Задача 1. Побудувати графіки функцій за допомогою похідної першого порядку.
1) .
2) Функція ні парна, ні непарна.
3) .
При ,
(0, 0) - точка мінімуму,
(2, 0) - точка мінімуму,
(1; 1) - точка максимуму.
Задача 2. Побудувати графіки функцій за допомогою похідної першого порядку.
1) .
2) Функція ні парна, ні непарна.
3)
При ,
;
не існує в точках
і
.
(-1, 2) - точка максимуму.
Завдання 3. Знайти найбільше і найменше значення функцій на заданих відрізках.
ОДЗ .
При ,
;
не існує при
.
Задача 4. При підготовці до іспиту студент за днів вивчає
частину курсу, а забуває
частину. Скільки днів потрібно затратити на підготовку, щоб була вивчена максимальна частина курсу?
k = 1 / 2,
не задовольняє умові завдання.
Точка є точкою мінімуму.
Відповідь: 4 дні.
Задача 5. Дослідити поведінку функцій в околицях заданих точок за допомогою похідних вищих порядків.
Т.к. то в точці
функція має максимум.
Задача 6. Знайти асимптоти і побудувати графіки функцій.
1) .
2) Функція ні парна, ні непарна.
3)
а) ,
-Вертикальна асимптота.
б)
.
Отже, - Похила асимптота.
4)
не існує при
5) Знайдемо точки перетину з осями:
При .
При .
1) .
2) Функція ні парна, ні непарна.
3)
а) ,
-Вертикальна асимптота.
б)
.
Отже, - Похила асимптота.
4)
при
не існує при
-Точка максимуму функції.
-Точка мінімуму функції.
5)
не існує при
6) Знайдемо точки перетину з осями:
При .
При квадратне рівняння немає коренів, отже графік не перетинається з віссю
Завдання 8. Провести повне дослідження функцій і побудувати їх графіки.
1) .
2) Функція ні парна, ні непарна.
3)
а) ,
-Вертикальна асимптота.
б)
.
Отже, - Горизонтальна асимптота.
4)
при
,
не існує при
-Точка мінімуму функції.
5)
не існує при
6) Знайдемо точки перетину з осями:
При .
При квадратне рівняння немає коренів, отже графік не перетинається з віссю
1)
2) Функція ні парна, ні непарна.
3)
а) вертикальних асимптот немає.
б)
.
Отже, - Похила асимптота.
4)
при
,
не існує при
-Точка мінімуму функції,
- Точка максимуму функції.
5)
при
,
не існує при
6) Знайдемо точки перетину з осями:
При .
При
Завдання 10. Провести повне дослідження функцій і побудувати їх графіки.
1)
2) Функція ні парна, ні непарна.
3)
а) вертикальних асимптот немає.
б) похилих асимптот немає.
4) функція є періодичною
5)
, Тоді
.
6)
при
,
При функція увігнута, т.к.
.
При функція опукла, т.к.
.
Точки перегину:
.