Федеральне агентство з освіти
Середньої професійної освіти
«Професійний ліцей № 15»
Кафедра: Верстатник (металообробка)
Контрольна робота
по курсу: «Математика»
на тему: «Область визначення функції»
Виконав студент гр. Т 102
Бахір Я.А.
Перевірив: Корнілова Н.Г.
Воткінськ
2010
1. Вирішити нерівність
x 2 - 3 x +5
x -1
Рішення.
Для вирішення нерівностей, права частина яких - нуль, а ліва - алгебраїчна дріб, тобто, нерівностей виду використовуємо метод інтервалів.
Позначимо f (x) x 2 -3 x +5 і знайдемо область визначення
x-1
D (f) функція f (x). Для цього визначимо нулі знаменника функції:
x-1 = 0, x = 1, D (f )=(-; 1) (1;).
Знайдемо нулі функції f (x). Для цього вирішимо рівняння:
x 2 - 3 x +5 x 2 -3 x +5 = 0 (1)
x -1 x -1 = 0 (2)
Вирішуючи рівняння (1), отримаємо:
x 2 - 3 x +5 = 0, D = (-3) 2 -4 1 5 = 9-20 <0 - рівняння не має рішень.
Функція f (x) неперервна на множині D (f) і не має нулів. Точка 1 розбиває область визначення на проміжки знакопостоянства значень функції. Визначимо знак значення функції f (x) на кожному проміжку знакопостоянства.
Для цього достатньо визначити знак значення функції в будь-якій точці проміжку:
f (0) 0 2 -3 0 +5 f (2) = 2 2 -3 2 +5
2-1
Відзначимо, для наочності, на малюнку проміжки знакопостоянства значень функції f (x) і запишемо вирішення даного нерівності:
f (x) <0 f (x)> 0
f (x)> 0, xc (1;).
Відповідь: (1;).
2. Вирішити нерівність
Log 5 (3 x +1) <2
Рішення.
Використовуючи властивості логарифмів позитивних чисел
log a a = 1
m log a b = log a b m
перетворимо нерівність до найпростішого логарифмическому нерівності виду
log a f (x) <log a g (x)
Log 5 (3x +1) <2, log 5 (3x +1) <2log 5 травня, log 5 (3x +1) <log 5 5 2.
При a> 1 функція y = log a t в області визначення D (log a), що задається нерівністю t> 0, монотонно зростає, тобто, якщо t 1> t 2> 0, то log a t 1> log a t 2. Враховуючи це, запишемо потім, використовуємо формулу переходу від найпростішого логарифмічного нерівності до подвійного нерівності:
Якщо a> 1, то
Log a f (x) <log a g (x) ó 0 <f (x) <g (x)
log 5 (3x +1) <log 5 5 2, 0 <3x + 1 <5 2, -1 <3x <25 - 1,
11
3 <x <8, x з 3; 8.
1
Відповідь: 3, 8.
3. Знайдіть всі рішення рівняння
sinx cosx - v 3 cosx = 0, належать відрізку | 0; 2 п |.
Рішення.
Розкладемо на множники ліву частину рівняння і, враховуючи умову задачі, що x з | 0; 2п |, в результаті отримаємо наступну систему:
sinx cosx - v3cosx = 0, cosx (sinx-v3) = 0.
| Cosx = 0
| Sinx - v 3 = 0
0 <x <2п
Використовуючи формулу вирішення найпростішого тригонометричного рівняння
cos f (x) = 0 ó f (x) = п + п n, nc Z 2
Вирішимо рівняння (1):
cosx = 0, x = п + п n, n з Z
Підставляючи (4) в подвійне нерівність (3), отримаємо:
0 <п + п n <2п, п <п n <2п п
222, п <п n <3п 1 <n <3
2 п п 2 п, 2 2.
Так як n з Z, то n = 0 і n = 1. Підставляючи n = 0 і n = 1
в рівняння (4), отримаємо:
sinx = v 3 - рішень немає, так як - 1 <sinx <1 при будь-яких значеннях x.
Відповідь: п 3п
2, 2.
4. Знайдіть найменше значення функції
f (x) = 3 x 2 -18 x +7 на проміжку [-5; -1].
Рішення.
Функція неперервна і диференційована в кожній точці проміжку | -5; -1 |.
Найменше (і найбільше) значення неперервної на відрізку функції можуть досягатися або на кінцях відрізка, або в критичних точках, що належать цьому відрізку.
Знайдемо похідну f (x) функції f (x), використовуючи властивості похідної (теореми про диференціюванні суми функцій і про винесення постійного множника за знак похідної) і формулу диференціювання статечної функції: (f (x) + g (x)) = f ( x) + g (x)
(X m) = m x m -1
C = 0
f (x) = (3x 2-18x +7) = 3 (x 2) -18 x +7 = 3 2x 2-1 -18 x 1-1 +0 = 6x-18.
Для знаходження критичних точок складемо і розв'яжемо рівняння:
f (x) = 0
6x-18 = 0, x = 3 c [-5; -1].
Так як критична точка не належить відрізку [-5; -1], то обчислимо значення функції f (x) тільки на кінцях відрізка [-5; -1] і з них виберемо найменше значення:
f (x) = 3 x 2 -18 x +7,
f (-5) = 3 (-5) 2 -18 (-5) +7 = 75 +90 +7 = 172,
f (-1) = 3 (-1) 2 -18 (-1) +7 = 3 +18 +7 = 28.
Найменшим з обчислених значень функції є число 28:
min f (x) = f (-1) = 28.
[-5; -1]
Відповідь: min f (x) = f (-1) = 28.
[-5; -1]
5. Знайдіть всі функції, які мають одну і ту ж похідну: f (x) = x +5 sinx
Рішення.
Знайдемо область визначення D (f) функції f (x):
D (f) = (- ~;~).
Всі функції, що мають похідну, рівну f (x), називають безліччю всіх первісних F (x) функції f (x) на деякому проміжку (в даному випадку, на області визначення D (f) = (- ~;~)) або, як це загальноприйнято в математиці, невизначеним інтегралом функції f (x) на зазначеному проміжку і (загальноприйнято) позначають:
| F (x) dx = F (x) + C
Використовуючи властивості невизначеного інтеграла
| (F (x) + g (x)) dx = | f (x) dx + | g (x) dx
| Af (x) dx = a | f (x) dx
і таблицю невизначених інтегралів
x m +1
| X m dx = m +1 + C, де m = -1
| Sinx dx =-cosx + C
отримаємо:
F (x) = | f (x) dx = | (x + 5 sinx) dx = | xdx + 5 | sinx dx = 1 +1 + 5 (- cosx) + C = 2-5cosx + C.
x 1 +1 x 2
Відповідь: F (x) = 2 -5 cosx + C.