Міністерство освіти Республіки Білорусь
Заклад освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра алгебри та геометрії
Опис кінцевих груп з щільною системою 
-Субнормальних підгруп для формації сверхразрешімих груп
Курсова робота
Виконавець:
Студентка групи М-32
____________ Лякишева А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2007
Зміст
Перелік умовних позначень
Введення
Опис кінцевих груп з щільною системою-субнормальних підгруп для формації сверхразрешімих груп
Висновок
Література
Перелік умовних позначень
У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Використовуються позначення, прийняті в книгах. Літерами 
позначаються прості числа.
Будемо розрізняти знак включення множин 
і знак суворого включення 
;
і 
--- Відповідно знаки перетину та об'єднання множин;
--- Пусте безліч;
--- Безліч всіх 
, Для яких виконується умова 
;
--- Безліч всіх простих чисел;
--- Деякий безліч простих чисел, тобто 
;
--- Додаток до у безлічі всіх простих чисел; зокрема, 
;
примарний число --- будь-яке число виду 
;
--- Безліч всіх цілих позитивних чисел.
--- Деякий лінійне впорядкування безлічі всіх простих чисел .
Запис 
означає, що 
передує 
в упорядкуванні , 
.
Нехай 
--- Група. Тоді:
--- Порядок групи ;
--- Порядок елемента 
групи ;
--- Одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;
--- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;
--- Безліч всіх різних простих дільників натурального числа 
;
- Група --- група , Для якої 
;
- Група --- група , Для якої 
;
--- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто перетин всіх максимальних підгруп групи ;
--- Підгрупа фіттінги групи , Тобто твір всіх нормальних нільпотентні підгруп групи ;
--- Коммутант групи ;
--- - Холловская підгрупа групи ;
--- Сіловская - Підгрупа групи ;
--- Додаток до сіловской - Підгрупі в групі , Тобто 
- Холловская підгрупа групи ;
--- Група всіх автоморфизмов групи ;
--- 
є підгрупою групи ;
нетривіальна підгрупа --- непоодинокі власна підгрупа;
--- є нормальною підгрупою групи ;
--- Підгрупа характеристичною в групі , Тобто 
для будь-якого автоморфізм 
;
--- Індекс підгрупи в групі ;
;
--- Централизатор підгрупи в групі ;
--- Нормалізатор підгрупи в групі ;
--- Центр групи ;
--- Циклічна група порядку ;
Якщо 
і 
--- Підгрупи групи , То:
--- Пряме твір підгруп і ;
--- Півпрямі твір нормальної підгрупи і підгрупи .
Група називається:
примарний, якщо 
;
біпрімарной, якщо 
.
Дужки 
застосовуються для позначення підгруп, породжених деякими безліччю елементів або підгруп.
--- Підгрупа, породжена всіма , Для яких виконується .
Групу називають - Нільпотентні, якщо 
.
Групу порядку 
називають - Дісперсівной, якщо виконується 
і для будь-якого 
має нормальну підгрупу порядку 
. Якщо при цьому впорядкування таке, що завжди тягне 
, То - Дісперсівная група називається дісперсівной по Оре.
Ланцюг --- це сукупність вкладених один в одного підгруп. Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю. Ланцюг 
називається 
-Ланцюгом (з індексами 
); Якщо при цьому 
є максимальною підгрупою в 
для будь-якого 
, То зазначена ланцюг називається максимальною -Ланцюгом.
Ряд підгруп 
називається:
субнормальний, якщо 
для будь-якого ;
нормальним, якщо 
для будь-якого .
Нормальний ряд називається головним, якщо 
є мінімальною нормальної підгрупою в 
для всіх 
.
Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмом, позначаються прописними готичними літерами. Так само позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгруппамі і подпрямих творів. За деякими класами закріплені стандартні позначення:
--- Клас всіх груп;
--- Клас всіх абелевих груп;
--- Клас всіх нільпотентні груп;
--- Клас всіх розв'язаних груп;
--- Клас всіх - Груп;
--- Клас всіх сверхразрешімих груп.
Нехай --- Деякий клас груп і --- Група, тоді:
--- - Корадікал групи , Тобто перетин всіх тих нормальних підгруп з , Для яких 
. Якщо --- Формація, то є найменшою нормальної підгрупою групи , Факторгруппамі по якій належить . Якщо 
--- Формація всіх сверхразрешімих груп, то 
називається сверхразрешімим корадікалом групи .
Формація називається насиченою, якщо завжди з 
випливає, що і 
. Клас груп 
називається спадковим або -Замкнутим, якщо з того, що 
, Випливає, що і кожна підгрупа групи також належить .
Нехай --- Деяка непорожній формація. Максимальна підгрупа 
групи називається:
-Нормальною, якщо 
;
-Абнормальной, якщо 
.
Максимальна -Ланцюг 
називається -Субнормальной, якщо для будь-якого 
підгрупа 
-Нормальна у 
. Підгрупа групи називається -Субнормальной, якщо існує хоча б одна -Субнормальная максимальна -Ланцюг.
Група називається групою з щільною системою -Субнормальних підгруп, якщо для будь-яких двох різних підгруп і 
групи , З яких перша міститься в другій і не максимальна в ній, у групі існує така -Субнормальная підгрупа , Що 
. У цьому випадку також кажуть, що безліч -Субнормальних в підгруп щільно.
Введення
Вивчення будови груп за заданими властивостями системи їх підгруп є одним з основних напрямків у теорії кінцевих груп. Зазначимо, що темп і глибина таких досліджень безперервно зростають. Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Як властивостей, що накладаються на системи підгруп, розглядалися абелевих, нормальність, субнормального, доповнюваність і ін Цей напрямок одержав широкий розвиток в роботах багатьох провідних алгебраїстів.
З дедекіндових груп, тобто груп, у яких нормальні все підгрупи, почалося вивчення різних (як кінцевих, так і нескінченних) груп, у яких деяка система підгруп 
задовольняє умові нормальності. Опис кінцевих дедекіндових груп дано в роботі Р. Дедекинда, а нескінченних в роботі Р. Бера. Ці роботи визначили важливий напрям досліджень у теорії груп. Головною метою цього напрямку є опис узагальнено дедекіндових груп. Ці узагальнення дедекіндових груп здійснюються або шляхом звуження системи підгруп , Тобто підгруп нормальних у всій групі, або ослаблення властивості нормальності для підгруп з . Серед таких узагальнень виділимо наступні дослідження.
Перше істотне узагальнення дедекіндових груп належить О.Ю. Шмідту. Він описав кінцеві групи з одним і двома класами пов'язаних ненормальних підгруп, а також встановив нільпотентні кінцевої групи, у якій нормальні все максимальні підгрупи. Кінцеві групи з нормальними -Тими максимальними підгрупами вивчали Б. Хупперт і З. Янко. Д. Баклі вивчав кінцеві групи, у яких нормальні все мінімальні підгрупи.
Значні розширення класу дедекіндових груп виникають при переході від умови нормальності до різних її узагальнень, як, наприклад, до квазінормальності, субнормального, нормалізаторним умов і ін
На початку 70-х років з ініціативи С. Н. Черникова почалося вивчення груп з щільними системами підгруп. Система підгруп групи , Що володіє деякими властивістю , Називається щільною в , Якщо для будь-яких двох підгруп 
з , Де не максимальна в , Знайдеться -Підгрупа така, що 
. Групи з щільною системою доповнюються підгруп були вивчені С. Н. Черніковим.
У 1974 році С. Н. Черніков поставив наступне питання: яке будова групи , В якій безліч всіх її субнормальних підгруп щільно? Відповідь на це питання була отримана А. Манном і В. В. Пилаєва.
Зауважимо, що в теорії формацій поняття субнормального узагальнюється наступним чином. Кажуть, що підгрупа є -Субнормальной в , Якщо існує ланцюг підгруп
така, що є -Нормальної максимальної підгрупою в для будь-якого 
. Якщо збігається з класом всіх нільпотентні груп (який є, звичайно, -Замкнутої насиченою формацією), то -Субнормальная підгрупа виявляється субнормальной.
У зв'язку з розвитком теорії формацій велика увага стала приділятися дослідженню кінцевих груп, насичених - Підгрупами, - Субнормальних або - Абнормальної підгрупами. У цьому напрямку проводили свої дослідження Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмід, Хоукс та інші.
Ясно, що питання С. Н. Чернікова можна сформулювати в такій загальній формі: якщо --- -Замкнута насичена формація, то яке будова групи, в якій безліч всіх її -Субнормальних підгруп щільно?
У такому вигляді запитання С. Н. Чернікова був досліджений в роботі для випадку, коли --- Клас всіх -Нільпотентні груп. У цій роботі ми досліджуємо це питання у випадках, коли --- Довільна -Замкнута насичена формація або -Нільпотентні, або -Дісперсівних, або сверхразрешімих груп.
Опис кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп для формації сверхразрешімих груп
Нехай --- Довільна -Замкнута насичена формація сверхразрешімих груп, --- Несверхразрешімая група з щільною системою -Субнормальних підгруп. Тоді кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з або належить , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою.
Доказ. Припустимо, що НЕ -Дісперсівна, де 
таке, що рівносильне . Так як --- Формація -Дісперсівних груп, то, по лемі, лема вірна. Нехай тепер -Дісперсівна. У цьому випадку лема вірна по лемі. Лемма доведена.
Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація сверхразрешімих груп, --- Несверхразрешімая 
-Група з щільною системою -Субнормальних підгруп. Тоді --- Група одного з таких типів:
1) 
--- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої 
, 
;
2) , Де , містить таку абелева підгрупу 
, Нормальну в , Що 
--- Мінімальна несверхразрешімая група, яка є в максимальної підгрупою непростого індексу, підгрупа 
сверхразрешіма, де 
--- Будь-яка максимальна підгрупа з 
;
3) 
, 
, --- Мінімальна нормальна підгрупа групи , Підгрупа , Де --- Довільна максимальна підгрупа з 
, Є або сверхразрешімой, або мінімальної не -Групою, або групою типу 2) з даної теореми;
4) , 
, Де --- Мінімальна нормальна підгрупа групи , 
, Підгрупа 
, 
є або мінімальної несверхразрешімой групою, або групою типу 2) з даної теореми;
5) 
, 
, --- Мінімальна нормальна підгрупа з , 
--- Абелева група, 
і 
--- Мінімальні несверхразрешімие групи, підгрупа 
або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, де --- Довільна максимальна підгрупа з ;
6) , 
, Де 
, 
--- Мінімальні нормальні підгрупи групи , , 
--- Мінімальна несверхразрешімая група;
7) , 
), Де --- Мінімальна нормальна підгрупа групи , 
сверхразрешіма, підгрупа 
, Де --- Довільна максимальна підгрупа групи , Або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) або 4) з даної теореми;
8) 
, 
і має точно чотири класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи 
, 
, 
, 
з наступними властивостями: , --- Мінімальні несверхразрешімие групи, підгрупи і належать , Де --- Максимальна підгрупа з 
, 
--- Максимальна підгрупа з ;
9) , 
і має точно чотири класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи 
, 
, , 
з наступними властивостями: сверхразрешіма, --- Або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми, , Де --- Максимальна підгрупа з , Або належить , Або 
і 
є мінімальною несверхразрешімой групою або групою типу 2) з даної теореми, , Де --- Максимальна підгрупа з , Або належить , Або 
і 
є мінімальною несверхразрешімой групою або групою типу 2) з даної теореми.
Доказ. За лемі, група залагодити. Якщо група НЕ дісперсівна по Оре, то до неї застосовується теорема, і дана теорема вірна. Тому далі ми будемо вважати, що група дісперсівна по Оре.
1. Розглянемо спочатку випадок , Де і --- Різні прості числа. За лемі в групі будь-яка -Абнормальної максимальна підгрупа або сверхразрешіма, або є мінімальною несверхразрешімой групою у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою. Ці два випадки ми і розглянемо.
1.1. Нехай у є несверхразрешімая -Абнормальної максимальна підгрупа . За лемі, 
є мінімальною несверхразрешімой групою і 
--- Абелева група. Так як , То або 
, Або 
. Якщо припустити, що , То 
і 
. Тому 
немаксімальна в і, по лемі, -Субнормальная в . Звідси, по теоремі, 
. Протиріччя. Значить, , 
і 
. З того, що група дісперсівна по Оре, і , Випливає, що 
. Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з 
. За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що 
. Ясно, що 
і, значить, сверхразрешіма. Отже, -Субнормальная в і в , Де --- Формація всіх сверхразрешімих груп. Застосовуючи теорему, отримуємо. що підгрупа 
сверхразрешіма. Отже, в даному випадку --- Група типу 2) з даної теореми.
1.2. Нехай тепер в всі -Абнормальние максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі, 
--- -Група. За лемі, або --- Максимальна підгрупа в , Або --- Максимальна в -Абнормальной максимальної підгрупі групи .
Нехай спочатку максимальна в . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Розглянемо підгрупу 
. Якщо -Субнормальная в , То, за теоремою, 
. Припустимо, що НЕ -Субнормальная в . Тоді міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі 
з . Так як 
, То 
. Якщо 
, То, згідно лемі, --- Мінімальна не -Група. Нехай 
. Тоді 
і 
. Застосовуючи теорему Машка, отримуємо, що 
і 
. Якщо 
, То 
. Протиріччя. За лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Якщо 
--- Довільна максимальна підгрупа з , То, зважаючи леми, -Субнормальная в . Застосовуючи теорему, одержуємо, що підгрупа 
. Значить, --- Група типу 2) з даної теореми, а --- Група типу 3) з даної теореми.
Нехай тепер немаксімальна в . Тоді, за лемі, міститься в якості максимальної підгрупи в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі групи . Тоді група представима у вигляді 
, Де --- -Група. Припустимо, що . Тоді будь-яка -Нормальна максимальна підгрупа групи має вигляд 
, Де --- Деяка максимальна підгрупа з , І, отже, по теоремі, належить формації . Отримали, що група --- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що 
. Тоді, по теоремі Машка, . Зважаючи наступного рівності 
отримуємо протиріччя з тим, що . Отже, --- Група типу 1) з даної теореми. Якщо ж 
, То група має вигляд 
і 
. Так як максимальна в , То 
. Розглянемо підгрупу 
. Якщо , То -Субнормальная в . Враховуючи, що дісперсівна по Оре, по теоремі, отримуємо, що . Протиріччя. Кожна власна підгрупа з буде немаксімальна в і, по лемі, -Субнормальная в . Якщо максимальна в , То --- Мінімальна несверхразрешімая група. У цьому випадку --- Група типу 4) з даної теореми. Якщо припустити, що не максимальна в , То вона міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі 
з . Отримали, що і 
. Це означає, що 
. Суперечність з тим, що --- Максимальна підгрупа в .
2. Розглянемо випадок , Де , і 
--- Різні прості числа. Згідно лемі, у групі або всі -Абнормальние максимальні підгрупи сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою. Розглянемо ці два випадки.
2.1. Припустимо, що в є несверхразрешімая -Абнормальної максимальна підгрупа . За лемі, є мінімальною несверхразрешімой групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою. Припустимо, що 
. Так як 
, То 
і , 
. Застосовуючи лему і враховуючи, що 
, Отримуємо 
. З того, що розв'язана, випливає, що або , Або нормальна в . По теоремі, в існує підгрупа 
. Підгрупа 
міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі 
групи . Припустимо, що 
. Тоді буде немаксімальна в і, за умовою, знайдеться -Субнормальная підгрупа така, що 
. Ясно, що 
. Тому 
, А це означає, що -Субнормальная в . Тоді, за теоремою, 
. Це означає, що 
. Ясно також, що 
і максимальна в . Тоді 
--- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої --- Абелева група. Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Розглянемо підгрупу 
. Припустимо, що 
. Так що або 
, Або 
, То нехай для визначеності . З того, що 
, Випливає, що 
і 
. Маємо і --- Мінімальна нормальна підгрупа в , Тому 
. Значить, підгрупа 
міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі з . Нехай --- Довільна підгрупа з , Відмінна від . Тоді, за умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що 
. Ясно, що . Тому . Звідси випливає, що -Субнормальная в . Припустимо, що 
. Згідно лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. У цьому випадку --- Група типу 5). Нехай 
. Тоді 
, Де --- -Група. Якщо , То, зважаючи леми, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Якщо 
, То, застосовуючи теорему, одержуємо, що --- Циклічна група. Протиріччя. Припустимо, що . Тоді 
. Підгрупа самонормалізуема в , Так як в 
і 
, Підгрупа є максимальною. Значить, --- Група Фробеніуса з ядром і додатковим множником . По теоремі, 
. Протиріччя. Залишається розглянути випадок, коли . По теоремі Машка, і . Звідси отримуємо, що 
і 
. Протиріччя. Значить, . Якщо , То проводячи міркування, аналогічно вищевикладеним, отримуємо, що або належить формації, або є мінімальною несверхразрешімой групою. Отже, --- Група типу 5) з даної теореми.
Нехай тепер --- Мінімальна несверхразрешімая група і 
. Так як , То 
, і 
. Припустимо, що 
. По теоремі, в існує підгрупа , Що містить 
. Так як 
, То 
і міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі 
з . Припустимо, що 
. Застосовуючи лему, отримуємо, що 
, А значить, 
. Підгрупа немаксімальна в , Так як , і . За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що 
. Звідси випливає, що -Субнормальная в , А значить, і в . Протиріччя. Отже, 
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Так як 
, То 
. Приходимо до випадку, розглянутому вище, звідки випливає, що в немає -Абнормальної максимальних підгруп, порядок яких ділиться на три різних простих числа. Отже, , і 
. Ясно, що і 
. З огляду на те, що група дісперсівна по Оре, отримуємо, що --- Найбільший простий дільник 
і , А значить, . З 
випливає, що . Нехай 
--- Довільна максимальна підгрупа з . За умовою, в існує така -Субнормальная підгрупа така, що 
. Ясно, що . Тому сверхразрешіма. Звідси випливає, що -Субнормальная в , Де --- Формація всіх сверхразрешімих груп. Застосовуючи теорему, одержуємо, що підгрупа 
сверхразрешіма. Отже, --- Група типу 2) з даної теореми.
2.2. Нехай тепер в всі -Абнормальние максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі --- -Група. За лемі або --- Максимальна підгрупа в , Або --- Максимальна в -Абнормальной максимальної підгрупі групи .
Нехай максимальна в . Так як , То 
. Згідно доведеному вище, одержуємо, що в цьому випадку група типу 7) з даної теореми.
Припустимо тепер, що не максимальна в . Тоді 
, Де --- -Група. Припустимо, що . Тоді будь-яка -Нормальна максимальна підгрупа групи має вигляд , Де --- Деяка максимальна підгрупа з , І, отже, по теоремі належить формації . Отримали, що група --- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що . Тоді, по теоремі Машка, . Зважаючи наступного рівності 
отримуємо протиріччя з тим, що . Отже, --- Група типу 1) з даної теореми. Нехай тепер 
. У цьому випадку 
. Так як , То . Згідно лемі, підгрупи і будуть -Субнормальних в . Очевидно, що , 
. Тому 
і . Розглянемо підгрупу 
. Підгрупа міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі групи . Якщо 
, То --- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що 
. Тоді 
, Де --- -Група і . Так як 
, То 
--- Елементарна абелева група. Значить, 
і 
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже, --- Група типу 6) з даної теореми.
3. Розглянемо випадок , Де , , і 
--- Різні прості числа. Згідно лемі, у групі або всі -Абнормальние максимальні підгрупи сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою. Розглянемо ці два випадки.
3.1. Припустимо, в є несверхразрешімая -Абнормальної максимальна підгрупа . За лемі, є мінімальною несверхразрешімой групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою. Так як 
, То 
і 
, . Звідси отримуємо, що і 
. Застосовуючи леми і отримуємо, що 
. Розглянемо підгрупу 
. Така група існує згідно теоремі. Так як 
, То міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі 
з . Якщо 
, То 
і, згідно лемі, 
. Підгрупа 
немаксімальна в . Тому, на лемі, -Субнормальная в , А значить, і в . Протиріччя. Отже, 
і, згідно лемі, 
--- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої є мінімальною нормальної підгрупою. Звідси випливає, що 
і 
. Розглянемо підгрупу 
. Підгрупа циклічна згідно теоремі. Тому 
--- Абелева група. Так як , То 
. Аналогічно отримуємо, що комутантів групи 
. є . Нехай 
. Легко бачити, що сверхразрешіма. Зважаючи теореми, 
. Так як 
і 
, То 
і 
. Звідси отримуємо, що 
. Значить, і 
. Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . За умовою, в існує -Субнормальная максимальна підгрупа така, що . Ясно, що 
. Тому належить і -Субнормальная в . Застосовуючи теорему, отримуємо 
. Так як і --- Циклічні групи, згідно теореми, то в два класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи 
і 
, Де --- Максимальна підгрупа з , --- Максимальна підгрупа з . Значить, підгрупи виду і належать , І --- Група типу 8) з даної теореми.
3.2. Нехай тепер в всі -Абнормальние максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі, --- -Група. За лемі, або --- Максимальна підгрупа в , Або максимальна в -Абнормальной максимальної підгрупі групи .
Припустимо, що --- Максимальна підгрупа в . В існує максимальна підгрупа , Не -Субнормальная в і 
. Розглянемо підгрупу 
. Так як і 
, То міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі групи . Якщо 
, То, по лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Тоді 
. Якщо , То, по лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо тепер, що . Тоді 
, Зважаючи леми. Підгрупа , Тому, згідно теореми Машка, і . Розглянемо підгрупу 
. Підгрупа 
буде мінімальною нормальної підгрупою групи 
, В іншому випадку в існує мінімальна нормальна підгрупа 
, Для якої 
і 
. Застосовуючи лему, отримуємо, що --- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже, ми показали, що в існує підгрупа 
така, що 
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Значить, 
, і --- Циклічні групи. Останнє справедливо зважаючи теореми. За доведеним вище, 
може бути групою типу 2), 7) з даної теореми. Якщо --- Група типу 7), то так як згідно лемі будь максимальна підгрупа з -Субнормальная в , --- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже, ми показали, що підгрупа 
--- Або мінімальна несверхразрешімая група, або є групою типу 2) з даної теореми.
Так як підгрупа максимальна в і , То 
і 
. З того, що всі сіловскіе підгрупи з циклічні, випливає, що в всього чотири класи максимальних сполучених підгруп. Так як 
і --- Циклічна група, то максимальна підгрупа з нормальна в . Підгрупа 
максимальна в . Розглянемо тепер підгрупу 
. Якщо , То 
. Якщо припустити, що 
, То міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі 
з . Якщо 
, То --- Мінімальна несверхразрешімая група і 
. Протиріччя. Нехай 
. Тоді максимальна в , Причому --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя. Отже, 
. Нехай . Тоді 
і, згідно доведеному вище, або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми.
Нехай 
, Де --- Максимальна підгрупа з . Розглянемо підгрупу 
. Якщо 
, То 
і, по доведеному, -Субнормальная в . По теоремі, 
. Нехай . Тоді і, згідно доведеному вище, або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми.
Підгрупа , і циклічні, тому в три класи максимальних сполучених підгруп і, значить, в три класи -Нормальних максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи: , і . Група в цьому випадку є групою типу 9) з даної теореми.
Нехай тепер не максимальна в . Тоді , Де . Якщо , То --- Мінімальна несверхразрешімая група і 
. Протиріччя. Нехай . Тоді 
. Зважаючи дісперсівності групи . Нехай --- Довільна -Нормальна максимальна підгрупа. Якщо 
--- 
-Число, то сверхразрешіма. Припустимо, що --- Ступінь . Тоді 
. міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі з . Якщо 
, То --- Мінімальна несверхразрешімая група і 
. Протиріччя. Значить, 
. Підгрупа максимальна в , Тому що в противному випадку сверхразрешіма. За лемі --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя. Отже, сверхразрешіма. Зважаючи довільності вибору , Отримуємо, що --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя.
4. Розглянемо випадок 
. Згідно лемі в групі -Абнормальние максимальні підгрупи або сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою. Якщо в є несверхразрешімая -Абнормальної максимальна підгрупа , То 
і, зважаючи на можливості розв'язання групи , 
. Протиріччя. Нехай тепер в всі -Абнормальние максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі, --- -Група. За лемі, або --- Максимальна підгрупа в , Або --- Максимальна в -Абнормальной максимальної підгрупі групи . Якщо немаксімальна в , То, по доведеному вище, . Залишається випадок, коли --- Максимальна підгрупа в . У цьому випадку і в знайдеться максимальна підгрупа , Не -Субнормальная в . Розглянемо підгрупу . 
. Зважаючи леми, кожна власна підгрупа з -Субнормальная в . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі з . Якщо , То, по лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Протиріччя. Значить, 
і максимальна в . За лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Тоді . Протиріччя. Теорема доведена.
У випадку, коли --- Формація всіх сверхразрешімих груп, з теореми випливає результат Л. Н. Закревської.
Зауважимо, що в роботі при описі груп з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Формація всіх сверхразрешімих груп, Л. Н. Закревської була допущена помилка. Так в ситуації, коли є Холловей -Абнормальной максимальної підгрупою, порядок якої ділиться на просте число , І Холловей -Підгрупа групи сверхразрешіма, стверджується, що Холловей -Підгрупа з не максимальна в , Що в загальному випадку не вірно.
Висновок
У даній роботі розглянуті кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп у випадках, коли --- Або довільна -Замкнута формація -Нільпотентні груп, або довільна -Замкнута формація -Дісперсівних груп, або довільна -Замкнута формація сверхразрешімих груп. Основний висновок, який випливає з теорем полягає в тому, що за винятком кількох цілком доступних для огляду випадків в будь-якій групі , Не належить , Існують не -Субнормальних підгрупи і такі, що , не максимальна в , І з 
завжди випливає, що НЕ -Субнормальная в .
Література
1.Гольфанд Ю.А. Про групи, всі підгрупи яких спеціальні / / Докл. АН СРСР. --- 1948. --- Т. 60, № 8. --- C. 1313 - 1315.
2.Закревская Л.М. Кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп / / в кн: Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп. --- Мінськ: Наука і техніка, 1984. --- 71 - 88.
3.Закревская Л.М. Кінцеві групи з -Щільної системою підгруп / / в кн: Арифметичне і підгруповий будова кінцевих груп. --- Мн.: Наука і техніка, 1986. --- 59 - 69.
4.Каморніков С.Ф., Селькін М.В. Подгрупповие функтори і класи кінцевих груп. --- Мінськ: Бел. навука, 2003. --- 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазінільпотентние групи / / Докл. АН СРСР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003 - 1005.
6.Монахов В.С. Про вплив властивостей максимальних підгруп на будову кінцевої групи / / матем. заст. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183 - 190.
7.Пилаев В.В. Кінцеві групи з щільною системою субнормальних підгруп / / в кн: Деякі питання теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1975. --- С. 197 - 217.
8.Пилаев В.В. Кінцеві групи з узагальнено щільною системою субнормальних підгруп / / в кн: Дослідження з теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1976. --- С. 111 - 138.
9.Семенчук В.М. Мінімальні НЕ -Групи / / Алгебра і логіка. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348 - 382.
10.Черніков С.Н. Групи з щільною системою доповнюються підгруп / / Деякі питання теорії груп. --- Київ: Ін-т математики АН УРСР, 1975. --- С. 5 - 29.
11.Черніков С.Н. Групи з заданими властивостями системи нескінченних підгруп / / Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111 - 131.
12.Черніков С.Н. Про нормалізаторном умови / / Мат. нотатки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45 - 50.
13.Чуніхін С.А. Про -Властивості кінцевих груп / / матем. СБ --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- С. 321 - 346.
