РЕФЕРАТ
СТІЙКІСТЬ Ротор з ТРІЩИНАМИ
Перша проблема, з якою доводиться стикатися при створенні математичної моделі - це визначення закономірності впливу глибини тріщини на жорсткість ротора. Однак у процесі обертання ротора тріщина "дихає", так як на дільницю з тріщиною діє знакозмінний згинальний момент. Отже, дана задача розпадається на дві складові:
· Визначення максимальної втрати жорсткості при наявності тріщини в статичному положенні;
· Визначення закономірності зміни жорсткості в процесі обертання ротора.
Очевидно, що максимальна втрата жорсткості відповідає повністю розкритої тріщині. Визначити цю втрату жорсткості можна за допомогою 3-х мірної кінцево-елементної моделі ділянки ротора з тріщиною. Однак такий підхід зажадає створення досить складної програми. Щоб спростити цю задачу, і звести залежність між втратою жорсткості і глибиною тріщини до однієї формули або досить простому алгоритму з декількох формул, автори робіт [1,2.3,4,5,7,8,] вдавалися до різних методів, які можна розділити на дві категорії:
1) аналітичне
2) напівемпіричні
У роботі [1] представлений чисто аналітичний метод, де проблема втрати жорсткості вирішується з позицій механіки тріщин. AD Dimarogonas і С.А. Papadopoulos призводять вираз для розрахунку дефіциту жорсткості одномасової двухопорного ротора.
де Сζ і Сη визначаються шляхом чисельного розв'язання інтегральних рівнянь.
Слід зазначити, що такий підхід не може дати точних результатів, так як напружений стан ділянки ротора розглядається як сума плоских напружених станів в нескінченно тонких шарах de, що не враховує взаємодії між цими шарами. Таким чином, співвідношення можна розглядати тільки як наближене.
Формула, що відображає залежність між додатковим прогином і глибиною тріщини, представлена О.З. ЗІЛі, Ю.Л. Синів, і М.Н. Руденко в роботах [2,3], була отримана за допомогою методу, заснованого на чисельному рішенні двовимірної осесиметричної задачі теорії пружності для тіла з тріщиною і методів опору матеріалів. Для тріщини серповидної форми в двухопорний роторі ця залежність має вигляд
де d - прогин валу, 1 (j) - глибина тріщини, j - кутова координата,
У [3] проведена експериментальна перевірка даної методики. Порівняння показує задовільну відповідність розрахункових і експериментальних.
В [4] тріщина розглядається як зосереджений шарнір і характеризується шістьма ступенями свободи (два лінійних зміщення і чотири кута повороту)
Uy, Uz, FLy, FLz, Fry, Frz
Додаткове кутове переміщення, обумовлене впливом тріщини, визначається як різниця між значеннями кута повороту ліворуч і праворуч від тріщини:
де індекс r означає праворуч, L - ліворуч
Порівнюючи різні підходи визначення втрати жорсткості ротора через наявність у ньому тріщини, можна зробити наступні висновки: формули (1.1), (1.2), (1.3) описують поведінку тріщини, як поведінка зосередженого шарніра (тобто в місці розташування тріщини під дією моменту виникає додаткова кутова деформація). У той час як підхід, запропонований в [5] враховує кінцеву протяжність зони впливу тріщини.
Як вже зазначалося вище, в процесі обертання ротора знакозмінний вигин призводить до "диханню тріщини". У процесі "дихання" тріщина переходить з відкритого в закритий стан, так як згинальний момент при обертанні ротора змінює свою орієнтацію щодо тріщини. Якщо в області тріщини мають місце негативні напруги, то тріщина впливу на жорсткість ротора не надає. Крім того, можливі проміжні положення, коли частина тріщини стулити, а інша її частина розімкнута.
В [6] розглянуто ротор з розвиненою тріщиною, що займає значну частину перерізу. Розміри тріщини характеризуються кутом розкриття
У роботах [7,8,9,10,11,12] автори вибрали спрощений механізм "дихання тріщини". Так, відповідно до моделі, запропонованої в [1,8,11,12,], тріщина здатна приймати тільки два положення: або повністю відкрита, або повністю закрита (залежно від згинального моменту). Ніяких проміжних положень не розглядається. У роботах [1,11] в процесі зміни згинального моменту відбувається стрибкоподібне зміна моменту інерції Ix і Ih У роботі [8] змінюється тільки Ix В [11] у HD Nelson і C. Nataray поведінка тріщини описує "перемикаюча" функція, яка здатна приймати два значення
де к - вигин в місці тріщини, w - частота обертання, t - час, s - безрозмірний "фактор тріщини".
Як відомо, динамічна система, порушується параметрично, може мати зони нестійкості. Ротор з тріщиною є саме такою системою, оскільки жорсткість його змінюється параметрично пропорційно миттєвої площі поверхні тріщини.
Щодо питання стійкості думки різних авторів розходяться. Так, в [1] цієї проблеми приділено велику увагу. AD Dimaragonas і CA Papadopoulos призводять діаграму стійкості для основного і побічних резонансів у разі одномасової ротора. У [4] розглянута математична модель вільно опертого ротора діаметром 18 мм і довжиною 1м з тріщиною посередині прогону. Завдання вирішувалася модифікованим методом Ньюмарк - Уїлсона. На думку авторів, отримані результати дозволяють дати повну картину вібрації ротора з тріщиною. Значну увагу приділено проблемі стійкості. Відзначено, що стійкість ротора з поперечною тріщиною знаходиться в залежності від розмірів тріщини. При малій тріщині область нестійкості вдається виявити тільки в зонах швидкості обертання трохи нижче критичної
В [7] WGR Davies і IW Mayes заперечують необхідність побудови діаграми стійкості для ротора реального турбогенератора, так як з проблемою втрати стійкості, внаслідок параметричного зміни жорсткості ротора, можна зіткнутися лише при дуже великий (більше 50% від діаметра) глибини тріщини. Якщо глибина тріщини знаходиться в межах половини діаметра, то ефект жорсткості ротора малий, а демпфірування у підшипниках рідкого типу досить велике. Якщо динаміка ротора з тріщиною аналізується з метою створення системи діагностики тріщин, то, мабуть, не має сенсу вирішувати проблему втрати стійкості, оскільки вона може виникнути тільки при дуже глибоких тріщинах, в той час як завданням системи діагностики є не допустити розвиток тріщин до такого розміру, при якому можлива втрата стійкості або раптове руйнування.
Розрахункові результати, представлені в роботах [2,5,6,8,9,10,11] можна віднести до двох можливих моделей ротора з тріщиною:
а) одномасової ротор,
б) ротор з розподіленими параметрами.
Математична модель ротора у вигляді зосередженої маси на невагомому валу є найбільш простий, але дозволяє простежити основні закономірності динаміки ротора та визначити діагностичні появи тріщини.
Результати розрахунку вібрації одномасової ротора з тріщиною і небалансів докладно представлені в [10]. У розрахунковій схемі J. Schmied і E. Kramer варіювали двома параметрами: глибиною тріщини і фазою небалансу. Автори відзначають наявність ультрагармоніческіх резонансів на частотах 0,33 ω0, 0,5 ω0, де ω0 - власна частота модельного ротора. Спектр вібрації ротора крім оборотної частоти містить кратні гармоніки. В [10] розглянуто тільки 1z, 2z, і 3z гармонійні складові. Відзначено помітний вплив фази небалансу на амплітуду першої гармоніки. При збігу фаз небалансу і тріщини амплітуда першої гармоніки виявляється значно більше в порівнянні з випадком, якщо тріщина і небаланс знаходяться в протифазі. Є певні відмінності амплітудно-частотних характеристик (АЧХ) для випадків а) синфазного і б) противофазно розташування небалансу і тріщини. У випадку а), у міру зростання частоти обертання від нуля до резонансу, амплітуда першої гармоніки зростає монотонно, досягаючи максимуму при
В [2] автори також відзначають, що вібрація, яка викликається тріщиною, проявляється в основному на критичних частотах обертання (зворотному складової і частотах рівних половині і третини від оборотної складової і частотах рівних половині і третини зворотному частоти). На робочій частоті обертання, якщо вона відбудована від критичної, амплітуди коливань будуть невеликі при тріщинах досягають половини перерізу валу. Чим більше жорсткість і вище власна частота ротора, тим менш інтенсивні будуть його коливання. Автори також зазначають, що при глибині тріщини 15-20% механізм "дихання" проявляє себе досить слабо навіть для гнучких роторів. Автори подають результати, з яких видно, що на критичній частоті обертання амплітуди вібросмещенія ідеально відбалансувало ротора можуть досягати істотних величин при глибинах тріщини менше 10% від діаметра. В якості діагностичних ознак в роботі запропоновано використовувати амплітуди 1й і 2й гармонік. Найбільш імовірною причиною їх сталого зростання, а так само зміни фази, є розвивається тріщина. Додаткові ознаки тріщини в [2] пропонують визначати при вибігу (розвороті) ротора на критичних частотах 1-го і 2-го роду у вигляді значного зростання амплітуд і зміни фаз 1й і 2й гармонік у порівнянні з початковим рівнем.
У [11] представлені результати розрахунків двухопорного ротора з розподіленими параметрами на анізотропних пружно-демпферних опорах. Авторами був використаний метод кінцевих елементів (МКЕ). Присутність тріщини моделювалося за допомогою КЕ змінної жорсткості. Дефіцит жорсткості КЕ з тріщиною визначався деякою величиною s, яку автори називають "фактором тріщини". Однак, в роботі [11] s ніяк не пов'язана з конкретною глибиною тріщини, що не дає можливість проводити порівняння отриманих результатів з експериментом і результатами, отриманими іншими авторами. При розрахунках s змінюється в межах 0-0,3 (велика величина s відповідає більшій глибині тріщини). В [11] наведені розрахункові графіки АЧХ і АФХ ротора з тріщиною під обертається системі координат. З графіків видно, що в спектрі вібрації присутні різні гармоніки. (Від першої до третьої), для 2 й і 3 й гармонік існують параметричні резонанси. АФХ для першої гармоніки у міру зростання частоти обертання змінюється хаотичними стрибками. У роботі проводиться порівняння з експериментальними даними з іншої статті. Відзначено їх якісне збіг.
В [6] розрахункові дослідження проведені для ротора з рівномірно розподіленими параметрами. Н.Г. Шульженко розглядав абсолютно врівноважений ротор турбоагрегату потужністю 500 МВт. Розрахунки показали, що співвідношення між амплітудами гармонік істотно залежить від кута розкриття тріщини g. При g <0,05 p зі зростанням номера гармоніки зменшується їх амплітуда. При значних розмірах тріщин ця закономірність не зберігається. Автор зазначає, що, як правило, амплітуди всіх гармонік ростуть при збільшенні g до 0,25 p, а потім деякі з них зменшуються, досягаючи мінімуму при g = 0,5 p, а інші за цих g досягають відносного максимуму. Відносні мінімуму і максимуму амплітуд спостерігається також при g = 0,75 p, а при подальшому зростанні g амплітуди одних гармонік ростуть, інших зменшуються. У цілому результати [6] погано узгоджуються з результатами наведеними в інших роботах [5,10,11,12]. Так графік АЧХ для кожної з п'яти гармонік у діапазоні частот від 0 рад / с, до 300 рад / с змінюються хаотично. У зазначеному діапазоні частот АЧХ має багато піків і западин. Графік залежності між кутом розкриття тріщини g й амплітудами гармонік також носить хаотичний (немонотонний) характер. При зростанні g на постійній частоті обертання амплітуди всіх розглянутих гармонік зазнають суттєвих скачки. Крім того, амплітуди гармонік досить великі в порівнянні з амплітудою першої гармоніки навіть на частотах істотно відрізняються від частот параметричних резонансів. В інших роботах [5,10,11,12] співвідношення амплітуд має інший характер. Амплітуди вищих гармонік майже завжди істотно менше амплітуди першої зворотному складової, виняток становлять лише зони ультрагармоніческіх резонансів.
У роботі [8] розглядався ротор з двома дисками, які розташовані на невеликій відстані один від одного, симетрично щодо центру ротора. Тріщина знаходилася між дисками, тобто строго в центрі ротора, і була виконана електроіскровим методом. Ротор спирався на кулькові підшипники. Між підшипниками і станиною перебував шар гуми. Авторами була складена математична модель даного ротора. В [8] представлені як розрахункові, так і експериментальні результати. У представлені як розрахункові, так і експериментальні результати. Отримані дані автори наводять у вигляді годографів, тобто на одному графіку наводяться як АЧХ, так і ФЧХ. Дані представлені для 1й і 2й гармонік. Зупинимося на розрахункових результати. При фіксованій глибині тріщини T. Inagaki, H. Kanki і K. Shiraki варіювали фазу небалансу і зіставляли годографи для ротора з тріщиною і без неї, а також для постійно розкритою тріщини. Розглянуто як випадок ідеально відбалансувало ротора з тріщиною, так і вплив небалансу. Отримані дані свідчать, що фаза небалансу істотно впливає на амплітуду першої гармоніки. Що стосується другої гармонік, то на неї фаза має незначний вплив. Амплітуда другої гармоніки в разі "дихаючої" тріщини вдвічі менше, в порівнянні з випадком постійно розкритою тріщини. Зміна фази при вибігу ротора відбувається монотонно без стрибків, що, мабуть, зумовлено малим ваговим прогином модельного ротора і, внаслідок цього, відносно малим впливом тріщини на вібрацію в порівнянні з небалансів.
В [5] B. Grabowski призводить розрахункові результати для одномасової двухопорного ротора, двухопорного ротора з розподіленими параметрами, на анізотропних опорах, системи турбіна-генератор на 3-х опорах. Відзначено, що при зростанні тріщини критична частота для першої гармоніки знижується, а амплітуда її зростає або знижується (в залежності від фази небалансу). Для одномасової ротора, на частоті обертання
Аналіз експериментальних результатів У [13] представлені експериментальні результати, отримані на двопрогінному роторі, що складається з двох валів, з'єднаних жорсткої муфтою. Весь валопровод експериментальної установки спирався на підшипники рідкого тертя (всього 4 підшипника), сумарна довжина валопровода становила 2800 мм. На кожному прольоті розташоване за 3 диска, два з яких використовувалися для балансування. На одному з прольотів був виконаний виріз, який ініціював розвиток тріщини. Далі тріщину розвивали, прикладаючи статичне навантаження до прольоту. Діаметр ротора в місці тріщини становив 25 мм. Ротор з початковим вирізом приймався за еталон. Він названий авторами "ротор без тріщини". У [13] отримані важливі експериментальні дані, що показують вплив фази небалансу на резонансні амплітуди гармонік для тріщин різної глибини. З наведених результатів видно, що перша гармоніка на першій критичної швидкості залежить від фази небалансу. Залежність ця тим сильніше, чим глибше тріщина (де номер кривої відповідає певній глибині тріщини: 1 - вирізу глибиною h = 0,42 (h = h / R), 2 - тріщині h = 0,524, 3 - h = 0,622, 4 - h = 0,788, 5 - h = 0,905). Амплітуда другої гармоніки від фази небалансу не залежить для будь-якої глибини тріщини.
Багато авторів відзначають, що амплітуда другий, а тим більше третьої гармоніки поза зоною їх резонансу надзвичайно мала, і не може бути виміряна штатної вібраційно-вимірювальною технікою. Тріщини, розташовані поблизу підшипників, призводять до пропорційно менших змін вібрації, ніж видалення тріщини. Авторами робіт [12,14] запропоновано "метод гістограм", що дозволяє в процесі обертання ротора виявити тріщину глибиною 1-2% від діаметра. Суть методу полягає в наступному. На першому етапі аналізу відбувається підсумовування і осереднення великого числа вихідних вібраційних сигналів, отриманих при однакових умовах. При великій кількості реалізацій, що беруть участь в процесі осереднення, підсумовування дозволяє усунути шумовий фон, що має випадкову природу. В якості однієї реалізації автори пропонують розглянути сигнал, зареєстрований в межах одного обороту. Вібросигналів необхідно заціфровать. Проводиться синхронне підсумовування для ротора без тріщини (ці дані будуть зберігатися як еталон). Операція підсумовування періодично повторюється з метою контролю появи тріщини. До усередненими даними, отриманим таким методом, застосовується перетворення Фур'є. Отриманий набір гармонік називають гістограмою гармонік. Даний метод, на думку авторів, дозволяє не тільки зменшити шумовий фон, а й усунути ті гармоніки, які присутні при роботі ротора без тріщини. Отже, отриманий сигнал обумовлений тріщиною. Результати, отримані авторами, свідчать про велику чутливості методу. На основі даного підходу була створена система контролю тріщин у роторах, яка успішно пройшла випробування.
Наприклад.
У розглянутих роботах наведені різні методики розрахунку дефіциту жорсткості для ротора з тріщиною.
Розрахункові методики, як правило, моделюють тріщину як шарнір з кутовою піддатливістю, тобто не враховують той факт, що тріщина поширює свій вплив в деякій околиці.
Різниця між результатами, отриманими за запропонованими методиками вельми істотні.
Механізм "дихання" тріщини в ряді робіт розглянуто по спрощеній моделі (тріщина або повністю розкрита, або повністю закрита), що призводить до значної помилку (особливо при великій глибині тріщини).
Немає ніяких даних про зіставленні результатів, отриманих для лінійної і нелінійної моделей. Тобто не відомо, якою мірою справедлива заміна нелінійної моделі на параметричну, і як це відіб'ється на поведінці різних гармонічних складових.
У більшості робіт автори приділяють основну увагу вищим гармоникам як діагностичним ознаками тріщини, в той час як поведінку першої гармоніки не вивчено достатньо повно.
2. ЗІЛі А.3., Іераілев K.Л., Руденко М. H. Особливості вібраційного прояви тріщини ротора турбогенератора. / / Електричні станції. - 1985. - № 4. - С.26-29.
3. Фролов К.В., Ізраїлів Ю.Л., Махутов Н.А. та ін Розрахунок термо-напруг і міцності роторів і корпусів турбін.М. Машинобудування, 1988, 240 с.
4. Changh Li, Bernschoni 0., Xenophotidis N. A General Approach of the Dynamic of Cracked Shaft / / Trans of ASME J. of VIbr. - 1989. - July. - V.111. - P.527-263.
5. Grabowski B. The Vibrational Behaviour of a Turbine Rotor Containing-a Transverse Crack / / Trans of ASME J. of Mech. - 1980. - V.102 Nl. - P.140-146.
6. Шульженко Г. H. Визначення ознаки розвиненою тріщина при згинальних коливаннях вагомого ротора. / / Проблеми машинобудування. 1990, тому 34. ее.7-13.
7. Mayes LW., Davies WGR Analysis of the Response a Multi-Rotor Bearing System Containing a Transverse Crack in Rotor. / / Trans of ASME J. of Vibration ... - 1984 Vol 106, p.139-145.
8. Inagaki Т., Kanki H., Shiraki K. Transverse Vibrations of a General Cracked-Rotor Bearing System. / / Trans of ASМЕ J. of Mech. Тисяча дев'ятсот вісімдесят дві Vol.104 april p.345-355.
9. Papadopoulos С. A., Dimarogonas A. D, Stability of Cracked Rotor in the Coupled Vibration Mode / / Trans of ASME одна тисяча дев'ятсот вісімдесят вісім vol.1-10 July p.356-359.
10. Schmied J. Kramer E. Vibrational behaviour of a rotor with a crossectional crack / / Int. conf. Vibr. Rot. Mach. Pap. Int. Conf-Heslidtion 11-13. Sept London, 1984. - P.183-192.
11. Nelson HD, Natarai C. The Dynamic of Rotor System with a Cracked Shaft. / / Trans of ASME J. of Vibr. 1986 april p.189-196.
12. Imam I., Azzaro 3. H., Bankert RJ, Schibel J. Development of an On-line Rotor Crack Detection and Monitoring System. / / Trans of ASME J - of Vibr. july 1989 Vol.11-1 p.241-250.
13. Mayes IW, Davies WGR The Vibrational Behavior of a Multi-Shaft, Multi-Bearing System in the Presence of a Propagating Transverse Crack / / ASME Paper 83-DET-82. 1983.
14. Imam I. Method for on-line Detection of Incipient Cracks in Turbine - Generators Rotors. / / US Patent No 4,408,294 dated October 4, 1983.
СТІЙКІСТЬ Ротор з ТРІЩИНАМИ
Перша проблема, з якою доводиться стикатися при створенні математичної моделі - це визначення закономірності впливу глибини тріщини на жорсткість ротора. Однак у процесі обертання ротора тріщина "дихає", так як на дільницю з тріщиною діє знакозмінний згинальний момент. Отже, дана задача розпадається на дві складові:
· Визначення максимальної втрати жорсткості при наявності тріщини в статичному положенні;
· Визначення закономірності зміни жорсткості в процесі обертання ротора.
Очевидно, що максимальна втрата жорсткості відповідає повністю розкритої тріщині. Визначити цю втрату жорсткості можна за допомогою 3-х мірної кінцево-елементної моделі ділянки ротора з тріщиною. Однак такий підхід зажадає створення досить складної програми. Щоб спростити цю задачу, і звести залежність між втратою жорсткості і глибиною тріщини до однієї формули або досить простому алгоритму з декількох формул, автори робіт [1,2.3,4,5,7,8,] вдавалися до різних методів, які можна розділити на дві категорії:
1) аналітичне
2) напівемпіричні
У роботі [1] представлений чисто аналітичний метод, де проблема втрати жорсткості вирішується з позицій механіки тріщин. AD Dimarogonas і С.А. Papadopoulos призводять вираз для розрахунку дефіциту жорсткості одномасової двухопорного ротора.
де Сζ і Сη визначаються шляхом чисельного розв'язання інтегральних рівнянь.
Слід зазначити, що такий підхід не може дати точних результатів, так як напружений стан ділянки ротора розглядається як сума плоских напружених станів в нескінченно тонких шарах de, що не враховує взаємодії між цими шарами. Таким чином, співвідношення можна розглядати тільки як наближене.
Формула, що відображає залежність між додатковим прогином і глибиною тріщини, представлена О.З. ЗІЛі, Ю.Л. Синів, і М.Н. Руденко в роботах [2,3], була отримана за допомогою методу, заснованого на чисельному рішенні двовимірної осесиметричної задачі теорії пружності для тіла з тріщиною і методів опору матеріалів. Для тріщини серповидної форми в двухопорний роторі ця залежність має вигляд
де d - прогин валу, 1 (j) - глибина тріщини, j - кутова координата,
У [3] проведена експериментальна перевірка даної методики. Порівняння показує задовільну відповідність розрахункових і експериментальних.
В [4] тріщина розглядається як зосереджений шарнір і характеризується шістьма ступенями свободи (два лінійних зміщення і чотири кута повороту)
Uy, Uz, FLy, FLz, Fry, Frz
Додаткове кутове переміщення, обумовлене впливом тріщини, визначається як різниця між значеннями кута повороту ліворуч і праворуч від тріщини:
де індекс r означає праворуч, L - ліворуч
Порівнюючи різні підходи визначення втрати жорсткості ротора через наявність у ньому тріщини, можна зробити наступні висновки: формули (1.1), (1.2), (1.3) описують поведінку тріщини, як поведінка зосередженого шарніра (тобто в місці розташування тріщини під дією моменту виникає додаткова кутова деформація). У той час як підхід, запропонований в [5] враховує кінцеву протяжність зони впливу тріщини.
Як вже зазначалося вище, в процесі обертання ротора знакозмінний вигин призводить до "диханню тріщини". У процесі "дихання" тріщина переходить з відкритого в закритий стан, так як згинальний момент при обертанні ротора змінює свою орієнтацію щодо тріщини. Якщо в області тріщини мають місце негативні напруги, то тріщина впливу на жорсткість ротора не надає. Крім того, можливі проміжні положення, коли частина тріщини стулити, а інша її частина розімкнута.
В [6] розглянуто ротор з розвиненою тріщиною, що займає значну частину перерізу. Розміри тріщини характеризуються кутом розкриття
У роботах [7,8,9,10,11,12] автори вибрали спрощений механізм "дихання тріщини". Так, відповідно до моделі, запропонованої в [1,8,11,12,], тріщина здатна приймати тільки два положення: або повністю відкрита, або повністю закрита (залежно від згинального моменту). Ніяких проміжних положень не розглядається. У роботах [1,11] в процесі зміни згинального моменту відбувається стрибкоподібне зміна моменту інерції Ix і Ih У роботі [8] змінюється тільки Ix В [11] у HD Nelson і C. Nataray поведінка тріщини описує "перемикаюча" функція, яка здатна приймати два значення
де к - вигин в місці тріщини, w - частота обертання, t - час, s - безрозмірний "фактор тріщини".
Як відомо, динамічна система, порушується параметрично, може мати зони нестійкості. Ротор з тріщиною є саме такою системою, оскільки жорсткість його змінюється параметрично пропорційно миттєвої площі поверхні тріщини.
Щодо питання стійкості думки різних авторів розходяться. Так, в [1] цієї проблеми приділено велику увагу. AD Dimaragonas і CA Papadopoulos призводять діаграму стійкості для основного і побічних резонансів у разі одномасової ротора. У [4] розглянута математична модель вільно опертого ротора діаметром 18 мм і довжиною 1м з тріщиною посередині прогону. Завдання вирішувалася модифікованим методом Ньюмарк - Уїлсона. На думку авторів, отримані результати дозволяють дати повну картину вібрації ротора з тріщиною. Значну увагу приділено проблемі стійкості. Відзначено, що стійкість ротора з поперечною тріщиною знаходиться в залежності від розмірів тріщини. При малій тріщині область нестійкості вдається виявити тільки в зонах швидкості обертання трохи нижче критичної
В [7] WGR Davies і IW Mayes заперечують необхідність побудови діаграми стійкості для ротора реального турбогенератора, так як з проблемою втрати стійкості, внаслідок параметричного зміни жорсткості ротора, можна зіткнутися лише при дуже великий (більше 50% від діаметра) глибини тріщини. Якщо глибина тріщини знаходиться в межах половини діаметра, то ефект жорсткості ротора малий, а демпфірування у підшипниках рідкого типу досить велике. Якщо динаміка ротора з тріщиною аналізується з метою створення системи діагностики тріщин, то, мабуть, не має сенсу вирішувати проблему втрати стійкості, оскільки вона може виникнути тільки при дуже глибоких тріщинах, в той час як завданням системи діагностики є не допустити розвиток тріщин до такого розміру, при якому можлива втрата стійкості або раптове руйнування.
Розрахункові результати, представлені в роботах [2,5,6,8,9,10,11] можна віднести до двох можливих моделей ротора з тріщиною:
а) одномасової ротор,
б) ротор з розподіленими параметрами.
Математична модель ротора у вигляді зосередженої маси на невагомому валу є найбільш простий, але дозволяє простежити основні закономірності динаміки ротора та визначити діагностичні появи тріщини.
Результати розрахунку вібрації одномасової ротора з тріщиною і небалансів докладно представлені в [10]. У розрахунковій схемі J. Schmied і E. Kramer варіювали двома параметрами: глибиною тріщини і фазою небалансу. Автори відзначають наявність ультрагармоніческіх резонансів на частотах 0,33 ω0, 0,5 ω0, де ω0 - власна частота модельного ротора. Спектр вібрації ротора крім оборотної частоти містить кратні гармоніки. В [10] розглянуто тільки 1z, 2z, і 3z гармонійні складові. Відзначено помітний вплив фази небалансу на амплітуду першої гармоніки. При збігу фаз небалансу і тріщини амплітуда першої гармоніки виявляється значно більше в порівнянні з випадком, якщо тріщина і небаланс знаходяться в протифазі. Є певні відмінності амплітудно-частотних характеристик (АЧХ) для випадків а) синфазного і б) противофазно розташування небалансу і тріщини. У випадку а), у міру зростання частоти обертання від нуля до резонансу, амплітуда першої гармоніки зростає монотонно, досягаючи максимуму при
В [2] автори також відзначають, що вібрація, яка викликається тріщиною, проявляється в основному на критичних частотах обертання (зворотному складової і частотах рівних половині і третини від оборотної складової і частотах рівних половині і третини зворотному частоти). На робочій частоті обертання, якщо вона відбудована від критичної, амплітуди коливань будуть невеликі при тріщинах досягають половини перерізу валу. Чим більше жорсткість і вище власна частота ротора, тим менш інтенсивні будуть його коливання. Автори також зазначають, що при глибині тріщини 15-20% механізм "дихання" проявляє себе досить слабо навіть для гнучких роторів. Автори подають результати, з яких видно, що на критичній частоті обертання амплітуди вібросмещенія ідеально відбалансувало ротора можуть досягати істотних величин при глибинах тріщини менше 10% від діаметра. В якості діагностичних ознак в роботі запропоновано використовувати амплітуди 1й і 2й гармонік. Найбільш імовірною причиною їх сталого зростання, а так само зміни фази, є розвивається тріщина. Додаткові ознаки тріщини в [2] пропонують визначати при вибігу (розвороті) ротора на критичних частотах 1-го і 2-го роду у вигляді значного зростання амплітуд і зміни фаз 1й і 2й гармонік у порівнянні з початковим рівнем.
У [11] представлені результати розрахунків двухопорного ротора з розподіленими параметрами на анізотропних пружно-демпферних опорах. Авторами був використаний метод кінцевих елементів (МКЕ). Присутність тріщини моделювалося за допомогою КЕ змінної жорсткості. Дефіцит жорсткості КЕ з тріщиною визначався деякою величиною s, яку автори називають "фактором тріщини". Однак, в роботі [11] s ніяк не пов'язана з конкретною глибиною тріщини, що не дає можливість проводити порівняння отриманих результатів з експериментом і результатами, отриманими іншими авторами. При розрахунках s змінюється в межах 0-0,3 (велика величина s відповідає більшій глибині тріщини). В [11] наведені розрахункові графіки АЧХ і АФХ ротора з тріщиною під обертається системі координат. З графіків видно, що в спектрі вібрації присутні різні гармоніки. (Від першої до третьої), для 2 й і 3 й гармонік існують параметричні резонанси. АФХ для першої гармоніки у міру зростання частоти обертання змінюється хаотичними стрибками. У роботі проводиться порівняння з експериментальними даними з іншої статті. Відзначено їх якісне збіг.
В [6] розрахункові дослідження проведені для ротора з рівномірно розподіленими параметрами. Н.Г. Шульженко розглядав абсолютно врівноважений ротор турбоагрегату потужністю 500 МВт. Розрахунки показали, що співвідношення між амплітудами гармонік істотно залежить від кута розкриття тріщини g. При g <0,05 p зі зростанням номера гармоніки зменшується їх амплітуда. При значних розмірах тріщин ця закономірність не зберігається. Автор зазначає, що, як правило, амплітуди всіх гармонік ростуть при збільшенні g до 0,25 p, а потім деякі з них зменшуються, досягаючи мінімуму при g = 0,5 p, а інші за цих g досягають відносного максимуму. Відносні мінімуму і максимуму амплітуд спостерігається також при g = 0,75 p, а при подальшому зростанні g амплітуди одних гармонік ростуть, інших зменшуються. У цілому результати [6] погано узгоджуються з результатами наведеними в інших роботах [5,10,11,12]. Так графік АЧХ для кожної з п'яти гармонік у діапазоні частот від 0 рад / с, до 300 рад / с змінюються хаотично. У зазначеному діапазоні частот АЧХ має багато піків і западин. Графік залежності між кутом розкриття тріщини g й амплітудами гармонік також носить хаотичний (немонотонний) характер. При зростанні g на постійній частоті обертання амплітуди всіх розглянутих гармонік зазнають суттєвих скачки. Крім того, амплітуди гармонік досить великі в порівнянні з амплітудою першої гармоніки навіть на частотах істотно відрізняються від частот параметричних резонансів. В інших роботах [5,10,11,12] співвідношення амплітуд має інший характер. Амплітуди вищих гармонік майже завжди істотно менше амплітуди першої зворотному складової, виняток становлять лише зони ультрагармоніческіх резонансів.
У роботі [8] розглядався ротор з двома дисками, які розташовані на невеликій відстані один від одного, симетрично щодо центру ротора. Тріщина знаходилася між дисками, тобто строго в центрі ротора, і була виконана електроіскровим методом. Ротор спирався на кулькові підшипники. Між підшипниками і станиною перебував шар гуми. Авторами була складена математична модель даного ротора. В [8] представлені як розрахункові, так і експериментальні результати. У представлені як розрахункові, так і експериментальні результати. Отримані дані автори наводять у вигляді годографів, тобто на одному графіку наводяться як АЧХ, так і ФЧХ. Дані представлені для 1й і 2й гармонік. Зупинимося на розрахункових результати. При фіксованій глибині тріщини T. Inagaki, H. Kanki і K. Shiraki варіювали фазу небалансу і зіставляли годографи для ротора з тріщиною і без неї, а також для постійно розкритою тріщини. Розглянуто як випадок ідеально відбалансувало ротора з тріщиною, так і вплив небалансу. Отримані дані свідчать, що фаза небалансу істотно впливає на амплітуду першої гармоніки. Що стосується другої гармонік, то на неї фаза має незначний вплив. Амплітуда другої гармоніки в разі "дихаючої" тріщини вдвічі менше, в порівнянні з випадком постійно розкритою тріщини. Зміна фази при вибігу ротора відбувається монотонно без стрибків, що, мабуть, зумовлено малим ваговим прогином модельного ротора і, внаслідок цього, відносно малим впливом тріщини на вібрацію в порівнянні з небалансів.
В [5] B. Grabowski призводить розрахункові результати для одномасової двухопорного ротора, двухопорного ротора з розподіленими параметрами, на анізотропних опорах, системи турбіна-генератор на 3-х опорах. Відзначено, що при зростанні тріщини критична частота для першої гармоніки знижується, а амплітуда її зростає або знижується (в залежності від фази небалансу). Для одномасової ротора, на частоті обертання
Аналіз експериментальних результатів У [13] представлені експериментальні результати, отримані на двопрогінному роторі, що складається з двох валів, з'єднаних жорсткої муфтою. Весь валопровод експериментальної установки спирався на підшипники рідкого тертя (всього 4 підшипника), сумарна довжина валопровода становила 2800 мм. На кожному прольоті розташоване за 3 диска, два з яких використовувалися для балансування. На одному з прольотів був виконаний виріз, який ініціював розвиток тріщини. Далі тріщину розвивали, прикладаючи статичне навантаження до прольоту. Діаметр ротора в місці тріщини становив 25 мм. Ротор з початковим вирізом приймався за еталон. Він названий авторами "ротор без тріщини". У [13] отримані важливі експериментальні дані, що показують вплив фази небалансу на резонансні амплітуди гармонік для тріщин різної глибини. З наведених результатів видно, що перша гармоніка на першій критичної швидкості залежить від фази небалансу. Залежність ця тим сильніше, чим глибше тріщина (де номер кривої відповідає певній глибині тріщини: 1 - вирізу глибиною h = 0,42 (h = h / R), 2 - тріщині h = 0,524, 3 - h = 0,622, 4 - h = 0,788, 5 - h = 0,905). Амплітуда другої гармоніки від фази небалансу не залежить для будь-якої глибини тріщини.
Багато авторів відзначають, що амплітуда другий, а тим більше третьої гармоніки поза зоною їх резонансу надзвичайно мала, і не може бути виміряна штатної вібраційно-вимірювальною технікою. Тріщини, розташовані поблизу підшипників, призводять до пропорційно менших змін вібрації, ніж видалення тріщини. Авторами робіт [12,14] запропоновано "метод гістограм", що дозволяє в процесі обертання ротора виявити тріщину глибиною 1-2% від діаметра. Суть методу полягає в наступному. На першому етапі аналізу відбувається підсумовування і осереднення великого числа вихідних вібраційних сигналів, отриманих при однакових умовах. При великій кількості реалізацій, що беруть участь в процесі осереднення, підсумовування дозволяє усунути шумовий фон, що має випадкову природу. В якості однієї реалізації автори пропонують розглянути сигнал, зареєстрований в межах одного обороту. Вібросигналів необхідно заціфровать. Проводиться синхронне підсумовування для ротора без тріщини (ці дані будуть зберігатися як еталон). Операція підсумовування періодично повторюється з метою контролю появи тріщини. До усередненими даними, отриманим таким методом, застосовується перетворення Фур'є. Отриманий набір гармонік називають гістограмою гармонік. Даний метод, на думку авторів, дозволяє не тільки зменшити шумовий фон, а й усунути ті гармоніки, які присутні при роботі ротора без тріщини. Отже, отриманий сигнал обумовлений тріщиною. Результати, отримані авторами, свідчать про велику чутливості методу. На основі даного підходу була створена система контролю тріщин у роторах, яка успішно пройшла випробування.
Висновки
Аналізуючи матеріали, наведені у розглянутих джерелах можна зробити висновок, що ряд проблем не знайшов у них достатнього освітлення.Наприклад.
У розглянутих роботах наведені різні методики розрахунку дефіциту жорсткості для ротора з тріщиною.
Розрахункові методики, як правило, моделюють тріщину як шарнір з кутовою піддатливістю, тобто не враховують той факт, що тріщина поширює свій вплив в деякій околиці.
Різниця між результатами, отриманими за запропонованими методиками вельми істотні.
Механізм "дихання" тріщини в ряді робіт розглянуто по спрощеній моделі (тріщина або повністю розкрита, або повністю закрита), що призводить до значної помилку (особливо при великій глибині тріщини).
Немає ніяких даних про зіставленні результатів, отриманих для лінійної і нелінійної моделей. Тобто не відомо, якою мірою справедлива заміна нелінійної моделі на параметричну, і як це відіб'ється на поведінці різних гармонічних складових.
У більшості робіт автори приділяють основну увагу вищим гармоникам як діагностичним ознаками тріщини, в той час як поведінку першої гармоніки не вивчено достатньо повно.
Список літератури
1. Papadopoulos С. A., Dimarogonas AD Vibration of Cracked (Shafts in Bending. / / J. of Sound and Vibration 1983, Vol 91, N4, р.583-593.2. ЗІЛі А.3., Іераілев K.Л., Руденко М. H. Особливості вібраційного прояви тріщини ротора турбогенератора. / / Електричні станції. - 1985. - № 4. - С.26-29.
3. Фролов К.В., Ізраїлів Ю.Л., Махутов Н.А. та ін Розрахунок термо-напруг і міцності роторів і корпусів турбін.М. Машинобудування, 1988, 240 с.
4. Changh Li, Bernschoni 0., Xenophotidis N. A General Approach of the Dynamic of Cracked Shaft / / Trans of ASME J. of VIbr. - 1989. - July. - V.111. - P.527-263.
5. Grabowski B. The Vibrational Behaviour of a Turbine Rotor Containing-a Transverse Crack / / Trans of ASME J. of Mech. - 1980. - V.102 Nl. - P.140-146.
6. Шульженко Г. H. Визначення ознаки розвиненою тріщина при згинальних коливаннях вагомого ротора. / / Проблеми машинобудування. 1990, тому 34. ее.7-13.
7. Mayes LW., Davies WGR Analysis of the Response a Multi-Rotor Bearing System Containing a Transverse Crack in Rotor. / / Trans of ASME J. of Vibration ... - 1984 Vol 106, p.139-145.
8. Inagaki Т., Kanki H., Shiraki K. Transverse Vibrations of a General Cracked-Rotor Bearing System. / / Trans of ASМЕ J. of Mech. Тисяча дев'ятсот вісімдесят дві Vol.104 april p.345-355.
9. Papadopoulos С. A., Dimarogonas A. D, Stability of Cracked Rotor in the Coupled Vibration Mode / / Trans of ASME одна тисяча дев'ятсот вісімдесят вісім vol.1-10 July p.356-359.
10. Schmied J. Kramer E. Vibrational behaviour of a rotor with a crossectional crack / / Int. conf. Vibr. Rot. Mach. Pap. Int. Conf-Heslidtion 11-13. Sept London, 1984. - P.183-192.
11. Nelson HD, Natarai C. The Dynamic of Rotor System with a Cracked Shaft. / / Trans of ASME J. of Vibr. 1986 april p.189-196.
12. Imam I., Azzaro 3. H., Bankert RJ, Schibel J. Development of an On-line Rotor Crack Detection and Monitoring System. / / Trans of ASME J - of Vibr. july 1989 Vol.11-1 p.241-250.
13. Mayes IW, Davies WGR The Vibrational Behavior of a Multi-Shaft, Multi-Bearing System in the Presence of a Propagating Transverse Crack / / ASME Paper 83-DET-82. 1983.
14. Imam I. Method for on-line Detection of Incipient Cracks in Turbine - Generators Rotors. / / US Patent No 4,408,294 dated October 4, 1983.