Класифікація груп з перестановки узагальнено максимальними підгрупами

Міністерство освіти Республіки Білорусь

Заклад освіти

«Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини »

Математичний факультет

Кафедра алгебри та геометрії

Курсова робота

Класифікація груп з перестановки узагальнено максимальними підгрупами

Виконавець:

Студентка групи М-32 Лапухова А.Ю.

Науковий керівник:

Канд. фіз-мат. наук, доцент Скиба М.Т.

Гомель 2005

Зміст

Перелік умовних позначень

Введення

1. Класифікація груп з перестановки узагальнено максимальними підгрупами

_{2. Групи з-перестановки-максимальними підгрупами}

_{3. Групи, в яких-максимальні підгрупи перестановки з-максимальними підгрупами}

_{4. Групи, в яких максимальні підгрупи перестановки з-максимальними підгрупами}

Висновок

Література

Перелік умовних позначень

У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Використовуються позначення, прийняті в книгах. Літерами позначаються прості числа.

Будемо розрізняти знак включення множин і знак суворого включення ;

і - Відповідно знаки перетину та об'єднання множин;

- Порожня множина;

- Множина всіх для яких виконується умова ;

- Множина всіх натуральних чисел;

- Безліч всіх простих чисел;

- Деяке безліч простих чисел, тобто ;

- Доповнення до у безлічі всіх простих чисел; зокрема, ;

примарний число - будь-яке число виду ;

Нехай - Група. Тоді:

- Порядок групи ;

- Порядок елемента групи ;

- Одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;

- Безліч всіх різних простих дільників натурального числа ;

-Група - група , Для якої ;

-Група - група , Для якої ;

- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто перетин всіх максимальних підгруп групи ;

- Підгрупа фіттінги групи , Тобто твір всіх нормальних нільпотентні підгруп групи ;

- Найбільша нормальна -Нільпотентні підгрупа групи ;

- Коммутант групи , Тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;

- -Ий коммутант групи ;

- Найбільша нормальна -Підгрупа групи ;

- -Холловская підгрупа групи ;

- Сіловская -Підгрупа групи ;

- Доповнення до сіловской -Підгрупі в групі , Тобто -Холловская підгрупа групи ;

- Група всіх автоморфизмов групи ;

- є підгрупою групи ;

- є власною підгрупою групи ;

- є максимальною підгрупою групи ;

нетривіальна підгрупа - непоодинокі власна підгрупа;

- є нормальною підгрупою групи ;

- Підгрупа характеристичною в групі , Тобто для будь-якого автоморфізм ;

- Індекс підгрупи в групі ;

;

- Централизатор підгрупи в групі ;

- Нормалізатор підгрупи в групі ;

- Центр групи ;

- Циклічна група порядку ;

- Ядро підгрупи в групі , Тобто перетин всіх підгруп, пов'язаних з в .

Якщо і - Підгрупи групи , То:

- Пряме твір підгруп і ;

- Півпрямі твір нормальної підгрупи і підгрупи ;

- і ізоморфні.

Група називається:

примарний, якщо ;

біпрімарной, якщо .

Дужки застосовуються для позначення підгруп, породжених деякими безліччю елементів або підгруп.

- Підгрупа, породжена всіма , Для яких виконується .

, Де .

Групу називають:

-Замкнутою, якщо сіловская -Підгрупа групи нормальна в ;

-Нільпотентні, якщо -Холловская підгрупа групи нормальна в ;

-Розв'язною, якщо існує нормальний ряд, фактори якого або -Групи, або -Групи;

-Сверхразрешімой, якщо кожен її головний фактор є або -Групою, або циклічної групою;

нільпотентні, якщо всі її сіловскіе підгрупи нормальні;

метанільпотентной, якщо існує нормальна нільпотентні підгрупа групи така, що нільпотентні.

розв'язною, якщо існує номер такий, що ;

сверхразрешімой, якщо вона має головний поруч, всі індекси якого є простими числами.

Група Шмідта - це кінцева ненільпотентная група, всі власні групи якої нільпотентні.

Додаванням до підгрупи групи називається така підгрупа з , Що .

Мінімальна нормальна підгрупа групи - Непоодинокі нормальна підгрупа групи , Не містить власних непоодиноких нормальних підгруп групи .

Цоколь групи - Твір всіх мінімальних нормальних підгруп групи .

- Цоколь групи .

Експонента групи - Це найменше спільне кратне порядків всіх її елементів.

Ланцюг - це сукупність вкладених один в одного підгруп. Ряд підгруп - це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю.

Ряд підгруп називається:

субнормальний, якщо для будь-якого ;

нормальним, якщо для будь-якого ;

головним, якщо є мінімальною нормальної підгрупою в для всіх .

Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмом, позначаються прописними готичними літерами. Також позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгруппамі і подпрямих творів. За деякими класами закріплені стандартні позначення:

- Клас всіх груп;

- Клас всіх абелевих груп;

- Клас всіх нільпотентні груп;

- Клас всіх розв'язаних груп;

- Клас всіх -Груп;

- Клас всіх сверхразрешімих груп;

- Клас всіх абелевих груп експоненти, що ділить .

Формації - це класи кінцевих груп, замкнуті щодо взяття гомоморфний образів і кінцевих подпрямих творів.

Нехай - Деякий клас груп і - Група, тоді:

- -Корадікал групи , Тобто перетин всіх тих нормальних підгруп з , Для яких . Якщо - Формація, то є найменшою нормальної підгрупою групи , Факторгруппамі по якій належить . Якщо - Формація всіх сверхразрешімих груп, то називається сверхразрешімим корадікалом групи .

Формація називається насиченою, якщо завжди з випливає, що і .

Клас груп називається спадковим або замкнутим щодо підгруп, якщо з того, що випливає, що і кожна підгрупа групи також належить .

Твір формацій і складається з усіх груп , Для яких , Тобто .

Нехай - Деяка непорожній формація. Максимальна підгрупа групи називається -Абнормальной, якщо .

Підгрупи і групи називаються перестановки, якщо .

Нехай , -Підгрупи групи і . Тоді називається:

(1) -Перестановною з , Якщо в є такий елемент , Що ;

(2) спадково -Перестановною з , Якщо в є такий елемент , Що .

Нехай - Максимальна підгрупа групи . Нормальним індексом підгрупи називають порядок головного чинника , Де і , І позначають символом .

Підгрупа групи називається -Максимальної підгрупою або інакше другий максимальної підгрупою в , Якщо в знайдеться така максимальна підгрупа , В якій є максимальною підгрупою. Аналогічно визначають -Максимальні (треті максимальні) підгрупи, -Максимальні підгрупи і т.д.

Введення

Підгрупи і групи називаються перестановки, якщо . Підгрупа групи називається перестановною або квазінормальной в , Якщо перестановки з кожною підгрупою групи .

Перестановочне підгрупи мають ряд цікавих властивостей, ніж був і викликаний широкий інтерес до аналізу перестановки і частково перестановки підгруп в цілому. Вивчення перестановки підгруп було розпочато в класичній роботі Оре, де було доведено, що будь-яка з перестановки підгрупа є субнормальной. Підгрупи, перестановочне з сіловскімі підгрупами, вперше вивчалися в роботі С.А. Чунихина. Зазначимо, що підгрупи такого типу були названі пізніше в роботі Кегеля -Квазінормальнимі. У 60-70-х роках минулого століття з'явилися ряд ключових робіт з теорії перестановки підгруп, які визначили основні напрями розвитку теорії перестановки підгруп в наступні роки. Уточнюючи зазначений вище результат Оре, Іто і Сеп в роботі довели, що для кожної перестановною підгрупи групи факторгруппамі нільпотентні. В іншому напрямку цей результат Оре отримав розвиток у роботах Кегеля і Дескінса. Кегель довів, що будь-яка -Квазінормальная підгрупа є субнормальной і показав, що підгрупи, перестановочне з сіловскімі підгрупами, утворюють грати. Перший з цих двох результатів Дескінс узагальнив наступним чином, якщо породжується своїми -Елементами і -Підгрупа групи -Квазінормальна в , То факторгруппамі нільпотентні. У цій роботі Дескінс висловив припущення про те, що для квазінормальной в підгрупи факторгруппамі абелева. Негативне рішення цього завдання було отримано Томпсоном в роботі.

Зазначимо, що після виходу робіт, частково перестановочне підгрупи стали активно використовуватися в дослідженнях багатьох авторів. Зокрема, у роботі Е.М. Пальчик досліджував властивості -Квазінормальних підгруп, тобто підгруп перестановки з усіма біпрімарнимі підгрупами групи . Істотно посилюючи результат роботи, Майер і Шмід довели, що якщо - Квазінормальная підгрупа кінцевої групи , То факторгруппамі міститься в гіперцентре факторгруппамі , Де - Ядро підгрупи . Відзначимо, що аналогічний результат для підгруп, перестановки з сіловскімі підгрупами, був отриманий лише в недавній роботі П. Шмідта. Стоунхьюер в роботі узагальнив результат Оре на випадок нескінченних груп. Він довів, що кожна з перестановки підгрупа звичайно породженою групи субнормальная.

Значні успіхи, досягнуті у вивченні перестановки підгруп, в 1960-1980 роках послужили основою для подальшого вивчення груп по наявності в них тих чи інших систем перестановки підгруп. Зокрема, Хупперт довів, що здійсненне група сверхразрешіма, якщо всі максимальні підгрупи всіх сіловскіх підгруп з перестановки з сіловскімі підгрупами з , І група розв'язана, якщо в ній є така сіловская підгрупа і таке її доповнення , Що перестановки з усіма максимальними підгрупами з . Ці два результати Хупперта дали поштовх великій кількості публікацій, cвязанних з дослідженням впливу на будову основою групи максимальних підгруп сіловскіх підгруп і, зокрема, з дослідженням перестановочного таких підгруп. Інший результат, який дав значний імпульс до дослідження груп з заданими системами перестановки підгруп був отриманий Асаад і Шаланом в їх спільній роботі, де була доведена сверхразрешімость кінцевої групи за умови, що , Де всі підгрупи з перестановки з усіма підгрупами з . Ідеї ​​цієї роботи і, зокрема, відзначений тут результат цієї роботи були розвинені в багатьох напрямках в дослідженнях багатьох авторів, де на основі перестановочного були описані багато важливих класи кінцевих і нескінченних груп.

У роботі Го Веньбіня, Шама і А.Н. Скиби було розглянуто нове узагальнення поняття перестановною підгрупи. Згідно, погруппи і називаються -З перестановки, де , Якщо в є такий елемент , Що . Використовуючи поняття -Перестановочного можна охарактеризувати багато важливих класи груп по наявності в них тих чи інших -Перестановки підгруп для відповідних . Згідно, група є сверхразрешімой тоді і тільки тоді, коли всі її максимальні підгрупи -Перестановки з усіма іншими підгрупами цієї групи. Нові характеризації в термінах -Перестановки підгруп для класів розв'язаних, сверхразрешімих і нільпотентні груп можна знайти в роботах.

Таким чином, завдання вивчення груп із заданою системою перестановки і узагальнено перестановки підгруп цілком актуальна, і подальшої її реалізації присвячена ця робота.

1. Класифікація груп з перестановки узагальнено максимальними підгрупами

Результати, пов'язані з вивченням максимальних підгруп, склали одне з найзмістовніших напрямків в теорії кінцевих груп. Це пов'язано насамперед з тим, що багато відомих класи груп допускають опису на основі властивостей максимальних підгруп. Зазначимо, наприклад, що група нільпотентні тоді і тільки тоді, коли всі її максимальні підгрупи нормальні; сверхразрешіма тоді і тільки тоді, коли індекси всіх її максимальних підгруп прості; залагодити тоді й тільки тоді, коли у будь-якій її максимальної підгрупи нормальний індекс збігається зі звичайним індексом. Зазначимо також, що максимальні підгрупи лежать в основі багатьох важливих ознак приналежності групи виділеного класу груп. Найбільш відомими результатами в цьому напрямі є теорема Дескінса-Томпсона-Янко про те, що група розв'язана, якщо вона має максимальну нільпотентні підгрупою, у якої клас нільпотентні сіловскіх -Підгруп не перевершує 2 і теорема О.Ю. Шмідта про можливості розв'язання групи, у якій всі максимальні підгрупи нільпотентні. Зазначимо, що разрешимость груп, у яких все максимальні підгрупи сверхразрешіми, була встановлена ​​Хуппертом.

У міру розвитку теорії максимальних підгруп багатьма авторами робилися також спроби вивчення і застосування -Максимальних, -Максимальних і т.д. підгруп. При цьому, як і для максимальних підгруп, з одного боку розглядалися групи з різними обмеженнями на спосіб вкладення узагальнено максимальних підгруп у ці групи, з іншого боку досліджувалися властивості основної групи в залежності від умов, що накладаються на внутрішню будову -Максимальних, -Максимальних і т.д. підгруп. Мабуть, найбільш ранній результат, що відноситься до цього напряму, було отримано Хуппертом, що встановив сверхразрешімость групи, у якій всі другі максимальні підгрупи нормальні. Надалі цей результат був розвинений в декількох напрямках. Зокрема, сверхразрешімость вирішуваних груп, у яких всі другі максимальні підгрупи перестановки з усіма сіловскімі підгрупами було встановлено Агровалем, а в роботі Л.А. Поляков довів, що група сверхразрешіма, якщо будь-яка її -Максимальна підгрупа перестановки з усіма максимальними підгрупами цієї групи.

Виявилося, що групи, у яких все -Максимальні підгрупи нільпотентні, не обов'язково розв'язати і повний опис груп з такою властивістю в нерозв'язних випадку було отримано Янком, а в вирішуваною випадку В.А. Белоногова. Групи, в яких усі -Максимальні підгрупи абелеві, були описані Я.Г. Берковичем в роботі. Ці результати отримали розвиток у роботі В.М. Семенчука, який дав повний опис вирішуваних груп, у яких всі їх -Максимальні підгрупи сверхразрешіми.

В останні роки отримано ряд нових цікавих результатів про -Максимальних підгрупах, пов'язаних з вивченням їх способу вкладення в основну групу. У зв'язку з цим, перш за все, в яких на мові -Максимальних підгруп отримані опису ряду важливих класів груп. Нагадаємо, що підгрупа групи має властивість покриття-ізолювання, якщо для будь-якого головного фактора групи виконується одна з двох умов або . У роботі доведено, що група залагодити тоді й тільки тоді, коли в є така -Максимальна здійсненне підгрупа, яка має властивість покриття-ізолювання. Зазначимо також, що в роботі, а також у роботі вивчався будова груп, у залежності від -Максимальних підгруп їх сіловскіх підгруп.

Нехай і - Підгрупи групи . Тоді підгрупа називається -Перестановною з , Якщо в знайдеться такий елемент , Що . У роботі знайдені нові опису нільпотентні і сверхразрешімих груп на основі умови -Перестановочного для -Максимальних підгруп. Зокрема, доведено, що: Група нільпотентні тоді і тільки тоді, коли для будь -Максимальної підгрупи групи , Що має непрімарний індекс, в знайдеться така нільпотентні підгрупа , Що і -Перестановки з усіма підгрупами з .

Нехай - Набір всіх -Максимальних підгруп групи .

Як показують згадані вище результати робіт, умови перестановочного, що накладаються на підгрупи з , Істотно визначають будову основної групи. У роботі Л.Я. Полякова було доведено, що група розв'язана, якщо будь-яка підгрупа з перестановки з усіма підгрупами з для всіх , Де . У зв'язку з цим результатом природно виникає питання про повне описі груп з такою властивістю. Вирішенню даного завдання і присвячена ця глава.

2. Групи з -З перестановки -Максимальними підгрупами

Зазначені вище результати роботи допускають такі уточнення.

[2.1]. Нехай - Група, - Її підгрупа фіттінги. Якщо будь-яка -Максимальна підгрупа групи -Перестановки з усіма максимальними підгрупами групи , То група метанільпотентна.

Доказ. Припустимо, що теорема не вірна, і нехай - Контрпример мінімального порядку. Доказ розіб'ємо на наступні етапи.

(1) Для будь непоодинокий нормальної в підгрупи факторгруппамі метанільпотентна.

Розглянемо факторгруппамі . Нехай - Довільна максимальна в підгрупа і - Довільна -Максимальна підгрупа. Тоді максимальна в і -Максимальна в , А значить, за умовою підгрупа -Перестановки з підгрупою . Але тоді, згідно лемі, підгрупа -Перестановки з підгрупою . Отже, умова теореми виконується в . Але і тому відповідно до вибору групи , Ми маємо (1).

(2) - Здійсненне група.

Якщо в групі існує одинична -Максимальна підгрупа, то теорема очевидно справедлива. Припустимо, що в групі всі -Максимальні підгрупи відмінні від одиниці. Доведемо, що для кожної максимальної підгрупи групи , . Нехай - Максимальна підгрупа групи . Тоді за умовою для кожного , Ми маємо . Зважаючи леми, і, отже, . Значить, . Оскільки , То і тому за вибором групи ми робимо висновок, що - Здійсненне група. Це означає, що розв'язана, і отже, - Здійсненне група.

(3) Група має єдину мінімальну нормальну підгрупу і , Де і - Максимальна в підгрупа, яка не є нільпотентні групою.

Нехай - Довільна мінімальна нормальна підгрупа групи . Так як клас всіх метанільпотентних груп утворить насичену формацію (див. лему), то - Єдина мінімальна нормальна підгрупа в , Причому . В силу (2), є елементарною абелевих -Групою для деякого простого . Нехай - Максимальна підгрупа в така, що . Нехай . Ясно, що . Так як , Ми бачимо, що . Це показує, що і, отже, . Ясно, що і тому за вибором групи , не є нільпотентні групою.

(4) Заключне протиріччя.

В силу (3), в групі є максимальна підгрупа , Яка не є нормальною підгрупою в . Оскільки для будь-якого , - Максимальна в підгрупа і - Максимальна підгрупа в , То - -Максимальна в підгрупа. Якщо - Нормальна підгрупа в , То . Значить, не є нормальною підгрупою в . Покажемо, що - Максимальна підгрупа групи . Нехай . Нехай - Така максимальна підгрупа групи , Що . Тоді . Значить, або . Перший випадок, очевидно, неможливий. Отже, . Так як , То - Максимальна в підгрупа. Тоді для будь-якого , -Перестановки з . Оскільки , То з огляду на леми (6), перестановки з . З максимальності підгрупи випливає, що або . Якщо , То з огляду на леми, . Отримане протиріччя показує, що . Тоді для будь-якого і тому . Отже, . Це означає, що - Нормальна підгрупа в , Протиріччя. Теорема доведена.

[2.1]. Кожна -Максимальна підгрупа групи перестановки з будь максимальної підгрупою в тоді і тільки тоді, коли або нільпотентні, або - Така ненільпотентная група з , Що циклічна сіловская -Підгрупа групи не нормальна в , А максимальна підгрупа групи нормальна в .

Доказ. Необхідність. Розв'язність групи випливає з теореми. Припустимо тепер, що не є нільпотентні групою. Нехай - Максимальна підгрупа групи , Яка не є нормальною в . Нехай і - Максимальна підгрупа групи . Міркуючи як вище бачимо, що . Отже, , І - Циклічна примарний група. Нехай . Покажемо, що . Припустимо, що . Нехай - Сіловская -Підгрупа групи і - Максимальна підгрупа групи . Тоді - -Максимальна підгрупа групи і, отже, за умовою - Підгрупа групи , Що суперечить максимальності підгрупи . Звідси випливає, що .

Достатність очевидна. Слідство доведено.

[2.2]. Якщо у групі будь-яка її максимальна підгрупа перестановки з усіма -Максимальними підгрупами групи і , То - Нільпотентні група.

Надалі нам потрібно наступна теорема.

[2.2]. Нехай - Група, - Її підгрупа фіттінги. Якщо будь-яка -Максимальна підгрупа групи -Перестановки з усіма -Максимальними підгрупами групи , То група розв'язна і для кожного простого .

Доказ. Припустимо, що дана теорема не вірна, і нехай - Контрпример мінімального порядку. Доказ розіб'ємо на наступні етапи.

(1) - Здійсненне група.

Дійсно, якщо , То кожна -Максимальна підгрупа групи перестановки з усіма 3-максимальними підгрупами групи . Тоді по слідству, кожна максимальна підгрупа групи сверхразрешіма. Відповідно до відомої теореми Хупперта про можливості розв'язання групи, в якій всі власні підгрупи сверхразрешіми, - Здійсненне група.

Нехай тепер . Так як умова теореми справедливо для групи , То група розв'язна і тому - Здійсненне група.

(2) Група має єдину мінімальну нормальну підгрупу

і ,

де - Така максимальна в підгрупа, що , і .

Так як клас всіх розв'язаних груп з утворює насичену формацію, то зважаючи (1), і тому в групі існує єдина мінімальна нормальна підгрупа . З леми випливає, що , Де - Така максимальна в підгрупа, що і . Покажемо, що ділить . Якщо не ділить , То - -Група, і тому , Що суперечить вибору групи . Отже, ділить . Припустимо, що . Тоді факторгруппамі ізоморфна підгрупі групи автоморфізмів . Так як група абелева, то - Сверхразрешімая група, і тому . Отримане протиріччя з вибором групи показує, що .

(3) Заключне протиріччя.

Нехай - -Максимальна підгрупа групи і - Максимальна підгрупа групи . Тоді і . Нехай - Максимальна підгрупа групи така, що є максимальною підгрупою групи . Покажемо, що - Максимальна підгрупи групи і - Максимальна підгрупа групи . Так як , То - Власна підгрупа групи . Припустимо, що в існує підгрупа така, що . Тоді з того, що - Максимальна підгрупа групи , Випливає, що або , Або . Якщо , То , Протиріччя. Використовуючи наведені вище міркування бачимо, що . Отже, - Максимальна підгрупа в . Міркуючи як вище, ми бачимо, що і - Максимальні підгрупи групи . Звідси випливає, що - -Максимальна підгрупа групи і - -Максимальна підгрупа групи . За умовою існує елемент такий, що . Отже,

і тому . Таким чином, кожна -Максимальна підгрупа групи перестановки з кожною максимальною підгрупою групи . Зважаючи (2) і слідства, отримуємо, що , Де сіловская -Підгрупа нормальна в групі . Значить, , Де і . Нехай - Сіловская -Підгрупа і - Сіловская -Підгрупа групи . Нехай - -Максимальна підгрупа групи така, що . Так як , То - Непоодинокі підгрупа. Ясно, що - -Максимальна підгрупа групи і - -Максимальна підгрупа групи . Отже, за умовою підгрупа -Перестановки з , І тому для деякого ми маємо - Підгрупа групи . Оскільки , То - Нормальна підгрупа в групі . Так як , То - Нормальна підгрупа в групі . Отримали протиріччя з тим, що - Мінімальна нормальна підгрупа. Теорема доведена.

Для доказу теореми [2.3] нам знадобляться наступні два леми.

Якщо все максимальні підгрупи групи мають прості порядки, то сверхразрешіма.

Доказ. Так як у групі всі -Максимальні підгрупи одиничні, то зважаючи слідства група або нільпотентні, або , Де - Підгрупа простого порядку і - Циклічна -Підгрупа, яка не є нормальною в підгрупою ( - Різні прості числа). Припустимо, що не є нільпотентні групою. Тоді . Оскільки , То - Максимальна підгрупа групи і тому . Так як група порядку залагодити, то група залагодити. Значить, - Нормальна в підгрупа і тому головні чинники групи мають прості порядки. Отже, - Сверхразрешімая група. Лемма доведена.

Якщо в групі кожна максимальна підгрупа , Індекс якої є ступенем числа , Нормальна в , То - -Нільпотентні група.

Доказ. Припустимо, що дана лема не вірна, і нехай - Контрпример мінімального порядку. Тоді:

(1) Для будь непоодинокий нормальної підгрупи групи факторгруппамі -Нільпотентні.

Нехай - Максимальна підгрупа групи така, що явяется ступенем числа . Тоді - Максимальна в підгрупа і є ступенем числа . За умовою, нормальна в , І тому нормальна в . Так як , То - -Нільпотентні група.

(2) Група має єдину мінімальну нормальну підгрупу і - -Підгрупа.

Нехай - Мінімальна нормальна підгрупа групи . Так як клас всіх -Нільпотентні груп утворить насичену формацію, то зважаючи (1), і - Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи . Припустимо, що - -Підгрупа. Тоді для деякої -Холловей подруппи групи . Оскільки на увазі (1), нормальна в , То - Нормальна підгрупа в групі , Протиріччя. Отже, - Елементарна абелева -Підгрупа.

(3) Заключне протиріччя.

Нехай - Максимальна підгрупа групи , Не містить . Оскільки абелева, то і тому . Це спричиняє . Отже, для деякого . Значить, - Нормальна в підгрупа і тому , Протиріччя. Лемма доведена.

Доповненням до теореми [2.2] є наступний факт.

[2.3]. Нехай - Група, - Її підгрупа фіттінги. Якщо будь-яка максимальна підгрупа групи -Перестановки з усіма -Максимальними підгрупами групи , То група розв'язна і для кожного простого .

Доказ. Припустимо, що теорема не вірна, і нехай - Контрпример мінімального порядку.

(1) - Непроста група. Припустимо, що . Оскільки через леми (3), умова теореми виконується для факторгруппамі , То за вибором групи , розв'язна і тому - Здійсненне група. Отримане протиріччя показує, що і, отже, будь-яка максимальна підгрупа групи перестановки з усіма -Максимальними підгрупами в .

Припустимо, що все -Максимальні підгрупи групи поодинокі. Тоді порядок кожній -Максимальної підгрупа групи є дільником простого числа. Отже, будь максимальна підгрупа групи або нільпотентні (порядку або ), Або є ненільпотентной підгрупою і має порядок . Значить, все максимальні підгрупи сверхразрешіми. Але зважаючи теореми, ми отримуємо, що залагодити. Це протиріччя показує, що в групі існує непоодинокі -Максимальна підгрупа . Нехай - Максимальна підгрупа групи , Що містить . Тоді для будь-якого , . Якщо , То з огляду на леми, . Отримане протиріччя показує, що . Тоді , Що тягне . Отже, - Непоодинокі нормальна підгрупа в і тому група непроста.

(2) Для будь непоодинокий нормальної в підгрупи факторгруппамі вирішувана (це прямо випливає з леми (3)).

(3) Група має єдину мінімальну нормальну підгрупу і , Де - Така максимальна в підгрупа, що .

Нехай - Довільна мінімальна нормальна підгрупа групи . Так як зважаючи леми, клас всіх розв'язаних груп c -Довжиною утворює насичену формацію, то - Єдина мінімальна нормальна підгрупа в , Причому . Нехай - Максимальна підгрупа групи така, що . Ясно, що . Оскільки - Єдина мінімальна нормальна підгрупа в , То .

(4) - Здійсненне група.

Припустимо, що - Нерозв'язна група. Тоді і по вибору групи ми робимо висновок, що - Пряме твір ізоморфних простих неабелевих груп. Крім того, і одинична підгрупа не міститься серед -Максимальних підгруп групи .

Нехай - Довільна -Максимальна підгрупа, яка міститься в . Використовуючи наведені вище міркування, бачимо, що . Отже, порядок будь -Максимальної підгрупи групи , Що міститься в , Дорівнює простому числу. Зважаючи леми, - Здійсненне група. Нехай - Максимальна підгрупа групи , Що містить . Так - Просте число, то або , Або . Нехай має місце перший випадок. Тоді , І оскільки - Просте число, то - Максимальна підгрупа групи . З того, що індекс дорівнює простому числу, випливає, що - Максимальна підгрупа групи і тому - -Максимальна підгрупа в . Так як - Неабелевая підгрупа, то в ній існує непоодинокі максимальна підгрупа . Зрозуміло, що - -Максимальна підгрупа в і тому за умовою перестановки з . У такому випадку, . Але - Власна підгрупа в і тому . Це протиріччя показує, що . Отже, . Оскільки - Просте число, то - Максимальна підгрупа в . З того, що група є пряме твір ізоморфних простих неабелевих груп, випливає, що в є непоодинокі -Максимальна підгрупа . Тоді -Максимальна в і отже, . Таким чином . Це спричиняє . Отримане протиріччя показує, що - Здійсненне група.

(5) Заключне протиріччя.

З (3) і (4) випливає, що - Елементарна абелева -Група для деякого простого числа і тому . Покажемо, що ділить . Якщо не ділить , То - -Група, і тому , Що суперечить вибору групи . Отже, ділить . Зважаючи леми, .

Нехай - Довільна максимальна в підгрупа з індексом , Де і . Тоді , Де - Сіловская -Підгрупа групи .

Припустимо, що не є нормальною в підгрупою. Ясно, що - Максимальна в підгрупа. Якщо - Нормальна підгрупа в , То . Значить, не є нормальною підгрупою в . Нехай - Довільна максимальна підгрупа групи . Тоді - -Максимальна в підгрупа і тому - -Максимальна в підгрупа для будь-якого . Оскільки за умовою -Перестановки з підгрупою і , То перестановки з підгрупою і тому . Ясно, що - -Максимальна в підгрупа. Так як і не є нормальною підгрупою в , То і тому - Нормальна погруппа в . Отже, - Нормальна в підгрупа. Це спричиняє, що . Зважаючи довільного вибору , Отримуємо, що кожна максимальна підгрупа групи нормальна в . Значить, - Нільпотентні група і будь-яка максимальна підгрупа в нормальна в . Припустимо, що . Оскільки і залагодити, то в групі існує мінімальна нормальна -Підгрупа , Де . Так як - Максимальна в підгрупа, то . Це спричиняє, що . Отже, група має головний поруч

і тому . Отримане протиріччя з вибором групи показує, що . Нехай - Така максимальна підгрупа групи , Що . Тоді . Це спричиняє , Що противагу тому, що .

Отже, - Нормальна підгрупа в . Згідно лемі, - -Нільпотентні група і тому . Зважаючи довільного вибору , Отримуємо, що для будь-якого і . Ясно, що , Що суперечить . Теорема доведена.

3. Групи, в яких -Максимальні підгрупи перестановки з -Максимальними підгрупами

Метою даного розділу є опис ненільпотентних груп, у яких кожна -Максимальна підгрупа перестановки з усіма -Максимальними підгрупами.

Для доказу основного результату даного розділу нам знадобиться наступна лема.

[3.1]. Нехай - Група Шмідта. Тоді в тому і тільки тому випадку кожна 2-максимальна підгрупа групи перестановки з усіма 3-максимальними підгрупами групи , Коли група має вигляд:

(1) - Група Міллера-Морено;

(2) , Де - Група кватерніонів порядку , - Група порядку .

Доказ. Необхідність. Припустимо, що - Група Шмідта, у якій кожна 2-максимальна підгрупа групи перестановки з усіма 3-максимальними підгрупами групи . Доведемо, що в цьому разі, або - Група Міллера-Морено, або , Де - Група кватерніонів порядку і - Група порядку . Припустимо, що це не так і нехай - Контрпример мінімального порядку.

Так як - Група Шмідта, то зважаючи леми (I), , Де - Сіловская -Підгрупа в , - Циклічна -Підгрупа.

Покажемо, що - Група простого порядку. Припустимо, що це не так. Тоді в групі є власна підгрупа простого порядку. Зважаючи леми (IV), і, отже, - Нормальна підгрупа в групі і - Група Шмідта.

Зрозуміло, що в групі кожна 2-максимальна підгрупа групи перестановки з усіма 3-максимальними підгрупами групи .

Оскільки , То і тому за вибором групи ми робимо висновок, що або - Група Міллера-Морено, або , Де - Група кватерніонів порядку і - Група порядку .

У першому випадку - Абелева підгрупа і, отже, - Група Міллера-Морено. Отримане протиріччя з вибором групи показує, що , Де - Група кватерніонів порядку і - Група порядку . Тоді , Де - Група кватерніонів порядку і - Циклічна група порядку . Нехай - Така максимальна підгрупа групи , Що . Якщо , То . Оскільки - Група Шмідта, то нільпотентні, і тому . Це означає, що - Нормальна підгрупа в групі . Отримане протиріччя показує, що . Отже, - Максимальна підгрупа групи . Зрозуміло, що - -Максимальна підгрупа групи . Нехай - Підгрупа групи з індексом . Ясно, що - -Макимально підгрупа групи . Оскільки за умовою і перестановки, то - Підгрупа групи , Індекс якої дорівнює . Міркуючи як вище, бачимо, що - Нормальна підгрупа групи . Отримане протиріччя показує, що - Група простого порядку.

Нехай - Довільна максимальна подгрупа в і - Максимальна підгрупа в . Так як неабелева, то - Непоодинокі підгрупа. З того, що - Максимальна підгрупа в , Випливає, що - 3-максимальна підгрупа в .

Зважаючи леми (II), - Максимальна підгрупа в . Розглянемо максимальну в підгрупу , Таку що . Тоді

і - 2-максимальна підгрупа в . За умовою підгрупи і перестановки. Якщо , То використовуючи лему (V), маємо

З того, що отримуємо, що порядок ділить . Оскільки , То отримане протиріччя показує, що - Власна підгрупа групи . Отже, нільпотентні, і тому

Значить, або - Максимальна підгрупа в , Або . У першому випадку отримуємо, що є єдиною максимальної підгрупою в . Це означає, що - Циклічна підгрупа, що суперечить вибору групи . Отже, перший випадок неможливий. Отже, . Зважаючи довільного вибору отримуємо, що - Єдина -Максимальна підгрупа в групі . З теореми випливає, що - Або циклічна група, або група кватерніонів порядку . Оскільки перший випадок очевидно неможливий, то - Група кватерніонів порядку . Оскільки підгрупа ізоморфна погруппе групи автоморфізмів , То . Отримане протиріччя з вибором групи доводить, що або - Група Міллера-Морена, або , Де - Група кватерніонів порядку і - Група порядку .

Достатність очевидна. Лемма доведена.

. У ненільпотентной групі кожна -Максимальна підгрупа групи перестановки з усіма -Максимальними підгрупами групи тоді і тільки тоді, коли група має вигляд: