Подання кінцевих груп

Курсова робота

"Уявлення кінцевих груп"

Зміст

Основні позначення

Введення

1. Подання кінцевих груп

1.1 Подання груп

1.2 Уявлення унітарними матрицями і повна приводимості уявлень кінцевих груп

1.3 Лемма Шура

1.4 Співвідношення ортогональності для характерів

1.5 Індуковані подання

1.6 Твір уявлень

Висновок

Список використаних джерел

Основні позначення

Введення

У даній роботі наведені докази наступних теорем:

Теорема. Непорожнє підмножина групи буде підгрупою тоді й тільки тоді, коли і для всіх .

Групою називається непорожня безліч з бінарної алгебраїчної операцією (множенням), яка задовольняє наступним вимогам:

1) операція визначена на , Тобто для всіх ;

2) операція асоціативна, тобто для будь-яких ;

3) у існує одиничний елемент, тобто такий елемент , Що для всіх , Що для всіх ;

4) кожен елемент володіє зворотним, тобто для будь-якого існує такий елемент , Що .

Більш коротко: півгрупа з одиницею, в якій кожен елемент володіє зворотним, називається групою.

Групу з комутативної операцією називають комутативної або абелевих. Якщо - Кінцеве безліч, що є групою, то називають кінцевою групою, а число елементів в - Порядком групи .

Підмножина групи називається підгрупою, якщо - Група щодо тієї ж операції, яка визначена на . Запис означає, що - Підгрупа групи , А - Що - Власна підгрупа групи , Тобто і .

Централизатор. Нехай - Непорожня підмножина групи . Сукупність усіх елементів групи , З перестановки з кожним елементом безлічі , Називається централізаторів безлічі в групі і позначається через .

Лемма

1. Якщо - Підмножина групи , То централизатор є підгрупою.

2. Якщо і - Підмножина групи і , То

3. Якщо - Підмножина групи і , То

Центр групи. Центром групи називається сукупність всіх елементів з , З перестановки з кожним елементом групи. Центр позначається через . Ясно, що , Тобто центр групи збігається з централізаторів підмножини в групі . Крім того, .

Зафіксуємо в групі елемент . Перетин всіх підгруп групи , Що містять елемент , Назвемо циклічної підгрупою, породженої елементом , І позначимо через .

Теорема. Циклічна подгрупппа , Породжена елементом , Складається з різноманітних цілих ступенів елемента , Тобто

Слідство. Циклічна підгрупа абелева.

Порядок елемента. Нехай - Елемент групи . Якщо всі ступені елемента різні, тобто для всіх цілих , То говорять, що елемента має нескінченний порядок.

Нормалізатор. Якщо - Непорожня підмножина групи і то і Елемент називається перестановки з підмножиною , Якщо . Рівність означає, що для будь-якого елементу існує такий елемент , Що . Якщо елемент перестановочен з підмножиною , То і . Сукупність усіх елементів групи , З перестановки з підмножиною , Називається нормалізатором підмножини в групі і позначається через . Отже,

Лемма. Нехай - Непорожня підмножина групи , - Довільний елемент групи . Тоді:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) якщо - Підгрупа групи , То

Підгрупа називається нормальною підгрупою групи , Якщо для всіх . Запис читається: » - Нормальна підгрупа групи «. Рівність означає, що для будь-якого елементу існує елемент такий, що .

Теорема. Для підгрупи групи наступні твердження еквівалентні:

1) - Нормальна підгрупа;

2) підгрупа разом з кожним своїм елементом містить все йому зв'язані елементи, тобто для всіх ;

3) підгрупа збігається з кожною своєю сполученої підгрупою, тобто для всіх .

Лемма. Нехай - Підгрупа групи . Тоді:

1) ;

2) якщо і , То ;

3) - Найбільша підгрупа групи , В якій нормальна;

4) якщо , То . Назад, якщо , То ;

5) для будь-якого непорожнього підмножини групи .

Проста група. У кожній групі тривіальні підгрупи (одинична підгрупа і сама група ) Є нормальними підгрупами. Якщо в непоодинокий групі немає інших нормальних підгруп, то група називається простий. Одиничну групу вважають непростою.

Подання кінцевих груп

1.1 Подання груп

Нехай - Група всіх невироджених матриць порядку над полем комплексних чисел. Якщо - Довільна група, то її (матричним) поданням називається будь-який її гомоморфізм в

G ,

такий, що

,

(Одинична матриця),

. Число n називається ступенем цього подання. Якщо гомоморфізм A іньектівен, то уявлення називається точним.

Приклад 1.1 Відображення, що переводить кожен елемент групи в , Є поданням ступеня . Воно називається тотожним поданням групи і позначається через .

Приклад 1.2 Якщо - Деяке уявлення групи , То для кожної невиродженої матриці відображення також є поданням цієї групи.

Нехай і - Два подання групи . Якщо існує невироджених матриця , Така, що що

,

то подання і називаються еквівалентними. Той факт, що уявлення і еквівалентні, ми будемо позначати так: . Ставлення визначає класи еквівалентних уявлень групи .

Приклад 1.3. Нехай - Симетрична група ступеня . Для елемента

через позначимо матрицю, рядок якої має вигляд , Де 1 стоїть на місці. Іншими словами,

де

Таке відображення є точним поданням групи .

1.4. Нехай -Кінцева група, що складається з елементів і нехай - Симетрична група на . Відображення, яке ставить у відповідність елементу підстановку

є ін'ектівним гомоморфізмом групи в . З такою підстановкою ми зв'яжемо матрицю

де, як і у прикладі ,

Тоді відображення є точним поданням групи . Воно називається правим регулярним поданням цієї групи. Визначимо наступним чином:

Тоді

і, якщо , То кожен діагональний елемент дорівнює нулю.

регулярне представлення групи визначається аналогічно з використанням гомоморфізму

Іншими словами,

Нехай - Деякий гомоморфізм з в , Тобто підстановлювальний подання групи . Представивши підстановку у вигляді матриці , Як це зроблено в прикладі 1.3, ми одержимо уявлення

Нехай - Представлення ступеня . Кажуть, що приводиться, якщо існує така невироджених матриця , Що

де і - Квадратні матриці порядку і відповідно, причому Зазначимо, що уявлення

еквівалентні, оскільки для матриці

Скажімо, що подання неприводимого, якщо воно не є приводиться. Відзначимо, що в (1.3) відображення і є поданні ступенів і відповідно.

Для заданих уявлень і групи ступенів і відповідно відображення

є подання ступеня цієї групи. Таке, уявлення називається прямою сумою уявлень і і позначається через .

Подання групи називається цілком приводиться, якщо воно еквівалентно прямий сумі деяких непріводімий уявлень, тобто якщо знайдеться невироджених матриця , Така, що

де кожне є непріводімим поданням групи .

1.2 Уявлення унітарними матрицями і повна приводимості уявлень кінцевих груп

Подання групи називається унітарною, якщо для всіх матриця є унітарною, тобто . Тут позначає матрицю, транспоновану до , Де , А - Величина, комплексно - сполучена до . У цьому параграфі ми покажемо, що кожна вистава кінцевої групи еквівалентно деякому її унітарному поданням і є мполне приводиться.

Матриця називається ермітових, якщо , І позитивно певної, якщо для кожного ненульового стовпця . Наступна лема тривіальна.

Лемма 2.1. Нехай - Довільна невироджених матриця. Тоді - Позитивно певна ермітових матриця. Крім того, сума позитивно певних ермітових матриць також є позитивно певної ермітових матрицею.

Лемма 2.2. Для будь позитивно певної ермітових матриці знайдеться невироджених верхнетреугольная матриця , Така, що .

Доказ. Нехай . Тоді і . Нехай

.

Покладемо

Тоді

і - Позитивно певна ермітових матриця. Для завершення докази достатньо скористатися індукцією по порядку матриці .

Теорема 2.3. Нехай - Кінцева група. Для кожної вистави групи знайдеться невироджених верхнетреугольная матриця , Така, що є унітарною матрицею для всіх .

Доказ. Покладемо

Тоді в силу леми 2.1 є позитивно певної ермітових матрицею. Таким чином, знайдеться невироджених верхнетреугольная матриця , Така, що і тому . Так як

то , Тобто ; Тому - Унітарна матриця.

Теорема 2.4. Кожна вистава кінцевої групи цілком приводиться.

Доказ. Нехай - Приводиться уявлення кінцевої групи , І нехай розкладається наступним чином:

У силу попередньої теореми існує невироджених матриця , Така, що - Унітарна матриця. Так як верхнетреугольная, то має вигляд

Оскільки , Ми отримуємо

звідки випливає, що .

1.3 Лемма Шура

Лемма 3.1. (Лемма Шура.) Нехай і - Непріводімие представлення групи ступенів і відповідно. Нехай - Така - Матриця, що

Тоді або

,

або

і невироджених.

Доказ. Припустимо, що . Покажемо, що тоді має місце . Припустимо, що або , Або і виродження. Тоді існують матриці і , Такі, що

де . Так як , То

де

Таким чином, , Якщо , І , Якщо . У будь-якому випадку або приводиться, що суперечить умові.

Теорема 3.2. Нехай - Неприводимого подання групи . Нехай - Така матриця, що для всіх . Тоді , Де .

Доказ. Нехай - Деяке власне значення матриці . Тоді , А, крім того,

звідки в силу леми Шура випливає, що

Теорема 3.3. Нехай - Абелева група. Тоді кожне її неприводимого уявлення має ступінь 1.

Доказ. Нехай - Неприводимого подання групи . Оскільки комутує з кожною матрицею , З попередньої теореми випливає, що , Де . Оскільки неприводимого, звідси випливає, що його ступінь дорівнює 1.

1.4 Співвідношення ортогональності для характерів

Нижче скрізь передбачається, що розглянуті групи кінцеві.

Характери. Для квадратної матриці порядку позначимо через її слід, тобто

Шляхом прямих обчислень доводиться наступна

Лемма 4.1.

для довільної квадратної матриці .

Для представлення групи покладемо Тоді - Функція, що приймає значення в множині і звана характером подання . Очевидно, що одно ступеня подання . Характери непріводімий уявлень називаються непріводімим характерами. З леми 4.1 (2) випливає наступна

Лемма 4.2. Еквівалентні подання мають один і той самий характер.

Оскільки , Має місце рівність . Таким чином, приймає одне і те ж значення на всьому класі сполучених елементів групи . Такі функції називаються функціями класів.

Перше співвідношення ортогональності для характерів. Нехай - Група порядку , А і - Її Непріводімие подання ступенів і відповідно. Для довільної - Матриці нехай

Тоді, поклавши , Отримуємо

Оскільки , Як і , Пробігає групу , То

Припустимо, що і нееквівалентний. Тоді в силу леми Шура . Звідси для -Го елемента матриці отримуємо

Зокрема, якщо взяти для деякої пари і в інших випадках, то

Нехай тепер . Тоді в силу теореми 3.2 для деякого . При цьому -Ий елемент матриці дорівнює

де і для . Обчисливши слід матриці

ми отримуємо (Тут - Ступінь уявлення ), Звідки

Нехай для деякої пари і , Якщо або . Тоді

Тим самим ми отримуємо таке твердження.

Теорема 4.3. Нехай - Група порядку g.

(1) Нехай - Неприводимого подання групи ступеня . Тоді

(2) Нехай - Неприводимого подання, не еквівалентне поданням . Тоді

Нехай - Характери уявлень і . Поклавши в попередній теоремі і підсумувавши по , Ми отримуємо теорему.

Теорема 4.4. (Перше співвідношення ортогональності для характерів.) Нехай - Група порядку g.

(1) Якщо - Непріводімий характер групи , То

(2) Якщо - Характери нееквівалентних непріводімий уявлень групи , То

Зазначимо, що для всіх , Оскільки теорема 2.3 стверджує, що еквівалентно деякого унітарному поданням і тому

Нехай - Представники класів еквівалентності непріводімий уявлень групи і - Характери уявлень . Позначимо через класи спряжених елементів групи , Причому , І нехай - Представники цих класів. Оскільки характери - це функції класів, теорема 4.4 може бути переписана в наступному вигляді.

Теорема .

Для функцій , Визначених на групі порядку та приймаючих значення в поле , Визначимо скалярний твір за таким правилом:

У випадках, коли ясно, про яку групу йде мова, ми іноді замість писатимемо . Очевидно, що скалярний твір є симетричною білінійної формою:

У цих позначення першого співвідношення ортогональності для характерів можна сформулювати так:

Теорема . Нехай - Характери попарно нееквалентних непріводімий уявлень групи . Тоді

Кратності непріводімий уявлень. Нехай - Деяке уявлення групи . Оскільки воно цілком приводиться в силу теореми 2.3, воно еквівалентно поданням

де - Нееквівалентні Непріводімие подання. Число називається кратністю подання в , І ми записуємо

Нехай - Характер подання і - Характер подання . Тоді

Якщо , То і називають непріводімим компонентами представлення і характеру відповідно.

Теорема 4.5. Нехай - Група і - Характер деякого її подання. Нехай - Кратність неприводимого характеру в . Тоді

Доказ. Нехай розкладання в суму непріводімий характерів має вигляд , Де - Кратність . Тоді

Теорема 4.6. Нехай - Представлення групи , А - Їх характери. Тоді і еквівалентні в тому і тільки тому випадку, коли .

Доказ. У силу попередньої теореми кратності компоненти в і визначаються характерами останніх. Оскільки кожна вистава групи цілком приводиться, уявлення і еквівалентні тоді і тільки тоді, коли кожне неприводимого уявлення має в і одну ту ж кратність. Таким чином, тоді і тільки тоді, коли .

Нехай - Характер правого регулярного подання групи порядку . Зазначимо, що

Для характеру довільного неприводимого подання виконується співвідношення

одно ступеня подання ). Отже, справедлива наступна

Теорема 4.7. Нехай - Характер правого регулярного подання групи . Тоді кожне неприводимого подання цієї групи входить в з кратністю , Де - Ступінь уявлення . Таким чином,

де підсумовування ведеться за всіма непріводімим характерам групи .

Зауважимо, що праве і ліве регулярні подання еквівалентні, оскільки характер лівого регулярного подання також задовольняє рівності (4.8). Тому .

Теорема 4.7 стверджує, що кожен непріводімий характер входить в як компоненти, і тому має лише кінцеве число непріводімий характерів. Нижче ми покажемо, що число непріводімий характерів групи збігається з числом її класів спряжених елементів.

Теорема 4.8. Нехай - Повний набір різних непріводімий характерів групи . Нехай - Ступінь , А - Порядок групи . Тоді

і

для .

Для доказу достатньо обчислити на елементі , Використовуючи (4.8).

Друге співвідношення ортогональності для характерів. Нехай - Група, а - Її класи спряжених елементів. Утворити формальну суму елементів з класу :

Визначимо твір і за правилом

де , А підсумовування ведеться за . Для елемента позначимо через число пар , Таких, що . Тоді для мається на точності пар , Таких, що , Оскільки тоді і тільки тоді, коли для . Тому кожен елемент з з'являється в правій частині рівності (4.9) одне і те ж число раз, тобто

Сукупність усіх елементів для також утворює клас сполучених елементів. Позначимо цей клас через .

Тоді

Нехай - Неприводимого подання групи і - Ступінь . Визначимо за правилом

Тоді

оскільки пробігає , Як і . Значить, комутують з і в силу теореми 3.2

Взявши слід від обох частин рівності (4.12), ми отримаємо

де - Характер подання і . В силу (4.10)

Підставивши в цю рівність (4.13), ми прийдемо до рівності

або

Нехай - Всі різні Непріводімие характери групи і - Ступінь . Рівність (4.14) має місце для кожного . Підсумувавши (4.14) по , Одержимо

Звідси

Величина дорівнює порядку централізаторів елемента в групі . Оскільки в силу (4.5) , Ми отримуємо таке твердження.

Теорема 4.9. (Друге співвідношення ортогональності для характерів.) Нехай - Безліч всіх різних непріводімий характерів групи , І нехай - Повний набір представників класів спряжених елементів групи . Тоді

де - Порядок і підсумовування ведеться за всіма непріводімим характерам групи .

Теорема 4.10. Число різних непріводімий характерів групи дорівнює числу її класів спряжених елементів.

Доказ. Ми скористаємося наступним простим фактом, що стосуються матриць. Нехай є - Матриця, а є - Матриця. Якщо визначник квадратної матриці , Що має порядок , Відмінний від нуля, то .

Нехай - Всі різні Непріводімие характери групи , А - Повний набір представників класів спряжених елементів цієї групи. Тоді по теоремі

Тому . В силу теореми 4.9

Звідси випливає, що і тому .

1.5 Індуковані подання

Нехай - Група і - Її підгрупа. Позначимо через і порядки груп і відповідно. Якщо - Деяка функція на , То через позначимо її обмеження на . У разі коли - Функція класів на , також є функцією класів на . Якщо - Характер деякого уявлення групи , То представляє собою характер обмеження подання на .

По функції , Заданої на , Визначимо функцію на правилом

вважаючи для , Не належать . Зазначимо, що є функцією класів на , Навіть еслм не є функцією класів на . Якщо не пов'язаний ні з яким елементом з , То .

Лемма 5.1. Нехай - Функція класів на групи , А - Функція класів на підгрупи групи . Тоді

Доказ. Маємо

Вклад в суму дають лише такі пари , Що . Тому, підсумовуючи по тим парам , Для яких при деякому , Отримуємо

Якщо - Характер деякого представлення групи , То назвемо індукованим характером групи і скажемо, що индуцирован з . Ми хочемо показати, що кожен індукований характер дійсно є характером деякого представлення групи .

Нехай - Безліч представників лівих суміжних класів групи по :

Для представлення підгрупи визначимо матрицю так:

де для , Що не утримуються в , Вважаємо . Це узагальнення правого регулярного подання групи . Ми покажемо, що

- Представлення групи ступеня , Де , А - Ступінь . При фіксованих і безліч містить по одному представнику з кожного лівого суміжного класу по , Тому серед матриць , Лише одна ненульова. Аналогічно, безліч містить по одному представнику з кожного правого суміжного класу по і серед матриць , Також лише одна ненульова. Позначимо -Й блок матриці через . Тоді

Покажемо, що . Є єдине число , Таке, що , І єдине число , Таке, що . Якщо , То . Якщо ж , То і , Оскільки . У будь-якому випадку і отже, . Оскільки , Матриця невироджених. Таким чином є поданням групи .

Нехай - Характер , А - Характер . Тоді

Тим самим ми отримаємо . Назвемо індукованим поданням групи і будемо говорити, що індукувало з . Сказане підсумовує наступна

Теорема 5.2. Нехай - Група і - Її підгрупа. Нехай - Представлення ступеня , А - Його характер. Тоді індуковане уявлення має ступінь , Де , І характер

Теорема 5.3. (Закон взаємності Фробеніуса.) Нехай - Підгрупа в . Нехай - Повний набір непріводімий характерів групи , А - Повний набір непріводімий характерів групи . Тоді

в тому і тільки тому випадку, коли

Іншими словами, якщо - Неприводимого подання групи , А - Неприводимого уявлення , То є непріводімий компонентою в кратності тоді і тільки тоді, коли є непріводімий компонентою в кратності .

Доказ. Нехай і . В силу леми 5.1