Рішення до Збірника завдань з вищої математики Кузнєцова Л.А. - 2. Диференціювання. Зад.6

Задача 6. Знайти похідну.

6.1.

e ^x + 2 e ^{2 x} + e ^x

y '= 1 - √ (e ^{2 x} + e ^x +1) = 2 + e ^x + √ (e ^{2 x} + e ^x +1) - e ^x √ (e ^{2 x} + e ^x +1) -2 e ^{2 x} - e ^x =

2 + e ^x +2 √ (e ^2x + e ^x +1) 2 + e ^x +2 √ (e ^2x + e ^x +1)

= (2-e ^x) √ (e ^2x + e ^x +1) +2 + e ^{x-2e x}

2 + e ^x +2 √ (e ^2x + e ^x +1)

6.2.

y '= 1 / 4 * e ^2x (2-sin2x-cos2x) +1 / 8 * e ^2x (-2cos2x +2 sin2x) = 1 / 8 * e ^2x (4-2sin2x-2cos2x-2cos2x +2 sin2x) = 1 / 8 * e ^2x (4-4cos2x) = e ^2x * sin2x

6.3.

y '= 1 * 1 * 2e ^x = E ^x.

2 Січень + (e ^x -3) ² 4 e ^{2x-6e x} +10

4

6.4.

y '= 1 * 1-2 ^x * -2 ^x ln2 (1 +2 ^x) - (1-2 ^x) 2 ^x ln2 = (2 ^x -1) 2 ^x ln4 = 2 ^x (2 ^x -1)

ln4 1 +2 ^x (1 +2 ^{x) 2} ln4 (1 +2 ^{x) 3} (1 +2 ^{x) 3}

6.5.

e ^x (√ (e ^x +1) +1) _ e ^x (√ (e ^x +1) -1)

y '= e ^x + √ (e ^x +1) +1 * 2 √ (e ^x +1) 2 √ (e ^x +1) =

√ (e ^x +1) √ (e ^x +1) -1 (√ (e ^x +1) +1) ²

= E ^x + E ^x √ (e ^x +1) + e ^{x-e x} √ (e ^x +1) + e ^x = √ (e ^x +1)

√ (e ^x +1) 2e ^x √ (e ^x +1)

6.6.

y "= 2 / 3 * 3 / 2 * √ (arctge ^x) * e ^x = E ^x √ (arctge ^x)

1 + e ^x 1 + e ^x

6.7.

y '= 2e ^x - 2e ^x = E ^x

2 (e ^2x +1) 1 + e ^2x 1 + e ^2x

6.8.

6.9.

y "= 2 / ln 2 * ((2 ^x ln 2) / (2 √ (2 ^x -1)) - (2 ^x ln 2) / (1 ​​+2 ^x -1)) = 2 x / √ (2 ^x -1) -2

6.10.

e ^x (√ (1 + e ^x) +1) _ e ^x (√ (1 + e ^x) -1)

y '= 2 √ (1 + e ^x) + 2 e ^x (x -2) _ √ (1 + e ^x) +1 * 2 √ (1 + e ^x) 2 √ (1 + e ^x) =

2 √ (1 + e ^x) √ (1 + e ^x) -1 (√ (1 + e ^x) +1)

= Xe ^x +2 _ 2e ^x √ (1 + e ^x) +2 e ^x = Xe ^x.

√ (1 + e ^x) e ^x √ (1 + e ^x) ( √ (1 + e ^x) +1) √ (1 + e ^x)

6.11.

y '= αe ^αx (αsinβx-βcosβx) + e ^αx (αβcosβx + β ² sinβx) =

α ² + β ²

= E ^αx (α ² sinβx + β ² sinβx) = e ^αx sinβx

α ² + β ²

6.12.

y '= αe ^αx (βsinβx-αcosβx) + e ^αx (β ² cosβx + αβsinβx) =

α ² + β ²

= E ^αx (β ² cosβx +2 αβsinβx-α ² cosβx)

α ² + β ²

6.13.

y '= ae ^ax * ┌ 1 + acos2bx +2 bsin2bx ┐ + e ^ax ┌-2absin2bx +4 b ² cos2bx ┐ =

└ 2a 2 (a ² +4 b ²⁾ ┘ └ 2 (a ² +4 b ²⁾ ┘

= E ^ax / 2 * (1 + cos2bx) = e ^ax cos ² bx

6.14.

y '= 1 - e ^x - E ^x = 1 - e ^{x-e x-e 2x} = 1 + e ^2x.

(1 + e ^{x) 2} 1 + e ^x (1 + e ^{x) 2} (1 + e ^{x) 2}

6.15.

3 / 6 * e ^{x / 6} * √ (1 + e ^{x / 3)} + 1 / 3 * e ^{x / 3} (1 + e ^{x / 6)}

y '= 1 - 2 √ (1 + e ^{x / 3)} _ 3 / 6 * e ^{x / 6} =

(1 + e ^{x / 6)} √ (1 + e ^{x / 3)} 1 + e ^{x / 3}

= 1 - e ^{x / 6} + e ^{x / 2} + e ^{x / 3} + ​​e ^{x / 2} _ E ^{x / 6} = 1 - e ^{x / 3-e x / 6.}

2 (1 + e ^{x / 6)} (1 + e ^{x / 3)} 2 (1 + e ^{x / 3)} 2 (1 + e ^{x / 6)} (1 + e ^{x / 3)}

6.16.

y '= 1 - 8e ^{x / 4} = 1 - 2e ^{x / 4} .

4 (1 + e ^{x / 4) 2} (1 + e ^{x / 4) 2}

6.17.

e ^x + e ^2x

y '= √ (e ^2x -1) _ ^e-x = E ^x (e ^x + √ (e ^2x -1)) _ ^e-x * e ^x = e ^x -1.

e ^x + √ (e ^2x -1) √ ^(1-e-2x) (e ^x + √ (e ^2x -1)) √ (e ^2x -1) √ (e ^2x -1) √ (e ^2x -1 )

6.18.

e ^2x

y '= 1 + ^e-x arcsine ^x - ^e-x * e ^x + √ (1-e ^2x) =

√ (1-e ^2x) 1 + √ (1-e ^2x)

= 1 + ^e-x arcsine ^x - 1 + e ^2x =

√ (1-e ^2x) (1 + √ (1-e ^2x)) √ (1-e ^2x)

= ^E-x arcsine ^x

6.19.

y '= 1 - e ^x + ^{E-x / 2} arctge ^{x / 2} - ^{e-x / 2} * e ^{x / 2} _ e ^{x / 2} arctge ^{x / 2} =

1 + e ^x 1 + e ^x 1 + e ^x

= 1 - e ^x + 1 + arctge ^{x / 2} * 1-e ^x = Arctge ^{x / 2} * 1-e ^x.

1 + e ^x 1 + e ^x e ^{x / 2} (1 + e ^x) e ^{x / 2} (1 + e ^x)

6.20.

y '= 3x ² e ^x3 (1 + x ^{3)-3e x3} x ² = 3x ⁵ e ^x3

(1 + x ^{3) 2} (1 + x ^{3) 2}

6.21.

y '= b * me ^mx √ a = e ^mx.

m √ (ab) (b + ae ^2mx) √ b b + ae ^2mx

6.22.

y '= e ^{3 ^ √ x} / 3 √ x ⁽³ √ x ² -2 ³ √ x +2) +3 e ^{3 ^ √ x} (2 / ⁽³ березня √ x) -2 / ⁽³ березня √ x ²⁾ ) = e ^{3 ^ √ x}

3 ^ √ x = кубічний корінь з х

6.23.

(E ^x +2 e ^2x _ E ^x) (√ (1 + e ^x + e ^{2x)-e x} +1) _ (e ^x +2 e ^2x _ E ^x) (√ (1 + e ^x + e ^{2x)-e x} -1)

y '= √ (1 + e ^x + e ^{2x)-e x} +1 * 2 √ (1 + e ^x + e ^2x) 2 √ (1 + e ^x + e ^2x) =

√ (1 + e ^x + e ^{2x)-e x} -1 (√ (1 + e ^x + e ^{2x)-e x} +1) ²

= E ^x (1 +2 e ^2x -2 √ (1 + e ^x + e ^2x)) = 1.

(E ^x (1 +2 e ^2x -2 √ (1 + e ^x + e ^2x))) √ (1 + e ^x + e ^2x) √ (1 + e ^x + e ^2x)

6.24.

y '= cosxe ^sinx (x-1/cosx) + e ^sinx (1-sinx/cos ² x) = e ^sinx (xcosx-sinx/cos ² x)

6.25.

y '= e ^x / 2 ((x ² -1) cosx + (x-1) ² sinx) + e ^x / 2 (2xcosx-(x ² -1) sinx +2 (x-1) sinx + (x-1 ) ² cosx) =

= E ^x / 2 (x-1) (5x +3) cosx

6.26.

y '= e ^x + ^e-x = e ^3x + e ^x.

1 + (e ^{x-e-x) 2} e ^{4x-e 2x} +1

6.27.

y '= e ^{3 ^ √ x} / ³ √ x ^{2 (3} √ x ⁵ -5 ³ √ x ⁴ +20 x-60 ³ ​​√ x ² +120 ³ √ x-120) + e ^{3 ^ √ x (5} березня √ x ² -20 ³ √ x +20-120 / ³ √ x +120 / ³ √ x ²⁾ = e ^{3 ^ √ x} (x-40)

6.28.

y '=-3e ^3x sh ³ x +3 e ^3x sh ² xchx = e ^3x (chx-shx)

3sh ⁶ x sh ⁴ x

6.29.

y ^'=-e-x + e ^2x = √ (e ^{4x-e 2x)} - √ ^(e-2x -1) = √ (e ^2x -1) - √ (1-e ^2x)

√ ^(1-e-2x) √ (1-e ^2x) √ ^(1-e-2x) * √ (1-e ^2x) √ ^(1-e-2x) √ (1-e ^2x)

6.30.

y '= ^xe-x2 (x ⁴ +2 x ² +2) -1 / 2 * ^e-x2 (4x ³ +4 x) = x ^{5 e-x2}

6.31.

y '= 2xe ^x2 (1 + x ^{2)-2e x2} x = 2x ³ e ^x2

(1 + x ^{2) 2} (1 + x ^{2) 2}