ЗАХІДНО-Казахстанська ДЕРЖАВНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М. Утемісова
Кафедра математики
КАНОНІЧНИЙ ВИД ДОВІЛЬНОЇ ЛІНІЙНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ
(Курсова робота)
Зміст
Введення
1. Нормальна форма лінійного перетворення
2. Приведення довільного перетворення до нормальної форми
2.1 Власні і приєднані вектори лінійного перетворення
2.2 Виділення підпростору, в якому перетворення А має тільки одне власне значення
2.3 Приведення до нормальної форми матриці з одним власним значенням
3. Інваріантні множники
Висновок
Література
Введення
«Людина затверджується на землі, осягаючи таємниці явищ природи або роблячи певні умовиводи».
Абай, слова повчання, Слово 7.Перевод С. Санбаева.
Мною була обрана тема для курсової роботи «Канонічний вигляд довільних лінійних перетворень», так як курс лінійної алгебри читається на механіко-математичному факультеті університетів, що безпосередньо пов'язано не тільки з моєю спеціальністю магістранта, але також і з моєю роботою викладачем математики в педагогічному інституті. І тому для мене ця тема є дуже важливою і актуальною.
Зазвичай ми вивчаємо різні класи лінійних перетворень n - мірного простору, що мають n лінійно незалежних власних векторів. Матриця базису, що складається з власних векторів лінійного перетворення, має особливо простий вигляд (діагональну форму).
Але число лінійно незалежних власних векторів у лінійного перетворення може бути менше, ніж n. А таке перетворення не може бути приведено до діагональної формі. Моя ж робота дає відповідь на питання: який найпростіший вигляд матриці такого лінійного перетворення? Курсова робота докладно описує канонічний вигляд довільних лінійних перетворень, а саме:
1) нормальну форму лінійного перетворення;
2) застосування довільного перетворення до нормальної формі:
а) власні і приєднані вектори лінійного перетворення;
b) виділення підпростору, в якому перетворення А має тільки одне власне значення;
з) приведення до нормальної форми матриці з одним власним значенням;
3) інваріантні множники.
Кожен розділ містить визначення, приклади, вправи
1. Нормальна форма лінійного перетворення
Ми знаємо, що в базисі, що складається з власних векторів лінійного перетворення n-мірного простору, його матриця має особливо простий вигляд, так звану діагональну форму.
Однак число лінійно незалежних власних векторів у лінійного перетворення може бути менше, ніж n. Таке перетворення свідомо не може бути приведено до діагональної формі, так як базис, в якому матриця перетворення діагонально, складається з власних векторів. Виникає питання: який найпростіший вигляд матриці такого лінійного перетворення?
У цій роботі для довільного перетворення вказаний базис, в якому його матриця має порівняно простий вигляд (так звана жорданова нормальна форма). У випадку, коли число лінійно незалежних власних векторів перетворення рівний розмірності простору, ця нормальна форма збігається з діагональною. Сформулюємо остаточний результат.
Нехай задано довільне лінійне перетворення А в комплексному просторі n вимірювань. Припустимо, що у А є k (k £ n) лінійно незалежних власних векторів
e 1, f 1, ..., h 1,
відповідних власним значенням l 1, l 2, ..., l k. Тоді існує базис, що складається з k груп векторів:
e 1, ..., e p; f 1, ..., f q; ...; h 1, ..., h s, (1)
в якому перетворення А має наступний вигляд:
Ae 1 = l 1 e 1, Ae 2 = e 1 + l 1 e 2, ..., Ae p = e p-1 + L 1 e p;
Af 1 = l 2 e 1, Af 2 = f 1 + l 1 f 2, ..., Af q = f q-1 + L 2 f q, (2)
Ah 1 = l k h 1, Ah 2 = h 1 + l k h 2, ..., Ah s = h s-1 + L k h s.
Ми бачимо, що базисні вектори кожної групи переходять при нашому перетворенні в лінійну комбінацію векторів тієї ж групи. Звідси випливає, що кожна група базисних векторів породжує підпростір, інваріантне щодо перетворення А. Розглянемо трохи докладніше перетворення, що задається формулами (2).
У підпросторі, породженому кожною групою, є власний вектор, наприклад, в підпросторі, породженому векторами е 1, е 2, ..., е р, таким власним вектором є е 1.
Вектор е 2 називають приєднаним власним вектором першого порядку. Це означає, що Ае 2 пропорційно е 2 з точністю до власного вектора, як це видно з рівності
Ae 2 = l 1 e 2 + e 1.
Аналогічно е 3, е 4, ... називають приєднаними векторами другого, третього і т. д. порядків.
Кожен з них є «як би власним», тобто власним з точністю до приєднаного вектора нижчого порядку
Ae k = l 1 e k + E k -1.
Таким чином, базис кожного інваріантного підпростору складається з одного власного вектора і такої кількості приєднаних, яке потрібно додати, щоб отримати базис даного підпростору.
У кожному з цих підпросторів є, з точністю до множника, лише один власний вектор.
Теорема. Нехай у комплексному n - мірному просторі задано лінійне перетворення А. Тоді можна знайти базис, в якому матриця лінійного перетворення має нормальну форму. Іншими словами, можна знайти базис, в якому лінійне перетворення має вигляд (2).
2. Приведення довільного перетворення до нормальної форми
Вже згадувалося в п. 1, що у випадку, коли у перетворення А не вистачає лінійно незалежних власних векторів (тобто коли їх число менше розмірності простору), базис доводиться доповнювати за рахунок так званих приєднаних векторів (їх точне визначення буде дано трохи пізніше). У цьому розділі дається спосіб побудови базису, в якому матриця перетворення А має жорданова нормальну форму. Цей базис ми безпосередньо наберемо з власних і приєднаних векторів, і такий спосіб вибору є, в деякому сенсі. Найбільш природним.
2.1 Власні і приєднані вектори лінійного перетворення
Нехай l 0 - деяке власне значення перетворення А.
Визначення 1. Вектор х ¹ 0 називається власним вектором перетворення А, що відповідає власному значенню l 0, якщо
Ах = l 0 х, тобто (А - l 0 Е) х = 0. (1)
Розглянемо сукупність усіх векторів, які відповідають умові (1) при фіксованому l 0. Ясно, що сукупність цих векторів є підпростором простору R
Позначимо його
Зауважимо, що підпростір
Визначення 2. Вектор х називається приєднаним вектором 1-го порядку перетворення А, що відповідає власному значенню l 0, якщо вектор
у = (А - l 0 Е) х
є власним вектором перетворення А.
Нехай l 0 - власне значення перетворення А.
Підпростір, що складається з усіх векторів х, для яких виконана умова
(А - l 0 Е) 2 х = 0, (2)
тобто ядро перетворення (А - l 0 Е) 2, позначимо
Аналогічно вводимо підпростір
(А - l 0 Е) k х = 0. (3)
Це підпростір інваріантно щодо перетворення А. Ясно, що підпростір
у = (А - l 0 Е) х
є приєднаний вектор порядку k -1.
Приклад. Нехай R - простір многочленів ступеня £ n-1 і перетворення А - диференціювання:
АР (t) =
Легко бачити, що l = 0 є власне значення. Відповідний йому власний вектор P (t) = const. Знайдемо для цього перетворення підпростору
Це будуть все многочлени, ступінь яких не перевищує k-1. Приєднаними векторами k-го порядку будуть многочлени, ступінь яких в точності дорівнює k-1.
2.2 Виділення підпростору, в якому перетворення А має тільки одне власне значення
Нехай l 1 - деякий власне значення перетворення А. Простір R можна розкласти в пряму суму двох інваріантних підпросторів, у першому з яких перетворення А має лише одне власне значення l 1, а у другому в перетворення А вже немає власного значення l 1.
Не обмежуючи спільності, можна вважати, що l 1 = 0.
Дійсно, нехай l 1 ¹ 0. Розглянемо перетворення В = А - l 1 Е, воно вже має власне значення, рівне нулю. Очевидно також, що інваріантні підпростори перетворень А і В співпадають.
Отже, будемо вважати, що перетворення А має власне значення l = 0. Доведемо це твердження спочатку для окремого випадку, коли в просторі немає приєднаних векторів, що відповідають цьому власного значення, а є лише власні вектори.
Нам потрібно побудувати два інваріантних підпростору, пряма сума яких дорівнює R. В якості першого з них, в якому l = 0 є єдине власне значення, можна взяти сукупність N 0 всіх власних векторів, що відповідають власному значенню l = 0 або, іншими словами, ядро перетворення А.
В якості другого підпростору візьмемо образ М простору R при перетворенні А, т. е. сукупність векторів у = Ах, де х пробігає весь простір R. Легко бачити, що кожне з цих підпросторів інваріантно.
Вони дають розкладання простору в пряму суму. Так як сума розмірностей ядра і образу для будь-якого перетворення А дорівнює n, то достатньо довести, що перетинання цих підпросторів дорівнює нулю.
Припустимо, що це не так, тобто нехай існує вектор у ¹ 0 такий, що уÎМ і уÎN 0. Так як уÎМ, то він має вигляд
у = Ах, (4)
де х - деякий вектор з R. Так як уÎN 0, то
Ау = 0, де у ¹ 0. (5)
Рівність (5) означає, що у є власний вектор перетворення А, що відповідає власному значенню l = 0, а рівність (4) при цьому означає, що х є приєднаний вектор першого порядку, що відповідає того ж власного значення. Ми ж припустили, що у перетворення А немає приєднаних векторів, що відповідають власному значенню l = 0.
Таким чином доведено, що підпростору М і N 0 не мають спільних векторів крім нульового.
Згадуючи, що сума розмірностей образу і ядра дорівнює n, ми отримуємо звідси, що простір R розкладені в пряму суму підпросторів інваріантних М і N 0:
R = M + N 0.
Зауваження. З наведеного вище докази видно, що образ і ядро мають перетин, відмінне від нуля в тому і тільки випадку, коли перетворення А має приєднані вектори, що відповідають власному значенню l = 0.
Розібраний приватний випадок дає нам ідею того, як проводити доказ в загальному випадку, коли А має також і приєднані вектори, що відповідають власному значенню l = 0. Підпростір N 0 при цьому виявляється надто вузьким, і його природно розширити за рахунок додавання всіх приєднаних векторів, що відповідають власному значенню l = 0. Друге ж підпростір М виявляється при цьому занадто великим.
Теорема. Простір R можна розкласти в пряму суму підпросторів інваріантних
Якщо l 1 - деякий власне значення перетворення А, то простір R можна розкласти в пряму суму підпросторів інваріантних R 1 і
Застосовуючи отриманий результат до перетворення А в просторі
Теорема. Нехай перетворення А простору R має k різних власних значень l 1, ..., l k .. Тоді R можна розкласти в пряму суму k інваріантних підпросторів
R =
Кожне з підпросторів
Залишилося ще тільки одна не менш важливе завдання - вибрати в кожному з цих підпросторів базис, в якому матриця перетворення має жорданова нормальну форму.
2.3 Приведення до нормальної форми матриці з одним власним значенням
У разі, якщо простір складається лише з власних векторів, базис в просторі можна вибирати довільно і матриця перетворення в цьому базисі має діагональний вигляд.
У загальному випадку необережний вибір базису може заплутати картину.
Щоб вибрати базис, в якому матриця перетворення має найбільш простий вигляд, ми будемо тягнути ланцюжка власних і приєднаних векторів, вибравши певний базис в підпросторі
Визначення. Вектори з простору R називаються щодо лінійно незалежними над підпростором R 1, якщо жодна їх лінійна комбінація, відмінна від нуля, не належить R 1.
Зауважимо, що всякі лінійно залежні вектори з R щодо лінійно залежні над будь-яким простором.
Визначення. Базисом простору R щодо підпростору R 1 називається така система е 1, ..., е k лінійно незалежних векторів з R, яка після поповнення яких-небудь базисом з R 1 утворить базис у всьому просторі.
Такий базис легко побудувати. Для цього достатньо буде вибрати який-небудь базис в R 1, доповнити його до базису в усьому просторі і потім відкинути вектор вихідного базису з R 1. Число векторів в такому відносному базисі дорівнює різниці розмірностей простору і підпростору.
Всяку систему щодо лінійно незалежних векторів над R 1 можна доповнити до відносного базису. Для цього потрібно до обраних векторах додати який-небудь базис підпростору R 1. Вийде деяка система векторів з R, які, як легко перевірити, лінійно незалежні. Щоб отримати відносний базис, потрібно доповнити цю систему до базису у всьому просторі R, а потім відкинути базис підпростору.
Отже, нехай перетворення А в просторі R має тільки одне власне значення. Не обмежуючи загальності можна, припустити, що воно дорівнює нулю.
3. Інваріантні множники
Визначення. Матриці А і А 1 = С -1 АС, де С - довільна невироджена матриця, називаються подібними.
Якщо А 1 подібна матриці А 2, то й назад, А 2 подібна А 1. Якщо дві матриці А 1 і А 2 подібні однієї і тієї ж матриці А, то вони подібні між собою.
Нехай А - матриця перетворення А в деякому базисі. При переході до іншого базису матриця А замінюється подібної їй матрицею С -1 АС, де С - матриця переходу від першого базису до другого. Таким чином, подібні матриці - це матриці одного і того ж лінійного перетворення в різних базисах.
Лема. Якщо С - довільна невироджена матриця, то загальні найбільші дільники миноров k-го порядку матриць А - l Е і С (А - l Е) збігаються. Аналогічне твердження має місце і для (А - l Е) С.
Лема. У подібних матриць многочлени D k (l) збігаються.
Тому що при переході від одного базису до іншого матриця лінійного перетворення замінюється подібної, то з останньої леми випливає наступна
Теорема. Нехай А - лінійне перетворення. Тоді найбільший загальний дільник D k (l) миноров k-го порядку матриці А - l Е, де А - матриця перетворення А в деякому базисі, не залежить від вибору базису.
Для того щоб існував базис, в якому матриця перетворення діагонально, необхідно і достатньо, щоб інваріантні множники цієї матриці мали лише прості корені.
Теорема. Для того щоб дві матриці були подібні, необхідно і достатньо, щоб їх інваріантні множники збігалися.
Теорема. Нормальна форма лінійного перетворення однозначно визначається самим лінійним перетворенням.
Висновок
«Образність того чи іншого явища або предмета, міцність закріплення його в пам'яті знаходиться в прямій залежності від сили враження виробленого цим предметом або явищем."
Абай, Слова повчання, Слово 43.
А., 1982. Переклад С. Санбаева.
Курсова робота, що описує канонічний вигляд довільних лінійних перетворень, включає в себе 3 невеликих розділу. Кожен розділ містить необхідні визначення, детально розібрані приклади, вправи з докладно розібраними рішеннями ..
В основному курсова робота написана за Гельфанду І.М. «Лекції з лінійної алгебри». Також допомагали в написанні цієї роботи Гельфанду І.М. і самостійно займалися цим розділом алгебри (і не тільки): Граєво М.І., Пономарьов В, Шапіро З.Я., Курош А.Г., Фомін С.В., Цетлін М.Л., Турецький А.Є. і Райков Д.А.
Цю курсову роботу можна використовувати для читання лекцій з лінійної алгебри, а саме розділу курсу: лінійні перетворення. Звичайно ж, при читанні лекції повністю на цю роботу спиратися не можна, так як вона не охоплює всі види лінійного перетворення і вимагає певного доповнення.
Література
1. Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. М., 1971.
2. Курош А. Г. Курс вищої алгебри. М., 1971.
3. Мальцев А. І. Основи лінійної алгебри. М., 1956.
4. Шимов Г. Є. Введення в теорію лінійних просторів. М.-Л., 1952.
УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ М. Утемісова
Кафедра математики
КАНОНІЧНИЙ ВИД ДОВІЛЬНОЇ ЛІНІЙНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ
(Курсова робота)
Зміст
Введення
1. Нормальна форма лінійного перетворення
2. Приведення довільного перетворення до нормальної форми
2.1 Власні і приєднані вектори лінійного перетворення
2.2 Виділення підпростору, в якому перетворення А має тільки одне власне значення
2.3 Приведення до нормальної форми матриці з одним власним значенням
3. Інваріантні множники
Висновок
Література
Введення
«Людина затверджується на землі, осягаючи таємниці явищ природи або роблячи певні умовиводи».
Абай, слова повчання, Слово 7.Перевод С. Санбаева.
Мною була обрана тема для курсової роботи «Канонічний вигляд довільних лінійних перетворень», так як курс лінійної алгебри читається на механіко-математичному факультеті університетів, що безпосередньо пов'язано не тільки з моєю спеціальністю магістранта, але також і з моєю роботою викладачем математики в педагогічному інституті. І тому для мене ця тема є дуже важливою і актуальною.
Зазвичай ми вивчаємо різні класи лінійних перетворень n - мірного простору, що мають n лінійно незалежних власних векторів. Матриця базису, що складається з власних векторів лінійного перетворення, має особливо простий вигляд (діагональну форму).
Але число лінійно незалежних власних векторів у лінійного перетворення може бути менше, ніж n. А таке перетворення не може бути приведено до діагональної формі. Моя ж робота дає відповідь на питання: який найпростіший вигляд матриці такого лінійного перетворення? Курсова робота докладно описує канонічний вигляд довільних лінійних перетворень, а саме:
1) нормальну форму лінійного перетворення;
2) застосування довільного перетворення до нормальної формі:
а) власні і приєднані вектори лінійного перетворення;
b) виділення підпростору, в якому перетворення А має тільки одне власне значення;
з) приведення до нормальної форми матриці з одним власним значенням;
3) інваріантні множники.
Кожен розділ містить визначення, приклади, вправи
1. Нормальна форма лінійного перетворення
Ми знаємо, що в базисі, що складається з власних векторів лінійного перетворення n-мірного простору, його матриця має особливо простий вигляд, так звану діагональну форму.
Однак число лінійно незалежних власних векторів у лінійного перетворення може бути менше, ніж n. Таке перетворення свідомо не може бути приведено до діагональної формі, так як базис, в якому матриця перетворення діагонально, складається з власних векторів. Виникає питання: який найпростіший вигляд матриці такого лінійного перетворення?
У цій роботі для довільного перетворення вказаний базис, в якому його матриця має порівняно простий вигляд (так звана жорданова нормальна форма). У випадку, коли число лінійно незалежних власних векторів перетворення рівний розмірності простору, ця нормальна форма збігається з діагональною. Сформулюємо остаточний результат.
Нехай задано довільне лінійне перетворення А в комплексному просторі n вимірювань. Припустимо, що у А є k (k £ n) лінійно незалежних власних векторів
e 1, f 1, ..., h 1,
відповідних власним значенням l 1, l 2, ..., l k. Тоді існує базис, що складається з k груп векторів:
e 1, ..., e p; f 1, ..., f q; ...; h 1, ..., h s, (1)
в якому перетворення А має наступний вигляд:
Ae 1 = l 1 e 1, Ae 2 = e 1 + l 1 e 2, ..., Ae p = e p-1 + L 1 e p;
Af 1 = l 2 e 1, Af 2 = f 1 + l 1 f 2, ..., Af q = f q-1 + L 2 f q, (2)
Ah 1 = l k h 1, Ah 2 = h 1 + l k h 2, ..., Ah s = h s-1 + L k h s.
Ми бачимо, що базисні вектори кожної групи переходять при нашому перетворенні в лінійну комбінацію векторів тієї ж групи. Звідси випливає, що кожна група базисних векторів породжує підпростір, інваріантне щодо перетворення А. Розглянемо трохи докладніше перетворення, що задається формулами (2).
У підпросторі, породженому кожною групою, є власний вектор, наприклад, в підпросторі, породженому векторами е 1, е 2, ..., е р, таким власним вектором є е 1.
Вектор е 2 називають приєднаним власним вектором першого порядку. Це означає, що Ае 2 пропорційно е 2 з точністю до власного вектора, як це видно з рівності
Ae 2 = l 1 e 2 + e 1.
Аналогічно е 3, е 4, ... називають приєднаними векторами другого, третього і т. д. порядків.
Кожен з них є «як би власним», тобто власним з точністю до приєднаного вектора нижчого порядку
Ae k = l 1 e k + E k -1.
Таким чином, базис кожного інваріантного підпростору складається з одного власного вектора і такої кількості приєднаних, яке потрібно додати, щоб отримати базис даного підпростору.
У кожному з цих підпросторів є, з точністю до множника, лише один власний вектор.
Теорема. Нехай у комплексному n - мірному просторі задано лінійне перетворення А. Тоді можна знайти базис, в якому матриця лінійного перетворення має нормальну форму. Іншими словами, можна знайти базис, в якому лінійне перетворення має вигляд (2).
2. Приведення довільного перетворення до нормальної форми
Вже згадувалося в п. 1, що у випадку, коли у перетворення А не вистачає лінійно незалежних власних векторів (тобто коли їх число менше розмірності простору), базис доводиться доповнювати за рахунок так званих приєднаних векторів (їх точне визначення буде дано трохи пізніше). У цьому розділі дається спосіб побудови базису, в якому матриця перетворення А має жорданова нормальну форму. Цей базис ми безпосередньо наберемо з власних і приєднаних векторів, і такий спосіб вибору є, в деякому сенсі. Найбільш природним.
2.1 Власні і приєднані вектори лінійного перетворення
Нехай l 0 - деяке власне значення перетворення А.
Визначення 1. Вектор х ¹ 0 називається власним вектором перетворення А, що відповідає власному значенню l 0, якщо
Ах = l 0 х, тобто (А - l 0 Е) х = 0. (1)
Розглянемо сукупність усіх векторів, які відповідають умові (1) при фіксованому l 0. Ясно, що сукупність цих векторів є підпростором простору R
Позначимо його
Зауважимо, що підпростір
Визначення 2. Вектор х називається приєднаним вектором 1-го порядку перетворення А, що відповідає власному значенню l 0, якщо вектор
у = (А - l 0 Е) х
є власним вектором перетворення А.
Нехай l 0 - власне значення перетворення А.
Підпростір, що складається з усіх векторів х, для яких виконана умова
(А - l 0 Е) 2 х = 0, (2)
тобто ядро перетворення (А - l 0 Е) 2, позначимо
Аналогічно вводимо підпростір
(А - l 0 Е) k х = 0. (3)
Це підпростір інваріантно щодо перетворення А. Ясно, що підпростір
у = (А - l 0 Е) х
є приєднаний вектор порядку k -1.
Приклад. Нехай R - простір многочленів ступеня £ n-1 і перетворення А - диференціювання:
АР (t) =
Легко бачити, що l = 0 є власне значення. Відповідний йому власний вектор P (t) = const. Знайдемо для цього перетворення підпростору
Це будуть все многочлени, ступінь яких не перевищує k-1. Приєднаними векторами k-го порядку будуть многочлени, ступінь яких в точності дорівнює k-1.
2.2 Виділення підпростору, в якому перетворення А має тільки одне власне значення
Нехай l 1 - деякий власне значення перетворення А. Простір R можна розкласти в пряму суму двох інваріантних підпросторів, у першому з яких перетворення А має лише одне власне значення l 1, а у другому в перетворення А вже немає власного значення l 1.
Не обмежуючи спільності, можна вважати, що l 1 = 0.
Дійсно, нехай l 1 ¹ 0. Розглянемо перетворення В = А - l 1 Е, воно вже має власне значення, рівне нулю. Очевидно також, що інваріантні підпростори перетворень А і В співпадають.
Отже, будемо вважати, що перетворення А має власне значення l = 0. Доведемо це твердження спочатку для окремого випадку, коли в просторі немає приєднаних векторів, що відповідають цьому власного значення, а є лише власні вектори.
Нам потрібно побудувати два інваріантних підпростору, пряма сума яких дорівнює R. В якості першого з них, в якому l = 0 є єдине власне значення, можна взяти сукупність N 0 всіх власних векторів, що відповідають власному значенню l = 0 або, іншими словами, ядро перетворення А.
В якості другого підпростору візьмемо образ М простору R при перетворенні А, т. е. сукупність векторів у = Ах, де х пробігає весь простір R. Легко бачити, що кожне з цих підпросторів інваріантно.
Вони дають розкладання простору в пряму суму. Так як сума розмірностей ядра і образу для будь-якого перетворення А дорівнює n, то достатньо довести, що перетинання цих підпросторів дорівнює нулю.
Припустимо, що це не так, тобто нехай існує вектор у ¹ 0 такий, що уÎМ і уÎN 0. Так як уÎМ, то він має вигляд
у = Ах, (4)
де х - деякий вектор з R. Так як уÎN 0, то
Ау = 0, де у ¹ 0. (5)
Рівність (5) означає, що у є власний вектор перетворення А, що відповідає власному значенню l = 0, а рівність (4) при цьому означає, що х є приєднаний вектор першого порядку, що відповідає того ж власного значення. Ми ж припустили, що у перетворення А немає приєднаних векторів, що відповідають власному значенню l = 0.
Таким чином доведено, що підпростору М і N 0 не мають спільних векторів крім нульового.
Згадуючи, що сума розмірностей образу і ядра дорівнює n, ми отримуємо звідси, що простір R розкладені в пряму суму підпросторів інваріантних М і N 0:
R = M + N 0.
Зауваження. З наведеного вище докази видно, що образ і ядро мають перетин, відмінне від нуля в тому і тільки випадку, коли перетворення А має приєднані вектори, що відповідають власному значенню l = 0.
Розібраний приватний випадок дає нам ідею того, як проводити доказ в загальному випадку, коли А має також і приєднані вектори, що відповідають власному значенню l = 0. Підпростір N 0 при цьому виявляється надто вузьким, і його природно розширити за рахунок додавання всіх приєднаних векторів, що відповідають власному значенню l = 0. Друге ж підпростір М виявляється при цьому занадто великим.
Теорема. Простір R можна розкласти в пряму суму підпросторів інваріантних
Якщо l 1 - деякий власне значення перетворення А, то простір R можна розкласти в пряму суму підпросторів інваріантних R 1 і
Застосовуючи отриманий результат до перетворення А в просторі
Теорема. Нехай перетворення А простору R має k різних власних значень l 1, ..., l k .. Тоді R можна розкласти в пряму суму k інваріантних підпросторів
R =
Кожне з підпросторів
Залишилося ще тільки одна не менш важливе завдання - вибрати в кожному з цих підпросторів базис, в якому матриця перетворення має жорданова нормальну форму.
2.3 Приведення до нормальної форми матриці з одним власним значенням
У разі, якщо простір складається лише з власних векторів, базис в просторі можна вибирати довільно і матриця перетворення в цьому базисі має діагональний вигляд.
У загальному випадку необережний вибір базису може заплутати картину.
Щоб вибрати базис, в якому матриця перетворення має найбільш простий вигляд, ми будемо тягнути ланцюжка власних і приєднаних векторів, вибравши певний базис в підпросторі
Визначення. Вектори з простору R називаються щодо лінійно незалежними над підпростором R 1, якщо жодна їх лінійна комбінація, відмінна від нуля, не належить R 1.
Зауважимо, що всякі лінійно залежні вектори з R щодо лінійно залежні над будь-яким простором.
Визначення. Базисом простору R щодо підпростору R 1 називається така система е 1, ..., е k лінійно незалежних векторів з R, яка після поповнення яких-небудь базисом з R 1 утворить базис у всьому просторі.
Такий базис легко побудувати. Для цього достатньо буде вибрати який-небудь базис в R 1, доповнити його до базису в усьому просторі і потім відкинути вектор вихідного базису з R 1. Число векторів в такому відносному базисі дорівнює різниці розмірностей простору і підпростору.
Всяку систему щодо лінійно незалежних векторів над R 1 можна доповнити до відносного базису. Для цього потрібно до обраних векторах додати який-небудь базис підпростору R 1. Вийде деяка система векторів з R, які, як легко перевірити, лінійно незалежні. Щоб отримати відносний базис, потрібно доповнити цю систему до базису у всьому просторі R, а потім відкинути базис підпростору.
Отже, нехай перетворення А в просторі R має тільки одне власне значення. Не обмежуючи загальності можна, припустити, що воно дорівнює нулю.
3. Інваріантні множники
Визначення. Матриці А і А 1 = С -1 АС, де С - довільна невироджена матриця, називаються подібними.
Якщо А 1 подібна матриці А 2, то й назад, А 2 подібна А 1. Якщо дві матриці А 1 і А 2 подібні однієї і тієї ж матриці А, то вони подібні між собою.
Нехай А - матриця перетворення А в деякому базисі. При переході до іншого базису матриця А замінюється подібної їй матрицею С -1 АС, де С - матриця переходу від першого базису до другого. Таким чином, подібні матриці - це матриці одного і того ж лінійного перетворення в різних базисах.
Лема. Якщо С - довільна невироджена матриця, то загальні найбільші дільники миноров k-го порядку матриць А - l Е і С (А - l Е) збігаються. Аналогічне твердження має місце і для (А - l Е) С.
Лема. У подібних матриць многочлени D k (l) збігаються.
Тому що при переході від одного базису до іншого матриця лінійного перетворення замінюється подібної, то з останньої леми випливає наступна
Теорема. Нехай А - лінійне перетворення. Тоді найбільший загальний дільник D k (l) миноров k-го порядку матриці А - l Е, де А - матриця перетворення А в деякому базисі, не залежить від вибору базису.
Для того щоб існував базис, в якому матриця перетворення діагонально, необхідно і достатньо, щоб інваріантні множники цієї матриці мали лише прості корені.
Теорема. Для того щоб дві матриці були подібні, необхідно і достатньо, щоб їх інваріантні множники збігалися.
Теорема. Нормальна форма лінійного перетворення однозначно визначається самим лінійним перетворенням.
Висновок
«Образність того чи іншого явища або предмета, міцність закріплення його в пам'яті знаходиться в прямій залежності від сили враження виробленого цим предметом або явищем."
Абай, Слова повчання, Слово 43.
А., 1982. Переклад С. Санбаева.
Курсова робота, що описує канонічний вигляд довільних лінійних перетворень, включає в себе 3 невеликих розділу. Кожен розділ містить необхідні визначення, детально розібрані приклади, вправи з докладно розібраними рішеннями ..
В основному курсова робота написана за Гельфанду І.М. «Лекції з лінійної алгебри». Також допомагали в написанні цієї роботи Гельфанду І.М. і самостійно займалися цим розділом алгебри (і не тільки): Граєво М.І., Пономарьов В, Шапіро З.Я., Курош А.Г., Фомін С.В., Цетлін М.Л., Турецький А.Є. і Райков Д.А.
Цю курсову роботу можна використовувати для читання лекцій з лінійної алгебри, а саме розділу курсу: лінійні перетворення. Звичайно ж, при читанні лекції повністю на цю роботу спиратися не можна, так як вона не охоплює всі види лінійного перетворення і вимагає певного доповнення.
Література
1. Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. М., 1971.
2. Курош А. Г. Курс вищої алгебри. М., 1971.
3. Мальцев А. І. Основи лінійної алгебри. М., 1956.
4. Шимов Г. Є. Введення в теорію лінійних просторів. М.-Л., 1952.