Московський державний технічний

Університет ім. Н.Е. Баумана
Калузький філія

РОЗРАХУНКИ НА СТІЙКІСТЬ

Рівноважний стан пружної системи називається стійким, якщо воно мало змінюється при малих збуреннях. Якщо зупиниться на разі прямолінійних, досить гнучких і центрально завантажених стрижнів, то явище втрати стійкості полягає в наступному. При силах, що не перевищують деякої величини, званою критичною силою, прямолінійний рівноважний стан є єдиним і стійким. Однак, якщо сила більше критичної, то прямолінійний рівноважний стає нестійким і стрижень переходить в криволінійне рівноважний стан - згинається. Відбувається біфуркація (роздвоєння) рівноважних форм. Величина критичної сили для стержня, який втрачає стійкість у пружній стадії, визначається за формулою Ейлера:
p ² EI _x
F _cr = ¾ ¾ ¾ ¾, (1)
(Ml) ²
де:
Е - модуль пружності;
I _x - мінімальний момент інерції поперечного перерізу стрижня;
m - коефіцієнт приведення довжини, що залежить від закріплення стрижня;
l - довжина стержня.
Формула Ейлера може використовуватися в тому випадку, якщо втрата стійкості відбувається в пружній стадії, тобто якщо критична напруга не перевершує межі пропорційності:
s _cr = F _cr / A = p ² E / l ² £ s _pr, (2)
____
де: l = ml / i _x - гнучкість стержня; i _x = Ö I _x / A - радіус інерції поперечного перерізу; А - площа поперечного перерізу.
У 1899 р . російським інженером Ф. С. Ясинським був запропонований спосіб розрахунку стиснутих стрижнів на стійкість, що складається в тому, що розрахунок на стійкість замінюється розрахунком на звичайне стиснення, але допустимі напруження при цьому покладаються змінними, залежними від гнучкості:
s ^cr _adm = js _adm; j = s _cr / s _yc , (3)
тут j = j (l) - коефіцієнт зниження допустимого напруги; s _adm - напруга, що допускається на стиск.
За межами застосовності формули Ейлера, тобто для малих значень гнучкості, величини коефіцієнта розраховуються з урахуванням виникнення пружно-пластичних деформацій. Зрозуміло, що j залежить не тільки від гнучкості, а й від властивостей матеріалу. Для найбільш уживаних матеріалів складені таблиці. Наведемо таку таблицю для Ст.3, матеріалу найбільш часто використовуваного для стиснутих елементів конструкцій.

Табл. 1

ljlj

0 1.00 110 0.52
10 0.99 120 0.45
20 0.96 130 0.40
30 0.94 140 0.36
40 0.92 150 0.32
50 0.89 160 0.29
60 0.86 170 0.26
70 0.81 180 0.23
80 0.75 190 0.21
90 0.69 200 0.19
100 0.60 --- ---
Для проміжних значень l відповідні їм значення m визначаються шляхом лінійної інтерполяції.
Для стержнів, які мають гнучкість більше 200 (рідко зустрічається в практиці випадок), коефіцієнт зниження допустимих напружень може бути визначений за формулою (3) з урахуванням (2).
Можливі два типи завдань.
1) Визнач поперечний переріз стиснутого стержня - потрібно знайти зусилля, яке може бути допущено, виходячи з умови стійкості: N _adm = = js _adm A.

 

Приклад 1. Визначити навантаження, яку можна допустити на ферму, виходячи з стійкості поясів АВ і СD (Рис.1). Поперечний перетин поясів виконано з двох куточків 63'5; матеріал Ст.3, s _adm = 160 МПа.

F 10
B
x
1м
А a = p ¤ 6 З a D
Рис.1
Площа поперечного перерізу А = 2 × 6,13 = 12,26 см ² (ГОСТ 8509-72). Віссю, щодо якої момент інерції мінімальний, є вісь x. Очевидно, що радіус інерції перерізу відносно осі x, буде дорівнювати радіусу інерції одного куточка i _x = 1,94 см (по сортаменту). Оскільки вузли ферми вважаються шарнірними, то коефіцієнт приведення довжини m = 1.Пріведенная довжина ml = 1 × 2м = 200см. Гнучкість l = 200 / 1,94 »103,1.
По таблиці 1 маємо: j = 0.60 - (0, 08/10) × 3,1 = 0,575.
Нормальна сила, яку можна допустити на стрижень АВ дорівнює:
N _adm = js _adm A = 0,575 × 16кН/см ² × 12,26 см ² = 112,8 кН.
Зв'яжемо між собою силу F і зусилля N.

_y åF y = 0 Þ F / 2 - N × Sin (p ​​/ 6) = 0; F = N;
N F _adm = N _adm = 112,8 kH.
a S
x
F / 2 Рис.2

2) Другий тип завдань: задана сила F - потрібно підібрати розміри поперечного перерізу. Можна записати: A = F / (js _adm), але j залежить від гнучкості, отже, від радіуса інерції, тобто знову від розмірів поперечного перерізу. Таким чином, коло замкнулося. Завдання може бути вирішена методом спроб і зводиться, по суті, до послідовності завдань першого типу.

Приклад 2. Підібрати розміри квадратного поперечного перерізу для стиснутої стійки (Мал.3). Сила F = 80кН. Матеріал Ст.3 з s _adm = 160 МПа.
Розберемося з геометричними харак-
теристика перетину: А = а ^2, I _x = a ⁴ / 12;
______ ___
F i _x = Ö I _x / A = (1 / Ö12) × a »0,289 a.

Задамося деяким середнім значеннями-
al = 0,5 м ем коефіцієнта зниження допустимого
напруги j ₁ = 0,5. Тоді:
по табл.1 l = 110 + 10 × (0,02 / 0,07) = 112,9.
Коефіцієнт m для даного випадку зак-

Рис.3 репленія дорівнює 2.

Радіус інерції перерізу i _x = ml / l = 2 × 50/112, 9 = 0,8857 см ; Сторона квадрата а = i _x / 0,289 = 0,8857 / 0,289 = 3,06 см; площа перерізу А = а ² = 3,06 ² = = 9,36 см ^2. На даний перетин можна допустити зусилля:
j ₁ s _adm A = 0,5 × 16кН/см ² × 9,36 см ² = 74,9 кН <80кН = F, тобто перетин мало.
Нехай j ₂ = 0.52; l = 110; i _x = 100/110 = 0,909 см; а = 0,909 / 0,289 =
= 3,15 см; А = 3,15 ² = 9,92 см ^2; форма сприймає:
j ₂ s _adm A = 0,52 × 16 × 9,92 = 82,5 кН, що відрізняється лише на 3%.
Зазвичай вважається, що результат досягнутий, якщо сила, яку сприймає перетин, відрізняється від сили, що діє на стержень, не більше ніж на 5% у той чи інший бік:
0,95 F <Js _adm A <1,05 F.
Округляючи до більш технологічного розміру, приймемо а = 32мм. В останньому прикладі даних методичних вказівок ми покажемо інший підхід до організації спроб підбору, при якому утворюється деякий сходиться ітераційний процес.
Енергетичний спосіб визначення критичних сил. Викладені вище підходи, застосовні тоді, коли умови закріплення стрижня і способи програми навантаження найпростіші [1]. У більш складних випадках інтегрування диференціального рівняння зігнутої осі стрижня досить громіздко і доцільно скористатися наближеним енергетичним способом. Розглянемо стержень центрально стислий силою F (Рис.4). Стрижень на малюнку умовно показаний шарнірно опертих, але питання про граничні умови залишимо поки відкритим.
y
q D
v
FF x


z dz F _п
l

Рис.4
Нехай сила F менше Ейлера критичної сили. Якщо прикласти до стрижня деяку малу поперечну силу F _п, то стрижень зігнеться, але буде знаходиться в стійкому стані рівноваги. Стискаюча сила F здійснить при цьому роботу на переміщенні D, яке можна знайти наступним чином. Скорочення малого елемента довжиною dz дорівнюватиме:
dD = dz - dzCosq = dz (1 - Cos q) = 2dzSin ² (q / 2) »½ dzq ^2.
Врахуємо, що кут повороту дорівнює першій похідній від прогину: q = v ¢, тоді переміщення точки прикладання сили D знайдеться:
_l
D = ½ ò (v ¢) ² dz.
⁰

Потенційна енергія вигнутого стрижня виразиться

_l M ² dz _l
U = ò ¾ ¾ ¾ ¾ = ½ ò EI _x (v ¢ ¢) ² dz, тут враховано, що M = EI _x v ¢ ¢
⁰ 2EI _x ⁰
Зміна повної енергії стрижня при малому вигині буде складатися з потенційної енергії деформації і зміни потенціалу зовнішніх сил на переміщенні D.
Е = U - F × D
Якщо Е> 0, то стан стрижня стійко. Якщо ж Е <0, тобто F × D> U, то сила проводить роботу більшу, ніж може накопичитися в стержні у вигляді енергії пружної деформації. Надлишкова робота йде на повідомлення кінетичної енергії, стрижень приходить в рух і прогинається далі, тобто стан його нестійкий. Очевидно, що критичного стану відповідає випадок
F _cr × D = U, або
  _{l                               l}
F _cr × ½ ò (v ¢) ² dz = ½ × ò EI _x (v ¢ ¢) ² dz, звідки отримаємо:
^{0 0}
_l
ò EI _x (v ¢ ¢) ² dz
⁰
F _cr = ¾¾¾¾¾¾¾ (4)
_l
ò (v ¢) ² dz
⁰

Для отримання величини критичної сили необхідно задатися формою зігнутої осі v = v (z), що задовольняє граничним умовам завдання. З математичної точки зору (4) є функціоналом, т.е.отображеніем з безлічі функцій певного класу (двічі диференційовних і задовольняють граничним умовам) в безліч дійсних чисел.
Приклад 3. Знайдемо критичну силу для стержня, шарнірно опертого
по обох кінцях (Рис.5). Точне рішення в цьому
F разі відомо: F _cr = p ² EI _x / L ² »9,8696 EI _x / l ^2.
Якщо задатися функцією v = C × Sin (pz / l), то
отримаємо точне рішення. Припустимо, що ми
l цього не знаємо і спробуємо апроксимувати
z вигнуту вісь поліміальной функцією. Візьмемо
для початку поліном другого ступеня:
Рис.5
v = Az ² + Bz + C (5)
Запишемо граничні умови: 1) при z = 0: v = 0; 2) при z = l: v = 0. Підставляючи в (5), отримаємо:
З = 0; Al ² + Bl = 0 Þ B = - Al.
Диференціюючи (5) і враховуючи отримані вирази для коефіцієнтів, маємо:
v ¢ = A (2z - l); v ¢ ¢ = 2A.
Підставивши в (4), маємо:
_l
4A ² ò dz
⁰
F _cr = ¾¾¾¾¾¾ = 12EI _x / l ^2.
_l
A ² ò (2z - l) ² dz
⁰
Ми бачимо, що отримане значення критичної сили відрізняється від точного рішення, більш ніж на 20%.
Відомо, що чим вище ступінь апроксимує полінома, тим вище точність рішення. Апроксимуємо іеогнутую вісь стрижня поліномом четвертого ступеня:
v = Az ⁴ + Bz ³ + Cz ² + Dz + E (6)
1) при z = 0: v = 0;
2) при z = 0: M = EI _x v ¢ ¢ = 0 Þ v ¢ ¢ = 0;
3) при z = l: v = 0;
4) при z = l: M = 0 Þ v ¢ ¢ = 0.
Візьмемо похідні від (6):
v ¢ = 4Az ³ + 3Bz ² + 2Cz + D;
v ¢ ¢ = 12Az ² + 6Bz + 2C .
Реалізуємо граничні умови, отримавши при цьому систему з чотирьох алгебраїчних рівнянь.
1) Þ Е = 0; 2) Þ З = 0; 3) Þ Al ⁴ + Bl ³ + Dl = 0; 4) Þ 12Al ² + 6Bz = 0 Þ B = - 2Al, підставляючи це в попереднє рівняння, маємо: D = Al ^3.
Підставляючи це у вирази для похідних, отримаємо:
v ¢ = A (4z ³ - 6lz ² + l ^3); v ¢ ¢ = 12A (z ² - lz).

Підставивши в (4), будемо мати:
_l
144A ² EI _x ò (z ² - lz) ² dz
⁰
F _cr = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 168EI _x / (17 × l ²⁾ »9,8824 EI _x / l ^2.
_l
A ² ò (4z ³ - 6lz ² + l ^{3) 2} dz
⁰

Як бачимо, отримане рішення практично збігається з точним. Звернемо увагу на той факт, що наближені рішення завжди дають завищені значення критичних сил. Це відбувається з тієї причини, що в наближеному вирішенні стрижень - система з нескінченним числом ступенів свободи, замінюється більш жорсткою системою з кінцевим числом ступенів свободи.
Приклад 4. Знайти критичну навантаження для стержня, показаного на
Рис.6. У цьому випадку значення коефіцієнта
приведення довжини невідомо і немає можли-
F ності безпосередньо використовувати для ви-
хування критичної сили формулу (1). При-
менім енергетичний спосіб. Для апроксимаційним-
l сімаціі зігнутої осі стрижня використовуємо
вираз (6). Граничні умови будуть
виглядати:
1) при z = 0: v = 0;
2) при z = 0: v ¢ = 0 (у закладенні кут повороту
z 2l дорівнює нулю);
3) при z = l: v = 0;
4) при z = 3l: M = 0 Þ v ¢ ¢ = 0 (на верхньому
кінці стрижня згинальний момент дорівнює
Рис.6 нулю);
Вирази для похідних див. стор.8. Скористаємося граничними умовами:
1) Þ Е = 0; 2) Þ D = 0; 3) Þ 4l ² × A +2 l × B + C = 0; 4) Þ 54l ² × A + 9l × B +
+ C = 0, вирішуючи відносно А систему з двох останніх рівнянь: 9l × B + C = - 54l ² × A,
2l × B + C = - 4l × A,
отримаємо: B = (- 50 / 7) × Al; C = (72 / 7) × Al.
Перша і друга похідні від прогину запишуться:
v ¢ = 2A [2z ³ - (75 / 7) lz ² + (72 / 7) l ² z], v ¢ ¢ = 12A [z ² - (25 / 7) lz + (12 / 7) l ^2] .

Підставивши в (4), обчислимо критичну силу

_{3 l}
144A ² EI _x ò [z ² - (25 / 7) zl + (12 / 7) l ^{2] 2} dz
⁰
F _cr = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ »1,09 EI _x / l ^2.
_3l
4A ² ò [2z ³ - (75 / 7) z ² l + (72 / 7) zl ^{2] 2} dz
⁰
Приклад 5. Для стислій стійки, показаної на Рис.7, використовуючи енер-
енергетичних спосіб визначити коефі-
z ціент приведення довжини m. Підібрати
розміри поперечного перерізу стійки. Сі-
ла F = 200кН. Матеріал Ст.3: s _adm = 160 МПа.
DF d / D = a = 0,8; l = 3м. Використовувати методи-
ку розрахунку за коефіцієнтом зниження до-
dl пускаємо напруг.
0,6 l Рішення
z Запишемо граничні умови:
1) при z = 0: v = 0;
2) при z = 0: v ¢ ¢ = 0;
3) при z = l: v = 0;
4). при z = l: v ¢ ¢ = 0
Рис.7 Підставимо це в апроксимуючої поліном (6) і в другу похідну від нього. У результаті отримаємо ті ж самі вирази для v ¢ і v ¢ ¢, що й у прикладі 3. Різниця буде полягати лише в тому, що у виразі для критичної сили інтеграл, що стоїть в знаменнику доведеться брати в межах від 0 до 0,6 l. Це легко зрозуміти, якщо згадати, що знаменник у формулі (4) являє собою подвійну переміщення точки прикладання сили, а воно залежить від укорочення частини стрижня, що лежить нижче перерізу, в якому прикладена сила.
_l
144A ² EI _x ò (z ² - lz) ² dz
⁰
F _cr = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ »19,53 EI _x / l ^2.
_{0,6 l}
A ² ò (4z ³ - 6lz ² + l ^{3) 2} dz
⁰
Знайдемо коефіцієнт приведення довжини. Для цього представимо вираз для критичної сили:
F _cr = 19,53 EI _x / l ² = p ² EI _x / (p ² / 19,53) × l ^2.
Зіставляючи отриманий результат з формулою Ейлера (1), отримаємо:
m ² = p ² / 19,53 Þ m »0,711.
Приведена довжина стрижня ml = 0,711 × 300 »213см.
Підберемо розміри поперечного перерізу. Визначимо геометричні характеристики. Площа перерізу:
A = pD ² (1 - a ²⁾ / 4 »0,785 D ² (1 - 0,8 ^2)» 0,283 D ^2.
Момент інерції:
I _x = pD ⁴ (1 - a ⁴⁾ / 64.
Радіус інерції:
_____ ______ _______
i _x = Ö I _x / A = 0,25 DÖ 1 + a ² = 0,25 DÖ 1 + 0,8 ² »0,32 D.
Для підбору розмірів перетину використовуємо наступний сходиться алгоритм: задамося деяким середнім значенням коффициент j:
j ₁ = 0,5, тоді площа А = F / j ₁ s _adm = 200kH / (0,5 × 16kH / см ² = 25см ^2;
_______ _______
діаметр перетину дорівнює D = Ö A / 0,283 = Ö 25 / 0,283 = 9,4 см;
радіус інерції i _x = 0,32 D = 0,32 × 9,4 = 3,01 см;
гнучкість l = ml / i _x = 213 / 3,01 = 70,8;
коефіцієнт приведеної довжини, що відповідає цій гнучкості
j ¢ ₁ = 0,81 - (0,06 / 10) × 0,8 = 0,8052 (табл.1);
таке значення j приймемо рівним середньому арифметичному з двох попередніх:
j ₂ = (j ₁ + j ¢ ₁₎ / 2 = (0,5 + 0,8052) / 2 »0,653 і повторимо розрахунок:
__________
А = 200 / (0,653 × 16) = 19,14 см ^2; D = Ö 19,14 / 0,283 = 8,22 см; i _x = 0,32 × 8,22
= 2,63 см; l = 213 / 2,63 = 81; j ¢ ₂ = 0.75 - (0,06 / 10) × 1 = 0,744;
j ₃ = (0,653 + 0,744) / 2 = 0,7; А = 200 / (0,7 × 16) = 17,86 см ^2;
__________
D = Ö 17,86 / 0,283 = 7,94 см; i _x = 0,32 × 7,94 = 2,54 см; l = 213 / 2,54 = +83,9
j ¢ ₃ = 0,75 - (0,06 / 10) × 3,9 = 0,727; різниця між двома сусідніми значеннями складає:
100 × (0,727 - 0,7) / 0.7 = 3,9% <5%.
Розрахунок можна вважати закінченим. Необхідний розмір D = 7,94 см, але з конструктивних міркувань приймемо D = 80мм.

Список літератури
1. Феодос'єв В. І. Опір матеріалів. - М.: Наука. - 1986 .- 512с.
2. Работнов Ю. М. Механіка деформівного твердого тіла. - М.: Наука. - 1979. - 744с.