далеко не завжди задовольняє вчителя. Він прагне з'ясувати, як отримана відповідь, на основі яких міркувань, за допомогою якого арифметичної дії і т.п. спочатку вчитель вимагає зазвичай «повного» відповіді на запитання. Це має сенс не тільки з точки зору розвитку усного мовлення учня, але і для того, щоб діти ще раз повернулися подумки до тексту завдання, зіставляли свою відповідь з умовою і питанням завдання. Отримавши відповідь, вчитель продовжує запитувати: «Як ти це дізнався?» Цей, здавалося б, просте запитання нерідко для учня буває важким: «Я здогадався», «Я підрахував» - ось типові відповіді першокласників у подібних випадках (а іноді й просто Я не знаю ») Серед вчителів була поширена думка, що якщо учень не може пояснити, як отримав відповідь на питання завдання, значить, він не вирішив її. Діти внутрішньо не можуть з цим погодитися. Виникає свого роду конфліктна ситуація, яка в даному випадку зовсім не корисна. Причина її полягає в тому, що вчитель розуміє вимога вирішити завдання значно ширше, ніж просто дати відповідь на її питання.
Для того, щоб такого взаємонерозуміння між вчителем та учнем не виникало, необхідно роз'яснити дітям сенс вимога «вирішити завдання». Корисно, наприклад, сказати дітям наступне: «Завдання, які ви вирішуєте на уроках математики, - це не загадки, які треба розгадати». Вирішити завдання - це значить пояснити які дії потрібно виконати над даними в ній числами, щоб після обчислень отримати число, яке в ній потрібно дізнатися. Записати рішення задачі - значить за допомогою цифр і знаків дій показати, що потрібно зробити, щоб знайти невідоме число, виконати обчислення і дати відповідь на питання завдання.
Навчити дітей розв'язувати задачі - значить навчити їх встановлювати зв'язки між даними і потрібним і відповідно до цього вибирати, а потім і виконувати арифметичні дії.
Щоб добитися цього, вчитель повинен передбачити в методиці навчання розв'язуванню задач одного виду ступені, мають свої цілі.
На першому ступені вчитель веде підготовку до розв'язання завдань даного виду. На цьому ступені діти повинні засвоїти зв'язку, на основі яких вони будуть вибирати дії при вирішенні таких завдань.
На другому щаблі вчитель знайомить учнів з вирішенням завдань розглянутого виду. Тут діти вчаться переходити від конкретної ситуації, вираженої в задачі, до вибору відповідного арифметичної дії.
На третьому ступені вчитель формує вміння розв'язувати задачі розглядуваного виду. Учні повинні навчитися вирішувати будь-яке завдання незалежно від її конкретного змісту.
Особливість рішення сюжетної задачі полягає в тому, що вирішуються, взагалі кажучи, дві різні, хоча і взаємопов'язані проблеми: переклад змісту завдань на мову математики (тобто математизація змісту) і вирішення власне математичної задачі засобами математики, що утворює процес складної розумової діяльності. Щоб оволодіти ним, треба знати основні етапи розв'язання задачі та деякі прийоми їх виконання [11,15].
Структуру процесу рішення задачі можна представити у вигляді такої схеми:
Завдання |
Аналіз завдання |
Пошук рішення |
План рішення |
Здійснюва. плану |
Перевірка |
Відповідь |
Дослідження завдання |
Схематичний. запис |
Аналіз завдання |
1.3 Методичні особливості вирішення нестандартних завдань
Головна мета завдань - розвинути творче та математичне мислення учнів, зацікавити їх математикою, привести до "відкриття" математичних фактів.
Я вважаю, що досягти цієї мети за допомогою звичайних стандартних завдань неможливе. Досвід використання ряду нестандартних завдань показує, що для формування самостійності мислення, виховання творчої активності необхідно включати їх у систему вправ і завдань, що використовуються на уроці, у позакласній роботі. Рішення нестандартних завдань викликає у дітей найбільші труднощі. Зупинимося на понятті "нестандартна завдання".
"Нестандартні завдання - це такі, для яких в курсі математики немає загальних правил і положень, що визначають точну програму їх вирішення", - вважає Фрідман Л.М. [20]. Однак слід зауважити, що поняття "нестандартна завдання" є відносним. Одна і та ж завдання може бути стандартною або нестандартної в залежності від того, чи знайомі учні зі способами вирішення цих завдань.
Нестандартна завдання - це завдання, алгоритм вирішення якої учням невідомий, тобто учні не знають заздалегідь ні способів її вирішення, ні того, який навчальний матеріал спирається рішення.
Як вчитель може допомогти учням вирішувати нестандартні задачі? Універсального методу, що дозволяє вирішити будь-яку нестандартну задачу, немає, тому що нестандартні задачі в якійсь мірі неповторні.
Однак у методиці можна знайти опис досвіду вчителів, які домагаються хороших результатів у математичному розвитку учнів. Деякі методичні прийоми навчання учнів способам вирішення нестандартних завдань сформовані в книгах Ж. Пойа "Як вирішувати проблему," Математичне відкриття "; Л. І. Фрідмана та Є. М. Турецького" Як навчитися вирішувати завдання "; Ю. М. Колягіна" Вчися вирішувати завдання ". Розглянемо окремі методичні прийоми навчання учнів розв'язувати нестандартні задачі:
1. Перш за все, відзначимо, що навчити учнів розв'язувати задачі (у т.ч. нестандартні) можна тільки в тому випадку, якщо в учнів буде бажання їх вирішувати, тобто якщо завдання будуть змістовними і цікавими з точки зору учня. Тому завдання вчителя - викликати в учнів інтерес до вирішення того чи іншого завдання. Необхідно ретельно відбирати цікаві завдання і робити їх привабливими для учнів.
Це можуть бути - завдання - жарти, задачі - казки, старовинні задачі і т.п. Одне безперечно: найбільший інтерес в учнів викликають завдання, взяті з навколишнього життя, завдання, пов'язані зі знайомими речами, досвідом. Важливо показати дітям, що з рішення математичної задачі можна отримати таке ж задоволення, як від розгаданого кросворда або ребуса.
2. Завдання не повинні бути надто легкими, але і не занадто важкими, тому що учні, не вирішивши завдання або не розібравшись в рішенні, запропонованому вчителем, можуть втратити віру в свої сили. У цьому випадку дуже важливо дотримати міру допомоги. Перш за все, вчитель не повинен знайомити учнів з уже готовим рішенням. Підказка повинна бути мінімальною. Л.М. Фрідман у своїй книзі "Як навчитися вирішувати завдання" пише: "Для успішного рішення нестандартних завдань необхідно, перш за все, вміти думати, здогадуватися. Але цього мало. Потрібні, звичайно, і знання, і досвід у вирішенні незвичайних завдань; корисно володіти і певними загальними підходами до вирішення ".
Щоб допомогти учням знайти шлях до розв'язання задачі, вчитель повинен вміти поставити себе на місце вирішального завдання, спробувати побачити і зрозуміти джерело його можливих труднощів. Вміла допомога вчителя залишає різну частку самостійної роботи, дозволить учням розумну частку самостійної роботи, дозволить учням розвинути математичні здібності, накопичити досвід, який у подальшому допоможе знаходити шлях вирішення нових завдань.
"Найкраще, що може зробити вчитель для учня, полягає в тому, щоб шляхом ненастирливої допомоги підказати йому блискучу ідею. Хороші ідеї мають своїм джерелом минулий досвід і раніше набуті знання.
Часто виявляється доречним розпочати роботу з питання: "Чи відома вам якась родинна завдання?" [10]. Таким чином, хорошим засобом навчання рішенню завдань, засобом для знаходження плану рішення є допоміжні завдання.
Уміння підбирати допоміжні завдання свідчить про те, що учні вже володіють певним досвідом вирішення нестандартних завдань. Якщо цей досвід невеликий, то можна запропонувати учням допоміжні завдання. Уміло поставлені питання, допоміжні завдання допоможуть зрозуміти ідею рішення.
Необхідно прагнути до того, щоб учні відчували радість від рішення важкою для них завдання.
Розглянемо приклади вирішення таких завдань, з тим, щоб з'ясувати особливості процесу їх вирішення.
1. У трьох ящиках 300 яблук. Число яблук перше скриньки складає половину числа яблук другого ящика і третина числа яблук третього ящика. Скільки яблук у кожному ящику?
Рішення. Це завдання є текстової. Для подібних завдань ніякого загального правила, що визначає точну програму, їх вирішення не існує. Однак це не означає, що взагалі немає будь-яких вказівок для вирішення таких завдань. Позначимо кількість яблук у першому ящику через х. Тоді у другому ящику було 2 х яблук, в третьому - 3 х. Отже, склавши всі числа х +2 х +3 х, ми повинні отримати 300 яблук. Отримуємо рівняння х +2 х +3 х = 300.Решів рівняння, знайдемо: х = 50 яблук, 2 х = 100 яблук, 3 х = 150 яблук.
Тож у першому ящику було 50 яблук, у другому - 100 яблук, в третьому - 150 яблук. Проаналізуємо процес наведеного рішення задачі. Спочатку ми визначили вигляд завдання "текстова задача", і, виходячи з цього, виникла ідея рішення ("скласти рівняння").
Для цього, користуючись загальними вказівками і зразками вирішення подібних завдань, отриманих на уроках ("треба позначити одне з невідомих буквою, наприклад х, і висловити інші невідомі через х, потім скласти рівність з отриманих виразів"), ми побудували рівняння.
Зауважимо, що ці вказівки, якими ми користувалися, не є правилами, бо в них нічого не сказано, яке з невідомих позначити через х, як висловити інші невідомі через х, як отримати потрібну рівність і т.д. Все це робиться кожен раз по-своєму, виходячи з умов завдання і набутого досвіду вирішення подібних завдань. Отримане рівняння являє собою вже стандартне завдання. Вирішивши її, ми тим самим вирішили і вихідну нестандартну задачу.
Сенс вирішення даної задачі полягає в тому, що за допомогою особливого прийому (складання рівняння) ми звели її рішення до вирішення стандартної завдання.
2. У магазин "Квіти" привезли 30 жовтих тюльпанів і стільки ж червоних. Кожні 3 жовтих тюльпана коштували 20 крб., А кожні 2 червоних тюльпана коштували 30 руб. Продавець склала всі ці тюльпани разом і вирішила зробити букети за 5 тюльпанів і продавати їх за 50 руб. Чи правильно вона розрахувала?
Рішення. Знайдемо вартість усіх тюльпанів, якби продавець не складала тюльпани разом (реальну вартість)
Процес вирішення цієї нестандартної задачі полягає в наступному: це завдання ми розбили на такі підзадачі:
1) перебування реальної вартості;
2) знаходження передбачуваної вартості;
3) порівняння отриманих вартостей і висновок про розрахунок продавця.
Вирішивши ці стандартні підзадачі, ми в кінцевому підсумку вирішуємо і вихідну нестандартну задачу. На думку Л.М. Фрідмана [19,20], процес вирішення будь-якої нестандартної задачі полягає в послідовному застосуванні двох основних операцій:
• зведення (шляхом перетворення або переформулювання) нестандартної задачі до іншої, їй еквівалентної, але вже стандартною (спосіб моделювання);
• розбивка нестандартної задачі на декілька стандартних допоміжних підзадач (спосіб розбиття). Для того щоб легше було здійснювати способи розбиття та моделювання, ми вважаємо корисним побудова допоміжної моделі задачі - схеми, креслення, малюнка, графа, графіка, таблиці.
3. Скільки всього різних незамкнутих ламаних можна побудувати з вершинами в точках A, B, C, D на малюнку?
A |
y |
C |
D |
Завдання 3 - це фактично завдання на перебір варіантів. Її мета полягає в тому, щоб дати учням можливість накопичити певний досвід з підрахунком числа варіантів і з побудови дерева варіантів.
Після обговорення відповідей і рішень учнів вчитель може сказати приблизно наступне: «Ви отримали різні відповіді, але ніхто не зміг довести, що він перебрав всі можливі випадки. Давайте спробуємо розробити такий спосіб підрахунку, при якому можна бути впевненим у тому, що ми перебрали всі можливі варіанти. "Тоді словосполучення« перебір ... варіантів »з'являється в такому контексті, що сенс його пояснювати не треба, тим більше, що використовувані слова учням до цього моменту вже знайомі з інших життєвих ситуацій.
А |
C |
B |
D |
Тепер подумаємо, куди ми можемо піти з точки B, з точки C, з точки D, і т.д. У результаті міркувань одержуємо такий малюнок.
А |
C |
B |
D |
C |
D |
C |
D |
B |
B |
C |
D |
D |
C |
B |
B |
«Отже, ми бачимо, що можна побудувати 6 ламаних з початком у точці A. Як ви думаєте, скільки всього ламаних ми отримаємо, якщо проробимо таку саму роботу з іншими точками? Перевірте своє припущення дому »[9].
Тут робота над завданням у класі закінчується і учням пропонується закінчити її будинку: зобразити всі ламані з початком у точці A і, розмірковуючи аналогічно (зробивши такий же малюнок), виписати і зобразити всі ламані з початком в точках B, C і D. У процесі виконання цієї роботи учні помітять, що кожна ламаною повторюється двічі, оскільки, наприклад, ABCD і DCBA - це одна і та ж ламана. Тому найбільше різних ламаних вийде не
Далі учням пропонується будинку на альбомному аркуші зобразити всі 12 ламаних.
4. Зобразіть відрізок MN. Відзначте на ньому точки K і L так, щоб відрізок KN становив
Підказка міститься в тексті задачі. Учням пропонується в класі прочитати перші дві пропозиції і подумати над підказкою.
Зобразимо відрізок і відзначимо на ньому точки. Відрізок KL становить
M |
K |
L |
N |
5. Вирішіть задачу підбором. З 29 коробок частина містить по 14 кг цукерок, а частина по 15 кг. Скільки тих і інших коробок, якщо загальна маса цукерок у коробках обох типів однакова?
Уважно вивчивши дані, бачимо, що 14 + 15 = 29. Значить коробок, в яких по 14 кг повинно бути 15, а тих, в яких по 15 кг - 14 [1].
6. Пасажир поїзда, що йде зі швидкістю 50 км / год, зауважив, що зустрічний потяг йшов повз нього протягом 10 секунд. Визначте довжину зустрічного поїзда, якщо його швидкість - 58 км / ч.
Які величини в задачі відомі? Зробимо малюнок:
50 км / год |
58 км / год |
час - 10 с |
Довжина поїзда - це відстань від початку головного вагону до кінця хвостового вагону. Які величини ми зазвичай використовуємо, щоб знайти відстань?
Як би ви вирішували завдання, якби потяг, в якому сидів пасажир, стояв на місці?
Рішення.
1) 50 + 58 = 108 км / ч швидкість, з якою зустрічний потяг проїхав повз пасажира.
2) 108 (км / ч) = (108 × 1000): 3600 (м / с) = 30 (м / с).
3) 30 × 10 = 300 (м) - довжина поїзда.
Відповідь: 300 м.
7. На окремому аркуші паперу, використовуючи чашку замість циркуля, проведіть олівцем коло. Виріжте вийшов коло і подумайте, як за допомогою перегинання знайти його центр. Подумайте, як знайти центр кола у випадку, якщо коло перегнути не можна.
Виконання першого завдання - знайти центр вирізаного кола перегинання, як правило, утруднень не викликає.
Якщо ж коло перегнути не можна, то центр знайти складніше. Тут учням слід запропонувати подумати, які з властивостей кутів і кіл, з якими вони знайомі, можна використовувати в цьому завданні. Виявляється, досить побудувати прямий кут BAC, де точки A, B, C належать кола, тоді BC - діаметр, а його середина - центр кола.
Ці моделі сприяють розвитку у дітей конкретного і абстрактного мислення у взаємозв'язку між собою, тому що модель задачі, з одного боку, дає можливість школяреві у наочній формі конкретно уявити залежності між величинами, які входять у завдання, а з іншого - сприяє абстрагування, допомагає відволіктися від сюжетних деталей, від предметів, описаних у тексті задачі [2].
Методика розглядає кілька методів вирішення завдань - алгебраїчний, арифметичний, графічний, практичний, метод припущення, метод перебору. Вони можуть застосовуватися як при вирішенні стандартних завдань, так і нестандартних. Алгебраїчний метод вирішення завдань розвиває теоретичне мислення, здатність до узагальнення, формує абстрактне мислення і володіє такими перевагами, як стислість запису і міркувань при складанні рівнянь, економить час. Арифметичний метод рішення також вимагає великого розумового напруження, що позитивно позначається на розвитку розумових здібностей, математичної інтуїції, на формуванні вміння передбачати реальну життєву ситуацію. Часто зустрічаються завдання, які можна вирішити методом перебору. При цьому учень як би експериментує, спостерігає, зіставляє факти і на підставі приватних висновків робить ті чи інші загальні висновки. У процесі цих спостережень збагачується його реально-практичний досвід.
Саме в цьому і полягає практична цінність завдань на перебір. При цьому слово "перебір" використовується в сенсі розбору всіх можливих випадків, які задовольняють умову задачі, показавши, що інших рішень бути не може. Зустрічаються завдання, в яких алгебраїчний або арифметичний метод недостатньо ефективний. У цьому випадку при пошуку рішення використовується метод припущення.
У математиці немає яких-небудь загальних правил, які дозволяють вирішити будь-яку нестандартну задачу, тому що такі завдання в якійсь мірі неповторні. Нестандартна завдання в більшості випадків сприймається як виклик інтелекту і породжує потребу реалізувати себе в подоланні перешкоди [10].
Глава 2. МЕТОДИКА рішення нестандартних задач У СТАРШИХ КЛАСАХ
2.1 Особливості рішення текстових завдань
З терміном «завдання» люди постійно стикаються в повсякденному житті як на побутовому, так і на професійному рівні. Кожному з нас доводиться вирішувати ті чи інші проблеми, які часто ми називаємо завданнями. Це можуть бути загальнодержавні завдання (освоєння космосу, виховання підростаючого покоління, оборона країни тощо), завдання певних колективів і груп (спорудження об'єктів, випуск літератури, встановлення зв'язків і залежностей та ін), а також завдання, які стоять перед окремими особистостями. Проблема рішення і суто математичних задач, і завдань, що виникають перед людиною в процесі його виробничої або побутової діяльності, вивчається здавна, проте до теперішнього часу немає загальноприйнятої трактування самого поняття «завдання». У широкому сенсі слова під завданням розуміється деяка ситуація, що вимагає дослідження і вирішення людиною (чи вирішальною системою).Окремо стоять математичні завдання, вирішення яких досягається спеціальними математичними засобами і методами. Серед них виділяють завдання наукові (наприклад, теорема Ферма, проблема Гольбаха та ін), вирішення яких сприяє розвитку математики та її застосувань, і завдання навчальні, які служать для формування необхідних математичних знань, умінь і навичок у різних груп учнів (школярів, слухачів курсів, студентів тощо) і спрямовані на зміну якостей особистості учня (не знав - знаю, не вмів - вмію і т.п.).
Навчальні математичні завдання розрізняються за характером їхніх об'єктів. В одних завданнях всі об'єкти математичні (числа, геометричні фігури, функції і т.п.), в інших об'єктами є реальні предмети (люди, тварини, автотранспортні і механічні засоби, сплави, рідини і т.д.) або їх властивості і характеристики (кількість, вік, швидкість, продуктивність, довжина, маса тощо). Завдання, всі об'єкти яких математичні (докази теорем, обчислювальні вправи, встановлення ознак досліджуваного математичного поняття тощо), часто називають математичними завданнями.
Математичні завдання, в яких є хоча б один об'єкт, що є реальним предметом, прийнято називати текстовими (сюжетними, практичними, арифметичними і т.д.). Перераховані назви беруть початок від способу запису (завдання представлена у вигляді тексту), сюжету (описуються реальні об'єкти, явища, події), характеру математичних викладок (встановлюються кількісні відношення між значеннями деяких величин, пов'язані частіше за все з обчисленнями). Останнім часом найбільш поширеним є термін «текстова задача».
Текстової завданням будемо називати опис деякої ситуації (явища, процесу) на природному та (або) математичному мовою з вимогою або дати кількісну характеристику якогось компонента цієї ситуації (визначити числове значення деякої величини по відомим числовим значенням інших величин і залежностей між ними), або встановити наявність або відсутність деякого відносини між її компонентами або визначити вид цього відношення, або знайти послідовність необхідних дій.
Дотримуючись сучасної термінології, можна сказати, що текстова задача являє собою словесну модель ситуації, явища, події, процесу і т.п. Як у будь-якої моделі, в текстовій завданню описується не всю подію або явище, а лише його кількісні та функціональні характеристики.
Основна особливість текстових завдань полягає в тому, що в них не вказується прямо, яке саме дія (або дії) повинен бути виконаний для отримання відповіді на вимогу завдання.
У кожній задачі можна виділити:
а) числові значення величин, які називаються даними, або відомими (їх повинно бути не менше двох);
б) деяку систему функціональних залежностей в неявній формі, взаємно зв'язують шукане з даними і дані між собою (словесний матеріал, який вказує на характер зв'язків між даними і шуканими);
в) вимога або питання, на який треба знайти відповідь.
Числові значення величин та існуючі між ними залежності, тобто кількісні та якісні характеристики об'єктів завдання і відносин між ними, називають умовою (або умовами) завдання. У задачі зазвичай не одне, а декілька умов, які називають елементарними.
Вимоги можуть бути сформульовані як у питальній, так і в оповідній формі, їх також може бути декілька. Величину, значення якої потрібно знайти, називають шуканої величиною, а числові значення шуканих величин - шуканими, або невідомими.
Систему взаємопов'язаних умов і вимог називають висказивательной моделлю завдання. Для того щоб усвідомити структуру задачі, треба виявити її умови та вимоги, тобто побудувати висказивательную модель задачі [10,19,20].
1. З пункту А одночасно стартують три бігуна і одночасно фінішують у тому ж пункті, пробігши за маршрутом, що складається з прямолінійних відрізків АВ, ВС, СА, утворюють трикутник АВС. На кожному із зазначених відрізків швидкості у бігунів постійні і рівні: у першого - 10 км / год, 16 км / год і 14 км / год відповідно; у другого - 12 км / год, 10 км / ч і 16 км / год відповідно. Третій бігун у пунктах В і С виявляється не один і змінює швидкість на маршруті один раз. Встановити, чи є трикутник АВС гострокутним або тупоугольние.
Рішення. Позначимо сторони трикутника:
1) 10, 10, 16; 3) 12, 12, 14;
2) 10, 16, 16; 4) 12, 14, 14;
Перший варіант відпадає відразу, тому що в цьому разі третій бігун відстане від другого.
З аналогічної причини відпадає другий варіант (третій бігун обжене першого). Залишаються два варіанти. Відповідно маємо дві системи (рівняння складаються на підставі умови рівності часу, що витрачається на маршрут бігунами):
Для кожної системи легко висловити
Відповідь. Трикутник тупокутний (тупим є кут АСВ).
2. Вася і Петя перемогли між собою 39 горіхів. Число горіхів, що дісталися кожному з них, менше подвоєного числа горіхів, що дісталися іншому. Квадрат третини числа горіхів, що дісталися Петьо, менше числа горіхів, що дісталися Васі. Скільки горіхів у кожного?
Рішення. Якщо ми позначимо через x і y кількість горіхів, що дісталися відповідно Васі і Пете, то без праці складемо систему з одного рівняння і трьох нерівностей:
Складність завдання в третій частині - у вирішенні системи. При цьому ми повинні пам'ятати, що x і y - цілі позитивні числа. З рівняння знайдемо
З перших двох нерівностей знайдемо
Відповідь. 25 і 14 горіхів.
3. Пункт А знаходиться на березі річки, ширина якої 400 м, швидкість течії 3 км / ч. Пункт У розташований нижче за течією в 4 км від А (якщо В 1 - проекція В на берег, на якому розташований А, то АВ 1 = 4 км), на відстані 2 км 680 м від протилежного берега (А і В - по різні боки річки). Турист виїхав з А на човні, перетнув річку, залишив на березі човен, дійшов до В і повернувся тим же шляхом. На всіх ділянках, по річці і по суші, він рухався прямолінійно. Швидкість човна в стоячій воді 5 км / год, швидкість пересування туриста пішки 3,2 км / ч. За який найменший час міг виконати свою подорож турист?
Рішення. Нехай турист приплив в точку С на протилежному березі. Причому СD = x, де D - пункт, протилежний А (рис. 1, а) (АD перпендикулярний берегах). Якщо час на проходження ділянки АС одно t 1, то на ділянці C D можна знайти таку точку С 1, що AC 1 = 5 t 1, C 1 C = 3 t 1.
Це означає, що вектор
якщо б не було течії, і
x |
Рис. 1 а)
Записавши для трикутника AC 1 D теорему Піфагора, отримаємо
або
Аналогічно, якщо t 2 - час на шляху від C до A, визначивши точку З 2 нижче С так, що
Оскільки t 1 і t 2 - позитивні коріння відповідно рівнянь (1) і (2), то
є час пересування на човні. Час руху по суші одно
Таким чином, час, витрачений на подорож, буде:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис. 1 б)
Розглянемо два прямокутні трикутника PNM і KLP: катети одного x і 0,32, іншого 4 - x і 2,68, розташованих, як показано на малюнку 1, б. Тоді
Довжина ламаної KPM буде мінімальною, якщо точка P лежить на відрізку
KM. Але
Таким чином, мінімальний час буде:
Відповідь. Найменший час, за який турист міг виконати свою подорож
2.2 Методика рішення рівнянь і нерівностей
Рівняння та нерівності - традиційна тема шкільного курсу математики, що займає велике місце, починаючи з молодших класів, де найпростіші рівняння і нерівності до введення теорії на основі властивостей арифметичних дій, і закінчуючи старшими класами, де вирішуються трансцендентні рівняння.Рівняння та нерівності представляють собою той алгебраїчний апарат, та мова, на який переводяться різного роду завдання, в тому числі і прикладні, будуються їхні математичні моделі.
Використання монотонності функцій при розв'язуванні рівнянь і нерівностей. Одну з найбільш часто зустрічаються ідей добре ілюструє рішення наступного простого нерівності:
1. Розв'язати нерівність:
Рішення. Є два стандартних шляхи вирішення: зведення в квадрат (за умови
Розглянемо ще один спосіб - нестандартний. Функція, розташована в лівій частині, монотонно зростає, в першій частині убуває. З очевидних графічних міркувань випливає, що рівняння
Відповідь.
2. Розв'язати рівняння:
Рішення. Дане рівняння має очевидне рішення x = 1. Доведемо, що інших рішень немає. Поділимо обидві частини на
Відповідь. X = 1.
Отже, основна ідея, на якій грунтувалися вирішення цих двох прикладів, вельми проста: якщо f (x) монотонно зростає, а φ (x) монотонно убуває, то рівняння f (x) = φ (x) має не більше одного рішення, причому якщо x = x 0 - рішення цього рівняння, то при x> x 0 (x входить в область визначення обох функцій f (x) і φ (x)) буде f (x)> φ (x), а при x <x 0 буде
f (x) <φ (x).
Варто звернути увагу на одну модифікацію цієї ідеї, а саме: якщо f (x) - монотонна функція, то з рівності f (x) = f (y) випливає, що x = y [8].
3. Розв'язати рівняння:
Рішення. Перетворимо рівняння:
Розглянемо функцію
Доведемо, що при t> 1 ця функція монотонно убуває. Це можна зробити, наприклад, стандартним чином: знайти похідну
і довести, що при t> 1
Отримана функція, очевидно, є спадною (підстава зростає, під знаком логарифма функція спадає).
Наше рівняння має вигляд:
Відповідь. X = 4 [13].
Рівняння виду f (f (x)) = x. При вирішенні рівнянь зазначеного виду корисна буває теорема:
Якщо y = f (x) - монотонно зростаюча функція, то рівняння
f (x) = x (А)
і
f (f (x)) = x (Б)
еквівалентні.
Доказ. Те, що рівняння (Б) є наслідком рівняння (А), очевидно: будь-який корінь (А) задовольняє (Б). (Якщо
f (x 0) = x 0, то f (f (x 0)) = f (x 0) = x 0.). Доведемо, що будь-який корінь рівняння (Б) задовольняє рівнянню (А). Нехай x 0 таке, що f (f (x 0)) = x 0. Припустимо, що f (x 0) ≠ x 0 і для визначеності f (x 0)> x 0. Тоді f (f (x 0))> f (x 0)> x 0, що суперечить припущенню ( f (f (x 0)) = x 0). Теорема доведена.
Чи правильна теорема для монотонно спадною функції?
Зауваження. Якщо y = f (x) монотонно зростає, то при будь-якому k рівняння
Наведемо кілька прикладів використання цієї теореми [22].
1. Розв'язати рівняння:
Решени тобто Перепишемо рівняння
f (f (x)) = x. У відповідності з теоремою замінюємо його на еквівалентну рівняння f (x) = x або
Відповідь.
2. Розв'язати рівняння:
Рішення. Перетворимо рівняння:
Дане рівняння має вигляд: f (f (x)) = x, де
Згідно з теоремою маємо еквівалентне рівняння:
Відповідь.
3. Вирішити систему рівнянь:
Рішення. Розглянемо функцію
Система має вигляд y = f (x), z = f (y), x = f (z), тобто x = f (f (f (x))).
Згідно з теоремою x задовольняє рівнянню f (x) = x або
Відповідь. (0, 0, 0), (-1, -1, -1).
Використання екстремальних властивостей розглянутих функцій. Оцінки. Основні ідеї цього пункту досить добре видно з прикладів:
1. Розв'язати рівняння:
Рішення. Ліва частина даного рівняння не перевершує 2, а права-не менше 2. Отже, рівність може мати місце лише за умови, що ліва і права частини дорівнюють 2, тобто x = 0.
Зауваження. Дана ситуація, коли найменше значення функції, розташованої в одній частині рівняння, так само найбільшому значенню функції, розташованої в іншій частині, може бути узагальнена. Більш загальний випадок - рівняння виду f (x) = φ (x), для яких
f (x) = φ (x) = 0, в результаті приходимо до вже розглянутої ситуації, оскільки найбільше значення правої частини дорівнює нулю).
2. Розв'язати рівняння:
Доведемо, що дане рівняння не має рішень. Перейдемо до слідства (Потенціюючи):
Оцінимо ліву частину на підставі нерівності між середнім геометричним і середнім арифметичним
тобто ліва частина менше правої. Рівняння не має рішень.
Відповідь. Немає рішення.
3. Вирішити систему рівнянь:
Рішення. Доведемо, що
Нехай для визначеності x 5> x 4, тоді з перших двох рівнянь одержимо
Значить,
Відповідь. (0, 0, 0, 0,0);
Нестандартні за формулюванням завдання, пов'язані з рівняннями або нерівностями. До даної категорії, зокрема, відносяться завдання, в яких потрібно визначити число коренів заданого рівняння, довести існування кореня на певному проміжку, вирішити рівняння або нерівність на заданому проміжку. Розглянемо кілька прикладів.
1. Довести, що рівняння
Рішення. Єдиність позитивного рішення достатньо очевидна. Це випливає з того, що
Доведемо єдиність негативного кореня. Можна поступити наступним чином. Розглянемо функції
Доведемо, що якщо
Маємо
Значить,
Затвердження доведено.
2. Знайти всі цілі значення x, що задовольняють нерівності
Рішення. Область визначення лівої частини нерівності
Якщо
Якщо
Якщо
Відповідь. 1; 2.
3. Знайти всі цілі x, що задовольняють нерівності
Рішення. Розглянемо функцію
Доведемо, що, починаючи з деякого x, f (x) зростає. Це можна було зробити звичайним шляхом, оцінюючи похідну. Ми зробимо інакше. Нам достатньо довести зростання функції для цілих x, тобто що
Маємо
Остання нерівність виконується при
Нам залишилося знайти найбільше ціле, для якого
Доведемо, що
Відповідь. -1, 0, 1, 2 [22].
Тригонометричні рівняння. До нестандартних слід віднести також рівняння, що містять зворотні тригонометричні функції.
1. Розв'язати рівняння:
Рішення. За визначенням зворотних тригонометричних функцій
Це завдання зводиться до наступної: «Знайти cos α, якщо
Оскільки cos α> 0, то
Отримуємо рівняння
Друге значення для x не підходить, оскільки
Відповідь.
Зауваження. Дане рівняння можна вирішити й інакше. Позначимо ліву і праву частини даного рівняння через y. Тоді
За змістом завдання
Не так уже й рідко зустрічаються рівняння, рішення яких грунтується на обмеженості функцій cos x і sin x .
2. Розв'язати рівняння:
Рішення. Оскільки
перевершує 3 та дорівнює 3, якщо
Для знаходження значень x, що задовольняють обом рівнянням, поступимо таким чином. Вирішимо одне з них. Потім серед знайдених значень відберемо ті, які задовольняють і іншому.
Почнемо з другого:
Тоді
Зрозуміло, що лише для парних k буде
Відповідь.
4. Знайти в градусах корінь рівняння:
Рішення. Рівняння є однорідним другого порядку. Розділивши обидві частини на
За умовою
З рівняння
Відповідь.
Тригонометричні нерівності. Тригонометричні нерівності називаються нерівності виду
1. Розв'язати нерівність:
Рішення. Тут повинна виконуватися умова
Так як
SHAPE \ * MERGEFORMAT
0 |
1 |
• |
• |
• |
• |
Рис. 2 |
або
Відповідь.
2. Розв'язати нерівність:
Рішення. Перетворимо ліву частину рівності:
Залишається вирішити нерівність
або
Відповідь.
3. Розв'язати нерівність:
Рішення. Послідовно перетворюючи ліву частину нерівності, отримаємо
Отже, маємо нерівність
SHAPE \ * MERGEFORMAT
0 |
Рис. 3 |
встановлюємо, що
Відповідь.
2.3 Особливості вирішення завдань з параметрами
Загальновідомо, що на вступних іспитах до вузів часто зустрічаються завдання, яким у «традиційному» шкільному курсі в силу різних причин приділяється мало уваги.
Одним з видів таких вправ є завдання, що містять параметри. У шкільних підручниках практично немає завдань на цю тему. Проте оволодіння методикою їх рішення мені здається дуже корисним: воно істотно підвищує рівень логічного підготовки учнів, дозволяє трохи по-новому, як би зсередини поглянути на такі «банальні» функціональні залежності, докладно аналізовані шкільною програмою, як, наприклад, лінійні і квадратні многочлени .
Рівняння та нерівності з параметрами. У подібного роду завданнях зустрічаються два види символів: невідомі або змінні (зазвичай позначаються літерами x, y, z, ...) і параметри (a, b, c, ...). Звичайно різниця між ними досить умовна, до певної міри можна сказати, що параметр - це змінна, значення якої вважається фіксованим, і кожне значення параметра визначає відносно заданого невідомого відповідне рівняння (нерівність, систему). Іншими словами, рівняння з параметром є фактично сімейством рівнянь, що розглядаються при фіксованому значенні параметра.
Введення параметра сприяло появі якісно нових типів завдань, вдихнуло, якщо так можна висловитися, нове життя в такі традиційні види завдань, як рішення рівнянь і нерівностей.
1. Розв'язати рівняння:
Рішення. Зводимо обидві частини в квадрат (умова
Ще раз зводимо в квадрат (умова
серед рішень, якого треба знайти ті, для яких
Знайдемо дискримінант:
Тепер ліва частина рівняння розкладається на множники
Наше рівняння розпадається на два:
кожне з яких треба вирішити за умови, що
Почнемо з рівняння
Перейдемо до другого рівнянню
Відповідь. Якщо
якщо
при інших
2. При яких значеннях параметра а рівняння
Рішення. Це рівняння - квадратне, його дискримінант
Сума коренів рівняння дорівнює
Відповідь.
3. При яких значеннях параметра
Рішення. Оскільки за умовою задачі розглядається рівняння - квадратне, то
Оскільки за умовою коріння повинні бути однакових знаків, то
Рішенням останнього нерівності є
З урахуванням умов
Відповідь.
4. Для кожного неотрицательного значення параметра
Рішення. Ліва частина нерівності є многочлен як щодо
Ліва частина являє собою квадратний тричлен щодо
Розкриваючи ліву частину нерівності на множники, отримаємо
або
Другий множник позитивний при всіх
Відповідь. Якщо
якщо
якщо
5. Знайти всі значення параметра
Рішення. Позначимо
Функція від
Якщо
Значить,
Відповідь.
6. Знайти всі значення
Рішення. Нам треба знайти всі
Відповідь.
Графічні методи вирішення завдань з параметрами. Завдання з параметрами вимагають до себе своєрідного підходу в порівнянні з іншими - тут необхідно грамотне і ретельне дослідження. Для застосування графічних методів потрібне вміння виконувати побудову різних графіків, вести графічне дослідження, відповідне даними значенням параметра.
1. При яких значеннях параметра
Рішення. Розглянемо функцію
Графіком такої функції є ламаною з трьох ланок. Знайдемо точки зламу:
1)
2)
Так як
З геометричної точки зору кількість рішень рівняння
SHAPE \ * MERGEFORMAT
0 |
Рис. 4 |
За рис. 4 видно, що рівняння
Так як
Об'єднанням отриманих інтервалів буде інтервал
Відповідь. Рівняння має два рішення при
2. При будь-якому значенні параметра
Рішення. Розглянемо площину
Останньому нерівності відповідає область під параболою
Усередині смуги
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Рис.5 |
Наприклад, якщо
Відповідь. Якщо 
якщо
якщо
якщо
якщо
якщо
якщо
Робота передбачала кілька етапів. На першому етапі проводився констатуючий експеримент, спрямований на з'ясування рівня сформованості методів наукового пізнання в учнів.
На наступному етапі було проведено серію експериментальних занять, спрямованих на формування в учнів основ методів наукового пізнання.
Заключний етап дослідження проводився тими ж методами, що й перший. Потім слід було підведення підсумків дослідно-експериментальної роботи. Розглянемо докладніше кожен з етапів.
2.4.1 Констатуючий етап експерименту
У дослідно-експериментальній роботі брали участь два класи 10 «А» - контрольний клас, 10 «Б» - експериментальний клас. У контрольному класі брало участь 18 чоловік і в контрольному таке ж число, таким чином, брало участь 36 чоловік.
У рамках даного етапу були використані наступні методи:
• не включені до неї спостереження;
• тестування;
• метод математичної і статистичної обробки даних.
На даному етапі експерименту були опробірвани завдання. Мета їх полягала у виявленні рівня загальної сформованості методів наукового пізнання. На цьому етапі брало участь два класи.
Хід експерименту
1. На які числа без залишку діляться дані числа 237237, 312312, 568568, 749749?
а) 7, 11, 13, 1001
б) 5, 11, 17, 101
в) 3, 9, 17, 1001
2. Три сині папуги капітана Флінта з'їдають 3 кг корму за три дні, п'ять зелених папуг - 5 кг корму за 5 днів, а сім помаранчевих - 7 кг корму за 7 днів. Які папуги самі ненажерливі?
а) сині
б) зелені
в) помаранчеві
г) всі однакові
д) неможливо визначити
3. Вираз 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + ... - 60 одно
а) - 60
б) - 30
в) 0
г) 36
д) 60
4. Відомо, що
а) 3
б)
в)
г) 18
д) 27
5. Навпаки клітини папуги висить годинник. Він безперервно говорить по-іспанськи, коли кут між стрілками годинника гострий, по-португальськи, коли цей кут тупий, і мовчить лише тоді, коли цей кут прямий. Що він робив довше протягом доби?
а) говорив по-іспанськи
б) говорив по-португальськи
в) мовчав
г) відповідь залежить від моменту початку спостереження
д) по-іспанською він говорив стільки ж, скільки по-португальськи
Проаналізувавши роботи, ми отримали діаграму.
\ S
1 - повністю вірно
2 - частково вірно
3 - невірно
4 - не приступили до виконання завдання
Як видно з діаграми на даному етапі роботи немає істотних відмінностей експериментального і контрольного класів. За отриманими даними можна судити, що сформованість методів наукового пізнання знаходиться на рівні ближче до середнього.
2.4.2 Пошуковий етап дослідження
На даному етапі здійснювався підбір завдань для роботи з учнями для отримання результатів дослідження.
З цією метою було проаналізовано наукову літературу з проблеми дослідження, відібрані, систематизовані і доповнені завдання, вправи, ігри, які б допомогли освоїти методи наукового пізнання учням.
2.4.3 Формуючий етап експерименту
Експеримент тривав з січня по березень 2004 року. Протягом цього часу експериментальний клас в ході навчально-виховного процесу отримував додаткові завдання на уроках математики.
Мета цього етапу полягала у перевірці ефективності підібраної системи завдань у реальній практиці.
Другий зріз був проведений в кінці формуючого етапу експерименту. Метою цього зрізу було виявлення рівня ефективності проведеної дослідно-експериментальної роботи. Запропоновані завдання були підвищеної труднощі в порівнянні з першим зрізом.
Хід експерименту
1. Рівняння
а) 3 позитивних рішення
б) 1 позитивне і 2 негативних рішення
в) 1 позитивне рішення і 0 негативних
г) 1 позитивне і 1 негативне рішення
2. Автомат ділить парне число навпіл, а непарне збільшує на 5. Відомо, що за 3 кроки автомат отримав з непарного числа n число 35. Яка сума цифр числа n?
а) 8
б) 9
в) 10
г) 12
д) 15
3. Коли йде дощ, кішка сидить у кімнаті або в підвалі. Коли кішка в кімнаті, мишка сидить у нірці, а сир лежить в холодильнику. Якщо сир на столі, а кішка - у підвалі, то мишка - в кімнаті. Зараз йде дощ, а сир лежить на столі. Тоді обов'язково
а) кішка в кімнаті
б) кішка в нірці
в) кішка в кімнаті або мишка в нірці
г) кішка в підвалі, а мишка в кімнаті
д) така ситуація неможлива
4. Графік функції
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Тоді c одно:
а) 0
б) 1
в) 0,5
г) - 1
5. Ставлення кутів трикутника дорівнює 1: 5: 6. Довжина найбільшої сторони - 6 см. Яка довжина висоти, опущеної на найбільшу сторону?
а) 1 см
б) 1,5 см
в) 2 см
г) 2,5 см
д) 3 см
Після аналізу робіт були отримані наступні показники, які відображені у діаграмі.
\ S
1 - повністю вірно
2 - частково вірно
3 - невірно
4 - не приступили до виконання завдання
З діаграми видно, що в експериментальному класі значно більше учнів повністю вірно виконують запропоновані завдання, немає учнів, які б взагалі не приступали до виконання завдань. Результати кожного класу дозволяють зробити висновок, що рівень знань збільшився в рамках власного класу.
З аналізу результату можна сказати, що гіпотеза підтвердилася, рішення задач підвищеної труднощі буде сприяти розвитку всіх пізнавальних процесів школярів, а також математичної інтуїції й творчого підходу до вирішення найрізноманітніших завдань.
ВИСНОВОК
Рішення завдання вкрай складний процес, при описі якого неможливо вичерпати все різноманіття його сторін. Дати учням правила, що дозволяють вирішити будь-яку нестандартну задачу, неможливо, бо нестандартні задачі в якійсь мірі неповторні, а універсального методу, що дозволяє вирішити будь-яке завдання, на жаль, немає. Навіть суворе виконання всіх вказівок і дотримання порад вчителі не зможе творчий процес знаходження рішень нестандартних завдань укласти в певні схеми.
Завдання підвищеної труднощі служать перехідним мостом від класної роботи до позакласної, служать хорошим матеріалом для виявлення найбільш здібних до математики учнів, для додаткових завдань, як у школі, так і вдома.
Послідовне здійснення органічного зв'язку між повсякденним навчальною роботою на уроках і позакласною роботою з допомогою задач підвищеної труднощі дозволить вчителю досягти великих успіхів у розвитку математичних здібностей окремих учнів та всього класу в цілому.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Алексєєв В., Бородін П., Галкін В., Панфьоров В., Сергєєв І., Тарасов В. Різні стандартні і нестандартні задачі / / Математика, 2002. - № 36. - С. 24-27.
2. Генкін Г.З., Глейзер Л.П. Викладання в класі з поглибленим вивченням математики / / Математика в школі, 1991. - № 1. - С. 20-22.
3. Євсєєва А.І. Рівняння з параметрами / / Математика, 1998. - № 2. - С. 10-14.
4. Єпіфанова Т.М. Графічні методи вирішення завдань з параметрами / / Математика, 1998. - № 2. - С. 17-23.
5. Єфремов В.П., Єфремова Л.І. Нестандартні завдання на уроках і після / / Математика, 2003. - № 7. - С. 56-58.
6. Завдання письмового іспиту з математики за курс СР школи: умови та рішення. Вип I / Д. І. Авер 'янов та ін - М.: «Школа - Прес», 1993. - 128 с.
7. Завдання підвищеної труднощі з алгебри та початків аналізу: Учеб.пособие для 10-11 класів сред.шк. / Б. М. Івлєв и др. - М.: Просвещение, 1993. - 46 с.
8. Кожухова С.А., Кожухов С.К. Властивості функцій у задачах із параметром / / Математика, 1998. - № 2. - С. 14-17.
9. Кордемский Б.А. Нариси про математичні завдання на кмітливість. Посібник для вчителів. - М.: Учпедгиз, 1958. - 116 с.
10. Кострикіна Н.П. Завдання підвищеної труднощі в курсі алгебри 7-9 класів: Кн. для вчителя. - М.: Просвещение, 1991. - 237 с.
11. Кучугурова Н.Д. Інтенсивний курс методики викладання математики: Навчальний посібник. - Ставрополь: Вид-во СГУ, 2001. - 231 с.
12. Методика викладання математики в середній школі / Загальна методика / Укл. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.
13. Методичний посібник з математики для вступників до вузів № 1 / За ред. А.А. Тиримова. - К.: Вид. «Учитель», 1997. - 80 с.
14. Методичний посібник з математики для вступників до вузів № 3 / За ред. А.А. Тиримова. - К.: Вид. «Учитель», 1997. - 55 с.
15. Рогановскій Н.М. Методика викладання математики в середній школі. - Мінськ: Вища школа, 1990. - 267 с.
16. Керівництво вирішення завдань з математики: Справ. посіб. для вступників у вузи / В.А. Протасеня, Л.А. Залетаева, Г.Т. Пушкіна-Варчук, Т.М. Чуракова; За заг. ред. В.А. Протасені. - Мінськ: Вищ. шк., 1991. - 350 с.
17. Збірник завдань з математики для вступників до вузів. У 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / В. К. Єгор'єв, В. В. Зайцев, Б.А. Кордемский та ін; під ред. М. І. Сканаві. - М.: Вища школа, 1998. - 528 с.
18. Столяр А.А. Педагогіка математики: Навчальний посібник для фізико-математичних факультетів пед. ін-ів. - Мінськ.: Вища школа, 1986. - 414 с.
19. Фрідман Л.М. Теоретичні основи методики навчання математики: Посібник для вчителів, методистів і педагогічних вищих навчальних закладів. - М.: Флінта, 1998. - 224 с.
20. Фрідман Л.М., Турецький Є.М. Як навчитися вирішувати завдання: Кн. для учнів ст. класів середовищ. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 191 с.
21. Шаригін І.Ф., Голубєв В.І. Факультативний курс з математики: Рішення завдань: Учеб.пособие для 10 кл. СР шк. - М.: Просвещение, 1989. - 350 с.
22. Шаригін І.Ф., Голубєв В.І. Факультативний курс з математики: Рішення завдань: Учеб.пособие для 11 кл. СР шк. - М.: Просвещение, 1991. - 383 с.
якщо
якщо
якщо
якщо
якщо
якщо
2.4 Педагогічний експеримент та аналіз результатів
З метою практичного обгрунтування висновків, отриманих в ході спостереження за діяльністю учнів 10 «А» і 10 «Б» класів був проведений частковий психолого-педагогічний експеримент в МОУ СЗШ № 3 м. Ставрополя.Робота передбачала кілька етапів. На першому етапі проводився констатуючий експеримент, спрямований на з'ясування рівня сформованості методів наукового пізнання в учнів.
На наступному етапі було проведено серію експериментальних занять, спрямованих на формування в учнів основ методів наукового пізнання.
Заключний етап дослідження проводився тими ж методами, що й перший. Потім слід було підведення підсумків дослідно-експериментальної роботи. Розглянемо докладніше кожен з етапів.
2.4.1 Констатуючий етап експерименту
У дослідно-експериментальній роботі брали участь два класи 10 «А» - контрольний клас, 10 «Б» - експериментальний клас. У контрольному класі брало участь 18 чоловік і в контрольному таке ж число, таким чином, брало участь 36 чоловік.
У рамках даного етапу були використані наступні методи:
• не включені до неї спостереження;
• тестування;
• метод математичної і статистичної обробки даних.
На даному етапі експерименту були опробірвани завдання. Мета їх полягала у виявленні рівня загальної сформованості методів наукового пізнання. На цьому етапі брало участь два класи.
Хід експерименту
1. На які числа без залишку діляться дані числа 237237, 312312, 568568, 749749?
а) 7, 11, 13, 1001
б) 5, 11, 17, 101
в) 3, 9, 17, 1001
2. Три сині папуги капітана Флінта з'їдають 3 кг корму за три дні, п'ять зелених папуг - 5 кг корму за 5 днів, а сім помаранчевих - 7 кг корму за 7 днів. Які папуги самі ненажерливі?
а) сині
б) зелені
в) помаранчеві
г) всі однакові
д) неможливо визначити
3. Вираз 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + ... - 60 одно
а) - 60
б) - 30
в) 0
г) 36
д) 60
4. Відомо, що
а) 3
б)
в)
г) 18
д) 27
5. Навпаки клітини папуги висить годинник. Він безперервно говорить по-іспанськи, коли кут між стрілками годинника гострий, по-португальськи, коли цей кут тупий, і мовчить лише тоді, коли цей кут прямий. Що він робив довше протягом доби?
а) говорив по-іспанськи
б) говорив по-португальськи
в) мовчав
г) відповідь залежить від моменту початку спостереження
д) по-іспанською він говорив стільки ж, скільки по-португальськи
Проаналізувавши роботи, ми отримали діаграму.
1 - повністю вірно
2 - частково вірно
3 - невірно
4 - не приступили до виконання завдання
Як видно з діаграми на даному етапі роботи немає істотних відмінностей експериментального і контрольного класів. За отриманими даними можна судити, що сформованість методів наукового пізнання знаходиться на рівні ближче до середнього.
2.4.2 Пошуковий етап дослідження
На даному етапі здійснювався підбір завдань для роботи з учнями для отримання результатів дослідження.
З цією метою було проаналізовано наукову літературу з проблеми дослідження, відібрані, систематизовані і доповнені завдання, вправи, ігри, які б допомогли освоїти методи наукового пізнання учням.
2.4.3 Формуючий етап експерименту
Експеримент тривав з січня по березень 2004 року. Протягом цього часу експериментальний клас в ході навчально-виховного процесу отримував додаткові завдання на уроках математики.
Мета цього етапу полягала у перевірці ефективності підібраної системи завдань у реальній практиці.
Другий зріз був проведений в кінці формуючого етапу експерименту. Метою цього зрізу було виявлення рівня ефективності проведеної дослідно-експериментальної роботи. Запропоновані завдання були підвищеної труднощі в порівнянні з першим зрізом.
Хід експерименту
1. Рівняння
а) 3 позитивних рішення
б) 1 позитивне і 2 негативних рішення
в) 1 позитивне рішення і 0 негативних
г) 1 позитивне і 1 негативне рішення
2. Автомат ділить парне число навпіл, а непарне збільшує на 5. Відомо, що за 3 кроки автомат отримав з непарного числа n число 35. Яка сума цифр числа n?
а) 8
б) 9
в) 10
г) 12
д) 15
3. Коли йде дощ, кішка сидить у кімнаті або в підвалі. Коли кішка в кімнаті, мишка сидить у нірці, а сир лежить в холодильнику. Якщо сир на столі, а кішка - у підвалі, то мишка - в кімнаті. Зараз йде дощ, а сир лежить на столі. Тоді обов'язково
а) кішка в кімнаті
б) кішка в нірці
в) кішка в кімнаті або мишка в нірці
г) кішка в підвалі, а мишка в кімнаті
д) така ситуація неможлива
4. Графік функції
SHAPE \ * MERGEFORMAT
y |
x |
Тоді c одно:
а) 0
б) 1
в) 0,5
г) - 1
5. Ставлення кутів трикутника дорівнює 1: 5: 6. Довжина найбільшої сторони - 6 см. Яка довжина висоти, опущеної на найбільшу сторону?
а) 1 см
б) 1,5 см
в) 2 см
г) 2,5 см
д) 3 см
Після аналізу робіт були отримані наступні показники, які відображені у діаграмі.
1 - повністю вірно
2 - частково вірно
3 - невірно
4 - не приступили до виконання завдання
З діаграми видно, що в експериментальному класі значно більше учнів повністю вірно виконують запропоновані завдання, немає учнів, які б взагалі не приступали до виконання завдань. Результати кожного класу дозволяють зробити висновок, що рівень знань збільшився в рамках власного класу.
З аналізу результату можна сказати, що гіпотеза підтвердилася, рішення задач підвищеної труднощі буде сприяти розвитку всіх пізнавальних процесів школярів, а також математичної інтуїції й творчого підходу до вирішення найрізноманітніших завдань.
ВИСНОВОК
Рішення завдання вкрай складний процес, при описі якого неможливо вичерпати все різноманіття його сторін. Дати учням правила, що дозволяють вирішити будь-яку нестандартну задачу, неможливо, бо нестандартні задачі в якійсь мірі неповторні, а універсального методу, що дозволяє вирішити будь-яке завдання, на жаль, немає. Навіть суворе виконання всіх вказівок і дотримання порад вчителі не зможе творчий процес знаходження рішень нестандартних завдань укласти в певні схеми.
Завдання підвищеної труднощі служать перехідним мостом від класної роботи до позакласної, служать хорошим матеріалом для виявлення найбільш здібних до математики учнів, для додаткових завдань, як у школі, так і вдома.
Послідовне здійснення органічного зв'язку між повсякденним навчальною роботою на уроках і позакласною роботою з допомогою задач підвищеної труднощі дозволить вчителю досягти великих успіхів у розвитку математичних здібностей окремих учнів та всього класу в цілому.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Алексєєв В., Бородін П., Галкін В., Панфьоров В., Сергєєв І., Тарасов В. Різні стандартні і нестандартні задачі / / Математика, 2002. - № 36. - С. 24-27.
2. Генкін Г.З., Глейзер Л.П. Викладання в класі з поглибленим вивченням математики / / Математика в школі, 1991. - № 1. - С. 20-22.
3. Євсєєва А.І. Рівняння з параметрами / / Математика, 1998. - № 2. - С. 10-14.
4. Єпіфанова Т.М. Графічні методи вирішення завдань з параметрами / / Математика, 1998. - № 2. - С. 17-23.
5. Єфремов В.П., Єфремова Л.І. Нестандартні завдання на уроках і після / / Математика, 2003. - № 7. - С. 56-58.
6. Завдання письмового іспиту з математики за курс СР школи: умови та рішення. Вип I / Д. І. Авер 'янов та ін - М.: «Школа - Прес», 1993. - 128 с.
7. Завдання підвищеної труднощі з алгебри та початків аналізу: Учеб.пособие для 10-11 класів сред.шк. / Б. М. Івлєв и др. - М.: Просвещение, 1993. - 46 с.
8. Кожухова С.А., Кожухов С.К. Властивості функцій у задачах із параметром / / Математика, 1998. - № 2. - С. 14-17.
9. Кордемский Б.А. Нариси про математичні завдання на кмітливість. Посібник для вчителів. - М.: Учпедгиз, 1958. - 116 с.
10. Кострикіна Н.П. Завдання підвищеної труднощі в курсі алгебри 7-9 класів: Кн. для вчителя. - М.: Просвещение, 1991. - 237 с.
11. Кучугурова Н.Д. Інтенсивний курс методики викладання математики: Навчальний посібник. - Ставрополь: Вид-во СГУ, 2001. - 231 с.
12. Методика викладання математики в середній школі / Загальна методика / Укл. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. - М.: Просвещение, 1985. - 336 с.
13. Методичний посібник з математики для вступників до вузів № 1 / За ред. А.А. Тиримова. - К.: Вид. «Учитель», 1997. - 80 с.
14. Методичний посібник з математики для вступників до вузів № 3 / За ред. А.А. Тиримова. - К.: Вид. «Учитель», 1997. - 55 с.
15. Рогановскій Н.М. Методика викладання математики в середній школі. - Мінськ: Вища школа, 1990. - 267 с.
16. Керівництво вирішення завдань з математики: Справ. посіб. для вступників у вузи / В.А. Протасеня, Л.А. Залетаева, Г.Т. Пушкіна-Варчук, Т.М. Чуракова; За заг. ред. В.А. Протасені. - Мінськ: Вищ. шк., 1991. - 350 с.
17. Збірник завдань з математики для вступників до вузів. У 2-х кн. Кн.1. Алгебра: Учеб.пособие / В. К. Єгор'єв, В. В. Зайцев, Б.А. Кордемский та ін; під ред. М. І. Сканаві. - М.: Вища школа, 1998. - 528 с.
18. Столяр А.А. Педагогіка математики: Навчальний посібник для фізико-математичних факультетів пед. ін-ів. - Мінськ.: Вища школа, 1986. - 414 с.
19. Фрідман Л.М. Теоретичні основи методики навчання математики: Посібник для вчителів, методистів і педагогічних вищих навчальних закладів. - М.: Флінта, 1998. - 224 с.
20. Фрідман Л.М., Турецький Є.М. Як навчитися вирішувати завдання: Кн. для учнів ст. класів середовищ. шк. - М.: Просвещение, 1989. - 191 с.
21. Шаригін І.Ф., Голубєв В.І. Факультативний курс з математики: Рішення завдань: Учеб.пособие для 10 кл. СР шк. - М.: Просвещение, 1989. - 350 с.
22. Шаригін І.Ф., Голубєв В.І. Факультативний курс з математики: Рішення завдань: Учеб.пособие для 11 кл. СР шк. - М.: Просвещение, 1991. - 383 с.