Методика «Формування понять»
Методика представляє набір площинних фігур - квадратів, трикутників, кіл - трьох різних кольорів (червоний, синій, жовтий) і трьох різних розмірів (рис.3). Ознаки цих фігур: форма, колір і величина - разом утворюють трьохбуквені штучні поняття, що не мають сенсу рідною мовою. У даному експерименті використано такі штучні поняття:
Поняття з однією ознакою:
Біг - круглий, каб - великий, сур - червоний, цін - трикутний, босий - квадратний, див - середній, лаг - зелений, гур - маленький.
Поняття з двома ознаками: Дис - червоний і великий, буд - зелений і великий, вар - жовтий і маленький, троянд жовтий і великий, веч - зелений і маленький, кир - червоний і середній за розміром, зум - жовтий і середній за розміром, куд - зелений і середній за розміром, сім - червоний і маленький.
Поняття з трьома ознаками:
Мук - червоний, трикутний маленький, чар - червоний, круглий, середній, бек - червоний, квадратний, великий, віл - зелений трикутний, маленький, сівба - зелений, круглий, середній, бал - зелений, квадратний, великий, нур - жовтий, трикутний, маленький, гон - жовтий, круглий, середній, сов - жовтий, середній, круглий.
Як видно з наведених вище списків, в запропоновані штучні поняття входять від одного до трьох різних ознак. Фігури відповідного розміру, форми і кольору (всього 27 фігур з різними ознаками) вирізують з кольорового паперу і наклеюються на квадратні картонні картки розміром 8 х 8 см.
Перед дитиною в довільному порядку поруч один з одним розкладаються картки з кольоровими фігурами на них таким чином, щоб всі ці картки дитина могла одночасно бачити і вивчати. Картки можна розкласти в три ряди по сім карток в кожному, помістивши шість з них у неповний ряд.



Рис 3.
По команді експериментатора випробуваний у відповідності з отриманим від експериментатора завданням починає шукати задумане їм поняття. Роблячи перший крок на цьому шляху, ан відбирає одну з карток і кладе її окремо від інших. Експериментатор підтверджує або заперечує наявність шуканого Ознаки (ознак) поняття на відібраний випробуваним картці, і той продовжує пошук далі, до тих пір і доки не будуть відібрані картки, що містять у собі всі ознаки шуканого поняття. Після того як експериментатор підтвердить випробуваному даний факт, випробовуваний повинен дати визначення відповідного поняття, тобто сказати, які конкретні ознаки в нього входять.
Експериментатор на початку дослідження задумує поняття, що містить тільки одна ознака, потім - поняття, що включає дві ознаки, і, нарешті, поняття, що містить в собі відразу три ознаки. Задумавши поняття, експериментатор повідомляється випробуваному трибуквенне назва даного поняття і кількості ознак, яке воно містить. Випробуваному пропонується самостійно, знайти ці ознаки, відібравши із запропонованого набору карток з фігурами ті, які містять ці ознаки, і назвати саме поняття, визначивши його через знайдені ознаки.
Поняття, що містить в собі тільки одна з ознак - колір, форму або величину, відбирається експериментаторам довільно з верхнього списку; поняття, що включає дві ознаки, - із середнього списку; поняття, що включає три ознаки, - з нижнього списку.
На рішення піддослідним кожної з трьох завдань (пошук трьох понять, які включають в себе від одного до трьох ознак) відводиться по 3 хвилини. Якщо за цей час випробуваний не впорається самостійно з завданням, то експериментатор дає йому підказку: сам відбирає одну з карток, яка містить шуканий ознака, і каже: «На цій картці є потрібний ознака» (дитина повинна виявити ця ознака і назвати його без подальшої підказки). Ще через хвилину, якщо дитина як і раніше не справляється із завданням, експериментатор пропонує йому другу підказку: показує ще одну картку, яка містить шуканий ознака (або ознаки). Нарешті, якщо через 5 хвилин після початку виконання чергового завдання дитина так і не знайшов всі ознаки і не дав словесне визначення шуканого поняття, то йому пропонується наступне завдання того ж самого типу. Якщо і з нею не справиться, то експеримент припиняється.
У тому випадку, якщо дитина впорається з першим завданням (пошук та визначення поняття з єдиною ознакою) самостійно або після підказок експериментатора, йому пропонується наступне, більш складне завдання, пов'язане з пошуком та визначенням поняття, що містить дві ознаки, і так далі. Більш складне завдання, що стосується формування понять з великим числом ознак, дається дитині тільки в тому випадку, якщо до цього він впорався з виконанням менш складного завдання.
Оцінка результатів.
10 балів дитина отримує в тому випадку, якщо він повністю самостійно, без підказок з боку експериментатора, зумів за відведений час із першої спроби вирішити всі три задачі, тобто знайшов всі ознаки і дав визначення трьом поняттям, що містить в собі від одного до трьох різних ознак.
8 -9 балів дитина отримує тоді, коли за відведений час він вирішив усі три завдання, але йому для цього знадобилося більше трьох спроб, більше 9 хвилин і одна - дві підказки.
6 - 7 балів за виконання даного завдання дитина отримує в тому випадку, якщо йому знадобилося більше трьох спроб і отримати як мінімум дві - три підказки при вирішенні першої та другої задач, а з третього він не впорався навіть після двох спроб і отримання всіх підказок.
4 - 5 балів відповідає тому випадку, коли дитина з працею, більше ніж за дві спроби вирішив перший две6 завдання (пошук та визначення понять з одним і двома ознаками), а третю завдання не вирішив.
2 - 3 бали дитина отримує тоді, коли після двох спроб і підказок він справиться тільки з першим завданням, а другу і третю не вирішив.
0 - 1 бал - той випадок, коли після всіх спроб і підказок дитина не змогла вирішити ні одного завдання.
Висновки про рівень розвитку
10 балів - дуже високий
8 - 9 балів - високий
4 - 7 балів - середній
2 - 3 бали - низький
0 - 1 бал - дуже низький.

Тест
Піддослідним пропонувався бланк з 20-а рядами слів. У кожному з них набір з 5-ти слів, два з яких понад усе з ними пов'язані. Завдання випробуваного - знайти в кожному рядку по два слова, найбільш відповідних поняттю, і підкреслити їх.
1. Сад (рослини, садівник, собака, паркан, земля).
2. Річка (берег, риба, рибалка, твань, вода).
3. Місто (автомобіль, будівля, натовп, вулиця, велосипед).
4. Сарай (сінник, кінь, дах, худобу, стіни).
5. Куб (кути, креслення, сторона, камінь, дерево).
6. Розподіл (клас, ділене, олівець, дільник, папір).
7. Кільце (діаметр, алмаз, проба, округлість, друк).
8. Читання (голова, книга, друк, картина, слово).
9. Газета (правда, додаток, телеграми, папір, редактор).
10. Гра (карти, гравці, штрафи, покарання, правила).
11. Війна (літаки, гармати, битви, рушниці, солдати).
12. Книга (малюнки, війна, паперу, любов, текст).
13. Спів (дзвін, мистецтво, голос, оплески, мелодія).
14. Землетрус (смерть, пожежа, коливання грунту, шум, повінь).
15. Бібліотека (голод, книги, лекція, музика, читачі).
16. Ліс (лист, яблуня, дерево, мисливець, вовк).
17. Спорт (медаль, оркестр, змагання, перемога, стадіон).
18. Лікарня (приміщення, сад, ворог, радіо, хворі).
19. Любов (троянди, почуття, людина, місто, природа).
20. Патріотизм (місто, друзі, батьківщина, сім'я, чоловік).
Правильні відповіді підкреслені.

Тест

(Гуревич К. М., Акімова М. К., Борисова О. М.)

Інструкція

Цей тест призначений для діагностики вміння дітьми здійснювати класифікацію. Інструкція випробуваним дається в усній формі: «Зараз, вам будуть запропоновані завдання, які призначені для виявлення вашого вміння міркувати, знаходити спільне та відмінне. Ці завдання відрізняються від того, що вам доводиться виконувати на уроках. Для виконання завдань вам знадобляться ручки і бланки, які я вам роздам ».

На виконання цього завдання відводиться 7 хвилин. Починати і закінчувати роботу по команді.
У бланку мають міститися відомості про прізвище учня, дату проведення експерименту, класі та школі, де навчається випробуваний. Експериментатор повинен проконтролювати заповнення цих граф.
На бланку дано 5 слів, 4 з них об'єднані загальною ознакою. П'яте слово до них не підходить. Його треба знайти і підкреслити. Зайвим може бути тільки одне слово.
Наприклад:
а) тарілка, б) чашка, в) стіл, г) каструля, д) чайник. а, б, г,. д - позначають посуд, а в - меблі, тому воно підкреслено.
Форма А.
1. а) приставка, б) привід, в) суфікс, г) закінчення, д) корінь.
2. а) пряма, б) ромб, в) прямокутник, г) квадрат, д) трикутник.
3. а) барометр, б) флюгер, в) термометр, г) компас, д) азимут.
4. а) рабовласник, б) раб, в) селянин, г) робочий, д) ремісник.
5. а) прислів'я, б) вірш, в) поема, г) робочий, д) повість.
6. а) цитоплазма, б) харчування, в) зростання, г) подразливість, д) розмноження.
7. а) дощ, б) сніг, в) іній, г) град, д) туман.
8. а) трикутник, б) відрізок, в) довжина, м) коло, д) квадрат.
9. а) пейзаж, б) мозаїка, в) ікона, г) фреска, д) кисть.
10. а) нарис, б) роман, в) розповідь, г) сюжет, д) повість.
11. а) паралель, б) карта, в) меридіан, г) екватор, д) полюс.
12. а) література, б) наука, в) живопис, г) зодчество, д) художнє мистецтво.
13. а) довжина, б) метр, в) маса, г) обсяг, д) швидкість.
14 а) вуглекислий газ, б) світло, в) вода, г) крохмаль, д) хлорофіл.
15. а) пролог, б) кульмінація, в) інформація, г) розв'язка, д) епілог.
16. а) швидкість, б) коливання, в) сила, г) вага, д) щільність.
17. а) Куба, б) Японія, в) В'єтнам, г) Великобританія, д) Ісландія.
18. а) товар, б) гроші, в) місто, г) ярмарок, д) натуральне господарство.
19. а) опис, б) порівняння, в) характеристика, г) казки, д) іносказання.
20. а) аорта, б) вена, в) серце, г) артерія, д) капіляр.
Форма Б.
1. а) кома, б) точка, в) двокрапка, г) тире, д) союз.
2. а) глобус, б) меридіан, в) полюс, г) паралель, д) екватор.
3. а) морфологія, б) синтаксис, в) пунктуація, г) орфографія, д) термінологія.
4. а) рух, б) інерція, в) вага, г) коливання, д) деформація.
5. а) коло, б) трикутник, в) трапеція, г) квадрат, д) прямокутник.
6. а) картина, б) мозаїка, в) ікона, г) скульптура, д) фреска.
7. а) робочий, б) селянин, в) раб, г) феодал, д) ремісник.
8. а) легенда, б) драма, в) комедія, г) трагедія, д) п'єса.
9. а) аорта, б) стравохід, в) вена, г) серце, д) артерія.
10. а) Канада, б) Бразилія, в) В'єтнам, г) Іспанія, д) Норвегія.
11. а) тіло, б) площа, в) об'єм, г) вага, д) швидкість.
12. а) напрям, б) курс, в) маршрут, г) азимут, д) компас.
13. а) корінь, б) стебло, в) лист, г) тичинка, д) квітка.
14. а) землетрус, б) цунамі, в) стихія, г) ураган, д) смерч.
15. а) метафора, б) монолог, в) епітет, г) алегорія, д) перебільшення.
16. а) товар, б) місто, в) ярмарок, г) натуральне господарство, д) гроші.
17. а) циліндр, б) куб, в) багатокутник, г) куля, д) гроші.
18. а) прислів'я, б) байка, в) приказка, г) казка, д) билина.
19. а) історія, б) астрологія, в) подразливість, г) зростання, д) свідомість.
20. а) харчування, б) дихання, в) подразливість, г) зростання, д) свідомість.
Оцінка виставляється за 9-бальною шкалою.

Оцінка в балах	9	8	7	6	5	4	3	2	1
Кількість правильних відповідей	18	17	16	14 - 15	12 - 13	10 - 11	8 - 9	6 - 7	5

Кожна з методик дає надійні результати при використанні її в комплексі з іншими методиками, спрямованими на виявлення доступного випробуваному рівня узагальнень, цілеспрямованості розумової діяльності, ригідності, характеру понятійних зв'язків.

Додаток В
Ігри на формування в учнів початкових класів математичних понять, розумового прийому класифікація
«Ромб»
Ця гра на закріплення уявлень про пересічних поняттях. Для гри необхідний комплект з 18 букв - це латинські літери А, В, С, різної величини (великі і маленькі) і різного забарвлення (білі, чорні і сірі). Кожна така літера має свою назву, наприклад, «А велика чорна», «а маленька біла», «З велика смугаста» і т. д. Гра має три варіанти.
Варіант 1.
Перед початком цього варіанту гри дитині показують, що є дві частини ігрового поля - всередині ромба і поза ним. Потім ділять випадковим чином комплект букв порівну - половину собі, половину дитині. Правила гри такі: потрібно розташувати букви так, щоб всі білі букви (і лише вони) були всередині ромба. Ходи робляться по черзі, кожен використовує літери свого комплекту. За кожний помилковий хід - штрафне очко. Після того як всі букви розкладені, у дитини питають: «Які букви опинилися поза ромба?» Важливо, щоб він відповів, що поза ромба знаходяться всі небілі літери.
Правильним також є відповідь - всі чорні і сірі букви. Якщо дитина починає перераховувати, які саме букви там знаходяться, наприклад, літери А великі і малі, літери В і т.п., то необхідно звернути його увагу на те, що і всередині кола є такі літери, що розмір і найменування цих букв у цій грі не має значення. Головне, що всередині ромба знаходяться всі білі букви, а зовні - небілі.
Мета цього варіанту гри - навчиться виражати властивості букв, які опинилися поза ромба, через властивість тих, які лежать всередині нього. Цю гру можна повторювати кілька разів, міняючи властивість букв, які повинні опинитися всередині ромба (наприклад, всередині мають бути тільки всі літери В, або тільки маленькі букви і т.д.). Дитина повинна навчитися називати всі літери, що знаходяться поза ромба, одним словом або словосполученням.
Варіант 2.
Тут для гри знадобляться вже два ромба. Вони повинні бути різного кольору або мати які-небудь інші відмінності. Перед початком гри необхідно показати учневі, що є чотири області, що визначаються двома ромбами: 1) всередині білого, але не всередині чорного ромба, 2) всередині чорного, але не всередині білого, 3) всередині обох ромбів, 4) поза обох ромбів. Суть гри та ж, що і в першому варіанті тільки завдання дещо складніше. Потрібно розташувати букви, так, щоб усередині білого опинилися всі смугасті літери, а всередині чорного - всі букви С. Якщо дитина не здогадається, що всередині обох ромбів повинні виявитися смугасті літери, підкажіть йому і поясніть, чому ці букви повинні одночасно ставитися до обох областях .
В даній грі завдання може змінюватись наступним чином:

Букви
Усередині білого ромба	Усередині чорного ромба
Всі А Все В Всі великі Всі маленькі Всі чорні Всі З Всі смугасті	Всі смугасті Всі чорні Всі З Усі білі Всі смугасті Всі А Всі великі

В.Н. Осінський вважає, що для оволодіння поняттями необхідні такі суттєві компоненти:
1) засвоєння певної системи знань про поняття;
2) оволодіння спеціальною операційною системою дій (підведення під поняття, вибір необхідних і достатніх ознак для розпізнавання об'єкта, виведення наслідків);
3) встановлення системи понять і їх родовідових відносин всередині системи, взаємозв'язку їх ознак;
4) розкриття генезису понять.
Поняття повинні формуватися не ізольовано один від одного, а виступати як елементи системи, що знаходяться один з одним в певних відносинах.
Дослідження К. А. Степанової показують, що среднеуспевающих учні шостого класу при вирішенні завдань на підведення під початкові геометричні поняття дали 72,5% правильних відповідей. Проте обгрунтування правильності відповіді мало місце тільки в 27,5% випадків. У дослідженні В. І. Зиковою наголошується, що такий рівень засвоєння понять спостерігається аж до восьмого-дев'ятого класів. К. А. Степанова та В. І. Зикова відзначають, що знання істотних ознак не забезпечує свідомого використання їх при орієнтуванні в відповідної дійсності.
Ж. Піаже вважав, що діти до підліткового віку не здатні до понятійному мисленню. До цього віку дитина використовує різні інтелектуальні освіти, функціонально замінюють поняття.
В.В. Давидов і Д. Б. Ельконін вказували на можливість більш раннього формування понятійних структур у дитини в умовах спеціального навчання, порівняно з їх стихійним формуванням.
В.В. Давидов вважає, що «оволодіти поняттям - це значить не тільки знати ознаки предметів і явищ, які охоплюються даним поняттям, але й вміти застосовувати поняття на практиці, вміти оперувати ним» [50, с. 81].
П.Я. Гальперін висунув теорію про поетапне формування математичних понять. Відповідно до цієї теорії формування математичних понять здійснюється через шість етапів:
1. Перший етап - створення мотивації;
2. Другий етап - формування схеми орієнтовної основи діяльності. Виділяють три типи побудови структури навчання, які залежать від повноти орієнтування учнів:
- Учням дається зразок дії і його результат. У повному обсязі їм не дають відомостей про спосіб виконання завдання, тому учні діють шляхом спроб і помилок. При такому типі навчання вчителю доводиться більше займатися усуненням помилок, перенавчанням, ніж правильним навчанням.
- При другому типі орієнтування учням дається алгоритм виконання завдання. При строгому виконання вказівок алгоритму навчання йде без помилок і швидше, ніж при першому типі. Нова завдання учень спочатку порівнює із завданням, яку він вже вирішив, і якщо вони одного типу, даний вчителем алгоритм переноситься на нове завдання. Недоліками такого навчання є те, що учневі дається повний перелік операцій для виконання завдання, при цьому слабо розвивається евристична діяльність. Якщо учневі завжди давати готові алгоритми, схеми, він мало просунеться в розумовому розвитку, не дивлячись на те, що предметними звичками і вміннями він буде володіти успішно.
- Третій тип: учні не стільки навчаються способу виконання дії при вирішенні конкретної задачі, скільки навчаються аналізувати задачі і самостійно складати схему дії. Орієнтовна основа дії може даватися вчителем тільки в узагальненому вигляді, а учні самостійно доповнюють її при виконанні конкретного завдання. Такий спосіб навчання сприяє створенню в учнів фундаменту знань, умінь і звичок, завдяки чому учень швидко орієнтується в нових обставинах і може опановувати новими знаннями, навичками самостійно. Робота з третього типу орієнтування відповідає закономірностям формування змістовних узагальнень, сприяє розвитку творчого теоретичного мислення.
3. Третій етап навчання зводиться до виконання дії в матеріальній або матеріалізованій формі.
4. На четвертому етапі відбувається формування дії за допомогою усного мовлення без опори на матеріальні чи матеріалізовані кошти (всі операції алгоритму, приписи проговорюються вголос по мірі їх виконання). Така система навчання дозволяє учневі стежити за ходом виконання дії, забезпечує єдність предметної (зовнішньої) і розумової (внутрішньої) діяльності. З часом гучне вимова починає знижувати продуктивність навчання, тому вона повинна поступово переходити в вимова «про себе».
5. П'ятий етап - формування дії за допомогою внутрішнього мовлення (операції проговорюються про себе, дія починає скорочуватися і автоматизуватися).
6. Шостий етап - етап інтеріоризації дії, тобто формування дії у внутрішньому мовленні. Дія стає внутрішнім процесом, максимально автоматизується, стає актом мислення.
Навчання, проведене на основі цієї теорії, показало, що діти здатні засвоювати абстрактні поняття, узагальнені знання вже у першому класі початкової школи, причому в умовах масового навчання (Д. Б. Ельконін, В. В. Давидов, Л. І. Айдарова, Н. Г. Салміна, В. П. Сохіна).
Утворення понять, перехід до них від чуттєвих форм відображення - складний процес, в якому застосовуються такі прийоми розумової діяльності, як аналіз, синтез, порівняння, класифікація, узагальнення, абстрагування. Поняття - «це думка, в якій відбиваються загальні, і притому істотні властивості предметів. Разом з тим поняття не тільки відображають загальне, але і розчленовують речі, групують їх, класифікують відповідно до їх відмінностями »[41, с.27].
Класифікація є окремим випадком розподілу - логічної операції над поняттями. Розподіл - це розподіл на групи тих предметів, які мисляться в вихідному понятті. Класифікація являє собою багатоступінчасте, розгалужене розподіл [51, с.137].
С. Л. Рубінштейн дав таке визначення класифікації: «Виявляючи тотожність одних і відмінність інших речей, порівняння призводить до класифікації. Тотожність і відмінність, основні категорії розумового пізнання виступає спочатку як зовнішнє відношення. Більш глибоке пізнання вимагає розкриття внутрішніх зв'язків, закономірностей та суттєвих властивостей. Це здійснюється всіма видами розумових операцій - аналізу, синтезу, узагальнення, абстракції »[54, с 87].
С. Д. Максименко обгрунтував своє бачення класифікації не через порівняння, а через узагальнення. Він пише: «Узагальнення виділених рис предметів і явищ дає можливість групувати об'єкти за видовою, родовим і іншими ознаками» [44, с. 98].
Щоб здійснити класифікацію, необхідно чітко визначити її мету, ознаки об'єктів, які підлягають класифікації, порівнювати їх за істотними ознаками, визначити загальні підстави класифікації, згрупувати об'єкти за певною ознакою.
Р. С. Нємов говорить про те, що «Порівняння розкриває тотожність і відмінність речей. Результатом порівняння може бути класифікація. Вона виступає як первинна форма теоретичного і практичного пізнання ». [42, с. 125]
Ю. Л. Трофімова визначала класифікацію як: «Уявне об'єднання предметів і явищ за їх загальним і суттєвим ознаками».
До визначення прийому розумової діяльності класифікації через порівняння підходила Д. М. Дубравський. «Порівнюючи предмети і явища, ми виділяємо найбільш спільні їхні ознаки і на цій основі здійснюємо класифікацію».
Як видно з визначень класифікація пов'язана в навчальному пізнанні з всіма основними прийомами розумової діяльності (аналіз, синтез, порівняння, узагальнення). Вчитель повинен звернути особливу увагу на формування спеціальних умінь і навичок, оволодіння прийомами мислення, понять, пізнавального інтересу, які формуються і розвиваються в початкових класах. Недостатня увага вчителя початкових класів до цих питань призводить до великих труднощів при подальшому вивченні не тільки математики, але й інших навчальних предметів.
1.2. Види і визначення математичних понять у початковій математики
При засвоєнні наукових знань, учні початкової школи стикаються з різними видами понять. Невміння учня диференціювати поняття призводить до неадекватного їх засвоєнню.
Логіка в поняттях розрізняє об'єм і зміст. Під обсягом розуміється той клас об'єктів, які відносяться до цього поняття, об'єднуються ним. Так, до обсягу поняття трикутник входить все безліч трикутників незалежно від їх конкретних характеристик (видів кутів, розміру сторін та ін.)
Під змістом понять розуміється та система суттєвих властивостей, за якою відбувається об'єднання даних об'єктів в єдиний клас.
Щоб розкрити зміст поняття, слід шляхом порівняння встановити, які ознаки необхідні і достатні для виділення його ставлення до інших предметів. До тих пір, поки не встановлені зміст і ознаки, не ясна сутність предмета, відбиваного цим поняттям, неможливо точно і чітко відмежувати цей предмет від суміжних з ним, відбувається плутанина мислення.
Наприклад, поняття трикутник до таких властивостей відносяться наступні: замкнута фігура, складається з трьох відрізків прямої. Сукупність властивостей, за якими об'єднуються об'єкти в єдиний клас, називаються необхідними і достатніми ознаками. В одних поняттях ці ознаки доповнюють один одного, утворюючи разом той зміст, по якому і об'єднуються об'єкти в єдиний клас. Прикладом таких понять можуть служити трикутник, кут, бісектриса і багато інших.
Сукупність даних об'єктів, на які поширюється дане поняття, становить логічний клас об'єктів.
Логічний клас об'єктів - це сукупність об'єктів, що мають спільні ознаки, внаслідок чого вони виражаються загальним поняттям. Логічний клас об'єктів і обсяг відповідного поняття збігаються.
Поняття діляться на види за змістом та обсягом в залежності від характеру і кількості об'єктів, на які вони поширюються.
За обсягом математичні поняття поділяються на одиничні і загальні. Якщо в обсяг поняття входить тільки один предмет, воно називається одиничним.
Приклади одиничних понять: «найменше двозначне число», «цифра 5», «квадрат, довжина сторони якого 10 см», «коло радіусом 5 см».
Загальні поняття відображає ознаки певної множини предметів. Обсяг таких понять завжди буде більше обсягу одного елемента.
Приклади загальних понять: «безліч двозначних чисел», «трикутники», «рівняння», «нерівності», «числа кратні 5», «підручники математики для початкової школи».
За змістом розрізняють поняття кон'юнктивні і диз'юнктивні, абсолютні і конкретні, безвідносні і відносні.
Поняття називаються кон'юнктивні, якщо їх ознаки взаємозалежні і окремо жоден з них не дозволяє пізнати об'єкти цього класу, ознаки пов'язані союзом «і». Наприклад, об'єкти, що відносяться до поняття трикутник, обов'язково повинні складатися з трьох відрізків прямої і бути замкненими.
В інших поняттях відношення між необхідними і достатніми ознаками інші: вони не доповнюють один одного, а замінюють. Це означає, що одна ознака є еквівалентом іншого. Прикладом такого виду відносин між ознаками можуть служити ознаки рівності відрізків, кутів. Відомо, що до класу рівних відрізків відносяться такі відрізки, які: а) або збігаються при накладанні; б) чи нарізно рівні третього, в) або складаються з рівновеликих частин і т.д.
У даному випадку перераховані ознаки не потрібні все одночасно, як це має місце при кон'юнктивній типі понять; тут досить якогось одного ознаки з усіх перерахованих: кожен з них еквівалентний будь-якого з інших. У силу цього ознаки пов'язані союзом «або». Такий зв'язок ознак називається диз'юнкцією, а поняття відповідно називаються диз'юнктивними.
Важливо також враховувати розподіл понять на абсолютні та відносні.
Абсолютні поняття об'єднують предмети в класи за певними ознаками, що характеризує суть цих предметів як таких. Так, у понятті кут відображені властивості, що характеризують суть будь-якого кута як такого. Аналогічно становище з багатьма іншими геометричними поняттями: коло, промінь, ромб і т.д.
Відносні поняття об'єднують об'єкти в класи за властивостями, що характеризує їхнє ставлення до інших об'єктів. Так, у понятті перпендикулярні прямі фіксується те, що характеризує відношення двох прямих один до одного: перетин, освіта при цьому прямого кута. Аналогічно в понятті число відбито ставлення вимірюваної величини і прийнятого еталона.
Відносні поняття викликають в учнів більш серйозні труднощі, ніж поняття абсолютні. Суть труднощів полягає саме в тому, що школярі не враховують відносність понять і оперують з ними як з поняттями абсолютними. Так, коли вчитель просить учнів зобразити перпендикуляр, то деякі з них зображають вертикаль. Особливу увагу слід приділити поняттю число.
Число - це відношення того, що піддається кількісній оцінці (довжина, вага, об'єм та ін) до еталону, який використовується для цієї оцінки. Очевидно, що число залежить як від вимірюваної величини, так і від еталону. Чим більше вимірювана величина, тим більше буде число при одному і тому ж еталоні. Навпаки, чим більше буде еталон (міра), тим менше буде число при оцінці однієї і тієї ж величини. Отже, учні з самого початку повинні зрозуміти, що порівняння чисел за величиною можна робити тільки тоді, коли за ними стоїть один і той же еталон. Справді, якщо, наприклад, п'ять отримано при вимірюванні довжини сантиметрами, а три - при вимірюванні метрами, то три позначають більшу величину, ніж п'ять. Якщо учні не засвоять відносної природи числа, то вони будуть відчувати серйозні труднощі і при вивченні системи числення.
Труднощі в засвоєнні відносних понять зберігаються в учнів і в середніх, і навіть у старших класах школи.
Між змістом і обсягом поняття існує залежність: чим менший обсяг поняття, тим більше його зміст.
Наприклад, поняття «квадрат» має менший обсяг, ніж обсяг поняття «прямокутник» так як будь-який квадрат - це прямокутник, але не всякий прямокутник є квадрат. Тому поняття «квадрат» має більший вміст, ніж поняття «прямокутник»: квадрат має всі властивості прямокутника і деякі інші (у квадрата всі сторони рівні, діагоналі взаємно перпендикулярні).
У процесі мислення кожне поняття не існує окремо, а вступає у певні зв'язки і відносини з іншими поняттями. У математиці важливою формою зв'язку є родовідових залежність.
Наприклад, розглянемо поняття «квадрат» і «прямокутник». Обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник». Тому перше називають видовим, а друге - родовим. У родо-видових відносинах слід розрізняти поняття найближчого роду і наступні родові щаблі.
Наприклад, для виду «квадрат» найближчим родом буде рід «прямокутник», для прямокутника найближчим родом буде рід «паралелограм», для «паралелограма» - «чотирикутник», для «чотирикутника» - «багатокутник», а для «багатокутника» - « плоска фігура ».
У початкових класах вперше кожне поняття вводиться наочно, шляхом спостереження конкретних предметів або практичного оперування (наприклад, за рахунку їх). Вчитель спирається на знання і досвід дітей, які вони придбали ще в дошкільному віці. Ознайомлення з математичними поняттями фіксується за допомогою терміна або терміна і символу.
Така методика роботи над математичними поняттями в початковій школі не означає, що в цьому курсі не використовуються різні види визначень.
Визначити поняття - це перерахувати всі істотні ознаки об'єктів, які входять в дане поняття. Словесне визначення поняття називається терміном.
Наприклад, «число», «трикутник», «коло», «рівняння» - терміни.
Визначення вирішує два завдання: виділити і відмежовує якесь певне поняття від всіх інших і вказує ті головні ознаки, без яких не може існувати поняття і від яких залежать всі інші ознаки.
Ухвала може бути більш-менш глибоким. Це залежить від рівня знань про поняття, яке позначається. Чим краще ми його знаємо, тим більша ймовірність, що ми зможемо дати для нього краще визначення.
У практиці навчання молодших школярів застосовуються явні і неявні визначення.
Явні визначення мають форму рівності або збігу двох понять.
Наприклад: «Пропедевтика є вступ в будь-яку науку». Тут прирівнюють один до одного два поняття - «пропедевтика» і «вступ в будь-яку науку».
У визначенні «Квадрат - це прямокутник, у якого всі сторони рівні» маємо збіг понять.
У навчанні молодших школярів особливий інтерес серед неявних визначень складають контекстуальні і остенсівние визначення.
Будь-який уривок з тексту, будь який контекст, в якому трапляється поняття, яке нас цікавить є, в деякому розумінні, неявним його визначенням. Контекст ставить поняття в зв'язок з іншими поняттями і тим самим розкриває її зміст.
Наприклад, вживаючи в роботі з дітьми такі вирази, як «знайти значення виразу», «порівняти значення виразів 5 + а і (а - 3) × 2, якщо а = 7», «прочитати висловлювання, що є сумами», «прочитати вираження, і потім прочитати рівняння », ми розкриваємо поняття« математичне вираження »як запис, що складається з чисел або змінних і знаків дій.
Майже всі визначення, з якими ми зустрічаємося в повсякденному житті - це контекстуальні визначення. Почувши, невідоме слово, ми намагаємося самі встановити його значення на підставі всього сказаного.
Подібне має місце і в навчанні молодших школярів. Багато математичних понять у початковій школі визначаються через контекст. Це, наприклад, такі поняття, як «великий - маленький», «який-небудь», «будь-який», «один», «багато», «число», «арифметична дія», «рівняння», «завдання» і т. . д.
Контекстуальні визначення залишаються здебільшого неповними і незавершеними. Вони застосовуються у зв'язку з непідготовленістю молодшого школяра до засвоєння повного і тим більше наукового визначення.
Остенсівние определния - це визначення шляхом демонстрації. Вони нагадують звичайні контекстуальні визначення, але контекстом тут є не уривок будь-якого тексту, а ситуація, в якій опиняється об'єкт, позначений поняттям.
Наприклад, вчитель показує квадрат (малюнок або паперову модель) і каже «Дивіться - це квадрат». Це типове остенсивно визначення.
У початкових класах остенсівние визначення застосовуються при розгляді таких понять як «червоний (білий, чорний і т.д.) колір», «лівий - правий", «зліва направо», «цифра», «попереднє і наступне число», «знаки арифметичних дій »,« знаки порівняння »,« трикутник »,« чотирикутник »,« куб »і т.д.
На основі засвоєння остенсівние шляхом значень слів є можливість вводити до словника дитини вже вербальне значення нових слів і словосполучень. Остенсівние визначення - і тільки вони - пов'язують слово з речами. Без них мова - лише словесне мереживо, яке не має об'єктивного, предметного змісту.
Зауважимо, що в початкових класах допустимі визначення на кшталт «Словом« п'ятикутник »ми будемо називати багатокутник з п'ятьма сторонами». Це так зване «номінальне визначення».
У математиці використовуються різні явні визначення. Найбільш поширене з них - визначення через найближчий рід і видова ознака. Родовідових визначення ще називають класичним.
Приклади визначень через рід і видова ознака: «Паралелограм - це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні», «Ромбом називається паралелограм, сторони якого рівні», «Прямокутником називається паралелограм, у якого кути прямі», «Квадратом називається прямокутник, у яких сторони рівні »,« Квадратом називається ромб, у якого прямі кути ».
Розглянемо визначення квадрата. У першому визначенні найближчим родом буде «прямокутник», а видовою ознакою - «всі сторони рівні». У другому визначенні найближчий рід «ромб», а видова ознака - «прямі кути».
Якщо ж узяти не найближчий рід («паралелограм»), то видових ознак квадрата буде два «Квадратом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні і всі кути прямі».
У родовідових відношенні перебувають поняття «складання (віднімання, множення, ділення)» і «арифметична дія», поняття «гострий (прямий, тупий) кут» і «кут».
Прикладів явних родовідових відносин серед безлічі математичних понять, які розглядаються в початкових класах, не так вже й багато. Але з урахуванням важливості визначення через рід і видова ознака в подальшому навчанні бажано домагатися розуміння учнями суті визначення цього виду вже в початкових класах.
Окремі ухвали можуть розглядати поняття і за способом його утворення або виникнення. Визначення такого типу називають генетичними.
Приклади генетичних визначень: «Кут - це промені, які виходять з однієї точки», «Діагональ прямокутника - відрізок, який з'єднує протилежні вершини прямокутника». У початкових класах генетичні визначення застосовують для таких понять, як «відрізок», «ламана», «прямий кут», «коло».
До генетичним поняттям можна віднести і визначення через перелік.
Наприклад, «Натуральний ряд чисел - це числа 1, 2, 3, 4 і т.д.».
Деякі поняття в початкових класах вводять тільки через термін.
Наприклад, одиниці часу рік, місяць, година, хвилина.
Є в початкових класах поняття, які подаються символічною мовою у вигляді рівності, наприклад, а × 1 = а, а × 0 = 0
У початкових класах багато математичних понять спочатку засвоюються поверхнево, розпливчасто. При першому ознайомленні школярі дізнаються тільки про деякі властивості понять, дуже вузько представляють їх обсяг. І це закономірно. Не всі поняття легко засвоїти. Але безперечно, що розуміння і своєчасне використання вчителем тих чи інших видів визначень математичних понять - одна з умов формування в учнів твердих знань про ці поняття.
1.3. Роль, функції класифікації при формуванні понять
В організації навчальної діяльності молодших школярів у процесі формування математичних понять особливу роль відіграє прийом класифікації. Для того щоб вирішувати питання про належність предмета до даного поняття учні повинні вміти диференціювати ознаки на суттєві і несуттєві, необхідні і достатні, виділяти різні властивості - тобто володіти цілою системою логічних прийомів (аналіз, синтез, порівняння, класифікація, узагальнення).
Класифікація - це прийом розумової діяльності, що представляє собою систематичний розподіл елементів даної множини за класами, згідно з найбільш істотних ознаках.
У теорії множин класифікація - це дія розподілу об'єктів за класами на підставі подібностей об'єктів усередині класу і їх відмінності від об'єктів інших класів.
Цей прийом розумової діяльності є засобом упорядкування досліджуваних об'єктів, встановлення закономірних зв'язків між ними. Саме в цьому випадку класифікація виявляє суттєві подібності та відмінності між предметами і має велике пізнавальне значення. Класифікація грунтується на здатності бачити загальне в кожному конкретному одиничному випадку і має на меті уточнити, узагальнити знання про зв'язки та відносини між досліджуваними об'єктами.
Ознака, який є класифікаційним підставою, повинен бути найбільш придатним і зручним для визначення предметів у класифікаційній системі.
Структуру класифікації, як прийому розумової діяльності утворюють наступні дії:
1) визначення мети класифікації об'єктів (понять, відносин);
2) вибір підстави (істотна властивість, ознака) для класифікації;
3) поділ по цій підставі всієї множини об'єктів (понять, відношень) на непересічні підмножини, що входять в обсяг даного поняття;
4) побудова ієрархічної класифікаційної системи.
Різновид об'єктів для класифікації досить обширна навіть у рамках одного навчального предмета, не кажучи вже про всю сукупність предметів, які вивчають у школі. У теорії множин це можуть бути властивості функцій, поняття, види відносин і відповідностей, закони, теореми і т.д.
У процесі оволодіння умінням класифікувати необхідно сформувати в учнів на практичних прикладах уявлення про такі поняття, як вид, рід, клас, обсяг поняття, поділ обсягу поняття.
Клас - це сукупність (розряд або група) предметів, виділених по деякому спільною ознакою, мислима як єдине ціле.
Вид - підрозділ у систематиці, що входить до складу вищого розряду - рід. Вид являє собою специфічне, особливе в межах спільного.
Рід - група, яка об'єднує кілька видів, що володіють загальними ознаками. Рід представляє собою щось спільне в предметах, що складають його види. Видове поняття обов'язково має всі властивості родового, яке виступає по відношенню до видового як наступний щабель узагальнення.
З визначень видно, що поділ на види, роди, класи досить відносно. Одне і те ж поняття в різних класифікаційних системах може виступати і як видове і як родове. Встановлення родовідових відносин, виділення в поняттях роду і видової відмінності - один з основних етапів класифікації.
При виконанні класифікації має виконуватися наступні вимоги:
1) Класифікація повинна проводиться з одного і того ж основи.
2) Освічені підмножини (класи) непересічні, тобто ніяка пара їх не має спільних елементів. Символічна запис цього умови: Кi  Kj =  для  i, j, де i  j.
3) Класифікація повинна бути сумірною, тобто об'єднання всіх підмножин (класів) утворює все безліч. Класифікація повинна бути безперервною, тобто класами повинні бути найближчі видові поняття по відношенню до поняття, що підлягає класифікації.
В якості підстав для класифікації виділяють властивості даних об'єктів. У зв'язку з цим можна виділити такі рівні класифікації:
1) Класифікація (типологія) - розподіл усього обсягу поняття на непересічні підмножини, групи (класи) згідно з найбільш загального істотного властивості.
2) Помилкова класифікація - поділ об'єктів (понять, відносин) на групи (класи) згідно з найбільш загальної властивості, виділеного безпосереднім сприйняттям об'єктів (понять, відносин). Зазвичай такі помилкові оцінки регулюється на емпіричному рівні засвоєння знань.
Існують різні способи проведення класифікації:
1) Класифікація за видозміненим ознакою. Елементи поняття, що підлягає класифікації, володіють кількома ознаками. Як підставу класифікації можуть використовуватися різні ознаки классифицируемого поняття.
Приклад: учні третього класу легко можуть розбити безліч Х трикутників на три класи: гострокутні, прямокутні і тупоугольние. Дійсно, виділені підмножини попарно не перетинаються (серед гострокутних немає прямокутних і тупоугольние, серед прямокутних - тупоугольние) та їх об'єднання збігається з безліччю Х. Однак те, що не всяка система підмножин даної множини являє собою розбиття цієї множини їм зрозуміти складно. Наприклад, якщо з багатьох Х трикутників виділити підмножини рівнобедрених, рівносторонніх і різносторонній, то розбиття множини Х на класи ми не отримаємо, оскільки безлічі рівнобедрених і рівносторонніх трикутників перетинаються (всі рівносторонні трикутники є рівнобокими).
З таблиці видно, що утворилося дев'ять класів, з яких деякі порожні (див. табл.1.1).
У разі алгебраїчних рівнянь при одночасному використанні двох підстав класифікацій отримуємо, наприклад, клас рівнянь першого ступеня з двома змінними або клас рівнянь другого степеня з однією змінною і т. д. При одночасній класифікації натуральних чисел за ознакою подільності їх на 2 і на 3 отримуємо клас натуральних чисел, що діляться на 6, та ін
Вибір ознаки класифікації залежить від цілей класифікації, від практичних завдань. Найважливішою вимогою до ознаки (підставі) класифікації є його об'єктивність. Не можна ділити книги на цікаві і нецікаві, завдання на легкі і важкі, тому що такі ознаки носять суб'єктивний характер. Справді, одні й ті ж теореми можуть бути легкими для одних учнів і важкими для інших.
2) дихотомическая (від грецьких слів dicha і tome «розтин на дві частини») класифікація являє собою поділ обсягу классифицируемого поняття на два видових поняття, один із яких має даною ознакою, а інший не має їм.
Порівнюючи дихотомічне класифікацію з класифікацією за видозміненим підставі, можна виділити ряд переваг. Ця класифікація завжди задовольняє вимогу відповідності, тому що об'єднання освічених класів повністю вичерпує обсяг поняття, що підлягає класифікації. Крім того, освічені класи завжди виключають один одного.
Однак дихотомическая класифікація не позбавлена ​​недоліків. Так, розділивши обсяг понять на два суперечать один одному видових поняття, ми залишаємо дуже невизначеним то видове поняття, яке містить частку «не». Наприклад, розділивши клас тригонометричних рівнянь на найпростіші рівняння і не найпростіші, залишаємо досить неясним обсяг класу не найпростіших тригонометричних рівнянь.
Приклад. Застосовуючи дихотомію можна провести класифікацію трикутників і чотирикутників так:

Чотирикутники

Неопуклі

Опуклі

Ті, хто має / / Боку

Що не мають / / боку

Що мають дві пари / / сторін

Що мають одну пару / / сторін

Трикутник

Прямокутний

Непрямокутної

Тупокутний

Гострокутний

Дихотомія часто використовується при розбитті даної множини одночасно за кількома підставами.
3) Дихотомія за різними підставами - розбиття обсягу классифицируемого поняття з незалежних підставах на 2п класу.
Має місце наступна теорема: при розбитті множини М по n незалежним підставах утворюється 2 n класу (n  ).
Ця теорема про розбивку множини за n незалежним підставах може бути використана для вирішення завдань певного типу.
Для вирішення таких завдань доцільно використовувати наочну інтерпретацію розбиття множини на класи за допомогою діаграм Ейлера - Венна. У діаграмі заповнюється числом елементів кожна її частина (клас) відповідно до умов завдання, що і веде до вирішення завдання.
Приклад. Розглянемо дві властивості натуральних чисел: «бути кратним 3» і «бути кратним 5». За допомогою цих властивостей з безлічі натуральних чисел можна виділити дві підмножини: А - підмножина чисел, кратних 3, і В - підмножина чисел, кратних 5. Ці підмножини перетинаються, але жодне з них не є підмножиною іншого.

I IV N