Абстрактно-дедуктивний метод введення та формування математичних понять у 10-11 кл.
З точки зору математики в "абстрактно-дедуктивний метод" входять багато прийомів докази. Абстрактно-дедуктивним методом встановлення істини і дослідження зв'язку між пропозиціями стає логічний доказ.
Формування понять - складний психологічний процес. Він здійснюється і протікає за наступною схемою:
відчуття -> сприйняття -> вистава -> поняття
Процес формування понять складається з мотивації введення поняття, виділення його істотних властивостей, засвоєння визначення, застосування поняття, розуміння зв'язку досліджуваного поняття з раніше вивченими поняттями. Формування поняття здійснюється в кілька етапів:
1. мотивація (підкреслюється важливість вивчення поняття, активізується цілеспрямована діяльність школярів, збуджується інтерес до вивчення поняття з допомогою залучення коштів нематематичних змісту, виконання спеціальних вправ, що пояснюють необхідність розвитку математичної теорії);
2. виявлення істотних властивостей поняття (виконання вправ, де виділяються істотні властивості досліджуваного поняття);
3. формулювання визначення поняття (виконання дій на розпізнавання об'єктів, що належать поняттю, конструювання об'єктів, що відносяться до обсягу поняття).
Виділяються два шляхи формування понять (рис. 1).


Рис. 1. Шляхи формування понять
Обсяг поняття розкривається за допомогою класифікації. Під класифікацією часто розуміють послідовне, багатоступінчасте розбиття множини на класи за допомогою деякого властивості.
Класифікація понять - з'ясування обсягу понять, тобто поділ безлічі об'єктів, що становлять обсяг родового поняття, на види. Це поділ грунтується на подібності об'єктів одного виду та відмінності їх від об'єктів інших видів. Правильна класифікація понять передбачає дотримання деяких умов:
1. Класифікація повинна проводитися за певною ознакою, що залишається незмінним у процесі класифікації.
2. Поняття, що виходять в результаті класифікації, повинні бути взаємно незалежними, тобто їх перетин повинно бути порожнім безліччю.
3. Сума обсягів понять, які утворюються при класифікації, повинна дорівнювати обсягу вихідного поняття.
4. У процесі класифікації необхідно переходити до найближчому в даному родовому понятті увазі.
Класифікація натуральних чисел (рис. 2) і класифікація трикутників по сторонах і кутах (рис. 3), дозволяють спостерігати виконання цих чотирьох умов.

Рис. 2. Класифікація натуральних чисел

Рис. 3. Класифікація трикутників
У методичному сенсі корисними у навчанні математики можуть виявитися і схеми, на яких зображена залежність досліджуваних об'єктів. Наприклад, у курсі планіметрії розглянемо клас четурехугольніков (рис. 4):

Рис. 4. Схема четурехугольніков
Заключним етапом формування поняття є його визначення. Визначити поняття - це значить перелічити його істотні властивості. Визначення поняття - це пропозиція, в якому розкривається зміст поняття, тобто сукупність умов, необхідних і достатніх для виділення класу об'єктів, що належать визначається поняття.
Явні і неявні визначення. Явні та неявні визначення різняться в залежності від своєї структури. Явні визначення містять пряму вказівку на істотні ознаки визначуваного поняття; визначається і визначальне в них виражено чітко і однозначно. Наприклад, «Кутом називається фігура, утворена двома променями, що виходять з однієї точки»; «Прямокутник є паралелограм з прямим кутом».
Явна визначення об'єктів, позначення виразів, дескрипція («Вираз a + a + ... + a (n доданків) зважаючи на його важливості коротко позначають na. Символ na позначає суму n доданків, кожне з яких дорівнює a»).
Дескрипції називаються визначення математичних об'єктів шляхом зазначення їх властивостей ("Те число, яке будучи помножена на довжину діаметра, дає довжину її кола" - дескрипція числа p).
Неявні визначення об'єктів не містять чіткого й однозначного визначального елемента, в них зміст що визначається може бути встановлено через деякий контекст.
Номінальні і реальні визначення. Всі визначення, які застосовуються в математиці та інших науках, діляться на номінальні і реальні, в залежності від того, що визначається - знакова вираз (термін, символ) або реальний об'єкт, що позначається ім. За допомогою номінального визначення вводиться новий термін, символ або вираз як скорочення для більш складних виразів з раніше введених термінів або символів, або уточнюється значення вже введеного терміну або символу. Номінальні визначення є засобом збагачення мови науки та уточнення семантики його висловів ("квадратного кореня з невід'ємного числа а називається таке невід'ємне число х, що х ² = а").
За допомогою реальних визначень фіксуються характеристичні властивості самих визначених об'єктів. Розподіл визначень на номінальні і реальні не пов'язане з їх формальною структурою. Одне і те ж визначення можна представити і як номінальне, і як реальне. Наприклад, нехай дадуть реальне визначення: «П'ятикутнику - є плоска геометрична фігура, обмежена п'ятьма сторонами». Це ж визначення можна переформулювати як номінальне: «п'ятикутник називається плоска геометрична фігура, обмежена п'ятьма сторонами».
Контекстуальні та індуктивні визначення. У математиці початкових класів часто застосовуються контекстуальні визначення, у яких визначення нового невідомого терміна, поняття з'ясовується зі змісту прочитаного, зводиться до вказівки містять його контекстів («більше», «менше», «дорівнює»).
Індуктивними називаються визначення, які дозволяють з подібних об'єктів (теорії) шляхом застосування до них конкретних операцій отримувати нові об'єкти. Наприклад, по індукції вводить c я визначення натурального числа в математиці.
Аксіоматичні визначення. Якщо визначення вихідних понять даються за допомогою вихідних понять деякої теорії через її аксіоми, то це аксіоматичні визначення. При аксіоматичному побудові математичної теорії деякі поняття залишаються невизначеними (наприклад, точка, площина і відстань у аксіоматиці А. Н. Колмогорова). Визначенням цих понять можна вважати систему аксіом, що описують їх властивості.
Визначення через рід і видові відмінності. Класичними визначеннями називаються визначення через рід і видову відмінність. Їх можна розглядати як окремий вид номінальних визначень. У них визначається виділяється з предметів деякої області, яка при цьому явно згадується у визначенні (рід), шляхом вказівки характеристичного властивості визначається (видову відмінність). Наприклад:
«Квадрат - прямокутник з рівними сторонами».
«Ромб - паралелограм, у якого всі сторони рівні».
«Паралелограм називається чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні».
«Прямокутник є паралелограм з прямим кутом».
Загальна схема визначення "через найближчий рід і видову відмінність" може бути записана на мові множин (класів):
B = {x / x € A і P (x)}
(Клас B складається з об'єктів x, що належать A - найближчому роду і володіють властивістю P - видова відмінність) або мовою властивостей:
x € B <=> x € A і P (x), або B (x) <=> A (x) і P (x)
(Об'єкт x має властивість В тоді і тільки тоді, коли він володіє властивістю А і властивістю Р).
У шкільному курсі математики визначення через рід і видову відмінність: Довжина ламаної. Периметр багатокутника (прямокутника, квадрата). Квадрат. Куб. Коло. Радіус кола (кола). Бісектриса кута. Розгорнутий кут. Прямий кут. Градус. Гострий кут. Тупий кут. Види трикутників за величиною кутів. Фігури, симетричні відносно точки (центр симетрії). Перпендикулярні і паралельні прямі.
Генетичні визначення. Широке поширення в шкільному курсі математики отримали генетичні (конструктивні) визначення, тобто такі визначення, в яких описується або вказується спосіб його походження, освіти, виникнення, побудови. Генетичні визначення являють собою різновид визначення через рід і видові відмінності.
Наприклад: «Сферою називається поверхня, отримана обертанням півкола навколо свого діаметра»; «Куля - це геометричне тіло, утворене обертанням півкола навколо діаметру».
Аналізуючи шкільний курс математики, можна виділити наступні генетичні визначення понять: Відрізок. Луч. Рівносторонній трикутник. Координатний промінь. Рівні фігури. Площа прямокутника. Площа квадрата. Обсяг прямокутного паралелепіпеда. Окружність. Дуга кола. Сектор. Кут і його елементи. Рівні кути. Довжина кола. Площа круга.
Визначення через абстракцію. Визначення, пов'язані з виділенням такого типу об'єктів через встановлення між ними відносин рівності, рівнозначності, тотожності, отримали назву визначень через абстракцію. У такому визначенні дане математичне поняття визначається як сімейство класів еквівалентності по деякому відношенню еквівалентності. Наприклад, натуральне число n - це характеристика класу еквівалентних множин, що складаються з n елементів.
Остенсівние визначення - визначення значень слів шляхом безпосереднього показу, демонстрації предметів. Часто застосовуються у початковій школі (поняття відрізка, кола, кута та ін.) Поступово з розвитком математичного досвіду і накопиченням певного числа понять на зміну остенсівние поняттям приходять вербальні поняття. Вербальні поняття - це поняття, коли значення невідомих виразів визначаються через вираження, значення яких відомі.
Визначення називається коректним, якщо виконуються дві умови:
а) відсутня порочне коло і пов'язана з ним можливість виключення нововведених термінів ("Рішення рівняння - це те число, яке є його рішенням");
б) відсутній омонімія: кожен термін зустрічається не більше одного разу в якості можна виявити.
Доказ теореми полягає в тому, щоб показати, що якщо виконується умова, то з нього логічно випливає висновок, тобто, прийнявши, що P істинно, відповідно до правил виведення показати, що G істинно, і тим самим отримати можливість затвердити, що це висловлювання (теорема) істинно в цілому.
Доказ включає в себе три основні елементи:
1. Теза (головна мета докази - встановити істинність тези). Форма вираження тези - судження.
2. Аргументи (підстави) докази - положення, на які спирається доказ і з яких за умови їх істинності необхідно слід істинність доказуваного тези. Форма вираження аргументів - судження. Пов'язуючи аргументи, приходимо до висновку, що будуються за певними правилами. Аргументи, на які можна спертися при доказі: аксіоми, визначення, раніше доведені теореми.
3. Демонстрація - логічний процес взаємозв'язку суджень, в результаті якого здійснюється перехід від аргументів до тези.
Відомо, що маючи деяку (пряму) теорему (P => G), можна утворити нові теореми, і не одну:
G => P - зворотна;
__
P => G - протилежна;
__
G => P - контрапозітівная (зворотна протилежної чи протівоположнообратная).
Між цими чотирма видами теорем існує тісний зв'язок:
__
а) (P => G) і (G => P) - одночасно істинними чи хибні;
__
б) (G => P) і (P => G) - одночасно істинні або помилкові.
Вивчаючи будь-яку теорему шкільного курсу математики, вчитель має дотримуватися наступної послідовності:
1. Постановка питання (створення проблемної ситуації).
2. Звернення до досвіду учнів.
3. Висловлення припущення.
4. Пошук можливих шляхів вирішення.
5. Доказ знайденого факту.
6. Проведення докази в максимально простій формі.
7. Встановлення залежності доведеної теореми від раніше відомих.
Процес вивчення школярами теореми включає наступні етапи: мотивація вивчення теореми; ознайомлення з фактом, відбитим в теоремі; формулювання теореми і з'ясування сенсу кожного слова у формулюванні теореми; засвоєння змісту теореми; запам'ятовування формулювання теореми, ознайомлення зі способом докази; доказ теореми; застосування теореми; встановлення зв'язків теореми з раніше вивченими теоремами.
При доведенні математичних тверджень використовуються різні абстрактно-дедуктивні математичні методи.
Для того, щоб учні оволоділи прямим і непрямим доказами, необхідно сформувати у них певну послідовність умінь:
- Уміння шукати доказ,
- Вміння проводити доказ,
- Вміння оформляти доказ теореми.

Функції і графіки

Нехай дано дві змінні х і у. Кажуть, що змінна у є функцією від змінної х, якщо задана така залежність між цими змінними, яка дозволяє для кожного, значення х однозначно визначити значення у.
Приклади функцій:
1. Y = kx + b.
2. у = | х |.
3. у = х ^2.
4. У = 1 / х, х> 0
5. У = √ х.
У кожному з цих прикладів вказана формула, що дозволяє для кожного значення змінної х однозначно обчислити значення змінної у.
Для того щоб задати функцію, потрібно:
1) вказати безліч всіх можливих значень змінної х. Це безліч, яке ми будемо позначати D, називають областю визначення функції;
2) вказати правило, за яким кожному числу х з безлічі D зіставляється число у, що визначається числом х. Це число у називається значенням функції в точці х. Мінливу х називають аргументом.
Функція зазвичай позначається однією літерою, наприклад f. Значення функції f в точці х позначається f (х).
Отже, якщо задана функція f, то задано безліч чисел D і кожному числу x D зіставлять число y = f (x).
Нехай задана функція f. з областю визначення D. Розглянемо координатну площину. По осі абсцис будемо відкладати значення аргументу, а по осі ординат - значення функції. Для кожного числа x D можна обчислити y = f (x) та побудувати точку М (х; f (х)). Безліч всіх таких точок утворює криву, називану графіком функції / в заданій системі координат.
Отже, графіком функції f називається множина точок площини з координатами (х; f (х)), де х пробігає область визначення функції f.
На малюнку 2 зображені графіки функцій, які були наведені як приклад на початку параграфа.
Розглянуті нами раніше найпростіші залежності визначають три найважливіші функції:

Ці функції є стандартними прикладами функцій з трьох класів, з якими ми будемо часто стикатися в подальшому: лінійних, дрібно-лінійних і квадратичних.

Рис. 2
Для того щоб визначити змінну у як функцію від змінної х, потрібно поставити безліч значень аргументу х і вказати правило обчислення значень у залежно від х. Спочатку обговоримо, як задається правило обчислення значень. В усіх наведених прикладах раніше правило обчислення задавалося формулою, яка містить певні операції.
Навчаючись математики, ми знайомилися з різними діями, операціями над числами. Наприклад, використовуючи тільки додавання і множення, ми можемо з числа х отримати нові числа, скажімо 3х, 3х + 5, х ³ + 3х + 5 і т. д. Вже такого роду висловлювання, многочлени, можуть служити для побудови досить багатого запасу функцій .
Використання поділу сильно розширює цей запас, дозволяє утворити вирази виду і т. п. Функції, які будуються як відносини многочленів, називають раціональними.
Операція поділу відрізняється від додавання і множення тим, що вона не завжди визначена - в знаменнику дробу не можна ставити нуль. Тому, наприклад, у вираз можна підставити будь-які числа, крім х = 1 і х = -1, при яких знаменник дорівнює нулю.

Поява нових операцій та введення спеціальних знаків для їх позначення призводять до подальшого збагачення наших можливостей - добування кореня, перехід до модуля числа і т. п.
Наприклад, нехай f (х) дорівнює кількості -1, якщо х <0, дорівнює нулю, якщо х = 0, і дорівнює 1, якщо х> 0. Цими словами ми описали деяке правило обчислення, що застосовується до будь-якого числа. Позначимо число f (х), знайдене за цим правилом, через sgn х (від латинського слова signum, що означає «знак»). Тепер ми за допомогою символу для позначення нової операції можемо будувати нові формули, наприклад
Якщо функція задана формулою і не вказано жодних обмежень, її областю визначення вважається безліч всіх значень аргументу, при яких здійсненні всі операції, які беруть участь у цій формулі. Це безліч називають природною областю визначення даної функції.
Так, природною областю визначення функції є безліч чисел х, для яких , Тобто проміжок [- 1; 1].
Ще раз звернемо увагу на те, що дві важливі операції - ділення і добування кореня парному ступеня - здійснимі не завжди (не можна розділити на нуль, не можна витягти корінь парного степеня з від'ємного числа). Це обмеження треба пам'ятати і враховувати при знаходженні області визначення функції, в завданні якої беруть участь зазначені операції.
Значення функції обчислюються шляхом послідовного виконання операцій: зведення в квадрат, додаток одиниці, витяг квадратного кореня. Можна сказати, що функція є «складною функцією», складеної з простіших: і = х ^2, u = u + l, у = √ u.
Отже, правила обчислення значень функції можуть задаватися формулами, отриманими за допомогою відомих нам раніше дій над числами.
Інший важливий спосіб завдання функції - табличний. В таблиці можна безпосередньо вказати значення функції, однак лише для кінцевого набору значень аргументу.
Обчислення значень функції може бути запрограмоване в калькуляторі. Обчислювальний пристрій може служити для вас способом завдання нової функції. Сучасні обчислювальні машини обладнані клавішами, що дозволяють негайно обчислити значення багатьох корисних функцій.
Нарешті, часто функцію задають за допомогою графіка. Графічний спосіб завдання функції дуже зручний: він дає можливість наочно уявити властивості функції. Наведемо приклади.
На малюнку 3 зображено вольтамперні характеристики деяких електричних елементів, тобто графічно задані залежності напруги від сили струму. Вони отримані не за готовою формулою, а експериментально.
На малюнку 4 зображено кардіограма роботи людського серця. Її можна вважати графіком зміни електричного потенціалу на волокнах серцевого м'яза під час серцевого циклу.

Розглянемо функцію y = f (x), графік якої зображено на схемі II. Що можна сказати про властивості функції f, дивлячись на графік?
1) Спроектуємо точки графіка на вісь х. Ми отримаємо відрізок [а, б]. Цей проміжок є областю визначення функції. Дійсно, кожна пряма, паралельна осі у, що проходить через точку цього відрізка, перетинає графік рівно в одній точці; вертикальні прямі, що проходять через точки х поза відрізка [а, б], графік не перетинають.
2) Розглянемо точки перетину графіка з віссю х. На кресленні це х _1, х _2, х _3, х _4. У цих точках функція звертається в нуль. Числа х _1, х _2, х _3, х _4. Є рішеннями рівняння f (x) = 0 і називаються корінням функції (або її нулями).
3) Корені функції f розбивають область визначення на проміжки, в кожному з яких функція зберігає постійний знак. Функція позитивна на проміжках [а; х _1), (х _1; х _2), (х _4; b] і негативна на проміжках (х _1; х _2), (х _3; х _4).
Об'єднання проміжків представляє [а; х _1), (х _2; х _3), і (х _4; b] собою рішення нерівності f (х)> 0, а об'єднання проміжків (х _1; х ₂₎ і (х _3; х ₄₎ .- рішення нерівності f (x) <0.
4) Графік функції можна порівняти з профілем дороги, яка то піднімається в гору, то опускається у видолинок. Самі верхні і самі нижні точки цієї дороги («вершини») грають важливу роль при описі графіка. Вони відповідають значенням аргументу, позначених на графіку т _1, т _2, т _3.

Похідна та її застосування

Часто нас цікавить не значення якої-небудь величини, а її зміна. Наприклад, сила пружності пружини пропорційна подовженню пружини; робота є зміна енергії; середня швидкість - це відношення переміщення до проміжку часу, за який було скоєно це переміщення, і т. д.
При порівнянні значення функції f в деякій фіксованій точці х ₀ зі значеннями цієї функції у різних точках х, що лежать в околиці х _0, зручно виражати різниця f (х) - f (х ₀₎ через різницю х - х _0, користуючись поняттями «прирощення аргументу »і« приріст функції ». Пояснимо їх зміст.
Нехай х - довільна точка, що лежить в деякому околі фіксованої точки х _0. Різниця х - х ₀ називається приростом незалежної змінної (або збільшенням аргументу) в точці х ₀ і позначається Δх;. Таким чином,
Dх = х-х _0,
звідки випливає, що х = х ₀ + Δх
Кажуть також, що Первісне значення аргументу х ₀ отримало приріст Δ х. Внаслідок цього значення функції f зміниться на величину
f (x) - f (x ₀₎ = f (x ₀ + Δ х) - f (x ₀₎
Ця різниця називається приростом функції f в точці х _0, відповідним збільшенню Δ х, і позначається символом Δ f (читається «дельта еф»), тобто за визначенням
Δ f = f (x ₀ + Δ х) - f (x ₀₎
звідки
f (x) = f (x ₀ + Δ х) = f (x ₀₎ Δ f
Зверніть увагу: при фіксованому x ₀ прирощення Δ f є функція від Δ х.
Δ f називають також збільшенням залежною змінною і позначають через Δу для функції y = f (x).
Приклад: Дан куб з ребром а. Висловимо похибка Δ V, допущену при обчисленні об'єму цього куба, якщо похибка при вимірюванні довжини ребра дорівнює Δх. За визначенням приросту х = a + Δ x, тоді

Розглянемо графік функції y = f (x). Геометричний сенс збільшень Δх і Δ f (приріст Δ f позначають також Δу) можна зрозуміти, розглянувши малюнок 80.
Пряму l, що проходить через будь-які дві точки графіка функції l, називають січною до графіка f. Кутовий коефіцієнт k січної, що проходить через точки (х _0; y0) і (х; у), дорівнює .
Його зручно виразити через збільшення Δх і Δу.

(Нагадаємо, що кутовий коефіцієнт прямої y = kx + b дорівнює тангенсу кута а, який ця пряма утворює з віссю абсцис.)
За допомогою введених позначень збільшень зручно також висловлювати середню швидкість руху за проміжок часу [t _0; t ₀ + Δ t]. Якщо точка рухається по прямій і відома її координата х (t), то

Ця формула вірна і для Δ t <0 (для проміжку [t ₀ + Δ t; t _0]). Справді, в цьому випадку переміщення точки одно х (t ₀₎ - x (t ₀ + Δx); тривалість проміжку часу дорівнює - Δ t, і, отже,

Аналогічно вираз називають середньою швидкістю зміни функції на проміжку з кінцями x ₀ і x ₀ + Δх.

Первісна та інтеграл

Згадаймо приклад з механіки. Якщо в початковий момент часу t = 0 швидкість тіла дорівнює 0, тобто u (0) = 0, то при вільному падінні тіло до моменту часу t пройде шлях
(1)
Формула (1) була знайдена Галілеєм експериментально. Диференціюванням знаходимо швидкість:
(2)
Друге диференціювання дає прискорення:

тобто прискорення постійно.
Більш типово для механіки інше положення: відомо прискорення точки a (t) (у нашому випадку воно постійно), потрібно знайти закон зміни швидкості u (t), а також знайти координату s (t). Іншими словами, за вашим похідної u '( t), що дорівнює a (t), треба знайти u (t), а потім по похідній s '(t), що дорівнює u (t), знайти s (t).
Для вирішення таких завдань служить операція інтегрування, зворотній операції диференціювання.
Визначення. Функція F називається первісної для функції f на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку
F '(x) = f (x).

Показова і логарифмічна функції

1. Визначення кореня. З поняттям квадратного кореня з числа, а ви вже знайомі: це таке число, квадрат якого дорівнює а. Аналогічно визначається корінь п-го ступеня з числа а, де п - довільне натуральне число.
Визначення. Коренем п-го ступеня з числа а називається таке число, п-я ступінь якого дорівнює а.
Приклад 1. Корінь третього ступеня з числа 27 дорівнює 3, так як З ³ = 27. Числа 2 і - 2 є корінням шостого ступеня з числа 64, оскільки 2 ⁶ = 64 і (- 2) ⁶ = 64.
Згідно з цим визначенням корінь п-й ступені з числа а - це рішення рівняння х ^п = а. Число коренів цього рівняння залежить від п і а. Розглянемо функцію f (х) = х ^п. Як відомо, на проміжку [0; ∞) ця функція при будь-якому п зростає і приймає всі значення з проміжку [0; ∞). По теоремі про корінь рівняння х ^п = а для будь-якого а [0; оо) має невід'ємних корінь і притому лише один. Його називають арифметичним коренем п-го ступеня з числа an позначають ; Число п називається показником кореня, а саме число а - подкоренное виразом. Знак кореня √ називають також радикалом.
Визначення. Арифметичні коренем п-го ступеня з числа а називають невід'ємне число, п-я ступінь якого дорівнює а.
При парних п функція f (x) = x ⁿ парні. Звідси випливає, що якщо а> 0, то рівняння х ^п = а, крім кореня х ₁ = , Має також корінь х ₂ = - ,. Якщо а = 0, то корінь один: х = 0; якщо а <0, то це рівняння коренів не має, оскільки парна ступінь будь-якого числа неотрицательна.
Отже, при парному п існують два кореня п-го ступеня з будь-якого позитивного числа а; корінь п-го ступеня з числа 0 дорівнює нулю; коріння-парному ступеня з негативних чисел не існує.
При непарних значеннях п функція f (x) = x ⁿ зростає на всій числовій прямій; її область значень - безліч всіх дійсних чисел. Застосовуючи теорему про корінь, знаходимо, що рівняння х ^п - а має один корінь при будь-якому а й, зокрема, при а <0. Цей корінь для будь-якого значення а (в тому числі і а негативного) позначають
Отже, при непарному п існує корінь п-го ступеня з будь-якого числа а і до того ж лише один.
Для коренів непарної мірою справедливо рівність

У самому справі,

тобто число - є корінь n-го ступеня з - а. Але такий корінь при непарному п єдиний. Отже,
Рівність (При непарній п) дозволяє висловити корінь непарної ступеня з від'ємного числа через арифметичний корінь тій же мірі. Наприклад, .
Зауваження. Для будь-якого дійсного х

Зауваження. Зручно вважати, що корінь першого ступеня з числа а дорівнює а. Як ви вже знаєте, корінь другого ступеня з числа називають квадратним коренем, а показник 2 кореня при записі опускають (наприклад, корінь квадратний з 7 позначають просто ) Корінь третього ступеня називають кубічним коренем.
2. Основні властивості коренів. Нагадаємо відомі вам властивості арифметичних коренів л-го ступеня.
Для будь-якого натурального п, цілого k і будь-яких невід'ємних чисел а і b виконані рівності:

Доведемо властивість 1 ^0. За визначенням - Це таке невід'ємне число, п-я ступінь якого дорівнює ab. Число · неотрицательно. Тому досить перевірити справедливість рівності ( · ) ^П = ab яке випливає з властивостей ступеня з натуральним показником і визначення кореня n-го ступеня: ( · ) ^П = ( ) ^N ( ) ^N = ab
Аналогічно доводяться наступні три властивості:

Доведемо тепер властивість 5 ^0. Зауважимо, що n-й ступінь числа ( ) ^K дорівнює a ^k:

За визначенням арифметичного кореня ( ) ^K = ^k (так як ).