Опис кінцевих груп з щільною системою F субнормальних підгруп для формації F сверхразрешімих

Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Опис кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп для формації сверхразрешімих груп
Курсова робота
Виконавець:
Студентка групи М-32
____________ Лякішева А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2007

Зміст
Перелік умовних позначень
Введення
Опис кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп для формації сверхразрешімих груп
Висновок
Література

Перелік умовних позначень
У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Використовуються позначення, прийняті в книгах. Літерами позначаються прості числа.
Будемо розрізняти знак включення множин і знак суворого включення ;
і --- Відповідно знаки перетину та об'єднання множин;
--- Пусте безліч;
--- Безліч всіх , Для яких виконується умова ;
--- Безліч всіх простих чисел;
--- Деякий безліч простих чисел, тобто ;
--- Додаток до в безлічі всіх простих чисел; зокрема, ;
Примарна число --- будь-яке число виду ;
--- Безліч всіх цілих позитивних чисел.
--- Деякий лінійне впорядкування множини всіх простих чисел .
Запис означає, що передує в упорядкуванні , .
Нехай --- Група. Тоді:
--- Порядок групи ;
--- Порядок елемента групи ;
--- Одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;
--- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;
--- Безліч всіх різних простих дільників натурального числа ;
- Група --- група , Для якої ;
- Група --- група , Для якої ;
--- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто те що всіх максимальних підгруп групи ;
--- Підгрупа Фиттинг групи , Тобто твір всіх нормальних нільпотентних підгруп групи ;
--- Коммутант групи ;
--- - Холлівських підгрупа групи ;
--- Сіловская - Підгрупа групи ;
--- Додаток до сіловской - Підгрупі у групі , Тобто - Холлівських підгрупа групи ;
--- Група всіх автоморфізмів групи ;
--- є підгрупою групи ;
нетривіальна підгрупа --- непоодинокі власна підгрупа;
--- є нормальною підгрупою групи ;
--- Підгрупа характеристичні в групі , Тобто для будь-якого автоморфізм ;
--- Індекс підгрупи в групі ;
;
--- Централізаторів підгрупи в групі ;
--- Нормалізатор підгрупи в групі ;
--- Центр групи ;
--- Циклічна група порядку ;
Якщо і --- Підгрупи групи , То:
--- Прямий добуток підгруп і ;
--- Полупрямой твір нормальної підгрупи і підгрупи .
Група називається:
примарной, якщо ;
біпрімарной, якщо .
Дужки застосовуються для позначення підгруп, породжених деякими безліччю елементів або підгруп.
--- Підгрупа, породжена всіма , Для яких виконується .
Групу називають - Нільпотентні, якщо .
Групу порядку називають - Дісперсівний, якщо виконується і для будь-якого має нормальну підгрупу порядку . Якщо при цьому упорядкування таке, що завжди тягне , То - Дісперсівний група називається дісперсівний по Оре.
Ланцюг --- це сукупність вкладених одна в одну підгруп. Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю. Ланцюг називається -Ланцюгом (з індексами ); Якщо при цьому є максимальною підгрупою в для будь-якого , То зазначена ланцюг називається максимальною -Ланцюгом.
Ряд підгруп називається:
субнормальний, якщо для будь-якого ;
нормальним, якщо для будь-якого .
Нормальний ряд називається головним, якщо є мінімальною нормальною підгрупою в для всіх .
Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмів, позначаються прописними готичними літерами. Так само позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгрупою і подпрямих творів. За деякими класами закріплені стандартні позначення:
--- Клас всіх груп;
--- Клас всіх абелевих груп;
--- Клас всіх нільпотентних груп;
--- Клас всіх розв'язаних груп;
--- Клас всіх - Груп;
--- Клас всіх сверхразрешімих груп.
Нехай --- Деякий клас груп і --- Група, тоді:
--- - Корадікал групи , Тобто те що всіх тих нормальних підгруп з , Для яких . Якщо --- Формація, то є найменшою нормальною підгрупою групи , Факторгрупою по якій належить . Якщо --- Формація всіх сверхразрешімих груп, то називається сверхразрешімим корадікалом групи .
Формація називається насиченою, якщо завжди з випливає, що і . Клас груп називається спадковим або -Замкнутим, якщо з того, що , Випливає, що і кожна підгрупа групи також належить .
Нехай --- Деяка непорожня формація. Максимальна підгрупа групи називається:
-Нормальною, якщо ;
-Абнормальної, якщо .
Максимальна -Ланцюг називається -Субнормальний, якщо для будь-якого підгрупа -Нормальна у . Підгрупа групи називається -Субнормальний, якщо існує хоча б одна -Субнормальная максимальна -Ланцюг.
Група називається групою з щільною системою -Субнормальних підгруп, якщо для будь-яких двох різних підгруп і групи , З яких перша міститься в другій і не максимальна в ній, у групі існує така -Субнормальная підгрупа , Що . У цьому випадку також кажуть, що безліч -Субнормальних в підгруп щільно.


Введення
Вивчення будови груп за заданими властивостями системи їх підгруп є одним з основних напрямків у теорії кінцевих груп. Зазначимо, що темп і глибина таких досліджень безперервно зростають. Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Як властивостей, що накладаються на системи підгруп, розглядалися абелевої, нормальність, субнормального, доповнюваність і ін Цей напрямок одержав широкий розвиток в роботах багатьох провідних алгебраїстів.
З Дедекінда груп, тобто груп, у яких нормальні все підгрупи, почалося вивчення різних (як кінцевих, так і нескінченних) груп, у яких деяка система підгруп задовольняє умові нормальності. Опис кінцевих Дедекінда груп дано в роботі Р. Дедекінда, а нескінченних в роботі Р. Бера. Ці роботи визначили важливий напрям досліджень у теорії груп. Головною метою цього напрямку є опис узагальнено Дедекінда груп. Ці узагальнення Дедекінда груп здійснюються або шляхом звуження системи підгруп , Тобто підгруп нормальних у всій групі, або ослаблення властивості нормальності для підгруп із . Серед таких узагальнень виділимо наступні дослідження.
Перше істотне узагальнення Дедекінда груп належить О.Ю. Шмідту. Він описав кінцеві групи з одним і двома класами пов'язаних ненормальних підгруп, а також встановив нільпотентності кінцевої групи, у якої нормальні всі максимальні підгрупи. Кінцеві групи з нормальними -Прищеплені максимальними підгрупами вивчали Б. Хупперт та З. Янко. Д. Баклі вивчав кінцеві групи, у яких нормальні всі мінімальні підгрупи.
Значні розширення класу Дедекінда груп виникають при переході від умови нормальності до різних її узагальнень, як, наприклад, до квазінормальності, субнормального, нормалізаторним умов і ін
На початку 70-х років з ініціативи С. М. Чернікова почалося вивчення груп з щільними системами підгруп. Система підгруп групи , Що володіє деякими властивістю , Називається щільною в , Якщо для будь-яких двох підгруп з , Де не максимально в , Знайдеться -Підгрупа така, що . Групи з щільною системою доповнюваних підгруп були вивчені С. М. Черніковим.
У 1974 році С. М. Черніков поставив таке запитання: яке будова групи , В якій множина всіх її субнормальних підгруп щільно? Відповідь на це питання було отримано А. Манном і В. В. Пилаевим.
Зауважимо, що в теорії формацій поняття субнормального узагальнюється наступним чином. Кажуть, що підгрупа є -Субнормальний в , Якщо існує ланцюг підгруп

така, що є -Нормальної максимальної підгрупою в для будь-якого . Якщо збігається з класом всіх нільпотентних груп (який є, звичайно, -Замкнутої насиченою формацією), то -Субнормальная підгрупа виявляється субнормальний.
У зв'язку з розвитком теорії формацій велика увага стала приділятися дослідженню кінцевих груп, насичених - Підгрупами, - Субнормальний або - Абнормальної підгрупами. У цьому напрямі проводили свої дослідження Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмід, Хоукс і інші.
Ясно, що питання С. Н. Чернікова можна сформулювати в такій загальній формі: якщо --- -Замкнута насичена формація, то яке будова групи, в якій множина всіх її -Субнормальних підгруп щільно?
У такому вигляді запитання С. Н. Чернікова був досліджений в роботі для випадку, коли --- Клас всіх -Нільпотентних груп. У цій роботі ми досліджуємо це питання у випадках, коли --- Довільна -Замкнута насичена формація або -Нільпотентних, або -Дісперсівний, або сверхразрешімих груп.


Опис кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп для формації сверхразрешімих груп
Нехай --- Довільна -Замкнута насичена формація сверхразрешімих груп, --- Несверхразрешімая група з щільною системою -Субнормальних підгруп. Тоді кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з або належить , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою.
Доказ. Припустимо, що НЕ -Дісперсівний, де таке, що рівносильно . Так як --- Формація -Дісперсівний груп, то, за лемі GOTOBUTTON GEQ211 REF GEQ211 \ * MERGEFORMAT (??), лема вірна. Нехай тепер -Дісперсівний. У цьому випадку лема вірна по лемі GOTOBUTTON GEQ146 REF GEQ146 \ * MERGEFORMAT (??). Лема доведена.
Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація сверхразрешімих груп, --- Несверхразрешімая -Група з щільною системою -Субнормальних підгруп. Тоді --- Група одного з наступних типів:
1) --- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої , ;
2) , Де , містить таку абелева підгрупу , Нормальну в , Що --- Мінімальна несверхразрешімая група, яка є в максимальної підгрупою непростого індексу, підгрупа сверхразрешіма, де --- Будь-яка максимальна підгрупа з ;
3) , , --- Мінімальна нормальна підгрупа групи , Підгрупа , Де --- Довільна максимальна підгрупа з , Є або сверхразрешімой, або мінімальної не -Групою, або групою типу 2) з даної теореми;
4) , , Де --- Мінімальна нормальна підгрупа групи , , Підгрупа , є або мінімальної несверхразрешімой групою, або групою типу 2) з даної теореми;
5) , , --- Мінімальна нормальна підгрупа з , --- Абелева група, і --- Мінімальні несверхразрешімие групи, підгрупа або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, де --- Довільна максимальна підгрупа з ;
6) , , Де , --- Мінімальні нормальні підгрупи групи , , --- Мінімальна несверхразрешімая група;
7) , ), Де --- Мінімальна нормальна підгрупа групи , сверхразрешіма, підгрупа , Де --- Довільна максимальна підгрупа групи , Або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) або 4) з даної теореми;
8) , і має точно чотири класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи , , , з наступними властивостями: , --- Мінімальні несверхразрешімие групи, підгрупи і належать , Де --- Максимальна підгрупа з , --- Максимальна підгрупа з ;
9) , і має точно чотири класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи , , , з наступними властивостями: сверхразрешіма, --- Або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми, , Де --- Максимальна підгрупа з , Або належить , Або і є мінімальною несверхразрешімой групою або групою типу 2) з даної теореми, , Де --- Максимальна підгрупа з , Або належить , Або і є мінімальною несверхразрешімой групою або групою типу 2) з даної теореми.
Доказ. За лемі, група можна вирішити. Якщо група НЕ дісперсівний по Оре, то до неї застосовна теорема, і дана теорема вірна. Тому далі ми будемо вважати, що група дісперсівний по Оре.
1. Розглянемо спочатку випадок , Де і --- Різні прості числа. За лемі в групі будь-яка -Абнормальної максимальна підгрупа або сверхразрешіма, або є мінімальною несверхразрешімой групою у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Ці два випадки ми і розглянемо.
1.1. Нехай у є несверхразрешімая -Абнормальної максимальна підгрупа . За лемі, є мінімальною несверхразрешімой групою і --- Абелева група. Так як , То або , Або . Якщо припустити, що , То і . Тому немаксімальна в і, по лемі, -Субнормальная в . Звідси, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), . Протиріччя. Значить, , і . З того, що група дісперсівний по Оре, і , Випливає, що . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Ясно, що і, значить, сверхразрешіма. Отже, -Субнормальная в і в , Де --- Формація всіх сверхразрешімих груп. Застосовуючи теорему, отримуємо. що підгрупа сверхразрешіма. Отже, в даному випадку --- Група типу 2) з даної теореми.
1.2. Нехай тепер у всі -Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі, --- -Група. За лемі, або --- Максимальна підгрупа в , Або --- Максимальна в -Абнормальної максимальної підгрупі групи .
Нехай спочатку максимальна в . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Розглянемо підгрупу . Якщо -Субнормальная в , То, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), . Припустимо, що НЕ -Субнормальная в . Тоді міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Так як , То . Якщо , То, згідно лемі, --- Мінімальна не -Група. Нехай . Тоді і . Застосовуючи теорему Машка, отримуємо, що і . Якщо , То . Протиріччя. За лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Якщо --- Довільна максимальна підгрупа з , То, зважаючи на леми, -Субнормальная в . Застосовуючи теорему, отримуємо, що підгрупа . Значить, --- Група типу 2) з даної теореми, а --- Група типу 3) з даної теореми.

Нехай тепер немаксімальна в . Тоді, за лемі, міститься в якості максимальної підгрупи в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Тоді група бути подана в вигляді , Де --- -Група. Припустимо, що . Тоді будь-яка -Нормальна максимальна підгрупа групи має вигляд , Де --- Деяка максимальна підгрупа з , І, отже, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), належить формації . Отримали, що група --- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що . Тоді, по теоремі Машка GOTOBUTTON GEQ173 REF GEQ173 \ * MERGEFORMAT (??), . Зважаючи наступного рівності отримуємо протиріччя з тим, що . Отже, --- Група типу 1) з даної теореми. Якщо ж , То група має вигляд і . Так як максимальна в , То . Розглянемо підгрупу . Якщо , То -Субнормальная в . Враховуючи, що дісперсівний по Оре, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), отримуємо, що . Протиріччя. Кожна власна підгрупа з буде немаксімальна в і, по лемі, -Субнормальная в . Якщо максимальна в , То --- Мінімальна несверхразрешімая група. У цьому випадку --- Група типу 4) з даної теореми. Якщо припустити, що не максимально в , То вона міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Отримали, що і . Це означає, що . Протиріччя з тим, що --- Максимальна підгрупа в .
2. Розглянемо випадок , Де , і --- Різні прості числа. Згідно лемі, в групі або всі -Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Розглянемо ці два випадки.
2.1. Припустимо, що в є несверхразрешімая -Абнормальної максимальна підгрупа . За лемі, є мінімальною несверхразрешімой групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Припустимо, що . Так як , То і , . Застосовуючи лему та враховуючи, що , Отримуємо . З того, що розв'язна, слід, що або , Або нормальна в . По теоремі, в існує підгрупа . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Припустимо, що . Тоді буде немаксімальна в і, за умовою, знайдеться -Субнормальная підгрупа така, що . Ясно, що . Тому , А це означає, що -Субнормальная в . Тоді, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), . Це означає, що . Ясно також, що і максимальна в . Тоді --- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої --- Абелева група. Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Розглянемо підгрупу . Припустимо, що . Так що або , Або , То нехай для визначеності . З того, що , Випливає, що і . Маємо і --- Мінімальна нормальна підгрупа в , Тому . Значить, підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Нехай --- Довільна підгрупа з , Відмінна від . Тоді, за умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Ясно, що . Тому . Звідси випливає, що -Субнормальная в . Припустимо, що . Згідно лемі GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??), --- Мінімальна несверхразрешімая група. У цьому випадку --- Група типу 5). Нехай . Тоді , Де --- -Група. Якщо , То, зважаючи на леми GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??), --- Мінімальна несверхразрешімая група. Якщо , То, застосовуючи теорему GOTOBUTTON GEQ184 REF GEQ184 \ * MERGEFORMAT (??), отримуємо, що --- Циклічна група. Протиріччя. Припустимо, що . Тоді . Підгрупа самонормалізуема в , Так як в і , Підгрупа є максимальною. Значить, --- Група Фробеніуса з ядром і додатковим множником . По теоремі GOTOBUTTON GEQ179 REF GEQ179 \ * MERGEFORMAT (??), . Протиріччя. Залишається розглянути випадок, коли . По теоремі Машка GOTOBUTTON GEQ173 REF GEQ173 \ * MERGEFORMAT (??), і . Звідси отримуємо, що і . Протиріччя. Значить, . Якщо , То проводячи міркування, аналогічно вищевикладеним, отримуємо, що або належить формації, або є мінімальною несверхразрешімой групою. Отже, --- Група типу 5) з даної теореми.
Нехай тепер --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Так як , То , і . Припустимо, що . По теоремі GOTOBUTTON GEQ182 REF GEQ182 \ * MERGEFORMAT (??), в існує підгрупа , Що містить . Так як , То і міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Припустимо, що . Застосовуючи лему, отримуємо, що , А значить, . Підгрупа немаксімальна в , Так як , і . За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Звідси випливає, що -Субнормальная в , А значить, і в . Протиріччя. Отже, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Так як , То . Приходимо до випадку, розглянутому вище, звідки випливає, що в немає -Абнормальної максимальних підгруп, порядок яких ділиться на три різних простих числа. Отже, , і . Ясно, що і . З огляду на те, що група дісперсівний по Оре, отримуємо, що --- Найбільший простий дільник і , А значить, . З випливає, що . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . За умовою, в існує така -Субнормальная підгрупа така, що . Ясно, що . Тому сверхразрешіма. Звідси випливає, що -Субнормальная в , Де --- Формація всіх сверхразрешімих груп. Застосовуючи теорему, отримуємо, що підгрупа сверхразрешіма. Отже, --- Група типу 2) з даної теореми.
2.2. Нехай тепер у всі -Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі --- -Група. За лемі або --- Максимальна підгрупа в , Або --- Максимальна в -Абнормальної максимальної підгрупі групи .
Нехай максимальна в . Так як , То . Згідно доведеному вище, одержуємо, що в цьому випадку група типу 7) з даної теореми.
Припустимо тепер, що не максимально в . Тоді , Де --- -Група. Припустимо, що . Тоді будь-яка -Нормальна максимальна підгрупа групи має вигляд , Де --- Деяка максимальна підгрупа з , І, отже, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??) Належить формації . Отримали, що група --- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що . Тоді, по теоремі Машка, . Зважаючи наступного рівності отримуємо протиріччя з тим, що . Отже, --- Група типу 1) з даної теореми. Нехай тепер . У цьому випадку . Так як , То . Згідно лемі GOTOBUTTON GEQ191 REF GEQ191 \ * MERGEFORMAT (??), підгрупи і будуть -Субнормальний в . Очевидно, що , . Тому і . Розглянемо підгрупу . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Якщо , То --- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що . Тоді , Де --- -Група і . Так як , То --- Елементарна абелева група. Значить, і --- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже, --- Група типу 6) з даної теореми.
3. Розглянемо випадок , Де , , і --- Різні прості числа. Згідно лемі, в групі або всі -Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Розглянемо ці два випадки.
3.1. Припустимо, в є несверхразрешімая -Абнормальної максимальна підгрупа . За лемі, є мінімальною несверхразрешімой групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Так як , То і , . Звідси отримуємо, що і . Застосовуючи леми і отримуємо, що . Розглянемо підгрупу . Така група існує згідно теоремі GOTOBUTTON GEQ182 REF GEQ182 \ * MERGEFORMAT (??). Так як , То міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Якщо , То і, згідно лемі, . Підгрупа немаксімальна в . Тому, по лемі GOTOBUTTON GEQ191 REF GEQ191 \ * MERGEFORMAT (??), -Субнормальная в , А значить, і в . Протиріччя. Отже, і, згідно лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої є мінімальною нормальною підгрупою. Звідси випливає, що і . Розглянемо підгрупу . Підгрупа циклічна згідно теоремі. Тому --- Абелева група. Так як , То . Аналогічно отримуємо, що коммутантам групи . є . Нехай . Легко бачити, що сверхразрешіма. Зважаючи теореми, . Так як і , То і . Звідси отримуємо, що . Значить, і . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . За умовою, в існує -Субнормальная максимальна підгрупа така, що . Ясно, що . Тому належить і -Субнормальная в . Застосовуючи теорему, отримуємо . Так як і --- Циклічні групи, згідно теореми, то в два класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи і , Де --- Максимальна підгрупа з , --- Максимальна підгрупа з . Значить, підгрупи виду і належать , І --- Група типу 8) з даної теореми.
3.2. Нехай тепер у всі -Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі, --- -Група. За лемі, або --- Максимальна підгрупа в , Або максимальна в -Абнормальної максимальної підгрупі групи .
Припустимо, що --- Максимальна підгрупа в . У існує максимальна підгрупа , Не -Субнормальная в і . Розглянемо підгрупу . Так як і , То міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Якщо , То, за лемі GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??), --- Мінімальна несверхразрешімая група. Тоді . Якщо , То, за лемі GOTOBUTTON GEQ213 REF GEQ213 \ * MERGEFORMAT (??), --- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо тепер, що . Тоді , Зважаючи на леми. Підгрупа , Тому, згідно теореми Машка, і . Розглянемо підгрупу . Підгрупа буде мінімальною нормальною підгрупою групи , У противному випадку в існує мінімальна нормальна підгрупа , Для якої і . Застосовуючи лему, отримуємо, що --- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже, ми показали, що в існує підгрупа така, що --- Мінімальна несверхразрешімая група. Значить, , і --- Циклічні групи. Остання справедливо зважаючи теореми GOTOBUTTON GEQ184 REF GEQ184 \ * MERGEFORMAT (??). За доведеним вище, може бути групою типу 2), 7) з даної теореми. Якщо --- Група типу 7), то оскільки згідно лемі будь-яка максимальна підгрупа з -Субнормальная в , --- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже, ми показали, що підгрупа --- Або мінімальна несверхразрешімая група, або є групою типу 2) з даної теореми.
Так як підгрупа максимальна в і , То і . З того, що всі сіловскіе підгрупи з циклічні, випливає, що в лише чотири класи максимальних сполучених підгруп. Так як і --- Циклічна група, то максимальна підгрупа з нормальна в . Підгрупа максимальна в . Розглянемо тепер підгрупу . Якщо , То . Якщо припустити, що , То міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Якщо , То --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя. Нехай . Тоді максимальна в , Причому --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя. Отже, . Нехай . Тоді і, згідно з доведеним вище, або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми.
Нехай , Де --- Максимальна підгрупа з . Розглянемо підгрупу . Якщо , То і, по доведеному, -Субнормальная в . По теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), . Нехай . Тоді і, згідно з доведеним вище, або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми.
Підгрупа , і циклічні, тому в три класи максимальних сполучених підгруп і, значить, у три класи -Нормальних максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи: , і . Група в цьому випадку є групою типу 9) з даної теореми.
Нехай тепер не максимально в . Тоді , Де . Якщо , То --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя. Нехай . Тоді . Зважаючи дісперсівний групи . Нехай --- Довільна -Нормальна максимальна підгрупа. Якщо --- -Число, то сверхразрешіма. Припустимо, що --- Ступінь . Тоді . міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Якщо , То --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя. Значить, . Підгрупа максимальна в , Тому що в противному випадку сверхразрешіма. За лемі GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??) --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя. Отже, сверхразрешіма. Зважаючи на довільності вибору , Отримуємо, що --- Мінімальна несверхразрешімая група і . Протиріччя.
4. Розглянемо випадок . Згідно лемі в групі -Абнормальні максимальні підгрупи або сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Якщо в є несверхразрешімая -Абнормальної максимальна підгрупа , То і, зважаючи на розв'язності групи , . Протиріччя. Нехай тепер у всі -Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі, --- -Група. За лемі, або --- Максимальна підгрупа в , Або --- Максимальна в -Абнормальної максимальної підгрупі групи . Якщо немаксімальна в , То, за доведеному вище, . Залишається випадок, коли --- Максимальна підгрупа в . У цьому випадку і в знайдеться максимальна підгрупа , Не -Субнормальная в . Розглянемо підгрупу . . Зважаючи леми, кожна власна підгрупа з -Субнормальная в . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальної максимальної підгрупі з . Якщо , То, за лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Протиріччя. Значить, і максимальна в . За лемі, --- Мінімальна несверхразрешімая група. Тоді . Протиріччя. Теорема доведена.
У випадку, коли --- Формація всіх сверхразрешімих груп, з теореми випливає результат Л. М. Закревської.
Зауважимо, що в роботі при описі груп з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Формація всіх сверхразрешімих груп, Л. М. Закревської була допущена помилка. Так в ситуації, коли є Холловей -Абнормальної максимальної підгрупою, порядок якої ділиться на просте число , І Холловей -Підгрупа групи сверхразрешіма, стверджується, що Холловей -Підгрупа з не максимально в , Що в загальному випадку не вірно.

Висновок
У даній роботі розглянуті кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп у випадках, коли --- Або довільна -Замкнута формація -Нільпотентних груп, або довільна -Замкнута формація -Дісперсівний груп, або довільна -Замкнута формація сверхразрешімих груп. Основний висновок, який випливає з теорем полягає в тому, що за винятком кількох цілком доступних для огляду випадків у будь-якій групі , Що не належить , Існують не -Субнормальний підгрупи і такі, що , не максимально в , І з завжди слід, що НЕ -Субнормальная в .

Література
1.Гольфанд Ю.А. Про групи, всі підгрупи яких спеціальні / / Докл. АН СРСР. --- 1948. --- Т. 60, № 8. --- C. 1313 - 1315.
2.Закревская Л.М. Кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп / / В кн: Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп. --- Мінськ: Наука і техніка, 1984. --- 71 - 88.
3.Закревская Л.М. Кінцеві групи з -Щільною системою підгруп / / В кн: Арифметичне і підгруповий будова кінцевих груп. --- Мн.: Наука і техніка, 1986. --- 59 - 69.
4.Каморніков С.Ф., Селькін М.В. Подгрупповие функтори і класи кінцевих груп. --- Мінськ: Бел. навука, 2003. --- 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазінільпотентние групи / / Докл. АН СРСР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003 - 1005.
6.Монахов В.С. Про вплив властивостей максимальних підгруп на будову кінцевої групи / / матем. заст. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183 - 190.
7.Пилаев В.В. Кінцеві групи з щільною системою субнормальних підгруп / / В кн: Деякі питання теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1975. --- С. 197 - 217.
8.Пилаев В.В. Кінцеві групи з узагальнено щільною системою субнормальних підгруп / / В кн: Дослідження з теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1976. --- С. 111 - 138.
9.Семенчук В.М. Мінімальні НЕ -Групи / / Алгебра і логіка. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348 - 382.
10.Черніков С.М. Групи з щільною системою доповнюваних підгруп / / Деякі питання теорії груп. --- Київ: Ін-т математики АН УРСР, 1975. --- С. 5 - 29.
11.Черніков С.М. Групи з заданими властивостями системи нескінченних підгруп / / Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111 - 131.
12.Черніков С.М. Про нормалізаторном умови / / Мат. нотатки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45 - 50.
13.Чуніхін С.А. Про -Властивості кінцевих груп / / матем. СБ --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- С. 321 - 346.