ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ

Зміст
  Випадкова функція, випадковий процес, випадкове поле. 2
Функція розподілу ймовірностей випадкового процесу. 3
Щільність розподілу ймовірностей випадкового процесу. 4
Моментні функції випадкового процесу. 5
Умовні розподілу ймовірностей. 6
Приклади математичних моделей випадкових процесів. 7
Стаціонарні процеси .. 8
Література. 10

Випадкова функція, випадковий процес, випадкове поле

69.1. Випадкової функцією називається випадкова величина , Залежна від параметра . Випадкові величини можуть бути речовими, або комплексними, або векторними; аргумент може бути речовим або векторним. Найпростіший приклад випадкової функції отримуємо для речового параметра та речовинної випадкової величини . При цьому називається випадковою функцією однієї змінної або випадковим процесом. Відзначимо, що аргумент випадкового процесу не обов'язково має розмірність часу.
Більш складні приклади випадкових функцій зустрічаються в задачах фізики, океанології, метеорології та інших областях застосування теорії ймовірностей. Так, температура повітря в точці простору і в момент часу часто розглядається як випадкова величина. Таким чином, температура повітря є випадковою функцією, залежною від трьох декартових координат часу . Випадкову функцію, залежну від декількох змінних прийнято називати випадковим полем.
69.2. Випадковий процес як функція аргументу має свою область визначення , Яка може бути відрізком на дійсній осі, позитивної полуосью, всієї речовій віссю і т. д. Розглянемо випадковий процес при фіксованому , Тоді - Випадкова величина, яка називається перерізом випадкового процесу в точці .
Нехай виконується дослідів, у кожному з яких вимірюється значення , , Випадкової величини . Тоді результати вимірювань - це чисел
. (69.1)
На відміну від випадкової величини вимір випадкового процесу виконується протягом деякого інтервалу -Інтервалу спостереження. Останній або міститься в області визначення , Або збігається з нею. Нехай детермінована функція , , - Результат вимірювання випадкового процесу у першому досліді, функція , , - Результат вимірювання випадкового процесу в другому досвіді, і т.д. Тоді результати всіх дослідів, аналогічно (69.1), представляються сукупністю детермінованих функцій часу:
(69.2)
Кожна функція , , Називається реалізацією (траєкторією, вибіркової функцією, вибіркою) випадкового процесу . Сукупність (69.2) називається ансамблем реалізацій випадкового процесу . Ансамбль реалізацій містить інформацію про статистичні властивості випадкового процесу аналогічно як і сукупність вимірів (69.1) містить інформацію про статистичні властивості випадкової величини .
69.3. Залежно від того, дискретні або безупинні час і реалізації , Розрізняють чотири типи випадкових процесів.
1). Випадковий процес загального типу: час - Безперервно та реалізації - Безперервні.
2). Дискретний випадковий процес: час - Безперервно та - Дискретно.
3). Випадкова послідовність: - Дискретно і - Безперервні. У літературі випадкові процеси цього типу прийнято називати тимчасовими рядами.
4). Дискретна випадкова послідовність: - Дискретно і - Дискретно.

Функція розподілу ймовірностей випадкового процесу

70.1. При фіксованому розподіл ймовірностей перерізу випадкового процесу (як розподіл ймовірностей випадкової величини) задається функцією розподілу ймовірностей
. (70.1)
Співвідношення (70.1) можна розглядати при будь-якому . Функція , Як функція двох змінних і , Називається одномірної функцією розподілу ймовірностей випадкового процесу . Аргументи і прийнято називати відповідно фазової та тимчасової змінними. Однак, не дає вичерпну імовірнісну характеристику випадкового процесу , Оскільки вона не враховує залежності випадкових величин при різних (Тобто залежності різних перетинів випадкового процесу). Більш повно імовірнісні властивості випадкового процесу описує -Мірна функція розподілу - Функція розподілу випадкового вектора :
. (70.2)
Проте, практичне застосування знаходять лише функції розподілу першого і другого порядків . Функції більш високих порядків використовуються тільки в теорії.
70.2. Основні властивості -Мірної функції розподілу ймовірностей випадкового процесу аналогічні властивостям функції розподілу ймовірностей -Мірного вектора.
1) Функція - Неспадними по кожному аргументу , .
2) Функція - Неперервна справа по кожному аргументу , .
3) Функція розподілу симетрична щодо перестановок двох будь-яких пар і :
.
4) Для будь-якого цілого ,
.
5) Для будь-якого цілого ,
.
6) .

Щільність розподілу ймовірностей випадкового процесу

Якщо має похідну
, (71.1)
тоді ця похідна називається -Мірної щільністю розподілу ймовірностей випадкового процесу. Основні властивості щільності (71.1) аналогічні властивостям щільності розподілу ймовірностей -Мірного вектора. Розглянемо основні з них.
1) Функція розподілу визначається через щільність:
. (70.2)
2) Щільність - Невід'ємна функція:
. (70.3)
3) Щільність задовольняє умові нормування:
. (70.4)
4) Виконується рівність
, (71.5)
зване властивістю узгодженості.
5) Щільність - симетрична функція щодо перестановок двох будь-яких пар і :
. (71.6)
6) Щільність визначає ймовірність потрапити значенням випадкового
процесу в задані інтервали:
. (71.7)

Моментні функції випадкового процесу

72.1. Нехай - Випадковий процес, що має густину і функція змінних. Замість аргументу , , Функції підставимо . Тоді - Випадкова величина, математичне сподівання якої визначається співвідношенням:
.
(72.1)
Розглянемо найпростіші приклади функції . 1) Нехай - Функція однієї змінної, тоді і (72.1) набирає вигляду:
. (72.2)
Функція називається математичним очікуванням (середнім, статистичними середнім) випадкового процесу . 2) Аналогічно вибір призводить до рівності
. (72.3)
Функція називається кореляційною функцією випадкового процесу . 3) Аналогічно вводяться дисперсія
(72.4)
і коваріаційна функцією випадкового процесу

. (72.5)
Отримаємо співвідношення, що зв'язує функції . З (72.5) слід

. (72.6)
Тут використовувалося рівність , Оскільки - Детермінована функція і її можна винести за оператор математичного очікування. Таким чином, (72.6) набирає вигляду
. (72.7)
72.2. Функції виду
, (72.8)
де цілі числа , Називаються початковими моментами порядку випадкового процесу . Аналогічно центральні моменти визначаються співвідношеннями:
. (72.9)
Для функцій (72.8), (72.9) використовується загальна назва - моментні функції. Найбільш прості моментні функції (до другого порядку) - це розглянуті вище математичне сподівання , Дисперсія кореляційний і коваріаційна функції , , - Знаходять широке практичне застосування в експериментальних дослідженнях на відміну від моментів більш високих порядків, які використовуються тільки в теоретичних розрахунках.

Умовні розподілу ймовірностей

Якщо задана - Мірна щільність розподілу ймовірності випадкового процесу , Тоді умовна щільність порядку за умови, що випадковий процес в моменти часу приймає значення визначається за формулою:

. (73.1)
Відповідна умовна функція розподілу ймовірностей порядку за умови, що випадковий процес в моменти часу приймає значення визначається співвідношенням:

. (73.2)
Співвідношення між умовним щільністю і умовної функцією розподілу ймовірностей аналогічні співвідношенням для відповідних безумовних функцій, наприклад, справедливо рівність:

. (72.3)
У найпростішому варіанті при формула (73.1) для умовних густин приймає вигляд:
. (73.4)
Звідси
. (73.5)
Оскільки щільність другого порядку симетрична щодо перестановок пар і , То з (73.5) слід
. (73.6)
Співвідношення (73.5), (73.6) - це формули множення для густин. Очевидна аналогія цих формул з формулою множення ймовірностей. Використовуючи властивість узгодженості, з (73.6) отримаємо
. (73.7)
Це співвідношення аналогічно формулою повної ймовірності. Далі, висловлювання (73.6), (73.7) підставимо в (73.4), тоді
. (73.8)
Дане співвідношення представляє собою аналог формули Байєса.

Приклади математичних моделей випадкових процесів

Зі співвідношення (73.1) слід

. (74.1)
Відзначимо, що тут твір перших двох співмножників, згідно (73.1), так само
. (74.2)
Аналогічно, твір перших трьох співмножників в (74.1) дорівнює
. (74.3)
74.1. Випадковий процес називається процесом з незалежними значеннями, якщо випадкові величини незалежні в сукупності для будь-якого і всіх різних . При цьому співвідношення (74.1) набирає вигляду:
. (74.4)
Таким чином, - Мірна щільність розподілу ймовірності випадкового процесу з незалежними значеннями повністю визначається через його одновимірну щільність ймовірності . Настільки проста структура - Мірної щільності дозволяє в багатьох випадках легко знаходити вирішення завдань. Однак, така проста математична модель (74.4) може виявитися неадекватной досліджуваного процесу. Тоді результати теоретичних розрахунків, засновані на формулі (74.4), не відповідають результатам досвіду, і виникає необхідність побудови більш складної математичної моделі досліджуваного процесу з урахуванням статистичних зв'язків між його різними перерізами , , Що дозволить отримати більш точний опис властивостей досліджуваного процесу.
74.2. Випадковий процес називається процесом з ортогональними значеннями, якщо
(74.5)
для будь-яких моментів часу .
74.3. Випадковий процес називається процесом з незалежними приростами, якщо випадкові величини і незалежні для будь-яких неперекривающіхся відрізків , .
74.4. Нехай моменти часу - Упорядковані по індексу. Випадковий процес називається марковским, якщо його умовна щільність ймовірності задовольняє рівності:
. (74.6)
Таким чином, для марківського процесу випадкова величина залежить тільки від і не залежить від усіх , . Прийнято говорити, що марковський процес пам'ятає свою історію тільки на один крок.
Співвідношення (74.1) для марківського процесу приймає вигляд:
.
(74.7)
Звідси випливає, що, - Мірна щільність розподілу ймовірності випадкового марківського процесу повністю визначається його двовимірної щільністю , Оскільки одномірна щільність і умовна визначаються через за формулами (73.7) і (73.4).
Марківський процес можна розглядати як узагальнення процесу з незалежними значеннями, в тому сенсі, що останній не пам'ятає свою історію, а марковський процес пам'ятає свою історію на один крок. Але й марковський процес можна ускладнити, подовжуючи його пам'ять на два кроки, на три кроки і т.д. У результаті виходять більш точні математичні моделі досліджуваного процесу, що, проте, досягається їх ускладненням. Такі моделі також прийнято називати марковскими процесами, але найпростіша з них, з пам'яттю в один крок (74.7), в цьому ряду називається найпростішим марковским процесом.

Стаціонарні процеси

75.1. Випадковий процес називається строго стаціонарним, якщо його - Мірна щільність ймовірності задовольняє умові:
(75.1)
для будь-якого . Звідси при і отримаємо
. (75.2)
Це рівність означає, що щільність першого порядку не залежить від часу . При цьому математичне сподівання випадкового процесу
(75.3)
- Величина постійна, не залежна від часу. Аналогічно, постійними для цього процесу є середнє квадрата і дисперсія . Нехай і , Тоді з (75.1) слід рівність
. (75.4)
Таким чином, щільність другого порядку залежить від тимчасових аргументів через їх різниця . Тому кореляційна функція і коваріаційна функція також є функціями різниці своїх аргументів.
У випадку у співвідношенні (75.1) можна покласти, наприклад, , Тоді щільність залежить від тимчасових аргументів Отже, моментні функції, які в загальному випадку залежать від тимчасових аргументів , Для строго стаціонарних випадкових процесів також залежать від тимчасових аргументів
75.1. Розділ теорії випадкових процесів, в якому викладаються основні властивості функцій і , Прийнято називати кореляційної теорією випадкових процесів. Таким чином, в рамках кореляційної теорії розглядаються моментні функції не більше, ніж другого порядку. У зв'язку з цим вводиться спеціальне визначення стаціонарності.
Випадковий процес називається стаціонарним у широкому сенсі (за Хинчина), якщо його математичне сподівання і дисперсія - Величини постійні, не залежні від часу , А кореляційна функція залежить від аргументів через їх різниця .

Література

1. Вентцель Є.С. Теорія ймовірностей: Підручник для вузів. М.: Вища школа, 1999. - 575с.
2. Коваленко І.М., Філіппова А.А. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Вища школа, 1973. - 368с.
3. Вентцель Є.С., Овчаров Л.А. Теорія ймовірностей і її інженерні програми М.: Вища школа, 2000. - 480с.
4. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Вища школа, 1999. - 479с.
5. Питьев Ю.П., Шишмарьов І.А. Курс теорії ймовірностей і математичної статистики для фізиків. М.: Изд-во Моск. ун-ту, 1983. - 256с.
6. Пугачов В.С. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.
7. Колеман В.А., Старовірів О.В., Турундаевскій В.Б. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Вища школа, 1991. - 400с.
8. Фігурін В.А., Оболонкін В.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: Нове знання, 2000. - 206с.
9. Чистяков В.П. Курс теорії ймовірностей. М.: Наука, 1982. - 256с.
10. Боровков А.А. Теорія ймовірностей. М.: Наука, 1976. - 352с.
11. Кремер Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.