1 Критерії оптимальності в еколого-математичних моделях
1.1 Використання принципу виживання

В якості критерію оптимальності пропонується використовувати принцип виживання, вважаючи, що в діаді виживання - пристосованість первинним є виживання. Нехай динаміку екосистеми, до якої входить аналізований вид, адекватно описує система рівнянь з невідомими численностями особин всіх елементів екосистеми. В якості параметрів рівнянь виступають екологічні умови, а також структурно-функціональні параметри особин всіх елементів екосистеми. Виділяють s-я популяція і деякий структурний або функціональний параметр цієї популяції. Роблять припущення про те, що популяція складається з двох подпопуляцій, що розрізняються величиною фенотипического параметра. Нехай x _s ^(1), x _s ^(2), , - Чисельності та величини фенотипического параметра двох подпопуляцій.
Дослідження динамічної системи, до якої внесені відповідні зміни, які враховують відмінності фенотипического параметра у особин s-ої популяції, дозволяє аналізувати асимптотичні властивості численностей подпопуляцій. Один з можливих варіантів поведінки - витіснення другого подпопуляціі першої (фенотипический параметр має селективну перевагу в порівнянні з параметром в заданих екологічних умовах). Математично цей варіант описується виразами

Оптимальною з точки зору виживання величиною фенотипического параметра є така величина, при якій для будь-якого відмінного від цього значення параметра виконуються умови

Слід зазначити, що ці умови вірні при довільних початкових умовах. З оптимальним розміром, що задовольняє критерію, слід зіставляти середнє значення фенотипического параметра.
Також дуже важливо те, що якщо популяція не володіє оптимальним значенням параметра, то це не означає, що вона елімінується з біоценозу. Однорідна популяція може стабільно існувати при будь-якому значенні структурно-функціонального параметра , Які належать до області, що відповідає умові стабільного існування популяції, зокрема і при значенні, що не дорівнює оптимальному . Оптимальне ж значення встановлюється у результаті конкуренції особин з різними значеннями аналізованого структурно-фенотипического параметра. Саме внаслідок цієї конкуренції особини з неоптимальними значеннями параметра елімінуються.
Застосування загального критерію оптимальності можливо шляхом чисельного інтегрування рівнянь динаміки екосистеми при різних величинах розглянутого фенотипического параметра. Також можливе застосування приватних критеріїв оптимальності, справедливих у конкретних випадках і наступних із загального критерію. Використовуючи критерій відбору, необхідно враховувати обмеження, що випливають з фізико-хімічних або біологічних закономірностей процесу.

1.2 Використання максимуму відносної швидкості росту чисельності популяцій
У ряді досліджень в якості критерію оптимальності виступало вимога максимуму відносної швидкості росту чисельності популяції:

Цей критерій може бути застосований для визначення оптимальних величин структурно-функціональних параметрів, якщо відносна швидкість росту чисельності представлена ​​у вигляді функції цих параметрів. Причому, якщо розглянутий параметр не залежить від віку особини, то завдання знаходження оптимального значення зводиться до відшукання параметра, відповідного максимуму відносної швидкості росту, а якщо розглянутий параметр залежить від віку, то шукана оптимальна залежність може бути визначена шляхом розв'язання відповідної варіаційної задачі.
Загальний критерій оптимальності застосовували до дослідження популяцій лосів в лісовому біоценозі. Оптимізується параметрами були початкову вагу новонароджених і народжуваність. Крім того, із загального критерію оптимальності виводили вимога максимуму відносної швидкості росту популяції, а потім на підставі цієї вимоги оптимізували функцію зростання, що визначає залежність ваги тіла особини від віку. Порівняння теоретичних величин, отриманих для лосів, і відповідних біологічних даних свідчили про їх добре узгоджуються.
У теорії оптимальних біологічних процесів застосовні більш прості критерії, наприклад, що визначають оптимальність структурно-функціональних параметрів органів і систем, роль яких в організмі зводиться до виконання певних функцій. Критерієм оптимальності такого органу є умова мінімуму його потреб за умови виконання цим органом заданих функцій

де П _ор - потреби органу; П _п - споживання їжі в одиницю часу, пов'язане з підтриманням життєвого органу, не несе функціональне навантаження; П _f - споживання їжі в одиницю часу, пов'язане зі здійсненням органом його функцій в організмі. Використання даного критерію вимагає враховувати умови, що визначають функції, що виконуються органом або системою.
Критерій, що визначає оптимальні функціональні параметри, має вигляд: П _f = min. Тут необхідно сформулювати додаткові умови, що визначають функції органу.
Якщо визначальною є енергетична діяльність органу, то критерій оптимальності може бути сформульований у вигляді
,
де W _i - потужність, споживана i-м органом.
В експериментальних умовах було представлено застосування загального критерію відбору для визначення оптимального в еволюційному сенсі початкової ваги новонароджених (на прикладі даних біологічних досліджень для популяції лосів); енергетичного критерію оптимальності для визначення функціонального стану системи транспорту кисню при фізичному навантаженні і при її відсутності, а так само для знаходження енергетично оптимальної концентрації еритроцитів у крові, парціального тиску в артеріальній і венозній крові, визначення оптимальних функціональних параметрів системи зовнішнього дихання та ін

2 Принцип мінімального впливу в еколого-математичних моделях
Один зі способів застосування цільової функції полягає у формулюванні загальної твердження щодо поведінки системи. Добре відомі екстремальні принципи відносяться до цього випадку. Найвідоміший з них - принцип Гамільтона, згідно з яким, кожна механічна система веде себе так, щоб дія (інтеграл за часом від функції Лагранжа) було мінімальним. В екології робилися спроби використання цього підходу для отримання рівняння зростання популяції, точніше, розглядалася зворотне завдання: записати дію, яке призведе до спеціального рівнянню зростання. Одна з найбільш вдалих спроб вирішити цю задачу, запропонована М. Гатто з співавторами, представлена ​​в роботі Дж.Вебба.
В якості функціоналу дії, який призведе до логістичного рівняння росту популяції чисельності n, було розглянуто такий вираз

Для спрощення обчислення була зроблена заміна змінних

Згідно варіаційного принципу, рівняння еволюції x (t) задається вимогою екстремальності дії, тобто dS = 0. Після необхідних обчислень було отримано динамічне рівняння

Щоб порівняти цей результат з логістичним рівнянням

його переписали в змінних

і продифференцировав:

Отримане збіг показує, що будь-яке рішення логістичного рівняння є рішенням динамічного рівняння, виведеного з функціонала дії. Однак, не будь-яке рішення рівняння є рішенням логістичного рівняння. Для виявлення взаємозв'язку між даними рівняннями було проведено дослідження отриманого рівняння еволюції. Після деяких перетворень і інтегрування було отримано вираз

Рівняння еволюції характеризується константою R: при R> 0 популяція необмежено росте, при R <0 популяція досягає максимального значення, а потім зменшується до 0. Значення R = 0 призводить до логістичного рівняння, тим самим, показуючи, що логістичний зростання - це особливий випадок рівноваги між необмеженим зростанням і загасанням.
У роботі також було розглянуто питання про інтерпретацію введеного таким чином "біологічного" дії. Опис в термінах кінетичної і потенційної енергії неприйнятно, оскільки веде до незмінності загальної енергії системи (екологічні системи зазвичай маються на увазі відкритими). За аналогією з фізикою, де дія розділене на вільний рух і взаємодія, пропонувалося розглядати дію як суму члена, що описує популяцію, яка не схильний до перешкод у зростанні, і члена V (x), що описує зовнішній вплив середовища на популяцію. Однак, подібна інтерпретація добре описує лише випадок V (x) = 0, коли застосування варіаційного принципу призводить до рівняння експоненціального зростання. Сам М. Гатто і його співавтори описували дію як ціну зростання.
На думку Дж.Вебба, застосування варіаційного принципу дозволяє змістити акцент з поведінки системи на фактори, які його визначають, а також робить можливим поділ внутрішнього поведінки популяції і ефектів зовнішнього середовища.

3 Моделі випадкових стаціонарних процесів і принципи, на яких вони грунтуються
Моделі випадкових стаціонарних процесів розглядають систему як сукупність взаємодіючих елементів з випадковими властивостями. У модель вводитися функція розподілу показників стану і глобальна характеристика взаємодії компонентів (ентропія, енергія або речових результат). Область застосування розглянутих моделей обмежується описом неструктурованих гомогенних систем, коли необхідно оцінити вплив багатьох факторів на результуючий ознака
Статистичні моделі будуються при допущенні, що досліджуваний процес випадковий і може бути вивчений за допомогою статистичних методів аналізу систем. Вони включають: емпіричні-і динамічні статистичні моделі, кореляційний та факторний аналіз, багатовимірне шкалювання, аналіз тимчасових рядів. Для зниження розмірності статистичних моделей використовується ряд методів, наприклад виділення головних компонент у регресійних рівняннях та гармонійних рядах.
3.1 ергодичність стаціонарного випадкового процесу
Для деяких процесів в досить довгих реалізаціях випадкового процесу зберігають всі його значення. Отже, крім статистичних середніх характеристик процесу, що визначаються шляхом усереднення по ансамблю можливих значень процесу, є можливість визначити тимчасові середні характеристики шляхом усереднення за часом досить довгою реалізації процесу.
Випадкові процеси, у яких статистичні та тимчасові середні характеристики збігаються, називаються е р г о д и ч е з до і м і. Далеко не всі випадкові процеси задовольняють умові ергодичності. Однак багато стаціонарні процеси цій умові задовольняють і для них (не дивлячись на флуктуації часових середніх характеристик від однієї реалізації до іншої) з ймовірністю, що дорівнює одиниці, тимчасові середні збігаються зі статистичними середніми:

де - Реалізації процесу, зрушені на .
Можна показати (теорема Вінера - Хинчина), що функція кореляції стаціонарного випадкового процесу є Фур'є-перетворенням деякої функції частоти :
()
Фізичний сенс випливає з умови , При якому - Середня потужність процесу, а отже - Його спектральна щільність потужності (спектр потужності).
Інакше кажучи, функція кореляції містить повну інформацію про розподіл енергії процесу за частотою, але не може дати відомостей про частотний розподіл амплітуд і фаз спектральних складових реалізацій процесу.
Багато поширені випадкові процеси наближено можна описати кореляційною функцією виду

і відповідної їй спектральною щільністю
.
Отже, спектр потужності і функція кореляції не є незалежними характеристиками випадкового процесу. Обидві ці характеристики визначають ступінь ймовірнісної зв'язку між значеннями сигналу в різні моменти часу або, як іноді кажуть, ступінь післядії процесу. Процес вважається не мають наслідки, якщо ймовірність настання наступних значень процесу не залежить від того, якими були попередні значення. У процесах з післядією, навпаки, попереднє значення процесу впливає на ймовірність настання наступного або кількох наступних значень процесу. Чим сильніше виражена післядія процесу, тим більше максимальний інтервал часу , Протягом якого дане значення процесу ще впливає на наступні за ним значення.
Функція кореляції характеризує ступінь впливу одного значення процесу на наступні залежно від інтервалу часу , Що розділяє ці значення. Як правило, функція кореляції зменшується із зростанням .
Інтервал , На якому функція кореляції має ще помітну величину, називається інтервалом кореляції. Чим більше інтервал кореляції, тим більш віддалені значення процесу мають ще імовірнісні взаємозв'язку.
Аналогічно цьому за ширину спектра потужності приймають інтервал частот для якого значення мають ще помітну величину.
Можна показати, що інтервал кореляції і ширина спектру потужності пов'язані зворотною залежністю:

де - Постійна величина (база сигналу).
Так як найбільш повним описом випадкової послідовності є функція розподілу ймовірностей її значень, то завдання тестування в загальному випадку зводиться до отримання емпіричних імовірнісних характеристик за доступними вибірковими даними і перевірці гіпотез про їх відповідність деяким стандартним характеристикам, визначальним різні класи випадкових послідовностей та їх окремі властивості. Часто в якості стандартної випадкової послідовності (СП) виступає стандартна випадкова послідовність, наприклад, з нормальним розподілом і числовими характеристиками: - Математичне очікування і - Дисперсія випадкової послідовності.
Загальний алгоритм тестування випадкової послідовності з урахуванням запровадженого стандартної випадкової послідовності може включати такі етапи.
1. Визначення емпіричних імовірнісних характеристик тестованої випадкової послідовності (математичного очікування, дисперсії, кореляційного моменту, ймовірностей подій і функції розподілу ймовірностей). Важливо, щоб якість отриманих емпіричних оцінок відповідало висунутим апріорно вимогам до допустимого відхилення від дійсних значень характеристик (довірчому інтервалу і довірчої ймовірності), а також визначалося необхідним для цього розміром вибірки. На основі отриманих характеристик можуть бути встановлені властивості симетрії розподілу (збіг значень середнього, моди і медіани, або рівність значень ймовірностей перевищення і не перевищення середнього значення) і близькості його форми до деякого стандартного, наприклад, до нормального.
2. Побудова гістограми ймовірностей і відновлення емпіричного розподілу випадкової послідовності на основі отриманих імовірнісних характеристик і висунення гіпотези про вид розподілу СП.
3. Перевірка вірності висунутої гіпотези за критеріями відповідності (згоди) емпіричних і аналітичних імовірнісних характеристик, а також визначення класу і основних властивостей випадкової послідовності з оцінкою показників якості оцінок і рішень.
Розглянемо основні етапи тестування випадкових послідовностей у припущенні виконання умов стаціонарності і ергодичності вибіркових даних.
Ймовірнісної характеристикою випадкової величини , обумовленою безпосередньо шляхом експерименту, є деяке число - математичне сподівання, дисперсія, ймовірність події . Символ   означає справжнє значення характеристики. Шляхом обробки результатів експериментального дослідження X отримують експериментальне значення характеристики, статистичну характеристику чи оцінку характеристики .

Експериментальне дослідження випадкової величини X з метою визначення - Оцінки (наближеного значення) , Полягає у проведенні N дослідів (випробувань, спостережень) і одержання (шляхом відповідних вимірювань) ряду значень - Реалізацій X. У результаті обробки експериментальних даних визначається як функція експерименту.
Якщо провести ще одну серію з N дослідів, то буде отриманий ряд інших реалізацій випадкової величини X й інше значення   оцінки шуканої характеристики . Значення випадкової величини X, отримане в результаті - Ого досвіду в серії, можна розглядати як значення випадкової величини   а оцінку - Як реалізацію більш загальної випадкової величини
, (1)
що є функцією незалежних випадкових величин , всі імовірнісні характеристики яких збігаються з характеристиками X.
Імовірнісними характеристиками системи двох випадкових величин (X, Y), обумовленими безпосередньо на підставі експерименту, є математичні очікування, дисперсії, кореляційний момент, ймовірність події . Експеримент полягає в проведенні N дослідів та отриманні ряду значень   реалізацій випадкових величин X, Y.   У результаті обробки експериментальних даних виходить оцінка
,
як реалізація випадкової функції
, (2)
аналогічної (1).
Похибка наближення оцінки   рівна
, (3)
є, як і , Випадковою величиною.
Функцію бажано вибирати так, щоб виконувалося три умови
1. Математичне сподівання дорівнює нулю:
(4)
2. Дисперсія прагне до нуля із збільшенням N
(5)
3 Дисперсія при даній повинна бути найменшою.
При виконанні умови (4) оцінка називається незміщеної, умов (4), (5) - заможної, всіх трьох умов - ефективною.
Внаслідок випадкового характеру похибки (3) для характеристики точності наближеної рівності   необхідно розташовувати ймовірністю р _д того, що абсолютне значення похибки не перевершить деякої межі
(6)
Інтервал від до , в якому з імовірністю р _д знаходиться істинне значення ,   називається довірчим інтервалом, його межі - довірчими межами, а ймовірність р _д - довірчою ймовірністю.
Якщо число експериментальних даних N досить велике, то
похибка (3) заможної оцінки   можна практично вважати
розподіленої нормально з математичним очікуванням (4), дисперсією   і середнім квадратичним відхиленням При цьому вираз (6) має вигляд:
(7)
де - Функція Лапласа, .
За допомогою цієї формули вирішується завдання визначення довірчої ймовірності р _д по відомим даним .
Функція Лапласа виражає залежність від . Зворотній виражає залежність   від . При ,   маємо
(8)

За допомогою формули (8) і зворотної функції Лапласа вирішується завдання визначення довірчого інтервалу за відомими р _д і   і необхідного числа випробувань за відомим р _д і .

При вирішенні першого завдання згідно (8) визначається . При рішенні другої задачі згідно (8) визначається , А потім N.
Для проведення тестування СП зазвичай призводять до стандартного вигляду. Для випадку двійкової нуль - одиничної послідовності це досягається перекодувала вихідної послідовності в симетричну -1,1 - ю послідовність у відповідності з правилом
.
Тут - Елементи стандартної і вихідної послідовностей відповідно.
3.2   Визначення математичного очікування
Оцінка математичного очікування   як експериментальне (вибіркове) значення першого початкового моменту випадкової величини X дорівнює
,
У той же час оцінка середнього всієї генеральної сукупності значень випадкової величини визначається з виразу
, (9)
де - Незалежні випадкові величини з однаковими , Тобто з числовими характеристиками, рівними істинним, але невідомим апріорі, їх значенням.
Математичне сподівання похибки оцінки середнього одно
. (10)

Дисперсія похибки оцінки середнього дорівнює

. (11)
Середнє квадратичне відхилення оцінки математичного сподівання
. (12)
Як видно з (10,11) оцінка (9) - несмещенная, заможна й ефективна.

Вирази (8-12) можуть бути покладені в основу визначення необхідного розміру вибірки для забезпечення заданих значень довірчого інтервалу похибки і довірчої ймовірності. Так, маючи вимоги до величини довірчого інтервалу і довірчої ймовірності і беручи гіпотезу про гауссовой характер розподілу похибки оцінювання , Тобто можливості визначення довірчої ймовірності у вигляді , З виразу (8) визначаємо необхідну значення середнього квадратичного відхилення похибки оцінки . Разом з тим з виразу (12) випливає, що середнє квадратичне значення похибки оцінки середнього випадкової величини пов'язано зі значеннями СКО і обсягом вибірки N наступною залежністю:

,
звідки, прирівнюючи праві частини останніх рівностей, остаточно визначаємо вираз для розрахунку необхідного обсягу вибірки
.
Тут значення СКО випадкової величини може задаватися апріорно, або визначатися експериментально за вибіркою меншого ніж N обсягу.
Визначення оцінки дисперсії і її середнього квадратичного відхилення
Оцінка дисперсії як експериментальне значення другого центрального моменту випадкової величини X може бути обчислена за формулою
.
Так як значення апріорі невідомо, то приймають і тоді
. (13)
Математичне сподівання похибки оцінки одно
, (14)
що означає, що оцінка (14) є зміщеною.
  Зсув пропорційно D _x і обернено пропорційно N. Це означає, що оцінка D _x, одержана згідно (14), - заможна.
Зсув усувається з переходом до .
При цьому замість (13) маємо
. (15)
При великих значеннях N результати розрахунку за формулами (13) і (15) практично будуть однаковими.
Вираз для дисперсії оцінки (15), що дорівнює дисперсії похибки , При нормальному вигляді закону розподілу X (для гіршого випадку) можна отримати наступне [1-3]:
. (16)
Залежність середнього квадратичного відхилення від його точного значення визначається виразом
.
3.3Определеніе кореляційного моменту та коефіцієнта кореляції
Експериментальне значення кореляційного моменту R _xy як оцінка змішаного центрального моменту m ₁₁ системи двох випадкових величин дорівнює

Так як значення М _х, М _у невідомі, то приймають ,   і тоді

АБО
. (17)
Похибка оцінки
                                                                    (18)
Математичне сподівання похибки (18)

Це означає, що оцінка (17) - зміщена і дорівнює
. (19)
Можна показати, що вона є і заможною.
Зсув усувається з переходом від   до .   При
цьому замість (17) маємо
. (20)
Для дисперсії оцінки (17), що дорівнює дисперсії похибки (18), можна отримати [1-3]
, (21)
де - Четвертий змішаний центральний момент системи (X Y). При Y = X вираження (20) і (21) перетворюються в (15), (16). Якщо система (X Y) розподілена нормально, то і згідно (21)

Так як значення R _xy, D _x, D _y   невідомі, то практично використовується наближення
.   (22)
Середнє квадратичне значення похибки (18) дорівнює середньому квадратичному відхиленню оцінки (20):
. (23)
Оцінка коефіцієнта кореляції визначається згідно
. (24)
Якщо оцінки ,   отримані в результаті однієї серії спостережень, а оцінка - У результаті іншої, то їх похибки , - Незалежні випадкові величини, які є аргументами лінійної функції:
. (25)
Значення   розраховується згідно (15), довірчий інтервал - За формулою (8).
3.4 Визначення ймовірності події
Експериментальне значення ймовірності Р деякої події - це частость [1-3]
,                                                                           (26)
причому число п появ події в серії з N випробувань можна розглядати як суму N незалежних випадкових доданків:
,                                                                                             (27)
кожне з яких може приймати тільки два значення 1 і 0 з імовірностями P і 1 - P.
Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини X _i:
. (28)
Похибка оцінки (26) дорівнює
. (29)
Математичне сподівання похибки та її дисперсія:
. (30)
Таким чином, оцінка (26) - несмещенная і заможна. Середнє квадратичне відхилення оцінки (26)
.
На практиці беруть
. (31)
3.5 Визначення законів розподілу випадкової величини
Експериментальне визначення законів розподілу випадкових величин зводиться до визначення оцінок ймовірностей, математичних сподівань, дисперсій та середніх квадратичних відхилень [1-3].
Якщо випадкова величина X - дискретна, то визначаються , та оцінки значень функції ймовірності або оцінки значень функції розподілу .
Якщо випадкова величина X - безперервна, то визначаються М _х, D _х і оцінки f _x (x), F _x (x) щільності ймовірності f _x (x) і функції розподілу F _x (x).
При оцінюванні законів розподілу неперервної випадкової величини процес обробки експериментальних даних - реалізацій х ,..., x _N,, починається з вибору меж а і b > А інтервалу, що містить можливі значення X, і ділення цього інтервалу на k рівних елементарних проміжків з = (b - a) / k.
При розрахунку з значення а і b слід для зручності округляти,
приймаючи, наприклад, замість b = 3,341, а = -2,63 значення 3,4 і -2,7. У всіх випадках округлення проводиться у бік збільшення різниці b-а. Значення k вибирається в межах від 8 до 20. Зручно прийняти k = 10.
Після цього визначають кордони   всіх елементарних проміжків і складають таблицю (табл.1), в якій х _'0 = а, x' _k = b. Значення - Це число реалізацій X, що опинилися в межах j-ого інтервалу від , До . Значення і :
(32)
. (33)
При угрупованню реалізацій X за окремими інтервалам може опинитися що деякі з них припадуть точно на кордон двох суміжних проміжків. У цих випадках необхідно додати до числах і суміжних інтервалів по 1 / 2.

Таблиця 1

... ... ... ...
За даними таблиці можуть бути побудовані емпіричні гістограма і графік функції розподілу.
Потім виникає досить складне завдання підбору аналітичного закону розподілу, досить добре узгоджується з результатами експерименту.
Підставою для вибору аналітичного вираження щільності ймовірності f _x (x) можуть служити міркування про те, щоб найпростіші числові характеристики теоретичної випадкової величини були рівні експериментальним значенням цих характеристик. Якщо, наприклад, теоретичний закон визначається двома параметрами, то їх вибирають так, щоб збіглися два моменти ( ).
3.6 Критерій інтервальних оцінок
Маючи в своєму розпорядженні результатами експерименту згідно (31) розраховують середні квадратичні відхилення:
;
. (34)
Згідно (8) розраховуються довірчі інтервали

і межі зміни ВВХ
, (35)
відповідні довірчої ймовірності і .
Маючи в своєму розпорядженні обраним аналітичним виразом щільності ймовірності f _x (x), розраховуються теоретичні значення:
(36)
Критерієм згоди теоретичного та експериментального розподілу є дотримання нерівностей:
(37)

Критерій
Розрахувавши згідно (35), знаходять значення
(38)
і розраховують
. (39)
Якщо розбіжність між експериментальним та теоретичним розподілом несуттєво, то розподіл випадкової величини (39) близько до нормального з математичним очікуванням і
середнім квадратичним відхиленням , Де s - так зване число ступенів свободи і згідно (8) з довірчою ймовірністю р _д = 0,997 справедливо нерівність
. (40)
Число ступенів свободи s = k - і - це різниця між числом інтервалів k, обираних довільно, і числом умов і, яким має задовольняти емпіричне розподіл випадкової величини. Цих умов зазвичай три: сума всіх   дорівнює одиниці, математичне сподівання одно   дисперсія дорівнює
3.7 Порівняння математичних сподівань і дисперсій
Особливим завданням, що виникає при експериментальному дослідженні випадкових величин, є порівняння експериментальних математичних сподівань і дисперсій , Отриманих в результаті N _1, та N ₂ незалежних вимірювань випадкових величин X ₁ і X _2.
Для перевірки гіпотези або, що те ж саме , Розраховується критерій [1-3]
. (41)
Якщо , Гіпотезу можна визнати справедливою з довірчою ймовірністю = 0,9972.
3.8 Використання моделі випадкових стаціонарних процесів для аналізу динаміки чисельності птахів
Для аналізу ряду багаторічних спостережень динаміки чисельності птахів були застосовані методи стаціонарних випадкових процесів.
Чисельність (щільність) птахів розраховувалася на об'єднану площа лісів і на об'єднану площа всіх досліджених середовищ існування.
За допомогою методу автокореляції були отримані коррелограмми процесів зміни чисельності птахів за 12-річний період на об'єднаних площах і майданах усіх лісів. Підраховано коефіцієнти автокореляції та приватної автокореляції (найбільший коефіцієнт автокореляції R1 = 0,63; приватної автокореляції Rpar 1 = 0,63). При дослідженні коррелограмм не виявилися характеристичні властивості моделей ковзної середньої та авторегресійної моделі, тобто кінцева протяжність автокореляційної функції та приватної автокореляційної функції. Тому була обрана змішана модель авторегресії-ковзної середньої (АРСР).
Екологічний сенс авторегресійних параметрів полягає у відображенні періодичності зміни чисельності птахів у сезонному та багаторічному розгляді. Використання ковзної середньої можна обгрунтувати, посилаючись на відомий вислів про те, що одним з найпростіших методів, що дозволяють елімінувати випадкові коливання емпіричної лінії регресії, є метод вирівнювання способом ковзної середньої (Біоіндикація ..., 1994).
Підібрана модель має вигляд:
xt = xt-1 + at - θat-1,
де x - прогнозуюче мінлива авторегресії,
а - ковзної середньої,
θ - параметри змішаної моделі.
Перевірка адекватності моделі, точніше, її прогнозних якостей, проводилася на зрізаних рядах даних (10-літніх). Прогноз розраховувався на два роки вперед і порівнювався з емпіричними даними. Підрахунок коефіцієнтів кореляції між дослідними даними і прогнозом показав сильний зв'язок для лісових місцезростань (непараметрический коефіцієнт кореляції Спірмена R = 0,81) і меншу зв'язок для об'єднаних площ (R = 0,53). Ряди залишків підібраних моделей не виявляють будь-якої залишкової структури, судячи з отриманих коррелограммам залишків. Занижені прогнозні значення моделі процесу не суперечать отриманого нами раніше тренду невеликого багаторічного зменшення чисельності птахів.
Побудована модель може служити для аналізу та прогнозу чисельності птахів.
Література
1. Потьомкін В.Г. МАТЛАБ. Довідковий посібник, Вид-во «Діалог МИФИ», 1998 р.
2. Барабашева Ю.М., Девяткова Г.Н., Тутубалін В.М., Угер Є.Г. Деякі моделі динаміки численностей взаємодіючих видів з точки зору математичної статистики / / Журнал загальної біології. - 1996. 57, N.2. - С.123 - 139.
3. Боголюбов А.Г. Математичні моделі еколого-генетичних процесів конкуренції видів. Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук. С.-Пб. 1995. - 34 с.
4. Болсуновський А.Я. Еколого-біофізичні механізми домінування мікроводоростей в культурі і водоймі. Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора біологічних наук. Красноярськ. 1999. - 48 с.
5. Гаузе Г.Ф. Дослідження над боротьбою за існування в змішаних популяціях / / Зоол. журн. - 1935. 14, N.4. - С.243 - 270.
6. Замолодчіков Д.Г., Левич А.П., Рибакова С.Ю. Дослідження адекватності теоретико-категорно моделі фітопланктонних спільнот / / Проблеми екологічного моніторингу та моделювання екосистем. Т.15. Л.: Гидрометеоиздат. 1993. - С.234 - 246.
7. Зотін А.І., Зотін А.А. Напрямок, швидкість і механізми прогресивної еволюції: Термодинамічні та експериментальні основи. М.: Наука. 1999. - 320 с.
8. Крупаткіна Д.К. Особливості росту фітопланктону у зв'язку з вмістом біогенних елементів у клітинах / / Біологія моря. - 1978. Вип.47. - С.18 - 25.
9. Кучай Л.А. Використання концепції клітинної квоти в моделях динаміки фітопланктону. ДЕП 8567-В85. ВІНІТІ. 1985. - 35 с.
10. Левич А.П. Структура екологічних спільнот. М.: Изд-во Моск. ун-ту. 1980. - 181 с.
11. Левич А.П., Булгаков Н.Г., Замолодчіков Д.Г. Оптимізація структури кормових фітопланктонних спільнот. Під редакцією проф. В. Н. Максимова. М.: Товариство наукових видавців КМК. 1996б. - 136 с.
12. Мінкевич І.Г., Андрєєв С.В., Єрошин В.К. Вплив органічного і мінерального субстратів на величину витрат клітин на підтримку / / Мікробіологія. - 1998. 67, N.2. - С.176 - 181.
13. Печуркін Н.С. Енергетичні аспекти розвитку надорганізменних систем. Новосибірськ: Наука. 1982. - 112 c.
14. Пріц А.К. Принцип стаціонарних станів відкритих систем і динаміка популяцій. Калінінград. 1974. - 123 c.
15. Різниченко Г.Ю., Рубін А.Б. Математичні моделі біологічних продукційних процесів. Навчальний посібник. М.: Изд-во Моск. ун-ту. 1993. - 302 c.
16. Розен Р. Принцип оптимальності в біології. М.: Мир. 1969. - 215 c.
17. Свірєжев Ю.М. Феноменологічна термодинаміка взаємодіючих популяцій / / Журнал загальної біології. - 1991. 52, N.6. - С.840 - 853.
18. Свірєжев Ю.М., Логофет Д.О. Стійкість біологічних співтовариств. М.: Наука. 1978. - 352 с.
19. Сілкін В.А., Хайлов К.М. Біоекологічні механізми управління в аквакультурі. Л.: Наука. 1988. - 230 c.
20. Страшкраба М., Гнаук А. Прісноводні екосистеми. Математичне моделювання. М.: Мир. 1989. - 376 c.