Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Курсова робота
КЛАСИ КІНЦЕВИХ ГРУП , ЗАМКНУТІ ЩОДО ТВОРУ -Підгрупі, ІНДЕКСИ ЯКИХ НЕ ДІЛЯТЬСЯ НА Деякі просто ЧИСЛО
Виконавець:
Студентка групи М-53 Вакрілова Л.М.
Науковий керівник:
доктор ф-м наук, професор Семенчук В.М.
Гомель 2009
Зміст
Перелік умовних позначень
Введення
1 Опис -Формацій Шеметкова
2 Опис -Формацій Шеметкова
3 Критерій приналежності груп, факторізуемих підгрупами, індекси яких не діляться на деякий просте число, спадково насиченим формаціям
Висновок
Список використаних джерел
--- Безліч всіх натуральних чисел;
--- Безліч всіх простих чисел;
--- Деякий безліч простих чисел, тобто ;
--- Додаток до в безлічі всіх простих чисел; зокрема, ;
Примарна число --- будь-яке число виду .
Літерами позначаються прості числа.
Нехай --- Група. Тоді:
--- Порядок групи ;
--- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;
-Група --- група , Для якої ;
-Група --- група , Для якої ;
--- Коммутант групи , Тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;
--- Підгрупа Фиттинг групи , Тобто добуток всіх нормальних нільпотентних підгруп групи ;
--- Найбільша нормальна -Нільпотентна підгрупа групи ;
--- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто перетин всіх максимальних підгруп групи ;
--- Найбільша нормальна -Підгрупа групи ;
--- -Халловей підгрупа групи ;
--- Сіловская -Підгрупа групи ;
--- Додаток до сіловской -Підгрупі в групі , Т. е. -Халловей підгрупа групи ;
--- Нільпотентна довжина групи ;
--- -Довжина групи ;
--- Мінімальне число породжують елементів групи ;
--- Цоколь групи , Тобто підгрупа, породжена всіма мінімальними нормальними підгрупами групи ;
--- Циклічна група порядку .
Якщо і --- Підгрупи групи , То:
--- є підгрупою групи ;
--- є власною підгрупою групи ;
--- є нормальною підгрупою групи ;
--- Ядро підгрупи в групі , Тобто перетин всіх підгруп, пов'язаних з в ;
--- Нормальне замикання підгрупи в групі , Тобто підгрупа, породжена всіма сполученими з підгрупами групи ;
--- Індекс підгрупи в групі ;
;
--- Нормалізатор підгрупи в групі ;
--- Централізаторів підгрупи в групі ;
--- Взаємний коммутант підгруп і ;
--- Підгрупа, породжена підгрупами і .
Мінімальна нормальна підгрупа групи --- Непоодинокі нормальна підгрупа групи , Не містить власних непоодиноких нормальних підгруп групи ;
--- є максимальною підгрупою групи .
Якщо і --- Підгрупи групи , То:
--- Прямий добуток підгруп і ;
--- Полупрямой твір нормальної підгрупи і підгрупи ;
--- і ізоморфні;
--- Регулярне сплетіння підгруп і .
Підгрупи і групи називаються переставних, якщо .
Групу називають:
-Замкнутої, якщо сіловская -Підгрупа групи нормальна в ;
-Нільпотентні, якщо -Халловей підгрупа групи нормальна в ;
-Розв'язною, якщо існує нормальний ряд, фактори якого або -Групи, або -Групи;
-Сверхразрешімой, якщо кожен її головний фактор є або -Групою, або циклічної групою; нільпотентні, якщо всі її сіловскіе підгрупи нормальні; розв'язною, якщо існує номер такий, що ; Сверхразрешімой, якщо вона має головний поруч, всі індекси якого є простими числами.
Монолітичних група --- непоодинокі група, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу.
-Замкнута група --- група, що має нормальної холлівських -Підгрупою.
-Спеціальна група --- група, що володіє нільпотентні нормальної холлівських -Підгрупою.
-Розкладені група --- група, що є одночасно -Спеціальної та -Замкнутою.
Група Шмідта --- це кінцева ненільпотентная група, всі власні групи якої нільпотентні.
Додаванням до підгрупи групи називається така підгрупа з , Що
.
Ланцюг --- це сукупність вкладених одна в одну підгруп.
Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю.
Ряд підгруп
називається:
субнормальний, якщо для будь-якого ;
нормальним, якщо для будь-якого ;
головним, якщо є мінімальною нормальною підгрупою в для всіх .
Клас груп --- сукупність груп, що містить з кожною своєю групою і все їй ізоморфні групи.
-Група --- група, що належить класу груп .
Формація --- клас груп, замкнутий щодо факторгрупою і подпрямих творів.
Якщо --- Клас груп, то:
--- Безліч всіх простих дільників порядків всіх груп з ;
--- Безліч всіх тих простих чисел , Для яких ;
--- Формація, породжена класом ;
--- Насичена формація, породжена класом ;
--- Клас всіх груп , Які представлені у виді
де , ;
;
--- Клас всіх мінімально не -Груп, тобто груп не належать , Але всі власні підгрупи яких належать ;
--- Клас всіх -Груп з ;
--- Клас всіх кінцевих груп;
--- Клас всіх розв'язаних кінцевих груп;
--- Клас всіх -Груп;
--- Клас всіх розв'язаних -Груп;
--- Клас всіх розв'язаних -Груп;
--- Клас всіх нільпотентних груп;
--- Клас всіх розв'язаних груп з нільпотентні довжиною .
Якщо і --- Класи груп, то:
.
Якщо --- Клас груп і --- Група, то:
--- Те що всіх нормальних підгруп з таких, що ;
--- Твір всіх нормальних -Підгруп групи .
Якщо і --- Формації, то:
--- Твір формацій;
--- Перетин всіх -Абнормальної максимальних підгруп групи .
Якщо --- Насичена формація, то:
--- Істотна характеристика формації .
-Абнормальної називається максимальна підгрупа групи , Якщо , Де --- Деяка непорожня формація.
-Гіперцентральной підгрупою в називається здійсненне нормальна підгрупа групи , Якщо володіє субнормальний поруч таким, що
(1) кожен фактор є головним чинником групи ;
(2) якщо порядок фактора є ступінь простого числа , То .
--- -Гіперцентр групи ,
У роботі [38] В.М. Тютянов довів, що будь-яка кінцева група виду , Де і --- -Нільпотентні підгрупи та індекси , не діляться на деякий просте число , Є -Нільпотентні групою.
У зв'язку з цим результатом можна сформулювати наступну проблему.
Проблема. Класифікувати спадкові насичені формації , Що містять будь-яку групу , Де і належать і містить деяку сіловскую підгрупу групи .
У цьому розділі в класі вирішуваних груп для спадкової формації Фиттинг дана проблема вирішена повністю.
1. Опис -Формацій Шеметкова
Важливу роль при отриманні основних результатів даної глави зіграли формації Шеметкова, тобто такі формації , В яких будь мінімальна не -Група є або групою Шмідта, або групою простого порядку.
Вперше спадкові насичені розв'язні формації Шеметкова були описані в роботі [22]. Потім у роботах [9] та [50, 51] були описані довільні спадкові насичені формації Шеметкова.
Визначення. Формація називається -Формацією Шеметкова, якщо будь-яка мінімальна не -Група --- або група простого порядку, або група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою.
Наведемо приклад -Формацій Шеметкова.
1.1 Приклад. Якщо --- Формація всіх -Нільпотентних груп, то --- -Формація Шеметкова.
Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Відомо, що група є розв'язною. Покажемо, що є групою Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою. Так як НЕ -Нільпотентна група, то . Нехай . Згідно з теоремою 2.2.5, , Де --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа, --- Примарна -Група, , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Покажемо, що . Дійсно, якщо , То з того факту, що -Нільпотентна, а значить і так само -Нільпотентна, випливає, що -Нільпотентна, що неможливо. Відомо, що формацію можна представити у вигляді . Згідно лемі 2.2.20, . Очевидно, що будь-яка мінімальна не -Група є група простого порядку . Отже, --- Група Шмідта. Нехай . Вище показано, що --- Група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою. Тепер, на увазі леми 2.2.2 і леми 4.1.1, є групою Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою. А це означає, що --- -Формація Шеметкова.
1.2 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай , , --- Непусті формації. Тоді .
Доказ. Нехай --- Довільна група з . Тоді . Звідси випливає, що і . А це означає, що .
Нехай --- Довільна група з . Звідси випливає, що і . Тоді і . Отже, . А це означає, що . Лема доведена.
Нехай --- Насичена формація, а --- Її максимальний внутрішній локальний екран, --- Характеристика формації . Позначимо через --- Безліч простих чисел з таких, що , Де --- Просте число з .
1.3 Лема. Нехай --- Насичена формація, --- Її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді
Доказ. Відомо, що для будь-насиченою формації справедливо наступне рівність
Звідси випливає, що
За лемі 5.1.2,
Лема доведена.
1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація. Тоді наступні твердження еквівалентні:
1) --- -Формація Шеметкова;
2) , Де і .
Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2). З леми 5.1.3 випливає, що будь-яку насичену формацію можна представити у вигляді
де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Покажемо, що якщо --- -Формація Шеметкова, то
Дійсно, очевидно, що
Покажемо зворотне включення. Нехай --- Група найменшого порядку з
Так як --- Спадкова формація, то .
Так як --- Насичена формація, то . Неважко показати, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу і . Згідно з умовою, або група простого порядку, або група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою.
Нехай . Так як , То . Звідси випливає, що . Протиріччя.
Нехай --- Група Шмідта і , Де . Очевидно, що . Тоді з випливає, що . А це означає, що . Так як , То . Але тоді . Так як --- Повний екран, то . Так як --- Внутрішній екран, то . Отримали протиріччя.
Покажемо, що з 2) слід 1).
Нехай . Згідно з умовою, --- Здійсненне група. Нехай . Очевидно, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу , Причому --- -Група і . Згідно з теоремою 2.2.5, , Де , --- Повний локальний екран формації . Згідно лемі 2.2.20, . А це означає, що , Де . Звідси неважко помітити, що --- Група Шмідта. Згідно лемі 2.2.21, --- Або група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою, або група простого порядку. Теорема доведена.
1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена -Формація Шеметкова. Тоді містить будь-яку -Розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на .
Доказ. Доказ проведемо від супротивного. Тоді неважко довести, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу , Причому і . Так як --- -Здійсненне група, то або --- -Група, або -Група. Якщо --- -Група, то з того, що випливає, що . Протиріччя.
Нехай --- -Група. Згідно з умовою, і . Так як і , То . Звідси випливає, що . Аналогічним чином отримуємо, що . Звідси і група . А це означає, що . Отримали протиріччя. Теорема доведена.
У роботі [33] було доведено, що будь-яка спадкова насичена формація Шеметкова замкнута щодо твору -Субнормальних -Підгруп. Для спадкових насичених -Формацій Шеметкова справедлива наступна теорема.
1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена -Формація Шеметкова. Тоді містить будь-яку групу , Де і --- -Підгрупи, індекси , не діляться на і або , Або -Субнормальний в .
Доказ. Нехай --- Спадкова насичена -Формація Шеметкова. Тоді, згідно теоремі 5.1.4, вона має наступну будову:
де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число .
Нехай --- Група найменшого порядку, яка не належить , Така, що , Де і --- -Підгрупи, індекси , не діляться на і -Субнормальная в .
Неважко показати, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу .
Так як --- Насичена формація, то .
Нехай --- Абелева група і --- -Група. Якщо , То з того факту, що , Випливає, що . Протиріччя.
Якщо --- -Група, то, як і в теоремі 5.1.5, можна показати, що . Протиріччя.
Нехай --- Неабелевих група. У цьому випадку
z \ неабелевих простих груп і .
Розглянемо підгрупу . Так як --- Власна -Субнормальная підгрупа групи і , То неважко показати, що . Розглянемо підгрупу . За тотожності Дедекінда
Очевидно, що --- -Субнормальная підгрупа . Так як --- Спадкова формація і , То . Очевидно, що індекси , не діляться на . Тоді по індукції, . Якщо , То . Отримали протиріччя. Значить, . Так як --- Нормальна підгрупа з , То --- Нормальна підгрупа з . Але тоді
де --- Ізоморфні неабелевих прості групи, . Так як і --- Спадкова формація, то . Звідси неважко показати, що . Якщо ділиться на , То з того, що , випливає, що --- Нормальна підгрупа групи . Протиріччя. Якщо --- -Група, то ясно, що . Протиріччя. Теорема доведена.
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Курсова робота
КЛАСИ КІНЦЕВИХ ГРУП
Виконавець:
Студентка групи М-53 Вакрілова Л.М.
Науковий керівник:
доктор ф-м наук, професор Семенчук В.М.
Гомель 2009
Зміст
Перелік умовних позначень
Введення
1 Опис -Формацій Шеметкова
2 Опис -Формацій Шеметкова
3 Критерій приналежності груп, факторізуемих підгрупами, індекси яких не діляться на деякий просте число, спадково насиченим формаціям
Висновок
Список використаних джерел
Перелік умовних позначень
Розглядаються тільки кінцеві групи. Вся термінологія запозичена з [44, 47].--- Додаток до
Примарна число --- будь-яке число виду
Літерами
Нехай
--- Безліч всіх простих дільників порядку групи
Якщо
--- Ядро підгрупи
Мінімальна нормальна підгрупа групи
Якщо
Підгрупи
Групу
Монолітичних група --- непоодинокі група, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу.
Група Шмідта --- це кінцева ненільпотентная група, всі власні групи якої нільпотентні.
Додаванням до підгрупи
Ланцюг --- це сукупність вкладених одна в одну підгруп.
Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю.
Ряд підгруп
субнормальний, якщо
нормальним, якщо
головним, якщо
Клас груп --- сукупність груп, що містить з кожною своєю групою
Формація --- клас груп, замкнутий щодо факторгрупою і подпрямих творів.
Якщо
де
Якщо
Якщо
Якщо
Якщо
(1) кожен фактор
(2) якщо порядок фактора
Введення
Відомо, що будь-яка кінцева група виду , Де і --- -Замкнуті підгрупи та індекси , не діляться на деякий просте число , Є -Замкнутою.У роботі [38] В.М. Тютянов довів, що будь-яка кінцева група виду , Де і --- -Нільпотентні підгрупи та індекси , не діляться на деякий просте число , Є -Нільпотентні групою.
У зв'язку з цим результатом можна сформулювати наступну проблему.
Проблема. Класифікувати спадкові насичені формації , Що містять будь-яку групу , Де і належать і містить деяку сіловскую підгрупу групи .
У цьому розділі в класі вирішуваних груп для спадкової формації Фиттинг дана проблема вирішена повністю.
1. Опис -Формацій Шеметкова
Важливу роль при отриманні основних результатів даної глави зіграли формації Шеметкова, тобто такі формації , В яких будь мінімальна не -Група є або групою Шмідта, або групою простого порядку.
Вперше спадкові насичені розв'язні формації Шеметкова були описані в роботі [22]. Потім у роботах [9] та [50, 51] були описані довільні спадкові насичені формації Шеметкова.
Визначення. Формація називається -Формацією Шеметкова, якщо будь-яка мінімальна не -Група --- або група простого порядку, або група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою.
Наведемо приклад -Формацій Шеметкова.
1.1 Приклад. Якщо --- Формація всіх -Нільпотентних груп, то --- -Формація Шеметкова.
Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Відомо, що група є розв'язною. Покажемо, що є групою Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою. Так як НЕ -Нільпотентна група, то . Нехай . Згідно з теоремою 2.2.5, , Де --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа, --- Примарна -Група, , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Покажемо, що . Дійсно, якщо , То з того факту, що -Нільпотентна, а значить і так само -Нільпотентна, випливає, що -Нільпотентна, що неможливо. Відомо, що формацію можна представити у вигляді . Згідно лемі 2.2.20, . Очевидно, що будь-яка мінімальна не -Група є група простого порядку . Отже, --- Група Шмідта. Нехай . Вище показано, що --- Група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою. Тепер, на увазі леми 2.2.2 і леми 4.1.1, є групою Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою. А це означає, що --- -Формація Шеметкова.
1.2 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай , , --- Непусті формації. Тоді .
Доказ. Нехай --- Довільна група з . Тоді . Звідси випливає, що і . А це означає, що .
Нехай --- Довільна група з . Звідси випливає, що і . Тоді і . Отже, . А це означає, що . Лема доведена.
Нехай --- Насичена формація, а --- Її максимальний внутрішній локальний екран, --- Характеристика формації . Позначимо через --- Безліч простих чисел з таких, що , Де --- Просте число з .
1.3 Лема. Нехай --- Насичена формація, --- Її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді
Доказ. Відомо, що для будь-насиченою формації справедливо наступне рівність
Звідси випливає, що
За лемі 5.1.2,
Лема доведена.
1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація. Тоді наступні твердження еквівалентні:
1) --- -Формація Шеметкова;
2) , Де і .
Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2). З леми 5.1.3 випливає, що будь-яку насичену формацію можна представити у вигляді
де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Покажемо, що якщо --- -Формація Шеметкова, то
Дійсно, очевидно, що
Покажемо зворотне включення. Нехай --- Група найменшого порядку з
Так як --- Спадкова формація, то .
Так як --- Насичена формація, то . Неважко показати, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу і . Згідно з умовою, або група простого порядку, або група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою.
Нехай . Так як , То . Звідси випливає, що . Протиріччя.
Нехай --- Група Шмідта і , Де . Очевидно, що . Тоді з випливає, що . А це означає, що . Так як , То . Але тоді . Так як --- Повний екран, то . Так як --- Внутрішній екран, то . Отримали протиріччя.
Покажемо, що з 2) слід 1).
Нехай . Згідно з умовою, --- Здійсненне група. Нехай . Очевидно, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу , Причому --- -Група і . Згідно з теоремою 2.2.5, , Де , --- Повний локальний екран формації . Згідно лемі 2.2.20, . А це означає, що , Де . Звідси неважко помітити, що --- Група Шмідта. Згідно лемі 2.2.21, --- Або група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою, або група простого порядку. Теорема доведена.
1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена -Формація Шеметкова. Тоді містить будь-яку -Розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на .
Доказ. Доказ проведемо від супротивного. Тоді неважко довести, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу , Причому і . Так як --- -Здійсненне група, то або --- -Група, або -Група. Якщо --- -Група, то з того, що випливає, що . Протиріччя.
Нехай --- -Група. Згідно з умовою, і . Так як і , То . Звідси випливає, що . Аналогічним чином отримуємо, що . Звідси і група . А це означає, що . Отримали протиріччя. Теорема доведена.
У роботі [33] було доведено, що будь-яка спадкова насичена формація Шеметкова замкнута щодо твору -Субнормальних -Підгруп. Для спадкових насичених -Формацій Шеметкова справедлива наступна теорема.
1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена -Формація Шеметкова. Тоді містить будь-яку групу , Де і --- -Підгрупи, індекси , не діляться на і або , Або -Субнормальний в .
Доказ. Нехай --- Спадкова насичена -Формація Шеметкова. Тоді, згідно теоремі 5.1.4, вона має наступну будову:
де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число .
Нехай --- Група найменшого порядку, яка не належить , Така, що , Де і --- -Підгрупи, індекси , не діляться на і -Субнормальная в .
Неважко показати, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу .
Так як --- Насичена формація, то .
Нехай --- Абелева група і --- -Група. Якщо , То з того факту, що , Випливає, що . Протиріччя.
Якщо --- -Група, то, як і в теоремі 5.1.5, можна показати, що . Протиріччя.
Нехай --- Неабелевих група. У цьому випадку
z \ неабелевих простих груп і .
Розглянемо підгрупу . Так як --- Власна -Субнормальная підгрупа групи і , То неважко показати, що . Розглянемо підгрупу . За тотожності Дедекінда
Очевидно, що --- -Субнормальная підгрупа . Так як --- Спадкова формація і , То . Очевидно, що індекси , не діляться на . Тоді по індукції, . Якщо , То . Отримали протиріччя. Значить, . Так як --- Нормальна підгрупа з , То --- Нормальна підгрупа з . Але тоді
де --- Ізоморфні неабелевих прості групи, . Так як і --- Спадкова формація, то . Звідси неважко показати, що . Якщо ділиться на , То з того, що , випливає, що --- Нормальна підгрупа групи . Протиріччя. Якщо --- -Група, то ясно, що . Протиріччя. Теорема доведена.
2. Опис -Формацій Шеметкова
Введемо таке визначення.Визначення. Формація називається -Формацією Шеметкова, якщо будь-яка мінімальна не -Група --- або група Шмідта з ненормальною циклічної -Сіловской підгрупою, або група простого порядку.
Наведемо приклад -Формацій Шеметкова.
2.1 Приклад. У класі кінцевих розв'язаних груп формація всіх -Замкнутих груп є -Формацією Шеметкова.
Дійсно. Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Так як НЕ -Замкнута, то . Нехай . Згідно з теоремою 2.2.5, , Де --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа з , --- -Група, , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Покажемо, що . Дійсно, в іншому випадку, з того факту, що -Замкнута і -Замкнута, випливає, що -Замкнута. Отримуємо протиріччя. Відомо, що формацію можна представити у вигляді . Згідно лемі 2.2.20, формація має максимальний внутрішній локальний екран такий, що . Очевидно, що будь-яка мінімальна не -Група є група простого порядку . Отже, --- Група Шмідта з ненормальною циклічної підгрупою простого порядку . Нехай . Вище показано, що --- Група Шмідта з ненормальною циклічної -Сіловской підгрупою. Згідно лемі 3.1.1, --- Група Шмідта з ненормальною циклічної -Сіловской підгрупою. Отже, --- -Формація Шеметкова.
2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація. Тоді наступні твердження еквівалентні:
1) --- -Формація Шеметкова;
2) , Де і .
Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2).
Ясно, що формація є формацією Шеметкова. Тоді, згідно лемі 2.2.22, ця формація має наступну будову:
де --- Максимальний внутрішній локальний екран . Спочатку доведемо, що , Де --- Будь-яке просте число з . Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться просте число , Але . Позначимо через групу простого порядку . Очевидно, що і . Так як , То існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай . Покажемо, що . Так як точний, то . Так як , То, очевидно, що . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Так як і , То неважко помітити, що . Отже, . Так як , То це неможливо з огляду на те, що --- -Формація Шеметкова. Отже, для будь-якого з . Звідси, зокрема, випливає, що . Враховуючи дані факти, неважко показати, що рівність (5.1) приймає наступний вигляд:
Використовуючи лему 5.1.2, рівність (5.2) приводиться до вигляду:
де --- Деякий безліч простих чисел, що містить число .
Покажемо, що з 2) слід 1).
Дійсно, що --- Довільна мінімальна не -Група. Згідно з умовою, можна вирішити. Нехай . Згідно з теоремою 2.2.5, , Де --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа, --- -Група і , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо , То з того факту, що , Випливає, що . Отримали протиріччя. Тоді . Згідно лемі 2.2.20, насичена формація має повний локальний екран такий, що . Очевидно, що . Так як , То очевидно, що . Отже, будь-яка мінімальна не -Група з або група простого порядку, або група Шмідта з ненормальною -Сіловской підгрупою. Згідно лемі 2.2.21, це ж вірно, коли . Отже, --- -Формація Шеметкова. Теорема доведена.
2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена -Формація Шеметкова. Формація містить будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на , Тільки в тому випадку, коли --- Формація -Замкнутих груп.
Доказ. Нехай --- -Формація Шеметкова. Згідно з теоремою 5.2.2, вона має наступну будову:
де . Якщо , То --- Формація -Замкнутих груп. Так як індекси , не діляться на , То і містять сіловскую -Підгрупу групи . За умовою, і -Замкнуті. Звідси випливає, що -Замкнута. Нехай безліч містить просте число . Покажемо, що в цьому випадку твердження леми невірно. Нехай --- Група порядку . Нехай --- Просте число, відмінне від і . Так як , То існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай . Так як і має єдину мінімальну нормальну підгрупу, то згідно лемі 2.2.18, існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай . Так як , То, як і вище, існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай .
Розглянемо наступні дві підгрупи: і . Ясно, що . Підгрупи і -Замкнуті, причому індекси , не діляться на . Якби група була б -Замкнута, то тоді була б нормальною підгрупою в групі , Що неможливо. Отже, твердження леми вірно тільки тоді, коли . Лема доведена.
2.4 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай --- -Здійсненне група, , Де , , Індекси , не діляться на . Тоді .
Доказ. Доказ проведемо індукцією по порядку . Нехай --- Мінімальна нормальна підгрупа . Так як --- -Здійсненне група, то або -Група, або -Група. Якщо --- -Група, то . Згідно індукції, . Отримали протиріччя.
Нехай --- -Група. Так як , не діляться на , То . Так як --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи і , То . Розглянемо підгрупу . Так як , --- -Група, , То неважко показати, що --- -Група. Так як , То --- -Замкнута група. Аналогічним чином можна довести, що --- -Замкнута група. Звідси випливає, що --- -Замкнута група. А це означає, що . Отримаємо протиріччя. Лема доведена.
3. Критерій приналежності груп, факторізуемих підгрупами, індекси яких не діляться на деякий просте число, спадково насиченим формаціям
У даному розділі в класі вирішуваних груп отримано опис спадкових формацій Фиттинг , Що містять будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на деяке фіксоване просте число .3.1 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація, яка містить будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на деяке фіксоване просте число . Тоді будь-яка вирішувана мінімальна не -Група належить одному з наступних типів:
1) --- Група простого порядку , Де ;
2) --- Група Шмідта;
3) , Де , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації , --- Просте число відмінне від ;
4) , , , Де --- -Замкнута група, , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації , --- Просте число відмінне від .
Доказ. Нехай --- Довільна здійсненне мінімальна не -Група. Якщо , То неважко показати, що --- Група простого порядку , Причому .
Нехай . Покажемо, що --- Біпрімарная -Підгрупа. Дійсно, якщо --- Примарна група, то з насиченості формації випливає, що . Протиріччя. Нехай . Так як --- Здійсненне група, то неважко показати, що , Де , Індекси , не діляться на . Згідно з умовою, . Отримали протиріччя. Отже, .
Нехай --- Мінімальна нормальна підгрупа . Якщо --- -Група, то . Розглянемо випадок, коли . Покажемо, що в цьому випадку --- Група Шмідта. Спочатку доведемо, що --- Циклічна група. Дійсно, у противному випадку , Де і --- Максимальні підгрупи . Тоді . Так як , не діляться на , , То . Протиріччя. Отже, --- Циклічна група, . Нехай . Покажемо, що . Припустимо протилежне. Нехай , Де . Нехай і --- Циклічні групи відповідно порядків і . Позначимо через регулярне сплетіння . І нехай --- База сплетення, т. е. . Так як деяка підгрупа групи ізоморфна , То . Очевидно, що підгрупи , належать формації .
Нехай , Де . Позначимо через базу сплетення . Тоді
Легко бачити, що .
Так як індекси і не діляться на , То . Але , І тому
Отримане протиріччя показує, що . Отже, довели, що --- Група Шмідта. Згідно лемі 2.2.21, --- Група Шмідта. Отже, --- Група типу 2).
Нехай --- -Група і . Нехай . Тоді, згідно теоремі 2.2.5, , Де , , --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Так як , То --- -Група. Нехай . Тоді розглянемо підгрупу . Так як --- Власна підгрупа , То . Так як , То не ділиться на . Так як --- Здійсненне група, то . Але тоді в існує максимальна підгрупа така, що . Розглянемо підгрупу . Так як --- Власна підгрупа , То . Неважко помітити, що не ділиться на і . Тепер, згідно з умовою, . Отримали протиріччя. Отже, довели, що , Тобто --- -Замкнута група. Отже, - Група типу 4).
Нехай тепер --- -Група. Тоді . Покажемо, що . Припустимо, що . Нехай . Тоді в знайдеться максимальна підгрупа така, що . Розглянемо підгрупу . Так як і --- Власні підгрупи , То вони належать . Очевидно, що , не діляться на і . Тоді, згідно з умовою, . Протиріччя. Звідси випливає, що --- -Замкнута, але тоді --- -Замкнута. Той факт, що ( --- Максимальний внутрішній локальний екран ) Випливає з теореми 2.2.5. Отже, --- Група типу 3). Лема доведена.
3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай --- Тотально насичена формація, яка містить будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на деяке фіксоване просте число . Тоді будь-яка вирішувана мінімальна не -Група належить одному з наступних типів:
1) --- Група простого порядку , Де ;
2) --- Група Шмідта;
3) --- Група Шмідта;
4) , Де і , Де --- Група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою, --- Просте число відмінне від .
Доказ. Згідно лемі 5.3.1, будь-яка мінімальна не -Група є група типу 1) - 4) з леми 5.3.1.
Нехай --- Група типу 3) з леми 5.3.1. Тоді . Нехай --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Так як --- Тотально насичена формація, то --- Насичена формація. Згідно лемі . Нехай . Так як --- Насичена формація, то , Що неможливо. Отже, . А це означає, що --- Група простого порядку . Але тоді неважко помітити, що --- Група Шмідта. Згідно лемі 2.2.21, --- Група Шмідта.
Нехай --- Група типу 4) з леми 5.3.1. Тоді
де . Покажемо, що --- Група Шмідта. Так як --- Тотально насичена формація, то --- Насичена формація. З причини леми 2.2.21, при доказі тверджень, можемо вважати, що . Нехай --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Згідно з теоремою 2.2.5,
де .
Так як --- Тотально насичена формація, то є насиченою формацією. Як і вище, неважко довести, що . Звідси випливає, що --- Група Шмідта. Лема доведена.
3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова здійсненне формація Фиттинг, --- Деяке фіксоване просте число. Тоді і тільки тоді містить будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на деякий просте число , Коли є перетин деяких класів груп одного з наступних типів:
1) клас всіх розв'язаних -Замкнутих груп;
2) клас всіх розв'язаних груп з -Довжиною ;
3) клас всіх розв'язаних груп таких, що --- -Група, де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число .
Доказ. Необхідність. Згідно з результатами роботи [33] є тотально насиченою формацією. Тепер можна застосувати результати леми 5.3.2.
Нехай будь-яка мінімальна не -Група є група типу 1), 2) з леми 5.3.2. Тоді є -Формацією Шеметкова. Згідно з теоремою 5.1.4 , Де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число .
Нехай будь-яка мінімальна не -Група є групою типу 1), 3). Тоді --- -Формація Шеметкова. Згідно з теоремою 5.2.2, вона має наступну будову:
де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число . Згідно лемі 5.2.3, . А це означає, що .
Нехай будь-яка мінімальна не -Група --- група типу 1), 4). Нехай --- Максимальний внутрішній локальний екран формації .
Відомо, що
Покажемо, що для будь-якого простого числа з , Відмінного від , . Припустимо протилежне. Нехай --- Група найменшого порядку з . Так як --- Спадкова формація, то . Так як --- Тотально насичена формація, то --- Насичена формація. Звідси неважко показати, що . Очевидно, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу , Причому . Так як --- Повний екран, то . А значить, --- -Група, де .
Згідно лемі 2.2.18, існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай . Покажемо, що . Так як точний, то . Так як , То очевидно, що . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Якщо , То . Звідси випливає, що . А значить, . Нехай . Тоді , Де --- Деяка максимальна підгрупа з . Так як , То . Так як , То з повноти екрану випливає, що . Так як --- Внутрішній екран, то . Отже, . Остання суперечить тому, що --- Група типу 4) з леми 5.3.2.
Отже, для будь-якого з . Тоді
Звідси неважко помітити, що
Розглянемо насичену формацію . Так як будь-яка мінімальна не -Група або група простого порядку, або група Шмідта з ненормальною циклічної -Сіловской підгрупою, то --- -Формація Шеметкова. Згідно з теоремою 5.2.2,
де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число . Отже,
Як і в лемі 5.2.3 можна показати, що . Отже, --- Формація з пункту 3).
Неважко показати, що формація , У якої будь-яка мінімальна не -Група є група одного з типів 1), 2), 3), 4) леми 5.3.2, тобто перетин деяких формацій з пунктів 1), 2), 3) даної теореми.
Достатність випливає з теореми 5.1.5 та леми 5.2.4. Теорема доведена.
Висновок
У главі 1 отримано опис спадкових насичених -Формацій Шеметкова, теорема 1.4, і знайдений ряд властивостей таких формацій, теорема 1.6.У розділі 2 отримано опис спадкових насичених -Формацій Шеметкова, теорема 2.2.
У розділі 3 в класі кінцевих розв'язаних груп отримано опис спадкових формацій Фиттинг , Замкнутих щодо твору -Підгруп, індекси яких не діляться на деяке фіксоване просте число, теорема 3.3.
Список використаних джерел
1. Васильєв, А.Ф. Про максимальну спадкової подформаціі локальної формації / А.Ф. Васильєв / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во народного обр. БРСР, Гомельський держ. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Мінськ: Університетське, 1990. - Вип. 5. - С. 39 - 45.2. Васильєв, А.Ф. Про грати підгруп кінцевих груп / А.Ф. Васильєв, С.Ф. Каморніков, В.М. Семенчук / / Нескінченні групи і примикають алгебраїчні системи / Ін-т математики Акад. Україна, Македон.: Н.С. Черніков [и др.]. - Київ, 1993. - С. 27 - 54.
3. Васильєв, А.Ф. Про вплив Примарна
4. Васильєва, Т.І. Про кінцевих групах з -Досяжними сіловскімі підгрупами / Т.І. Васильєва, А.І. Прокопенко. - Гомель, 2006. - 18 с. - (Препринт / Гомельський держ. Ун-т ім. Ф. Скорини, № 4).
5. Ведерніков, В.А. Про локальних формаціях кінцевих груп / В.А. Ведерников / / матем. нотатки. - 1989. - Т. 46, № 3. - С. 32 - 37.
6. Казарін, Л.С. Ознаки непростоту факторізуемих груп / Л.С. Казарін / / Известия АН СРСР. - 1980. - Т. 44, № 2. - С. 288 - 308.
7. Казарін, Л.С. Про творі кінцевих груп / Л.С. Казарін / / ДАН СРСР. - 1983. - Т. 269, № 3. - С. 528 - 531.
8. Каморніков, С.Ф. Про деякі властивості формацій квазінільпотентних груп / С.Ф. Каморніков / / матем. нотатки. - 1993. - Т. 53, № 2. - С. 71 - 77.
9. Каморніков, С.Ф. Про двох проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморніков / / Сибір. мат. журнал. - 1994. - Т. 35, № 4. - С. 801 - 812.
10. Коуровская зошит (невирішені питання теорії груп) / / Інститут математики СВ АН СРСР. - Новосибірськ, 1992. - 172 с.
11. Коуровская зошит (невирішені питання теорії груп) / / Інститут математики СВ РАН. - Новосибірськ, 1999. - 146 с.
12. Легчекова, Є.В. Кінцеві групи з заданими слабо квазінормальнимі підгрупами / Є.В. Легчекова, О.М. Скиба, О.В. Тітов / / Доповіді НАН Білорусі. - 2007. - Т. 51, № 1. - С. 27 - 33.
13. Монахов, В.С. Твір кінцевих груп, близьких до нільпотентних / В.С. Монахов / / Кінцеві групи. - 1975. - С. 70 - 100.
14. Монахов, В.С. Про творі двох розв'язаних груп з максимальним перетином чинників / В.С. Монахов / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во вищ. і порівн. спец. обр. БРСР, Гомельський держ. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Мінськ: Університетське, 1985. - Вип. 1. - С. 54 - 57.
15. Мокеева, С.А. Кінцеві групи з переставних -Субнормальний ( -Досяжними) підгрупами / С.А. Мокеева. - Гомель, 2003. - 25 с. - (Препринт / Гомельський держ. Ун-т ім. Ф. Скорини, № 56).
16. Прокопенко, А.І. Про кінцевих групах з -Досяжними сіловскімі підгрупами / А.І. Прокопенко / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 2004. - № 6 (27). - С. 101 - 103.
17. Семенчук, В.М. Про мінімальні НЕ -Групах / В.М. Семенчук / / ДАН УРСР. - 1978. - № 7. - С. 596 - 599.
18. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з заданими властивостями підгруп / В.М. Семенчук / / ДАН УРСР. - 1979. - № 1. - С. 11 - 15.
19. Семенчук, В.М. Мінімальні НЕ -Групи / В.М. Семенчук / / Алгебра і логіка. - 1979. - Т. 18, № 3. - С. 348 - 382.
20. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з системою мінімально не -Підгруп / В.М. Семенчук / / підгруповий будова кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ: Наука і техніка, 1981. - С. 138 - 149.
21. Семенчук, В.М. Мінімальні НЕ -Групи / В.М. Семенчук / / Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ: Наука і техніка, 1984. - С. 170 - 175.
22. Семенчук, В.М. Характеризація локальних формацій за заданими властивостями мінімально не -Груп / В.М. Семенчук, А.Ф. Васильєв / / Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ: Наука і техніка, 1984. - С. 175 - 181.
23. Семенчук, В.М. Опис розв'язаних мінімально не -Груп для довільної тотально локальної формації / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1988. - Т. 43, № 4. - С. 251 - 260.
24. Семенчук, В.М. Про розв'язаних мінімально не -Групах / В.М. Семенчук / / Питання алгебри. - Мінськ: Університетське, 1987. - Вип. 3. - С. 16 - 21.
25. Семенчук, В.М. Роль мінімально не -Груп в теорії формацій / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1991. - Т. 98, № 1. - С. 110 - 115.
26. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з -Абнормальної або -Субнормальний підгрупами / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1994. - Т. 56, № 6. - С. 111 - 115.
27. Семенчук, В.М. Розв'язні тотально локальні формації / В.М. Семенчук / / Сибір. мат. журн. - 1995. - Т. 36, № 4. - С. 861 - 872.
28. Семенчук, В.М. Розв'язні -Радикальні формації / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1996. - Т. 59, № 2. - С. 261 - 266.
29. Семенчук, В.М. Про одну проблему в теорії формацій / В.М. Семенчук / / Весцi АН Беларусi. - 1996. - № 3. - С. 25 - 29.
30. Семенчук, В.М. Про розв'язаних тотально локальних формаціях / В.М. Семенчук / / Питання алгебри. - 1997. - № 11. - С. 109 - 115.
31. Семенчук, В.М., Поляков Л.Я. Характеризація мінімально не -Груп / В.М. Семенчук / / Звістки вищих навчальних закладів. - 1998. - № 4 (431). - С. 1 - 4.
32. Семенчук, В.М. Класифікація локальних спадкових формацій критичні групи яких біпрімарни / В.М. Семенчук / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 1999. - № 1 (15). - С. 153 - 162.
33. Семенчук, В.М. Надрадикальних формації / В.М. Семенчук, Л.А. Шеметков / / Доповіді НАН Білорусі. - 2000. - Т. 44, № 5. - С. 24 - 26.
34. Семенчук, В.М. Кінцеві групи, факторізуемие -Досяжними підгрупами / В.М. Семенчук, С.А. Мокеева / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 2002. - № 5 (14). - С. 47 - 49.
35. Скиба, О.М. Про один клас локальних формацій кінцевих груп / О.М. Скиба / / ДАН УРСР. - 1990. - Т. 34, № 11. - С. 382 - 385.
36. Скиба, О.М. Алгебра формацій / О.М. Скиба. - Мінськ: Беларуская навука, 1997. - 240 с.
37. Старостін, А.І. Про мінімальні групах, що не володіють даними властивістю / А.І. Старостін / / матем. нотатки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 33 - 37.
38. Тютянов, В.М. Факторизації -Нільпотентних співмножники / В.М. Тютянов / / матем. СБ - 1996. - Т. 187, № 9. - С. 97 - 102.
39. Чуніхін, С.А. Про спеціальних групах / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1929. - Т. 36, № 2. - С. 135 - 137.
40. Чуніхін, С.А. Про спеціальних групах / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1933. - Т. 40, № 1. - С. 39 - 41.
41. Чуніхін, С.А. Про групи з наперед заданими підгрупами / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1938. - Т. 4 (46), № 3. - С. 521 - 530.
42. Чуніхін, С.А. Про існування підгруп у кінцевої групи / С.А. Чуніхін / / Праці семінару з теорії груп. - Гонти, М. - Л.. - 1938. - С. 106 - 125.
43. Чуніхін, С.А. Підгрупи кінцевих груп / С.А. Чуніхін. - Мінськ: Наука і техніка, 1964. - 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формації кінцевих груп / Л.А. Шеметков. - М.: Наука, 1978. - 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Екрани твори формацій / Л.А. Шеметков / / ДАН УРСР. - 1981. - Т. 25, № 8. - С. 677 - 680.
46. Шеметков, Л.А. Про творі формацій / Л.А. Шеметков / / ДАН УРСР. - 1984. - Т. 28, № 2. - С. 101 - 103.
47. Шеметков, Л.А. Формації алгебраїчних систем / Л.А. Шеметков, О.М. Скиба. - М.: Наука, 1989. - 256 с.
48. Шмідт, О.Ю. Групи, все підгрупи яких спеціальні / О.Ю. Шмідт / / матем. СБ - 1924. - Т. 31, № 3. - С. 366 - 372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -Subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1992. - Vol. 148, № 2. - P. 42 - 52.
50. Ballester-Bolinches, A. On -Critical groups / A. Ballester-Bolinches, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1995. - Vol. 174. - P. 948 - 958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of LA Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1996. - Vol. 179. - P. 905 - 917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, LM Ezquerro. - Springer, 2006. - 385 p.
53. Bryce, RA Fitting formations of finite soluble groups / RA Bryce, J. Cossey / / Math. Z. - 1972. - Bd. 127, № 3. - S. 217 - 233.
54. Carter, RO The -Normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes / / J. Algebra. - 1967. - Vol. 5, № 2. - Р. 175 - 202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes / / J. Algebra. - 1968. - Vol. 9, № 3. - P. 285 - 313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk / / Math. Z. - 1966. - Vol. 91. - P. 198 - 205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. - Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1992. - 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman / / J. Algebra. - 1983. - Vol. 80, № 2. - P. 517 - 536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen / / Math. Z. - 1963. - Vol. 80, № 4. - P. 300 - 305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. - Dordrecht - Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, KP Shum, AN Skiba / / J. Algebra. - 2007. - Vol. 315. - P. 31 - 41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall / / Proc. London Math. Soc. - 1928. - Vol. 3. - P. 98 - 105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall / / Proc. London Math. Soc. - 1937. - Vol. 43. - P. 316 - 323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes / / Math. Z. - 1970. - Vol. 117. - P. 177 - 182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert / / Math. Z. - 1954. - Vol. 60. - P. 409 - 434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito / / Kodai Math. Seminar Report. - 1951. - Vol. 1 - 2. - P. 1 - 6.
67. Kazarin, LS Product of two solvable subgroups / LS Kazarin / / Comm. Algebra. - 1986. - Vol. 14, № 6. - P. 1001 - 1066.
68. Kegel, OH Produkte nilpotenter Gruppen / / Arch. Math. - 1961. - Vol. 12, № 2. - P. 90 - 93.
69. Kegel, OH Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / OH Kegel / / Arch. Math. - 1978. - Bd. 30, № 3. - S. 225 - 228.
70. Miller, GA Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / GA Miller, HC Moreno / / Trans. Amer. Math. Soc. - 1903. - Vol. 4. - P. 398 - 404.
71. Semenchuk, VN Finite groups with permutable -Subnormal and -Accessible subgroups / VN Semenchuk, SA Mokeeva / / 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4 - 9. - 2003. - P. 153 - 154.
72. Thompson, JG Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / JG Thompson / / Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 74. - P. 383 - 437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen / / H. Wielandt / / Math. Z. - 1939. - Bd. 45. - S. 209 - 244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen / / H. Wielandt / / Math. Z. - 1958. - Bd. 69, № 8. - S. 463 - 465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt / / Illinois Journ. - 1958. - Vol. 2, № 4B. - P. 611 - 618.
5. Ведерніков, В.А. Про локальних формаціях кінцевих груп / В.А. Ведерников / / матем. нотатки. - 1989. - Т. 46, № 3. - С. 32 - 37.
6. Казарін, Л.С. Ознаки непростоту факторізуемих груп / Л.С. Казарін / / Известия АН СРСР. - 1980. - Т. 44, № 2. - С. 288 - 308.
7. Казарін, Л.С. Про творі кінцевих груп / Л.С. Казарін / / ДАН СРСР. - 1983. - Т. 269, № 3. - С. 528 - 531.
8. Каморніков, С.Ф. Про деякі властивості формацій квазінільпотентних груп / С.Ф. Каморніков / / матем. нотатки. - 1993. - Т. 53, № 2. - С. 71 - 77.
9. Каморніков, С.Ф. Про двох проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморніков / / Сибір. мат. журнал. - 1994. - Т. 35, № 4. - С. 801 - 812.
10. Коуровская зошит (невирішені питання теорії груп) / / Інститут математики СВ АН СРСР. - Новосибірськ, 1992. - 172 с.
11. Коуровская зошит (невирішені питання теорії груп) / / Інститут математики СВ РАН. - Новосибірськ, 1999. - 146 с.
12. Легчекова, Є.В. Кінцеві групи з заданими слабо квазінормальнимі підгрупами / Є.В. Легчекова, О.М. Скиба, О.В. Тітов / / Доповіді НАН Білорусі. - 2007. - Т. 51, № 1. - С. 27 - 33.
13. Монахов, В.С. Твір кінцевих груп, близьких до нільпотентних / В.С. Монахов / / Кінцеві групи. - 1975. - С. 70 - 100.
14. Монахов, В.С. Про творі двох розв'язаних груп з максимальним перетином чинників / В.С. Монахов / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во вищ. і порівн. спец. обр. БРСР, Гомельський держ. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Мінськ: Університетське, 1985. - Вип. 1. - С. 54 - 57.
15. Мокеева, С.А. Кінцеві групи з переставних
16. Прокопенко, А.І. Про кінцевих групах з
17. Семенчук, В.М. Про мінімальні НЕ
18. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з заданими властивостями підгруп / В.М. Семенчук / / ДАН УРСР. - 1979. - № 1. - С. 11 - 15.
19. Семенчук, В.М. Мінімальні НЕ
20. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з системою мінімально не
21. Семенчук, В.М. Мінімальні НЕ
22. Семенчук, В.М. Характеризація локальних формацій
23. Семенчук, В.М. Опис розв'язаних мінімально не
24. Семенчук, В.М. Про розв'язаних мінімально не
25. Семенчук, В.М. Роль мінімально не
26. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з
27. Семенчук, В.М. Розв'язні тотально локальні формації / В.М. Семенчук / / Сибір. мат. журн. - 1995. - Т. 36, № 4. - С. 861 - 872.
28. Семенчук, В.М. Розв'язні
29. Семенчук, В.М. Про одну проблему в теорії формацій / В.М. Семенчук / / Весцi АН Беларусi. - 1996. - № 3. - С. 25 - 29.
30. Семенчук, В.М. Про розв'язаних тотально локальних формаціях / В.М. Семенчук / / Питання алгебри. - 1997. - № 11. - С. 109 - 115.
31. Семенчук, В.М., Поляков Л.Я. Характеризація мінімально не
32. Семенчук, В.М. Класифікація локальних спадкових формацій критичні групи яких біпрімарни / В.М. Семенчук / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 1999. - № 1 (15). - С. 153 - 162.
33. Семенчук, В.М. Надрадикальних формації / В.М. Семенчук, Л.А. Шеметков / / Доповіді НАН Білорусі. - 2000. - Т. 44, № 5. - С. 24 - 26.
34. Семенчук, В.М. Кінцеві групи, факторізуемие
35. Скиба, О.М. Про один клас локальних формацій кінцевих груп / О.М. Скиба / / ДАН УРСР. - 1990. - Т. 34, № 11. - С. 382 - 385.
36. Скиба, О.М. Алгебра формацій / О.М. Скиба. - Мінськ: Беларуская навука, 1997. - 240 с.
37. Старостін, А.І. Про мінімальні групах, що не володіють даними властивістю / А.І. Старостін / / матем. нотатки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 33 - 37.
38. Тютянов, В.М. Факторизації
39. Чуніхін, С.А. Про спеціальних групах / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1929. - Т. 36, № 2. - С. 135 - 137.
40. Чуніхін, С.А. Про спеціальних групах / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1933. - Т. 40, № 1. - С. 39 - 41.
41. Чуніхін, С.А. Про групи з наперед заданими підгрупами / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1938. - Т. 4 (46), № 3. - С. 521 - 530.
42. Чуніхін, С.А. Про існування підгруп у кінцевої групи / С.А. Чуніхін / / Праці семінару з теорії груп. - Гонти, М. - Л.. - 1938. - С. 106 - 125.
43. Чуніхін, С.А. Підгрупи кінцевих груп / С.А. Чуніхін. - Мінськ: Наука і техніка, 1964. - 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формації кінцевих груп / Л.А. Шеметков. - М.: Наука, 1978. - 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Екрани твори формацій / Л.А. Шеметков / / ДАН УРСР. - 1981. - Т. 25, № 8. - С. 677 - 680.
46. Шеметков, Л.А. Про творі формацій / Л.А. Шеметков / / ДАН УРСР. - 1984. - Т. 28, № 2. - С. 101 - 103.
47. Шеметков, Л.А. Формації алгебраїчних систем / Л.А. Шеметков, О.М. Скиба. - М.: Наука, 1989. - 256 с.
48. Шмідт, О.Ю. Групи, все підгрупи яких спеціальні / О.Ю. Шмідт / / матем. СБ - 1924. - Т. 31, № 3. - С. 366 - 372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of
50. Ballester-Bolinches, A. On
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of LA Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1996. - Vol. 179. - P. 905 - 917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, LM Ezquerro. - Springer, 2006. - 385 p.
53. Bryce, RA Fitting formations of finite soluble groups / RA Bryce, J. Cossey / / Math. Z. - 1972. - Bd. 127, № 3. - S. 217 - 233.
54. Carter, RO The
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes / / J. Algebra. - 1968. - Vol. 9, № 3. - P. 285 - 313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk / / Math. Z. - 1966. - Vol. 91. - P. 198 - 205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. - Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1992. - 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman / / J. Algebra. - 1983. - Vol. 80, № 2. - P. 517 - 536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen / / Math. Z. - 1963. - Vol. 80, № 4. - P. 300 - 305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. - Dordrecht - Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, KP Shum, AN Skiba / / J. Algebra. - 2007. - Vol. 315. - P. 31 - 41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall / / Proc. London Math. Soc. - 1928. - Vol. 3. - P. 98 - 105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall / / Proc. London Math. Soc. - 1937. - Vol. 43. - P. 316 - 323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes / / Math. Z. - 1970. - Vol. 117. - P. 177 - 182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert / / Math. Z. - 1954. - Vol. 60. - P. 409 - 434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito / / Kodai Math. Seminar Report. - 1951. - Vol. 1 - 2. - P. 1 - 6.
67. Kazarin, LS Product of two solvable subgroups / LS Kazarin / / Comm. Algebra. - 1986. - Vol. 14, № 6. - P. 1001 - 1066.
68. Kegel, OH Produkte nilpotenter Gruppen / / Arch. Math. - 1961. - Vol. 12, № 2. - P. 90 - 93.
69. Kegel, OH Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / OH Kegel / / Arch. Math. - 1978. - Bd. 30, № 3. - S. 225 - 228.
70. Miller, GA Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / GA Miller, HC Moreno / / Trans. Amer. Math. Soc. - 1903. - Vol. 4. - P. 398 - 404.
71. Semenchuk, VN Finite groups with permutable
72. Thompson, JG Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / JG Thompson / / Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 74. - P. 383 - 437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen / / H. Wielandt / / Math. Z. - 1939. - Bd. 45. - S. 209 - 244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen / / H. Wielandt / / Math. Z. - 1958. - Bd. 69, № 8. - S. 463 - 465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt / / Illinois Journ. - 1958. - Vol. 2, № 4B. - P. 611 - 618.