Рішення задач з вищої математики

Завдання 10 Дано матриці

	1	1	2		2	-1	1		1	0	0
А =	-2	0	2	В =	3	4	-2	Е =	0	1	0
	0	-1	0		1	0	-1		0	0	1

Знайти матрицю С = 5В - АE + BA-2Е
Рішення:


2 -1 1 1 1 2
BA = 3 квітня -2 · -2 0 2
1 0 -1 0 -1 0


2 • 1 + (-1) • (-2) +1 • 0 2 ​​• 1 + (-1) • 0 +1 • (-1) 2 • 2 + (-1) • 2 +1 • 0
3 • 1 +4 • (-2) + (-2) • 0 3 • 1 +4 • 0 + (-2) • (-1) 3 • 2 +4 • 2 + (-2) • 0
2 • 1 + (-1) • (-2) +1 • 0 2 ​​• 1 + (-1) • 0 +1 • (-1) 2 • 2 + (-1) • 2 +1 • 0


4 1 2
= -5 Травня 1914
1 2 2


10 -5 5 2 0 0
5В = 15 20 -10 2Е = 0 2 0 АЕ = А,
5 0 -5 0 0 2


1 1 2
тому що Е - одинична матриця АE = -2 0 2
0 -1 0

	10-1 +4-2	-5-1 +1-0	5-2 +2-0
С =	15 +2-5-0	20-0 +5-2	-10-2 +14-0
	5-0 +1-0	0 +1 +2-0	-5-0 +2-2

11	-5	5
12	23	2
6	3	-5

Завдання 20
Вирішити систему рівнянь методом Гаусса та за формулами Крамера.
x + 2y + z = 5
x - y-2z = -1
2x + y + z = 4
Рішення:
Метод Гаусса.

1	2	1	5		1	2	1	5		1	2	1	5
1	-1	-2	-1	~	0	-3	-3	-6	~	0	-3	-3	-6
2	1	1	4		0	-3	-1	-6		0	0	2	0

2z = 0, z = 0;-3y -3 ∙ 0 = -6, y = 2; x + 2 ∙ 2 + 1 ∙ 0 = 5, x = 1.
Рішення системи {1, 2, 0}
За формулами Крамера:

D - визначник матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих,
Dx, Dy, Dz - виходять з D шляхом заміни стовпця коефіцієнтів при відповідному невідомому на стовпець вільних членів.

	1	2	1
Δ =	1	-1	-2	= -1 +1-8 +2-2 +2 = -6
	2	1	1

	5	2	1
Δ x =	-1	-1	-2	= -5-1-16 +4 +2 +10 = -6
	4	1	1

X = Δ _x / Δ = -6 / (-6) = 1

	1	5	1
Δ y =	1	-1	-2	= -1 +4-20 +2 +8-5 = -12
	2	4	1

Y = Δ _y / Δ = -12 / (-6) = 2
Z = Δ _z / Δ = 0 / (-6) = 0

	1	2	5
Δ я =	1	-1	-1	= -4 +5-4 +10 +1-8 = 0
	2	1	4

Рішення системи {1, 2, 0}
Завдання 30
На площині задано трикутник координатами своїх вершин А (2,3), В (-3,1), С (-4,5)
Знайти:
- Довжину сторони АВ
- Рівняння сторони АВ
- Рівняння медіани АD
- Рівняння висоти РЄ
- Рівняння прямої, що проходить через вершину С, паралельно стороні АВ
- Внутрішній кут при вершині А
- Площа трикутника АВС
- Координати точки Е
- Зробити креслення
Рішення:
1. Довжина сторони АВ:
½ АВ ½ = »5,385
2. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки:
; ;
у = - Рівняння прямої АВ, кутовий коефіцієнт k _AB = 2 / 5
3. Медіана АD ділить сторону ВС, протилежну вершині А, навпіл.
Координати середини ПС:
х ₄ = (х ₂ + х ₃₎ / 2 = 3,5, у ₄ = (у ₂ + у ₃₎ / 2 = 3
D (-3,5; 3)
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, А і D:
; -5,5 У = -16,5
у = 3 - рівняння прямої АD
3. Висота РЄ перпендикулярна АВ, а значить кутовий коефіцієнт висоти РЄ дорівнює

Рівняння прямої, що проходить через задану точку (х ₃ еу ₃₎ і має кутовий коефіцієнт k _РЄ, має вигляд:
у - у ₃ = k _РЄ (х - х _3); у - 5 = -2,5 (х +4)
у = -2,5 х -5 - рівняння висоти РЄ.
5. Якщо прямі паралельні, то їх кутові коефіцієнти рівні. Рівняння прямої, що проходить через точку С (х ₃ еу ₃₎ і має кутовий коефіцієнт k _АВ, має вигляд:
у - у ₃ = k _АВ (х - х _3); у - 5 = х + ,
у = х + , - Рівняння прямої, паралельної АВ.
6. Косинус внутрішнього кута при вершині А обчислюється за формулою:
, Де
- Довжини сторін АВ і АС відповідно.

,
ÐА = arc cos 0,7643 = 40 ^о 9 '
7. Площа трикутника АВС обчислюється за формулою:
S = Ѕç (x ₂ - x ₁₎ (y ₃ - y ₁₎ - (x ₃ - x ₁₎ (y ₂ - y ₁₎ ç;
S = Ѕ ç (-5) · 2 - (-2) · (-6) ç = 22 / 2 = 11 кв.ед.
8. Координати точки Е знаходимо, вирішуючи спільно рівняння АВ і РЄ, т.к точка Е належить їм обом:

у = -2,5 х -5
у =
0,4 х +2,2 = -2,5 х -5 2,9 х = -7,2 х = -2,5
у = 6,25 - 5 = 1,25 Е (-2,5; 1,25)

2

-3

4

А

У

E

D

З

3

1

y = x +

2

1

-1

-2

-4

4

5

0

Х

У

Завдання 40
Привести рівняння кривої другого порядку до канонічного виду. Побудувати криву.
у ² + 2x - 2y -1 = 0
Рішення:
Виділяємо повні квадрати:
у ² - 2у +1 + 2х-2 = 0
(У - 1) ² = -2 (х - 1)
(Х - 1) =- 1 / 2 (у - 1) ² - це рівняння параболи з центром в точці (1,1), вісь симетрії - пряма
у = 1, гілки параболи спрямовані вліво.

У

Х

1

1

Завдання 50
Обчислити межі.
1)
2)
3)
4)
так як -Перший чудовий межа
5) , (A> 0)
Позначимо х-а = t. Якщо х → а, то t → 0, х = t + a, ln x-ln a =

де - Другий чудовий межа.
Завдання 60
Знайти похідні функцій:
1) y =
y ¢ =
2) у =

3) y =
y ¢ =
4) y = ctg (e ^x cosx);
y ¢ =
Завдання 70
Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.
у = ;
Рішення:
1. Область визначення функції: х Î (- ¥; + ¥).
2. Поведінка функції на кордонах області визначення:

3. у ¢ = х ³ - х ² = х ² (x-1); у ¢ = 0, якщо х ₁ = 0, х ₂ = 1;
При х Î (- ¥; 0), у ¢ <0, функція спадає.
При х Î (0, 1), у ¢ <0, функція спадає.
У точці х = 0 екстремуму немає.
При х Î (1; + ∞), у ¢> 0, функція зростає.
У точці х = 1 функція має локальний мінімум.
4. у _min = ¹ / ₄   - ¹ / ₃ = - ¹ / _12.
5. Опуклість, точки перегину графіка функції:
у ² = 3х ² - 2х = x (3x-2).
у ² = 0, якщо 2х (6х -1) = 0, х ₁ = 0, х ₂ = ² / _3;
При х <0, у ²> 0, графік увігнутий.
При 0 <х ^<2 / _3, у ² <0, графік опуклий.
При х> ² / _3, у ²> 0, графік увігнутий.
Точки х ₁ = 0 і х ₂ = ² / ₃ - точки перегину графіка функції.
в (0) = 0, у ⁽² / ₃ ) »-0,05
6. Точки перетину з осями координат:
З віссю ОХ. у = 0, = 0 х ₁ = 0, x ₂ = ⁴ / ₃
З віссю ОУ. х = 0, у = 0.

-1

-2

0

1

1

2

Y

X

min

Точки перегину

2 / 3

2

2

-1

-2

Завдання 80
Знайти приватні похідні першого і другого порядку функцій.
z = x ² ∙ sin y + y ² ∙ cos x;
Рішення:





= .
Завдання 90
Дана функція . Показати, що
Рішення:

=

=
= - = 0, що і вимагалося довести.
Завдання 100
Знайти найбільше і найменше значення функції z = x ³ + 8y ^3-6xу +1 у прямокутнику, обмеженому прямими х = 0, х = 2, у = 1, у = -1.
Рішення:
1. Шукаємо точки екстремумів всередині замкнутої області:
SHAPE \ * MERGEFORMAT

Y

X

1

2

0

N

K

М

У

З

Q

3x ² = 6y, y =
24y ² = 6x,
x ₁ = 0, x ₂ = 1, y ₁ = 0, y ₂ = Ѕ
Точка О (0,0) і точка N (1, Ѕ)
2. Шукаємо точки екстремумів на межах області:
а) сторона АВ: х = 0, -1 £ у £ 1, z = 8у ³ +1;
24у ^2, z ¢ = 0, якщо у = 0, точка (0,0).
б) сторона ЗС: у = 1, 0 £ х £ 2, z = х ³ - 6х +9;
3х ² - 6 = 0, х ² = ² х = ± »± 1,4, точка х = -1,4 в замкнуту область не входить.
х = 1,4, - точка К (1,4; 1)
в) Сторона CD: х = 2, -1 £ у £ 1,
z = 8 + 8у ³ - 12У +1 = 8у ³ - 12У +9;
2у ² = 1, у = - Точки M (2; 0,7) і Q (2; -0,7)
г) сторона АD: у = -1, 0 £ х £ 2, z = х ³ + 6х-7;
3х ² + 6 ≠ 0, при будь-яких значеннях х.
2. Обчислимо значення функції Z в точках А, В, С, D, О, К, M, N, Q.
Z _A = Z (0, -1) = -8 +1 =- 7;
Z _B = Z (0,1) = 8 +1 = 9;
Z _C = Z (2,1) = 8 +8-12 +1 = 5;
Z _D = Z (2, -1) = 8-8 +12 +1 = 13;
Z _K = Z ( , 1) = 2,8 +8-8,4 +1 = 3,4;
Z _O = Z (0,0) = 1;
Z _M = Z (2,0.7) = 8 +2,7-8,4 +1 = 3,3;
Z _N = Z (1, ) = 0;
Z _Q = Z (2, -0.7) = 8-2,7 +8,4 +1 = 14,7;
Z _min = -7, Z _max = 14,7.

Завдання 110
Знайти формулу виду y = ax + b методом найменших квадратів за даними досвіду (таблиці):

Рішення:
Метод найменших квадратів дає систему двох лінійних рівнянь для визначення параметрів "a" і "b":

Підрахуємо суми:
1 +2 +3 +4 +5 = 15 1 +4 +9 +16 +25 = 55
4,8 +5,8 +4,3 +2,3 +2,8 = 20 1.4, 8 +2 · 5,8 +3 · 4,3 +4 · 2,3 +5 · 2,8 = 52,5
Підставляємо значення сум в систему рівнянь:

52,5-55a-15b = 0 60 - 45a - 15 b = 0 -7,5-10а = 0

52,5-55a-15b = 0
20 - 15a - 5 b = 0 (* 3)
a = -0.75
20 - 15 · (-0.75) = 5b; b = 31,25: 5 = 6,25
Шукана формула: y = -0,75 x + 6,25.
Завдання 120
Обчислити невизначені інтеграли:
1)
2)


3)

4) ; Підстановка: t = tg t; x = arctg t,
dx =

5) Підстановка:


Завдання 130
Обчислити площу, обмежену заданими лініями:
у = х ^2, y = 2 - x ²
Рішення:
SHAPE \ * MERGEFORMAT

X

Y

0

4

A

B

C

y = x 2

y = 2-x 2

S =
S

S кв.ед.
Завдання 140
Визначити об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої заданими лініями:
(У-3) ² +3 х = 0, х = -3 навколо осі Ох
Рішення:
V =


V =
SHAPE \ * MERGEFORMAT

X

Y

0

х =- 3

6

3

= 6p ∙ 27 = 162p куб.ед.

Література:
1. Л.Г. Лелевкіна, В.В. Попов «Основи вищої математики». Бішкек, КРСУ, 2005 р.
2. Піскунов Н.С. «Диференціальне та інтегральне числення» т.1 М. 1986