Стійкість пружних систем

Стійкість пружних систем

У роботі представлений невеликий огляд деяких аспектів теорії динамічної стійкості пружних систем.
Some aspects of the theory of dynamical instability are briefly reviewed.

Статика

Завдання стійкості пружних систем вперше була сформульована Л. Ейлером спільно з Д. Бернуллі, в результаті дискусій про варіаційному підході до вирішення завдань пружних еластик [1]. До того часу вже була відома формула Я. Бернуллі для вираження кривизни пружною лінії [2]. Цікаво, що різні аспекти цього завдання були привабливі для Ейлера протягом довгого часу, починаючи з 1744 року, коли вченому було 37 років, і до 1778 року. У трактаті [2] Ейлер досліджував малі згинні деформації пружного стрижня довжини , Що володіє згинальної жорсткістю , Стисненого постійною силою , Описувані рівнянням: . Крайові умови на згинні зсуву мають вигляд . Нетривіальне рішення рівняння, , З'являється при критичних значеннях стискає сили , Де . Якщо , То форма стрижня стійка, інакше, , Стрижень вже не може пружно чинити опір появі згинних переміщень. У самому справі, розглядаються дві альтернативні фізичні конфігурації "критично" стиснутого стержня - тривіальна і нетривіальна, що характеризуються потенційною енергією , Де - Поздовжні зміщення. Тривіальна конфігурація має енергією , Оскільки , У той час як енергія вигнутого стану , Так що їх різниця дорівнює , Де - Довільна константа. У випадку , Тривіальна конфігурація має бути стійкою, оскільки деформований зігнуте стан характеризується "дефіцитом" енергії, при . Нашкодили, при деформований зігнуте стан з'являється спонтанно, оскільки .
На перший погляд може здатися, що досить деякого тривіального узагальнення статичної теорії Ейлера, наприклад на системи з початковими геометричними недосконалостями, щоб відповісти на питання які саме згинні форми повинні з'явитися при заданому довільному навантаженні. Однак, вивчення завдання в динамічній постановці відразу ж приводить до появи деяких несподіваних результатів.

Динаміка

Виявилося, що згинальна форма, що виникає в стержні при додатку до його торця раптової навантаження, стає "високочастотної" по відношенню до тієї, яка передбачається статичної теорією Ейлера. Математична модель, що описує подібний ефект була вперше запропонована в роботі [3] у вигляді наступних рівнянь: з граничними умовами і . Тут - Площа поперечного перерізу стрижня; - Масова щільність; функція позначає початкові геометричні недосконалості стрижня. Перетворення Фур'є ( і ) Цих рівнянь дозволяє одержати еквівалентну систему звичайних диференціальних рівнянь: , Що володіють нестійкими рішеннями , Де - Довільні константи інтеграції; - Інкремент нестійкості. Звідси випливає висновок, що згинні форми з инкрементом повинні переважати в процесі динамічної нестійкості, викликаної ударним навантаженням. Це означає, що .
Фізична інтерпретація цього результату може бути така. Спочатку тільки невелику ділянку стрижня, , Що примикає безпосередньо до навантажуваних торця, піддається критичному обтиснення , Тобто . Формується хвиля стиснення. При проходженні цієї хвилі, йде швидкий перехідний процес трансформації поздовжньої хвилі стиску в нестійкі квазігармоніческіе згинні форми містять до півхвиль. І нарешті, номер домінуючою згинальної форми стає рівним . Такого роду сценарій розвитку динамічної нестійкості, багато в чому базується на інтуїтивних міркуваннях, підтверджується чисельним інтегруванням модельних рівнянь, що випливають з уточненої теорії тонких стрижнів Бресса-Тимошенко [4], в яких враховуються ефекти інерції поперечних перерізів [1]:
(1) ,
де і позначають типові швидкості поширення поздовжніх і зсувних хвиль, відповідно (зауважимо, що значення сдвигового модуля не може перевищувати значення модуля Юнга ), А поздовжні зміщення підпорядковані хвильовому рівнянню [2]
(2) .
Рішення цієї пари рівнянь має задовольняти початковим і граничним умовам:

Тут позначає функцію дельта типу ( , У противному випадку ); - Маса і - Абсолютна швидкість предмета, вдаряє в торець стрижня, . Початкові недосконалості стрижня моделювалися введенням малої адитивної добавки в рівняння (1). Рішення цих рівнянь описує перехідний процес, що приводить до формування стоячій згинальної хвилі з критичною довжиною напівхвилі , Де - Радіус інерції поперечного перерізу; - Деякий подстроєчний коефіцієнт. При , Спостерігається гарне узгодження результату з висновками роботи [3], оскільки в даному випадку.
Результат встановлений в роботах [3] та [4], будучи свого часу досить прогресивними, тим не менш, не позбавлений деяких рудиментарних рис, властивих статичної теорії Ейлера. Очевидна спроба узагальнення статичної теорії на динамічну, проте будь-яка статична завдання має бути граничним випадком задачі динаміки. У зв'язку з цими зауваженням, розглядається задача про стаціонарні хвилях на основі рішення нелінійних рівнянь (1) і (2) без граничних умов у супровідній системі відліку ( ), Де - Деяка швидкість, що підлягає подальшому визначенню:
(3) .
Тут і . При , Рівняння (3) володіє періодичними рішеннями з жорсткою амплітудно-частотною характеристикою, висловлюваними через еліптичні функції Якобі [5], в той час як локалізовані рішення, при , Слід вважати фізично нереалізованим. Таким чином, нетривіальне локалізоване стаціонарне рішення рівнянь (1) і (2), у вигляді комбінації поздовжньої і згинальної хвиль, відсутня. Тому завдання динамічної нестійкості ніяк не зводиться в даній постановці до задачі квазистатическом.
Насправді, мабуть, існують два основні класи задач з проблеми динамічної нестійкості, коли [4]
поздовжнє навантаження повільно змінюється в часі і деякими або всіма типами хвильового руху можна знехтувати;
поздовжнє навантаження ударна і динаміка хвиль відіграє принципову роль у процесі втрати стійкості пружної системою.
При вивченні цих завдань неминуче виникають наступні загальні питання.
Які динамічні ефекти повинні адекватно описуватися модельними рівняннями? Відомо, що рівняння, що випливають з теорії тонких оболонок застосовні в основному лише в так званому довгохвильовому наближенні. Це означає, що характерна довжина хвилі повинна бути знизу обмежена, скажімо, щонайменше, десятьма товщинами тонкостінної конструкції. Однак, при ударному навантаженні динамічний процес є істотно короткохвильовим. В останньому випадку, для адекватного опису динаміки системи, потрібне залучення основних рівнянь теорії пружності, які дуже складні за своєю математичною структурі і важкі для аналітичних досліджень. Тому необхідний якийсь розумний компроміс у виборі модельних рівнянь і обгрунтування їх застосування [6].
Які механізми динамічної нестійкості, і які форми коливань повинні переважати на її початковій стадії розвитку? Можна припустити, що динамічна нестійкість з'являється в результаті нелінійних багатохвильових взаємодій. Очевидно, що на початковій стадії динаміка системи може бути адекватно описана в так званому параметричному наближенні. Це означає, що спочатку можна обмежитися моделлю, представленої лінеаризовані рівняннями руху із змінними в просторі та часі коефіцієнтами.
Чи існує динамічний процес, за своїми властивостями протилежний динамічної нестійкості, тобто чи можна стабілізувати форму конструкції за допомогою якогось керованого коливального процесу? Відомо, що вимушені високочастотні коливання лінійних механічних системи можуть звернути її нестійке / стійкий стан рівноваги в стійке / нестійке [7 - 10]. Тим не менш, прогноз динамічної стійкості на великих часових інтервалах вимагає вивчення істотно нелінійних динамічних моделей.

Параметричне наближення

Дотримуючись постановці завдань, представлених у роботах [3] та [4], розглядається так звана модель Бернуллі-Ейлера, що описує нелінійні коливання тонкого стрижня за допомогою наступних рівнянь [11]
(4)
з крайовими умовами

Зауважимо, що область застосовності моделі впевнено можна обмежити умовою, що характерна швидкість хвильового процесу не повинна перевищувати швидкості поширення поздовжніх хвиль .
У разі зникаюче малих коливань ця система рівнянь являє собою два лінійних рівняння, які можуть бути дозволені незалежно.
Нехай , Тоді лінеаризовані рівняння для поздовжніх зміщень являє собою просте хвильове рівняння, що має вимушене рішення
,
де частоти пов'язані з хвильовими числами дисперсійним співвідношенням .
Зауважимо [3], що , При будь-якому значенні .
У свою чергу, лінеаризовані рівняння для згинальних хвиль приймає вигляд
(5) .
Очевидно, що в правій частині рівняння (5) міститься просторово-часовий параметр у формі суперпозиції стоячих хвиль.
Облік "хвилі параметра" стає принциповим, якщо типова швидкість поздовжніх хвиль виявляється порівнянної з груповими швидкостями згинних хвиль.
В іншому випадку можна, формально вважаючи, що або , Обмежитися вивченням наступної найпростішої моделі:
(6) ,
яка описує лише тільки параметричне збудження системи в часі. Рішення рівняння (5) можна побудувати з допомогою методу Бубнова-Гальоркіна: , Де - Хвильові числа згинних хвиль; - Амплітуди, що визначаються з рішення системи звичайних рівнянь

(7) .
Тут

коефіцієнт, що містить параметри расстройки по хвильовим числах, , Які, у свою чергу, не можуть бути рівними нулю за відсутності резонансу; - Частоти згинних хвиль при , І як і раніше - Критичні значення сили Ейлера.
Рівняння (7) описують ранню стадію еволюції хвиль за рахунок багатомодових параметричних взаємодій. Виникає ключове питання про порівнянності обурених орбіт системи (7) і траєкторій відповідної невозмущенной підсистеми
(8) ,
яка виходить з рівнянь (7) при . Іншими словами, - наскільки ефективний динамічний відгук системи (7) на мале параметричне збудження? Спочатку перепишемо систему (7) в еквівалентній матричній формі: , Де - Вектор розв'язок; - матриця власних чисел; - квазіперіодичних матриця з компонентами на основних частотах . Дотримуючись стандартною методикою теорії звичайних диференціальних рівнянь, рішення рівнянь (7) шукається в тій же формі, що і для рівнянь (8), де константи інтеграції розглядаються як нові шукані змінні, наприклад , Де - Вектор нетривіального коливального рішення лінійного однорідного рівняння (8), що характеризується набором власних чисел . Після підстановки в (7) виходять рівняння першого наближення в поданні рішення поруч по малому параметру : . Праві частини цих рівнянь очевидно представляються суперпозицією періодичних функцій на комбінаційних частотах . Таким чином, у першому наближенні рішення рівняння (7) виявляється обмеженими квазіперіодичних функцій [4], коли комбінації частот ; В іншому випадку в системі виникають резонанси.
У нерезонансних випадку можна продовжити асимптотичну процедуру знаходження рішення, тобто , Для визначення вищих наближень до справжнього розв'язання [5]. Іншими словами, захід динамічного обурення системи виявляється того ж порядку, що і міра параметричного збудження. Навпаки, в резонансному випадку рішення рівнянь (7), взагалі кажучи, не можна уявити збіжним поруч по . Отже, можливий ефективний відгук системи навіть на дуже невелику параметричне збудження. В окремому випадку зовнішнього впливу , Рівняння (7) можна дуже спростити:

(9)
за умови, що пара згинних хвиль з хвильовими числами і , Створює малу хвильову расстройку , Тобто , І малу частотну расстройку , Тобто . Значення величин і можна також без будь принципового шкоди вважати малими. Вирази і можна інтерпретувати як умови фазового синхронізму, необхідні для формування резонансної трійки хвиль, що складається з первинної високочастотної поздовжньої хвилі, порушуємо за допомогою зовнішньої гармонійної сили , І вторинних низькочастотних згинних хвиль, параметрично порушуваних за рахунок резонансу зі стоячою поздовжньої хвилею.
Зауважимо, що у разі спрощеної моделі (6), відповідна система амплітудних рівнянь зводиться до єдиного рівняння типу рівняння Матьє, широко застосовується в багатьох прикладних задачах:

Відомо, що це рівняння має нестійкими рішеннями при малих розстойка і . Рішення рівнянь (7) можна знайти методом Ван-дер-Поля:
(10) ; ,
де і - Нові невідомі координати.
Підставляючи цей вираз в (9), отримуємо рівняння першого наближення:
(11) ; ,
де - Коефіцієнт параметричного збудження; узагальнена фаза, яка задовольняє наступному рівнянню: . Рівняння (10) і (11), володіючи гамильтоновой структурою, очевидно, мають першими інтегралами і , Що дозволяють проінтегрувати систему аналітично. При існують квазігармоніческіе рішення (10) і (11), коли , Що асоціюється з кордонами областей стійкості в просторі параметрів системи.
З фізичної точки зору можна стверджувати, що параметричне збудження згинних хвиль проявляється як вироджений випадок нелінійних багатохвильових взаємодій. Це означає, що вивчення резонансних властивостей нелінійних вільно осцилюючих пружних систем дуже принципово для розуміння природи динамічної нестійкості.

Трьоххвилеві резонансні взаємодії

Вільні багаточастотні нелінійні коливання нескінченно довгого тонкого прямолінійного стержня вперше вивчалися в роботі [13], на основі рівнянь моделі Бернуллі-Ейлера. На відміну від стандартного підходу до подібних завдань, автори при формулюванні проблеми первинно висунули припущення про існування фазового синхронізму між хвилями:
(12) ; ,
де і - Частоти і відповідні хвильові вектори резонансно взаємодіючих хвиль. Виникало питання про те, хвилі якого типу можуть можуть залучатися до резонансну взаємодію. Було виявлено існування двох типів резонансних тріад в стержні. Тріада одного типу складалася з високочастотної поздовжньої хвилі, , І пари низькочастотних згинних хвиль, і , У той час як тріада іншого типу складалася з високочастотної згинальної хвилі, , І пари низькочастотних хвиль, і , Одна з яких була поздовжньої, а друга згинальної. Еволюційні рівняння хвильових триплетів описуються рівняннями
(13) ,
де - Комплексні амплітуди хвиль; - Кубічний потенціал трьох хвильового взаємодії. Ці рівняння мають першими інтегралами у формі співвідношень Менлі-Роу
(14)
за допомогою яких обмежені рішення еволюційних рівнянь (13) завжди виражається через еліптичні функції Якобі. Зі співвідношень Менлі-Роу (14) випливає, що повна енергія хвиль триплетів зберігається. Крім того, високочастотна хвиля завжди нестійка по відношенню до малих збурень з боку її низькочастотних хвиль і . Це явище називається розпадного нестійкістю високочастотної хвилі.
Цей істотний результат можна просто проілюструвати, розглядаючи умови фазового синхронізму (12) як закони збереження в термінах квазічастинок, оскільки будь-яка пара може асоціюватися, відповідно, з енергією та імпульсом кванта, в той час як відповідні величини у виразі (14) можна трактувати як число квантів -Го типу. Досить імовірно, що з точки зору завдань динамічної нестійкості механічних систем, трьоххвилеві взаємодії поряд з і іншими резонансними взаємодіями грають ключову принципову роль. Дослідження нелінійних коливань типових елементів конструкцій, таких як стрижні, балки, кільця, тонкі платівки і оболонки, доводять притаманність таких резонансних взаємодій для більшості механічних систем. У контексті завдань динамічної нестійкості зауважимо, що трьоххвилеві резонансні взаємодії можуть також асоціюватися з так званим сценарієм вибухової нестійкості в пружних системах [14]. Математично, вибухова нестійкість може описуватися рівняннями того ж типу, що й рівняння (13). Але потенціал взаємодії має бути іншого виду, наприклад . Це означає, що амплітуди хвиль можуть зрости до нескінченності за кінцевий проміжок часу, тобто . Фізично це означає, що пружна система необхідно повинна бути піддана дії хоча б малих навантажень, що залежать спеціальним чином від амплітуд хвиль.

Література

1. Euler L. (1728), Solutio problematis de invenienda curva quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis a potentiis quibuscunque sollicitata, Comment Acad. Sci. Petrop., 3, Opera II-10, 70-84.
2. Euler L. (1744), Methodus inveniendi lineas curvas maximi proprietate gaudentes, Lausanne, Geneve, Opera I-24.
3. Лаврентьєв М.А., Ішлінський А.Ю. (1949), Динамічні форми втрати стійкості в пружних системах, Докл. АН СРСР, 64 (6), 779-782.
4. Вольмір А.С. (1972), Нелінійна динаміка пластинок і оболонок, М.: Наука.
5. Березовський А.А., Жерновий Ю.В. (1981), Нелінійні поздовжньо-поперечні стаціонарні хвилі в пружних стрижнях, В зб.: Мат. Фізика, Київ, Наукова думка, 30, 41-48.
6. Болотін В.В. (1956), Динамічна стійкість пружних систем, М.: Гостехиздат.
7. Бєляєв Н.М. (1924), Стійкість призматичних стрижнів під дією періодичних навантажень, В зб.: Інженерна та Будівельна Механіка, Ленінградський університет, 25-27.
8. Капіца Л.П. (1951), Динамічна стійкість маятника на вібруючій точці підвісу, ЖЕTФ, 21 (5), 110-116.
9. Челомей В.М. (1956), Про можливості стабілізації пружних систем за допомогою вібрацій, Докл. АН СРСР, 110 (3), 345-347.
10. Болотін В.В. (1951), Про поперечних вібраціях стрижнів, викликаних періодичними поздовжніми навантаженнями, В зб.: Поперечні Коливання і Критичні Швидкості, 1, 46-77.
11. Kauderer H (1958), Nichtlineare Mechanik, Springer, Berlin.
12. Haken H. (1983), Advanced Synergetics. Instability Hierarchies of Self-Organizing Systems and devices, Berlin, Springer-Verlag.
13. Єрофєєв В.І., Потапов А.І. (1985), Трехчастотние резонансні взаємодії поздовжніх і згинних хвиль в стержні, В зб.: Динаміка систем, Горьковський ун-т, 75-84.
14. Новіков В.В. (1988), Про нестійкість пружних оболонок як прояві внутрішнього резонансу, ПММ, 52, 1022-1029.