Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
КЛАСИ КІНЦЕВИХ ГРУП , ЗАМКНУТІ Про Взаємно прості ІНДЕКСІВ ЩОДО ТВОРУ УЗАГАЛЬНЕННЯ Субнормальний -Підгрупі
Курсова робота
Виконавець:
Студентка групи М-53 Мокеева О. А.
Науковий керівник:
доктор ф-м наук, професор Семенчук В.М.
Гомель 2009

Зміст
ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ
Введення
1 Деякі базисні леми
2 Критерій приналежності груп, факторізуемих узагальнено субнормальний -Підгрупами, індекси яких взаємно прості, спадково насиченим формаціям
Висновок
Список використаних джерел

Перелік умовних позначень

Розглядаються тільки кінцеві групи. Вся термінологія запозичена з [44, 47].
--- Безліч всіх натуральних чисел;
--- Безліч всіх простих чисел;
--- Деякий безліч простих чисел, тобто ;

--- Додаток до в безлічі всіх простих чисел; зокрема, ;
Примарна число --- будь-яке число виду .
Літерами позначаються прості числа.
Нехай --- Група. Тоді:
--- Порядок групи ;

--- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;
-Група --- група , Для якої ;
-Група --- група , Для якої ;
--- Коммутант групи , Тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;
--- Підгрупа Фиттинг групи , Тобто добуток всіх нормальних нільпотентних підгруп групи ;
--- Найбільша нормальна -Нільпотентна підгрупа групи ;
--- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто перетин всіх максимальних підгруп групи ;
--- Найбільша нормальна -Підгрупа групи ;
--- -Халловей підгрупа групи ;
--- Сіловская -Підгрупа групи ;
--- Додаток до сіловской -Підгрупі в групі , Т. е. -Халловей підгрупа групи ;
--- Нільпотентна довжина групи ;
--- -Довжина групи ;
--- Мінімальне число породжують елементів групи ;
--- Цоколь групи , Тобто підгрупа, породжена всіма мінімальними нормальними підгрупами групи ;
--- Циклічна група порядку .
Якщо і --- Підгрупи групи , То:
--- є підгрупою групи ;
--- є власною підгрупою групи ;
--- є нормальною підгрупою групи ;

--- Ядро підгрупи в групі , Тобто перетин всіх підгруп, пов'язаних з в ;
--- Нормальне замикання підгрупи в групі , Тобто підгрупа, породжена всіма сполученими з підгрупами групи ;
--- Індекс підгрупи в групі ;
;

--- Нормалізатор підгрупи в групі ;
--- Централізаторів підгрупи в групі ;
--- Взаємний коммутант підгруп і ;
--- Підгрупа, породжена підгрупами і .
Мінімальна нормальна підгрупа групи --- Непоодинокі нормальна підгрупа групи , Не містить власних непоодиноких нормальних підгруп групи ;
--- є максимальною підгрупою групи .
Якщо і --- Підгрупи групи , То:
--- Прямий добуток підгруп і ;
--- Полупрямой твір нормальної підгрупи і підгрупи ;
--- і ізоморфні;
--- Регулярне сплетіння підгруп і .
Підгрупи і групи називаються переставних, якщо .
Групу називають:
-Замкнутої, якщо сіловская -Підгрупа групи нормальна в ;
-Нільпотентні, якщо -Халловей підгрупа групи нормальна в ;
-Розв'язною, якщо існує нормальний ряд, фактори якого або -Групи, або -Групи;
-Сверхразрешімой, якщо кожен її головний фактор є або -Групою, або циклічної групою;
нільпотентні, якщо всі її сіловскіе підгрупи нормальні;
розв'язною, якщо існує номер такий, що ;
сверхразрешімой, якщо вона має головний поруч, всі індекси якого є простими числами.
Монолітичних група --- непоодинокі група, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу.
-Замкнута група --- група, що має нормальної холлівських -Підгрупою.
-Спеціальна група --- група, що володіє нільпотентні нормальної холлівських -Підгрупою.
-Розкладені група --- група, що є одночасно -Спеціальної та -Замкнутою.
Група Шмідта --- це кінцева ненільпотентная група, всі власні групи якої нільпотентні.
Додаванням до підгрупи групи називається така підгрупа з , Що .
Ланцюг --- це сукупність вкладених одна в одну підгруп.
Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю.
Ряд підгруп називається:
субнормальний, якщо для будь-якого ;
нормальним, якщо для будь-якого ;
головним, якщо є мінімальною нормальною підгрупою в для всіх .
Клас груп --- сукупність груп, що містить з кожною своєю групою і все їй ізоморфні групи.
-Група --- група, що належить класу груп .
Формація --- клас груп, замкнутий щодо факторгрупою і подпрямих творів.
Якщо --- Клас груп, то:
--- Безліч всіх простих дільників порядків всіх груп з ;
--- Безліч всіх тих простих чисел , Для яких ;
--- Формація, породжена класом ;
--- Насичена формація, породжена класом ;
--- Клас всіх груп , Які представлені у виді

де , ;
;
--- Клас всіх мінімально не -Груп, тобто груп не належать , Але всі власні підгрупи яких належать ;
--- Клас всіх -Груп з ;
--- Клас всіх кінцевих груп;
--- Клас всіх розв'язаних кінцевих груп;
--- Клас всіх -Груп;
--- Клас всіх розв'язаних -Груп;
--- Клас всіх розв'язаних -Груп;
--- Клас всіх нільпотентних груп;
--- Клас всіх розв'язаних груп з нільпотентні довжиною .
Якщо і --- Класи груп, то:
.
Якщо --- Клас груп і --- Група, то:
--- Те що всіх нормальних підгруп з таких, що ;
--- Твір всіх нормальних -Підгруп групи .
Якщо і --- Формації, то:

--- Твір формацій;
--- Перетин всіх -Абнормальної максимальних підгруп групи .
Якщо --- Насичена формація, то:
--- Істотна характеристика формації .
-Абнормальної називається максимальна підгрупа групи , Якщо
, Де
--- Деяка непорожня формація.
-Гіперцентральной підгрупою в називається здійсненне нормальна підгрупа групи , Якщо володіє субнормальний поруч таким, що
(1) кожен фактор є головним чинником групи ;
(2) якщо порядок фактора є ступінь простого числа , То .
--- -Гіперцентр групи , Тобто добуток всіх -Гіперцентральних підгруп групи .

Введення
Відомо, що формація всіх сверхразрешімих груп не замкнута щодо твору нормальних сверхразрешімих підгруп, але замкнута щодо твору нормальних сверхразрешімих підгруп взаємно простих індексів. У зв'язку з цим можна сформулювати наступну проблему.
Проблема. Класифікувати спадкові насичені формації з тим властивістю, що будь-яка група , Де і --- -Субнормальний -Підгрупи взаємно простих індексів, належить .
Саме вивченню таких формацій присвячена дана робота. Зокрема, в класі кінцевих розв'язаних груп отримано повне рішення даної проблеми.

1 Деякі базисні леми
У даному розділі доведені леми, які істотно використовуються при доказі основного розділу даної глави.
1.1 Лемма [18-A]. Нехай --- Насичена формація, належить і має нормальну сіловскую -Підгрупу для деякого простого числа . Тоді справедливі наступні твердження:
1) ;
2) , Де --- Будь-яке доповнення до в .
Доказ. Так як , То , А значить, . Так як і формація насичена, то не міститься в . Так як --- Елементарна група, то згідно теореми 2.2.16, має -Допустимим доповненням в . Тоді , . Якщо , То відмінна від і, значить, належить . Але тоді, зважаючи на рівності , Маємо

звідси випливає і . Тим самим доведено, що .
Доведемо твердження 2). Очевидно, що є -Корадікалом і єдиною мінімальної нормальною підгрупою групи , Причому . Тому, зважаючи на теореми 2.2.17,


Очевидно,
. Якщо , То

звідси . Значить, . Лема доведена.
Нехай і --- Довільні класи груп. Дотримуючись [55], позначимо через --- Безліч всіх груп, у яких усе -Підгрупи належать .
Якщо --- Локальний екран, то через позначимо локальну функцію, що володіє рівністю для будь-якого простого числа .
1.2 Лемма [18-A]. Нехай і --- Деякі класи груп. Тоді справедливі наступні твердження:
1) --- Спадковий клас;
2) ;
3) якщо , То ;
4) якщо , То --- Клас всіх груп;
5) якщо --- Формація, а --- Насичений гомоморф, то --- Формація;
6) якщо , , --- Деякі класи груп і --- Спадковий клас, то в тому і тільки в тому випадку, коли ;
7) якщо і --- Гомоморфи і , То .
Доказ. Доказ тверджень 1), 2), 3) і 4) слід безпосередньо з визначення класу груп .
Нехай , --- Нормальна підгрупа групи і --- -Підгрупа з . Нехай --- Додавання до в . Покажемо, що . Припустимо протилежне. Нехай не входить до . Тоді має максимальну підгрупою , Не містить . Тому , А значить, , Що суперечить визначенню додавання.
Так як --- Насичений гомоморф, то . Але тоді і . Значить, клас замкнутий щодо гомоморфним образів.
Нехай . Нехай --- -Підгрупа з . Тоді , А значить через визначення класу , Маємо

Так як --- Формація і , То звідси отримуємо, що . Таким чином, .
Доведемо твердження 6). Нехай , . Якщо не входить до , То виходить, що кожна -Підгрупа з належить , А значить, . Отримали протиріччя. Тому .
Покажемо, що . Припустимо, що безліч непорожньо, і виберемо в ньому групу найменшого порядку. Тоді не входить до . Нехай --- Власна підгрупа з . Так як класи і --- Спадкові класи, то . Зважаючи мінімальності маємо . Значить, . Отримали протиріччя. Тому .
Доведемо твердження 7). Нехай і --- -Підгрупа з групи . Звідси випливає, що , . А це означає, що . Звідси неважко помітити, що . Отже, . Отже, . Лема доведена.
1.3 Лемма [18-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація, --- Її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді і тільки тоді -Корадікал будь мінімальної не -Групи є сіловской підгрупою, коли:
1) ;
2) формація має повний локальний екран такий , Що для будь-якого з .
Доказ. Необхідність. Нехай --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Нехай --- Довільне просте число з . Так як --- Насичений гомоморф, то за лемі 4.1.2, --- Формація.
Нехай --- Формація, що має локальний екран такий, що для будь-якого з . Покажемо, що . Згідно з теоремою 2.2.13, --- Спадкова формація для будь-якого з . Звідси неважко помітити, що для будь-якого з . А це означає, що .
Нехай --- Група мінімального порядку з . Так як --- Спадкова формація, то очевидно, що --- Спадкова формація. А це означає, що і . Покажемо, що --- Повний локальний екран, т. е. для будь-якого з . Дійсно. Нехай --- Довільна група з . Звідси . Нехай --- Довільна -Група з . Так як , То . Звідси . Так як --- Повний екран, то . А це означає, що . Отже, . Звідси неважко помітити, що . Тепер, згідно теоремі 2.2.5, , Де --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , --- -Група і . Так як і , То . Звідси . Протиріччя. Отже, . Покажемо, що для будь-якого з . Нехай і --- -Група. Нехай --- Довільна -Підгрупа з . Тоді . Звідси . А це означає, що . Протиріччя.
Достатність. Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Так як розв'язна, то згідно теореми 2.2.5,

де --- -Група, . Згідно з умовою, --- -Група. А це означає, що --- -Замкнута група. Але тоді, --- -Замкнута група. Згідно лемі 4.1.1, --- Сіловская підгрупа групи . Лема доведена.
1.4 Лемма [18-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація, --- Її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді і тільки тоді будь-яка мінімальна не -Група біпрімарна і -Замкнута, де , Коли:
1) ;
2) формація має повний локальний екран такий, що і будь-яка група з є примарной -Групою для будь-якої простої з .
Доказ. Необхідність. Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Згідно з умовою, --- Біпрімарная -Замкнута група, де . За лемі 4.1.1, . Згідно лемі 4.1.3, формація має повний локальний екран такий, що і для будь-якої простої з . Покажемо, що будь-яка група з Примарна. Припустимо протилежне. Тоді існує група і . Нехай --- Група найменшого порядку така, що . Очевидно, що і . Неважко помітити, що і має єдину мінімальну нормальну підгрупу. Значить, по лемі 2.2.18, існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів.
Нехай . Покажемо, що . Оскільки і , То .
Нехай --- Власна підгрупа з . Покажемо, що . Нехай . Якщо , То . Отже, . Нехай . Тоді --- Власна підгрупа з . А це означає, що і . Так як і --- Спадкова формація, то . Але тоді і , А значить і .

Нехай тепер . Так як , То і . Звідси випливає, що . Отже, . Згідно умові, біпрімарна, що неможливо, тому що .
Достатність. Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Згідно з умовою, можна вирішити. По теоремі 2.2.5,

де --- -Група, .
Згідно з умовою, --- Примарна -Група. А це означає, що --- Біпрімарная -Замкнута група. Але тоді --- Біпрімарная -Замкнута група. Лема доведена.

2 Критерій приналежності груп, факторізуемих узагальнено субнормальний -Підгрупами, індекси яких взаємно прості, спадково насиченим формаціям

У даному розділі в класі кінцевих розв'язаних груп отримана класифікація спадкових насичених формацій , Замкнутих щодо твору узагальнено субнормальних -Підгруп, індекси яких взаємно прості.
2.1 Теорема [18-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація, --- Її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді наступні твердження еквівалентні:
1) формація містить будь-яку групу , Де і --- -Субнормальний -Підгрупи та індекси , взаємно прості;
2) будь-яка мінімальна не -Група або біпрімарная -Замкнута група , Або група простого порядку;
3) формація має повний локальний екран такий, що і будь-яка група з є примарной -Групою для будь-якої простої з .
Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2).
Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Припустимо, що , Де --- Характеристика формації . Покажемо, що --- Група простого порядку. Нехай . Тоді існує просте число , . Так як , То , Що неможливо. Отже, --- Примарна -Група. Так як , То, очевидно, що .
Нехай тепер . Розглянемо випадок, коли .
Покажемо, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу . Припустимо протилежне. Тоді містить, принаймні, дві мінімальні нормальні підгрупи і . Так як , То в групі знайдуться максимальні підгрупи і такі, що , . Так як і належать , , , То , . Так як --- Формація, то . Отримали протиріччя. Отже, , Де --- Єдина мінімальна нормальна -Підгрупа групи .
Покажемо, що --- Примарна -Група, де . Припустимо, що існують прості числа , Де . Тоді в знайдуться максимальні підгрупи і такі, що --- -Число, --- -Число. Розглянемо підгрупи і . Очевидно, що індекси і взаємно прості. Так як і , То . Згідно лемі 3.1.4, підгрупи і -Субнормальний в . Так як --- Мінімальна не -Група, і --- Власні підгрупи групи , То і . Так як , То згідно з умовою, . Отримали протиріччя.
Покажемо, що --- -Група, де . Припустимо, що . Так як , То згідно лемі 3.1.4, --- -Субнормальная подгуппа групи . Розглянемо підгрупу . Так як --- Власна підгрупа і , То . Згідно лемі 3.1.4, --- -Субнормальная підгрупа . Очевидно, що --- -Субнормальная підгрупа . За лемі 3.1.4, --- -Субнормальная підгрупа групи . Так як , То з та умови теореми випливає, що . Отримали протиріччя. Отже, --- -Група. Тоді --- Біпрімарная -Замкнута група, де .
Нехай . Розглянемо фактор-групу . Так як , То, як показано вище, --- Біпрімарная -Замкнута група. Звідси випливає, що --- Біпрімарная -Замкнута група.
З леми 4.1.4 випливає, що затвердження 3) випливає з 2).
Покажемо, що з 3) слід 1).
Нехай --- Група найменшого порядку така, що , Де і --- -Субнормальний -Підгрупи групи взаємно простих індексів, то . Так як --- Здійсненне група і , Де , То неважко помітити, що , Де і --- Холлівських підгрупи групи , і , , Де , --- Деякі елементи групи .
Нехай --- Власна підгрупа групи . Покажемо, що . Так як --- Здійсненне група, то згідно теоремі Ф. Холла [63], , Де , , Де , --- Деякі елементи з . Згідно лемі 3.1.4, і --- -Субнормальний підгрупи групи . Так як і , А --- Спадкова формація, то і --- -Субнормальний підгрупи і відповідно. Згідно лемі 3.1.4, неважко показати, що і --- -Субнормальний підгрупи групи , А отже, відповідно до лемі 3.1.4 і в . Так як , То по індукції, отримуємо, що . А це означає, що --- Мінімальна не -Група.
Якщо --- Група простого порядку, то її не можна представити у вигляді добутку власних підгруп взаємно простих індексів.
Нехай --- Біпрімарная група. Тоді згідно лемі 4.1.4, . Згідно лемі 4.1.1, . А це означає, що всі підгрупи групи , Що містять -Абнормальної, тобто група НЕ бути подана в вигляді твору власних -Субнормальних -Підгруп взаємно простих індексів. Отримали протиріччя. Теорема доведена.
Нагадаємо, що формація називається 2-кратно насиченою, якщо вона має локальний екран такий, що --- Насичена формація для будь-якого простого числа з .
Наступна теорема доведена в класі кінцевих розв'язаних груп.
2.2 Теорема [18-A]. Нехай --- Спадкова 2-кратно насичена формація. Тоді наступні твердження еквівалентні:
1) формація містить будь-яку групу , Де і --- -Субнормальний -Підгрупи з взаємно простих індексів;
2) --- Формація Шеметкова;
3) формація містить будь-яку групу , Де і --- -Субнормальний -Підгрупи з ;
4) .
Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2).
Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Розглянемо випадок, коли . Як і в теоремі 4.2.1 можна показати, що або --- Група простого порядку , Де , Або , Де і з . А також неважко показати, що --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи . А це означає, що . Нехай --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо , То з повноти екрану випливає, що . Так як --- Внутрішній екран, то . А це означає, що . Протиріччя. Отже, .
Покажемо, що . Припустимо, що це не так. Тоді в знайдеться непоодинокі власна підгрупа . Розглянемо підгрупу . Так як --- Мінімальна не -Група і --- Власна підгрупа , То . Покажемо, що . Якщо це не так, то в існує непоодинокі нормальна -Підгрупа . Тоді . Так як , То , Що неможливо. Згідно лемі 2.2.12, . Звідси . Так як , То . А це означає, що . Так як --- Насичена формація, то . Отже, , Що неможливо. Отже, , Значить, --- Група Шмідта. Отже, --- Група Шмідта. За лемі 3.1.1, --- Група Шмідта.
Той факт, що з 2) 3) випливає з теореми 2.2.19; 3) 4) випливає з теореми 2.2.10; 4) 1) випливає з теореми 2.2.10. Теорема доведена.
Очевидно, що будь-яка надрадикальних формація містить будь-яку групу , Де і -Субнормальний в і належать і мають взаємно прості індекси в .
Наступний приклад показує, що існує несверхрадікальная спадкова насичена формація , Яка містить будь-яку групу , Де і -Субнормальний в і належать і мають взаємно прості індекси в .
2.3 Приклад. Нехай --- Формація всіх сверхразрешімих груп, а --- Формація всіх -Груп, де , і --- Різні прості числа. Розглянемо формацію . Так як існують мінімальні НЕ -Групи, які не є або групою Шмідта, або групою простого порядку, то не є формацією Шеметкова. Так як , То згідно теореми 3.3.9, формація не є надрадикальних формацією.
З іншого боку добре відомо, що будь-яка мінімальна несверхразрешімая група -Замкнута, де . Очевидно, що будь-яка мінімальна не -Група є або групою простого порядку, або біпрімарной -Замкнутої групою, де . Тепер з теореми 4.2.1 випливає, що містить будь-яку групу , Де , і належать і і --- Субнормальний в .

Висновок

У розділі 1 доведені леми, які використовуються для доказу основних результатів глави 2.
У розділі 2 важливу роль відіграв метод екстремальних класів, розроблений в роботі Картера, Фішера, Хоукса [55] та метод критичних груп, розроблений В.М. Семенчук в роботі [19]. За допомогою цих методів в класі кінцевих розв'язаних груп отримано опис спадкових насичених формацій , Що містять будь-яку групу , Де , і належать і і --- -Субнормальний в , Теорема 2.1.
Доведено, що будь-яка вирішувана --- Спадкова 2-кратно насичена формація, що володіє зазначеним вище властивістю, є надрадикальних, теорема 2.2.

Список використаних джерел

1. Васильєв, А.Ф. Про максимальну спадкової подформаціі локальної формації / А.Ф. Васильєв / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во народного обр. БРСР, Гомельський держ. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Мінськ: Університетське, 1990. - Вип. 5. - С. 39 - 45.
2. Васильєв, А.Ф. Про грати підгруп кінцевих груп / А.Ф. Васильєв, С.Ф. Каморніков, В.М. Семенчук / / Нескінченні групи і примикають алгебраїчні системи / Ін-т математики Акад. Україна, Македон.: Н.С. Черніков [и др.]. - Київ, 1993. - С. 27 - 54.
3. Васильєв, А.Ф. Про вплив Примарна -Субнормальних підгруп на будову групи / А.Ф. Васильєв / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во обр. і науки Республіки Білорусь, Гомельський держ. ун-т ім. Ф. Скорини, Македон.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Гомель, 1995. - Вип. 8. - С. 31 - 39.
4. Васильєва, Т.І. Про кінцевих групах з -Досяжними сіловскімі підгрупами / Т.І. Васильєва, А.І. Прокопенко. - Гомель, 2006. - 18 с. - (Препринт / Гомельський держ. Ун-т ім. Ф. Скорини, № 4).
5. Ведерніков, В.А. Про локальних формаціях кінцевих груп / В.А. Ведерников / / матем. нотатки. - 1989. - Т. 46, № 3. - С. 32 - 37.
6. Казарін, Л.С. Ознаки непростоту факторізуемих груп / Л.С. Казарін / / Известия АН СРСР. - 1980. - Т. 44, № 2. - С. 288 - 308.
7. Казарін, Л.С. Про творі кінцевих груп / Л.С. Казарін / / ДАН СРСР. - 1983. - Т. 269, № 3. - С. 528 - 531.
8. Каморніков, С.Ф. Про деякі властивості формацій квазінільпотентних груп / С.Ф. Каморніков / / матем. нотатки. - 1993. - Т. 53, № 2. - С. 71 - 77.
9. Каморніков, С.Ф. Про двох проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморніков / / Сибір. мат. журнал. - 1994. - Т. 35, № 4. - С. 801 - 812.
10. Коуровская зошит (невирішені питання теорії груп) / / Інститут математики СВ АН СРСР. - Новосибірськ, 1992. - 172 с.
11. Коуровская зошит (невирішені питання теорії груп) / / Інститут математики СВ РАН. - Новосибірськ, 1999. - 146 с.
12. Легчекова, Є.В. Кінцеві групи з заданими слабо квазінормальнимі підгрупами / Є.В. Легчекова, О.М. Скиба, О.В. Тітов / / Доповіді НАН Білорусі. - 2007. - Т. 51, № 1. - С. 27 - 33.
13. Монахов, В.С. Твір кінцевих груп, близьких до нільпотентних / В.С. Монахов / / Кінцеві групи. - 1975. - С. 70 - 100.
14. Монахов, В.С. Про творі двох розв'язаних груп з максимальним перетином чинників / В.С. Монахов / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во вищ. і порівн. спец. обр. БРСР, Гомельський держ. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Мінськ: Університетське, 1985. - Вип. 1. - С. 54 - 57.
15. Мокеева, С.А. Кінцеві групи з переставних -Субнормальний ( -Досяжними) підгрупами / С.А. Мокеева. - Гомель, 2003. - 25 с. - (Препринт / Гомельський держ. Ун-т ім. Ф. Скорини, № 56).
16. Прокопенко, А.І. Про кінцевих групах з -Досяжними сіловскімі підгрупами / А.І. Прокопенко / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 2004. - № 6 (27). - С. 101 - 103.
17. Семенчук, В.М. Про мінімальні НЕ -Групах / В.М. Семенчук / / ДАН УРСР. - 1978. - № 7. - С. 596 - 599.
18. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з заданими властивостями підгруп / В.М. Семенчук / / ДАН УРСР. - 1979. - № 1. - С. 11 - 15.
19. Семенчук, В.М. Мінімальні НЕ -Групи / В.М. Семенчук / / Алгебра і логіка. - 1979. - Т. 18, № 3. - С. 348 - 382.
20. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з системою мінімально не -Підгруп / В.М. Семенчук / / підгруповий будова кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ: Наука і техніка, 1981. - С. 138 - 149.
21. Семенчук, В.М. Мінімальні НЕ -Групи / В.М. Семенчук / / Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ: Наука і техніка, 1984. - С. 170 - 175.
22. Семенчук, В.М. Характеризація локальних формацій за заданими властивостями мінімально не -Груп / В.М. Семенчук, А.Ф. Васильєв / / Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ: Наука і техніка, 1984. - С. 175 - 181.
23. Семенчук, В.М. Опис розв'язаних мінімально не -Груп для довільної тотально локальної формації / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1988. - Т. 43, № 4. - С. 251 - 260.
24. Семенчук, В.М. Про розв'язаних мінімально не -Групах / В.М. Семенчук / / Питання алгебри. - Мінськ: Університетське, 1987. - Вип. 3. - С. 16 - 21.
25. Семенчук, В.М. Роль мінімально не -Груп в теорії формацій / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1991. - Т. 98, № 1. - С. 110 - 115.
26. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з -Абнормальної або -Субнормальний підгрупами / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1994. - Т. 56, № 6. - С. 111 - 115.
27. Семенчук, В.М. Розв'язні тотально локальні формації / В.М. Семенчук / / Сибір. мат. журн. - 1995. - Т. 36, № 4. - С. 861 - 872.
28. Семенчук, В.М. Розв'язні -Радикальні формації / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1996. - Т. 59, № 2. - С. 261 - 266.
29. Семенчук, В.М. Про одну проблему в теорії формацій / В.М. Семенчук / / Весцi АН Беларусi. - 1996. - № 3. - С. 25 - 29.
30. Семенчук, В.М. Про розв'язаних тотально локальних формаціях / В.М. Семенчук / / Питання алгебри. - 1997. - № 11. - С. 109 - 115.
31. Семенчук, В.М., Поляков Л.Я. Характеризація мінімально не -Груп / В.М. Семенчук / / Звістки вищих навчальних закладів. - 1998. - № 4 (431). - С. 1 - 4.
32. Семенчук, В.М. Класифікація локальних спадкових формацій критичні групи яких біпрімарни / В.М. Семенчук / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 1999. - № 1 (15). - С. 153 - 162.
33. Семенчук, В.М. Надрадикальних формації / В.М. Семенчук, Л.А. Шеметков / / Доповіді НАН Білорусі. - 2000. - Т. 44, № 5. - С. 24 - 26.
34. Семенчук, В.М. Кінцеві групи, факторізуемие -Досяжними підгрупами / В.М. Семенчук, С.А. Мокеева / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 2002. - № 5 (14). - С. 47 - 49.
35. Скиба, О.М. Про один клас локальних формацій кінцевих груп / О.М. Скиба / / ДАН УРСР. - 1990. - Т. 34, № 11. - С. 382 - 385.
36. Скиба, О.М. Алгебра формацій / О.М. Скиба. - Мінськ: Беларуская навука, 1997. - 240 с.
37. Старостін, А.І. Про мінімальні групах, що не володіють даними властивістю / А.І. Старостін / / матем. нотатки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 33 - 37.
38. Тютянов, В.М. Факторизації -Нільпотентних співмножники / В.М. Тютянов / / матем. СБ - 1996. - Т. 187, № 9. - С. 97 - 102.
39. Чуніхін, С.А. Про спеціальних групах / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1929. - Т. 36, № 2. - С. 135 - 137.
40. Чуніхін, С.А. Про спеціальних групах / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1933. - Т. 40, № 1. - С. 39 - 41.
41. Чуніхін, С.А. Про групи з наперед заданими підгрупами / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1938. - Т. 4 (46), № 3. - С. 521 - 530.
42. Чуніхін, С.А. Про існування підгруп у кінцевої групи / С.А. Чуніхін / / Праці семінару з теорії груп. - Гонти, М. - Л.. - 1938. - С. 106 - 125.
43. Чуніхін, С.А. Підгрупи кінцевих груп / С.А. Чуніхін. - Мінськ: Наука і техніка, 1964. - 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формації кінцевих груп / Л.А. Шеметков. - М.: Наука, 1978. - 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Екрани твори формацій / Л.А. Шеметков / / ДАН УРСР. - 1981. - Т. 25, № 8. - С. 677 - 680.
46. Шеметков, Л.А. Про творі формацій / Л.А. Шеметков / / ДАН УРСР. - 1984. - Т. 28, № 2. - С. 101 - 103.
47. Шеметков, Л.А. Формації алгебраїчних систем / Л.А. Шеметков, О.М. Скиба. - М.: Наука, 1989. - 256 с.
48. Шмідт, О.Ю. Групи, все підгрупи яких спеціальні / О.Ю. Шмідт / / матем. СБ - 1924. - Т. 31, № 3. - С. 366 - 372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -Subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1992. - Vol. 148, № 2. - P. 42 - 52.
50. Ballester-Bolinches, A. On -Critical groups / A. Ballester-Bolinches, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1995. - Vol. 174. - P. 948 - 958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of LA Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1996. - Vol. 179. - P. 905 - 917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, LM Ezquerro. - Springer, 2006. - 385 p.
53. Bryce, RA Fitting formations of finite soluble groups / RA Bryce, J. Cossey / / Math. Z. - 1972. - Bd. 127, № 3. - S. 217 - 233.
54. Carter, RO The -Normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes / / J. Algebra. - 1967. - Vol. 5, № 2. - Р. 175 - 202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes / / J. Algebra. - 1968. - Vol. 9, № 3. - P. 285 - 313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk / / Math. Z. - 1966. - Vol. 91. - P. 198 - 205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. - Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1992. - 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman / / J. Algebra. - 1983. - Vol. 80, № 2. - P. 517 - 536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen / / Math. Z. - 1963. - Vol. 80, № 4. - P. 300 - 305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. - Dordrecht - Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, KP Shum, AN Skiba / / J. Algebra. - 2007. - Vol. 315. - P. 31 - 41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall / / Proc. London Math. Soc. - 1928. - Vol. 3. - P. 98 - 105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall / / Proc. London Math. Soc. - 1937. - Vol. 43. - P. 316 - 323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes / / Math. Z. - 1970. - Vol. 117. - P. 177 - 182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert / / Math. Z. - 1954. - Vol. 60. - P. 409 - 434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito / / Kodai Math. Seminar Report. - 1951. - Vol. 1 - 2. - P. 1 - 6.
67. Kazarin, LS Product of two solvable subgroups / LS Kazarin / / Comm. Algebra. - 1986. - Vol. 14, № 6. - P. 1001 - 1066.
68. Kegel, OH Produkte nilpotenter Gruppen / / Arch. Math. - 1961. - Vol. 12, № 2. - P. 90 - 93.
69. Kegel, OH Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / OH Kegel / / Arch. Math. - 1978. - Bd. 30, № 3. - S. 225 - 228.
70. Miller, GA Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / GA Miller, HC Moreno / / Trans. Amer. Math. Soc. - 1903. - Vol. 4. - P. 398 - 404.
71. Semenchuk, VN Finite groups with permutable -Subnormal and -Accessible subgroups / VN Semenchuk, SA Mokeeva / / 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4 - 9. - 2003. - P. 153 - 154.
72. Thompson, JG Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / JG Thompson / / Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 74. - P. 383 - 437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen / / H. Wielandt / / Math. Z. - 1939. - Bd. 45. - S. 209 - 244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen / / H. Wielandt / / Math. Z. - 1958. - Bd. 69, № 8. - S. 463 - 465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt / / Illinois Journ. - 1958. - Vol. 2, № 4B. - P. 611 - 618.