Міністерство освіти Російської Федерації
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
Череповецький Державний Університет
Кафедра Опір матеріалів
Лабораторна робота № 1
«Випробування стрижнів на стійкість»
Виконав студент
групи 5 ЕН - 22
Малінін М.С.
Перевірив професор
Тітов В.А.
м. Череповець
2007 р
Мета роботи
Визначення критичної сили для центрального стисненого стержня і меж застосування розрахункових формул
Завдання роботи
· Визначити граничну гнучкість
· Визначити фактичну гнучкість для двох типів закріплення кінців стрижня
· Зробити висновок про вибір формули для визначення критичної сили
· Визначити критичну силу для двох типів закріплення кінців стрижня.
Основні теоретичні положення
При осьовому стиску стержнів, поперечні розміри яких малі порівняно з довжиною, може відбутися втрата стійкості стрижня, тобто стрижень буде скривлюватися в площині найменшої жорсткості.
Найменше значення навантаження, при якій прямолінійна форма рівноваги стрижня стає нестійкою, називається критичною силою.
У випадку, коли втрата стійкості відбувається при напругах, що не перевищують межі пропорційності, критична сила Pкр визначається за формулою Ейлера: P кр = π 2 · E · У min / (μ · l) 2
E - модуль поздовжньої пружності матеріалу стержня;
У min - мінімальний осьовий момент інерції поперечного перерізу стрижня;
μ - коефіцієнт приведення довжини, який залежить від способу закріплення кінців стрижня;
l - довжина стержня.
Якщо втрата стійкості відбувається при напругах, що перевершують межа пропорційності, критичну силу вираховують через критичні напруги σкр, які визначають за формулою Ясинського:
σ кр = a - b · λ
де a і b - коефіцієнти, які залежать від матеріалу стержня
(Для сталі a = 310 МПа, b = 1,4 МПа)
λ - Гнучкість стержня.
Практично застосовність тієї або іншої формули для обчислення критичної сили встановлюють порівнянням гнучкості стрижня λ з граничною гнучкістю для матеріалу стержня λ перед, які визначаються за формулами:
λ = μ · l / ί min λ перед = √ π 2 · E / σ ПЦ
де σ ПЦ - межа пропорційності матеріалу стержня
ί min - мінімальний радіус інерції площі F поперечного перерізу стрижня, що визначається за формулою: ί min = √ У min / F
Схема установки
a) схема установки
b) графік навантаження - прогин
c) визначення критичного навантаження
Склад установки
1. Верхня траверсу
2. Верхній затиск для закріплення стрижня
3. Чотири стійки
4. Нижній затискач для закріплення стрижня
5. Нижня траверса
6. Індикатор
7. Динамометр
8. Силовий механізм
9. Стрижень
10. Індикатор для вимірювання прогинів стержня
Дані про стрижень при μ = 1 : L = 87 см , H = 5,1 мм , B = 4,05 см
Дані про стрижень при μ = 0,7 : L = 84,25 см , H = 5,1 мм , B = 4,05 см
Результат вимірювань
μ = 1 μ = 0,7
Обчислення теоретичного значення P кр
Для μ = 1
Уmin = b · h3 / 12 = 4,05 · 0,513 / 12 = 44,76 · 10-11 М4
F = b · h = 0,002 м2
ί2 = Уmin / F = 44,76 · 10-11 / 0,002 = 2,24 · 10 - 6 м2
ί min = 1,49 · 10 - 3 м
λ = μ · l / ί min = 1 · 0,87 / 1,49 · 10-3 = 584
λпред = √ π2 · E / σпц = √ 10 · 2 · 1011 / 2 · 108 = 100
Оскільки λ> λпред то Pкр = π2 · E · Уmin / (μ · l) 2 =
= 10 · 2 · 1011 · 44,76 · 10-11 / (1 · 0,87) 2 = 1182,7 H
Для μ = 0,7
Уmin = b · h3 / 12 = 4,05 · 0,513 / 12 = 44,76 · 10-11 М4
F = b · h = 0,002 м2
ί2 = Уmin / F = 44,76 · 10-11 / 0,002 = 2,24 · 10 - 6 м2
ί min = 1,49 · 10 - 3 м
λ = μ · l / ί min = 0,7 · 0,8425 / 1,49 · 10-3 = 395
λпред = √ π2 · E / σпц = √ 10 · 2 · 1011 / 2 · 108 = 100
Оскільки λ> λпред то Pкр = π2 · E · Уmin / (μ · l) 2 =
= 10 · 2 · 1011 · 44,76 · 10-11 / (0,7 · 0,8425) 2 = 2560 H
Розрахунок похибки вимірювань
Δ1 = Pкртеор - Pкропит / Pкртеор = 1182,7 - 1045 / 1182,7 = 11,6%
Δ2 = Pкртеор - Pкропит / Pкртеор = 2560 - 2240 / 2560 = 12,5%
Результати визначення критичної сили
Висновок
У ході лабораторної роботи ми визначили критичну силу Pкр для центрального стисненого стержня і меж застосування розрахункових формул. У процесі обчислень було з'ясовано, що для знаходження критичної сили потрібно використовувати формулу Ейлера. Розрахунки показали наступні значення: при μ = 1 Pкртеор = 1182,7 Н, при μ = 0,7 Pкртеор = 2560 Н; за графіком видно, що при μ = 1 Pкропит = 1045 Н, при μ = 0,7 Pкропит = 2240 Н. Отримана помилка (11,6% і 12,5%) пояснюється похибкою лабораторної установки, зняттям показань приладів і неточністю розрахунків.
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
Череповецький Державний Університет
Кафедра Опір матеріалів
Лабораторна робота № 1
«Випробування стрижнів на стійкість»
Виконав студент
групи 5 ЕН - 22
Малінін М.С.
Перевірив професор
Тітов В.А.
м. Череповець
Мета роботи
Визначення критичної сили для центрального стисненого стержня і меж застосування розрахункових формул
Завдання роботи
· Визначити граничну гнучкість
· Визначити фактичну гнучкість для двох типів закріплення кінців стрижня
· Зробити висновок про вибір формули для визначення критичної сили
· Визначити критичну силу для двох типів закріплення кінців стрижня.
Основні теоретичні положення
При осьовому стиску стержнів, поперечні розміри яких малі порівняно з довжиною, може відбутися втрата стійкості стрижня, тобто стрижень буде скривлюватися в площині найменшої жорсткості.
Найменше значення навантаження, при якій прямолінійна форма рівноваги стрижня стає нестійкою, називається критичною силою.
У випадку, коли втрата стійкості відбувається при напругах, що не перевищують межі пропорційності, критична сила Pкр визначається за формулою Ейлера: P кр = π 2 · E · У min / (μ · l) 2
E - модуль поздовжньої пружності матеріалу стержня;
У min - мінімальний осьовий момент інерції поперечного перерізу стрижня;
μ - коефіцієнт приведення довжини, який залежить від способу закріплення кінців стрижня;
l - довжина стержня.
Якщо втрата стійкості відбувається при напругах, що перевершують межа пропорційності, критичну силу вираховують через критичні напруги σкр, які визначають за формулою Ясинського:
σ кр = a - b · λ
де a і b - коефіцієнти, які залежать від матеріалу стержня
(Для сталі a = 310 МПа, b = 1,4 МПа)
λ - Гнучкість стержня.
Практично застосовність тієї або іншої формули для обчислення критичної сили встановлюють порівнянням гнучкості стрижня λ з граничною гнучкістю для матеріалу стержня λ перед, які визначаються за формулами:
λ = μ · l / ί min λ перед = √ π 2 · E / σ ПЦ
де σ ПЦ - межа пропорційності матеріалу стержня
ί min - мінімальний радіус інерції площі F поперечного перерізу стрижня, що визначається за формулою: ί min = √ У min / F
Схема установки
a) схема установки
b) графік навантаження - прогин
c) визначення критичного навантаження
Склад установки
1. Верхня траверсу
2. Верхній затиск для закріплення стрижня
3. Чотири стійки
4. Нижній затискач для закріплення стрижня
5. Нижня траверса
6. Індикатор
7. Динамометр
8. Силовий механізм
9. Стрижень
10. Індикатор для вимірювання прогинів стержня
Дані про стрижень при μ = 1 : L =
Дані про стрижень при μ = 0,7 : L =
Результат вимірювань
| μ = 1 | ||||||||||
| Навантаження P | мм | 0 | 42 | 85 | 130 | 172 | ||||
| Н | 0 | 200 | 400 | 600 | 800 | |||||
| Прогин fg, мм · 10 -2 | 92 | 111 | 145 | 191 | 354 | |||||
| μ = 0,7 | ||||||||||
| Навантаження P | мм | 90 | 172 | 200 | 346 | 432 | ||||
| Н | 400 | 800 | 1200 | 1600 | 2000 | |||||
| Прогин fg, мм · 10 -2 | 9 | 21 | 50 | 99 | 338 | |||||
Обчислення теоретичного значення P кр
Для μ = 1
Уmin = b · h3 / 12 = 4,05 · 0,513 / 12 = 44,76 · 10-11 М4
F = b · h =
ί2 = Уmin / F = 44,76 · 10-11 / 0,002 = 2,24 · 10 -
ί min = 1,49 · 10 -
λ = μ · l / ί min = 1 · 0,87 / 1,49 · 10-3 = 584
λпред = √ π2 · E / σпц = √ 10 · 2 · 1011 / 2 · 108 = 100
Оскільки λ> λпред то Pкр = π2 · E · Уmin / (μ · l) 2 =
= 10 · 2 · 1011 · 44,76 · 10-11 / (1 · 0,87) 2 = 1182,7 H
Для μ = 0,7
Уmin = b · h3 / 12 = 4,05 · 0,513 / 12 = 44,76 · 10-11 М4
F = b · h =
ί2 = Уmin / F = 44,76 · 10-11 / 0,002 = 2,24 · 10 -
ί min = 1,49 · 10 -
λ = μ · l / ί min = 0,7 · 0,8425 / 1,49 · 10-3 = 395
λпред = √ π2 · E / σпц = √ 10 · 2 · 1011 / 2 · 108 = 100
Оскільки λ> λпред то Pкр = π2 · E · Уmin / (μ · l) 2 =
= 10 · 2 · 1011 · 44,76 · 10-11 / (0,7 · 0,8425) 2 = 2560 H
Розрахунок похибки вимірювань
Δ1 = Pкртеор - Pкропит / Pкртеор = 1182,7 - 1045 / 1182,7 = 11,6%
Δ2 = Pкртеор - Pкропит / Pкртеор = 2560 - 2240 / 2560 = 12,5%
Результати визначення критичної сили
| Схема закріплення | Значення Pкр, H | Розбіжність,% | |
| дослідне | теоретичне | ||
| μ = 1 | 1045 | 1182,7 | 11,6 |
| μ = 0,7 | 2240 | 2560 | 12,5 |
У ході лабораторної роботи ми визначили критичну силу Pкр для центрального стисненого стержня і меж застосування розрахункових формул. У процесі обчислень було з'ясовано, що для знаходження критичної сили потрібно використовувати формулу Ейлера. Розрахунки показали наступні значення: при μ = 1 Pкртеор = 1182,7 Н, при μ = 0,7 Pкртеор = 2560 Н; за графіком видно, що при μ = 1 Pкропит = 1045 Н, при μ = 0,7 Pкропит = 2240 Н. Отримана помилка (11,6% і 12,5%) пояснюється похибкою лабораторної установки, зняттям показань приладів і неточністю розрахунків.