Зміст
1. Введення
2. Золотий перетин
3. Числа Фобіначчі
4. Філотаксіс
5. Принципи формоутворення в природі
Заключение
6. ВисновокСписок используемой литературы
7. Список використаної літературиВведення
Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі.
Про золотий перетин знали ще в стародавньому Єгипті і Вавілоні, в Індії та Китаї. Великий Піфагор створив таємну школу, де вивчалася містична суть «золотого перетину». Евклід застосував його, створюючи свою геометрію, а Фідій - свої безсмертні скульптури. Платон розповідав, що Всесвіт улаштований відповідно до «золотого перерізу». А Аристотель знайшов відповідність «золотого перетину» етичному закону. Вищу гармонію «золотого перетину» проповідували Леонардо да Вінчі і Мікеланджело, адже краса і «золотий перетин» - це одне і те ж. Християнські містики малювали на стінах своїх монастирів пентаграми «золотого перетину», таким чином, рятуючись від Диявола. При цьому вчені - від Пачолі до Ейнштейна - шукали, але так і не знайшли його точного значення. Нескінченний ряд після коми - 1,6180339887 ... Дивна, загадкова, незрозуміла річ: ця божественна пропорція містичним чином супроводжує всьому живому. Нежива природа не знає, що таке «золотий перетин». Але ви неодмінно побачите цю пропорцію і у вигинах морських раковин, і у формі квітів, і в образі жуків, і в красивому людському тілі. Все живе і все красиве - все підпорядковується божественному закону, ім'я якому - «золотий перетин».
Золотий Перетин
Золотий перетин (золота пропорція) - пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього a: b = b: c або с: b = b: а.
Рис. 1. Геометричне зображення золотої пропорції
Практичне знайомство із золотим перетином починають із розподілу відрізка прямій у золотої пропорції за допомогою циркуля і лінійки.
Рис. 2. Розподіл відрізка прямій по золотому перетину. BC = 1 / 2 AB; CD = BC
З точки В підіймали перпендикуляр, дорівнює половині АВ. Отримана крапка З єднується лінією із крапкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок ВС, що закінчується крапкою D. Відрізок AD переноситься на пряму АВ. Отримана при цьому крапка Е ділить відрізок АВ у співвідношенні золотої пропорції.
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE = 0,618 ..., якщо АВ прийняти за одиницю, ВЕ = 0,382 ... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38. Якщо відрізок АВ прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка рівна 62, а менша - 38 частинам.
Властивості золотого перетину описуються рівнянням:
Одне з рішень якого дорівнює:
Друге рішення називається підставою золотий пропорції і позначається: φ
Число φ має унікальні математичними властивостями. Це єдине число, крім нуля, задовольняє рекурентному співвідношенню:
В геометрії існують різні способи побудови золотий пропорції, причому характерно, що для побудови взяти найпростіші геометричні фігури - квадрат або прямокутний трикутник із співвідношенням катетів 1:2. Якщо з середини сторони квадрата провести коло радіусом, рівним діагоналі полуквадрата, то на її перетині з продовженої стороною квадрата отримаємо відрізок, який менше боку квадрата відповідно із золотою пропорцією. Ще простіше побудова золотий пропорції в прямокутному трикутнику 1:2: . Досить провести дві дуги кола, що перетинаються в одній точці на гіпотенузі, і великий катет буде розділений відповідно до золотою пропорцією.
Золотий перетин можна побачити і в пентаграмме - так називали греки зірчастий багатокутник. Він служить символом піфагорейського союзу - релігійної секти і наукової школи з чолі з Піфагором, яка проповідувала братську любов один до одного, зречення від зовнішнього світу, спільність майна і т.д. На подібних традиції грунтувалися дуже багато сект. Але Пифагорийский союз відрізняло від інших те, що піфагорійці вважали можливим домогтися очищення духу за допомогою математики. За їхньою теорією, в основу світового порядку покладено числа. Світ, вважали вони, складається з протилежностей, а гармонія приводить протилежності до єдності. Гармонія ж полягає в числових відношеннях. Піфагорійці приписували числах різні властивості. Так, парні числа вони називали жіночими, непарні (крім 1) - чоловічими. Число 5 - як сума першого жіночого числа (2) та першого чоловічого (3) - вважалося символом любові. Звідси така увага до пентаграмме, що має 5 кутів.
Побожне ставлення до пентаграмме було характерно і для середньовічних містиків, які багато що запозичили у піфагорійців. У середні століття вважалося, що пентаграма служить охоронним знаком від сатани. Згадаймо, наприклад, як описує Гете проникнення диявола Мефістофеля в келію доктора Фауста, на якій була написана пентаграма. Мефістофель спочатку послав чорного пуделя відгризти кінчик двері до частини пентаграми. Тільки після цього він зміг постати перед Фаустом.
Цікаво, що сторони пентаграми, пресекаясь, утворюють правильний п'ятикутник, в якому припинення діагоналей дає нам нову пентаграму, а в перетині її сторін знову бачимо правильний п'ятикутник, відкриває можливість побудови нової пентаграми. І так далі до нескінченності.
Золотий прямокутник має багатьма незвичайними властивостями. Відрізавши від нього квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, ми знову отримаємо золотий прямокутник менших розмірів. Продовжуючи відрізати квадрати, ми будемо отримувати все менші і менші золоті прямокутники (рис.3)
Рис. 3. Золотий прямокутник
Тим самим буде побудовано приклад досконалого квадрируемого прямокутника нескінченного порядку. Точки, що ділять боку прямокутників у середньому і крайньому відношенні, лежать на логарифмічній спіралі, що закручується всередину.
Полюс спіралі лежить на перетині пунктирних діагоналей. Зрозуміло, «обертові квадрати», як їх прийнято називати, можуть не тільки закручувати, але і розкручувати спіраль. Для цього лише потрібно будувати не зменшуються, а все збільшуються квадрати. Логарифмічна спіраль - єдиний тип спіралі, не змінює своєї форми при збільшенні розмірів. Якщо логарифмічною спіралі з центру Про провести пряму, то які утворюються відрізки ОА, ОВ, ОС, ОD і т. д., отримані при перетині прямої з витками спіралі, утворюють геометричну прогресію, тобто ОА / ОВ = ОВ / ОС = ОС / OD = ... = m, де m - постійне число.
Відрізки радіуса, укладеного між послідовними витками спіралі, також утворюють прогресію зі ставленням АВ / ВС = ВС / СD = ... = n. Окремим випадком спіралі є така, що відповідає значенням n, рівному Ф, тобто золотий пропорції. Така спіраль називається «кривою гармонійного зростання».
Згідно сучасним уявленням золотий розподіл - це асиметрична симетрія. У науку про симетрію ввійшли такі поняття, як статична і динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна - рух, ріст. Так, у природі статична симетрія представлена будовою кристалів, а в мистецтві характеризує спокій, рівновагу й нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона - свідчення життя. Статичної симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічної симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перетину зростаючого або убутного ряду.
Числа Фобіначчі
У математиці добре відома послідовність чисел 1,1,2,3,5,8,13,21 ,..., звана числами Фібоначчі (ряд Фібоначчі) і утворена за рекуррентной формулою:
де n - натуральне число і початкові члени рівні 1 і 1.
Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого розподілу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний розподіл відрізка прямій у золотої пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього.
Яскравим прикладом прояву чисел Фібоначчі в живій природі є филлотаксисом Французький математик Біне показав, як пов'язані числа Фібоначчі і підстава золотий пропорції:
Ця формула цікава тим, що праворуч знаходяться ірраціональні числа α і , А зліва завжди ціле. Потрібно відзначити асиметричність знаменника правій частині формули 5. З останньої формули легко отримати наступне співвідношення:
яке разом з формулами показує глибокий зв'язок між числами Фібоначчі і підставою золотої пропорції. У цих можна помітити майже «містичне» присутність числа 5.
Якщо в рекурсивної послідовності, утвореною за формулою 4, задати довільні початкові члени, то межа відносини двох сусідніх членів цього ряду все одно буде прагнути до α (формула 6). при 1< i << n , не повлияют на этот результат.
Навіть деяка кількість арифметичних помилок в обчисленні φ i при 1 <i <<n, не вплинуть на цей результат.Підстава золотої пропорції є інваріантом рекурсивних співвідношень 4 і 6. У цьому проявляється «стійкість» золотого перерізу, одного з принципів організації живої матерії.
Так само, підставу золотої пропорції є рішенням двох екзотичних рекурсивних послідовностей (рис 4.)
Рис. 4 рекурсивних послідовності
Фібоначчі так само займався рішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якого найменшого кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі довів, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16 ... Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, 16 ... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сума попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох предидущх чисел 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 ....
Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого розподілу в рослинному й у тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого розподілу.
Присутність золотої пропорції і чисел Фібоначчі в живій природі дозволяють говорити про деяке єдиному механізмі їх виникнення. Числа Фібоначчі і золотий перетин є математичним описом деякого формоутворювального процесу. На мікрорівні (целочисленном) кількісна характеристика цього процесу проявляється як числа Фібоначчі, а на макрорівні (статистичному) як підставу золотої пропорції - число α. Якщо такий формотворний процес є законом живої природи, то з його допомогою можна пояснити наявність золотої пропорції в співвідношенні частин тіла людини і тварин, а також явище філлотаксису.
Филлотаксисом
Характерною рисою будови рослин та їх розвитку є спіральність. Ще Гете, який був не тільки великим поетом, а й натуралістом, вважав спіральність одним з характерних ознак всіх організмів, проявом самої потаємної сутності життя. Спірально закручуються вусики рослин, по спіралі відбувається зростання тканини в стовбурах дерев, по спіралі розташовані насіння в соняшнику, спіральні руху (нутації) спостерігаються при зростанні коренів і пагонів. Очевидно, в цьому проявляється спадковість організації рослин, а її коріння слід шукати на клітинному і молекулярному рівнях.
Дослідження показали, що рух протоплазми в клітці часто спіральне. Зростання клітин також може бути спіральним, як показав вчений Кастл. У рідкому середовищі клітини зустрічаються спіральні нитки волокон - цитонем. І, нарешті, носії інформації - молекули ДНК - також скручені в спіраль. Слід зазначити, що термін «спіраль» не відбиває точно будова молекул ДНК; більш правильно говорити про гвинтовому розташуванні поліпептидних ланцюгів у цій молекулі. Всі відомості про фізіологічні особливості живих істот зберігаються в мікроскопічній молекулі ДНК, будова якої також містить у собі закон золотої пропорції. Молекула ДНК складається з двох вертикально переплетених між собою спіралей. Довжина кожної з цих спіралей становить 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомільйонна частка сантиметра). Так ось 21 і 34 - це цифри, наступні один за одним у послідовності чисел Фібоначчі, тобто співвідношення довжини і ширини логарифмічної спіралі молекули ДНК несе в собі формулу золотого перетину 1:1,618.
У багатьох інших випадках, розглянутих ботаніки, мова також йде, по суті, не про спіралі, а про гвинтовому розташуванні елементів структури; на жаль, терміни часто змішують.
Немає сумнівів, що спадкова спіральність є одним з основних властивостей організмів, вона відображає один із суттєвих ознак живого. На перший погляд, здається, що в кристалах неорганічних речовин спіральність або гвинтова структура відсутні. Однак більш глибокі дослідження показали, що гвинтове розташування атомів спостерігається і в деяких кристалах і полягає освіти про гвинтових дислокацій. Такі кристали складаються з єдиною гвинтоподібних вигнутій атомної площині. При кожному оберті навколо осі ця площина піднімається на один крок гвинта, рівний межатомному відстані. Слід додати, що кристали з такою гвинтовою структурою мають сверхпрочностью. Від гвинтовий структури молекул ДНК до закручування вусиків рослин - такі форми прояву спіральності різних рівнях організації рослин. Чітко проявляється ця особливість організації рослин в закономірностях листорасположения.
Існує кілька способів листорасположения. У першому листя втечі розташовуються суворо один за іншим, утворюючи вертикальні ряди - ортостихи. Умовна спіраль, з'єднує місця розташування листя на втечу, називається генетичної, чи основний спіраллю, точніше, гвинтовий лінією і ділиться на ряд листових циклів. Генетичним цей гвинт називається тому, що розташування листя в ньому відповідає порядку появи у ньому листя. Проекція на площину листорасположения дозволяє в частках окружності висловити кут розбіжності листя.
Гвинтове розташування листя висловлюють дробом, чисельник якого дорівнює числу оборотів по стеблу уявного гвинта одного листового циклу, а знаменник-числу листя у цьому циклі, що з числом ортостих на стеблі. Ця дріб дозволяє розрахувати і кут розбіжності листя.
Виявилося, що кожна рослина характеризується своїм листорасположением. Так, у липи, в'яза, бука, злаків листорозміщення описується формулою 1 / 2, у дуба і вишні - 2 / 5, у малини, груші, тополі, барбарису - 3 / 8, у мигдалю, обліпихи - 5 / 13 і т. д. Неважко бачити, що у формулах листорасположения зустрічаються числа Фібоначчі, розташовані через одне.
Подивимося на соснову шишку. Лусочки на її поверхні розташовані строго закономірно - з двох спіралях, які перетинаються приблизно під прямим кутом. Число таких спіралей у соснових шишок дорівнює 8 і 13 або 13 і 21. Такі ж спіралі видно в поперечних розрізах нирок; тут числа спіралей відносяться
як числа 3 / 5, 5 / 8, 8 / 13. У кошиках соняшнику насіння також розташовані по
двом спіралях, їх кількість становить зазвичай 34 і 55, 55 і 89. Тут знову ми бачимо закономірне поєднання чисел Фібоначчі, розташованих поруч: 2 / 3, 3 / 5, 5 / 8, 13/21 і т.д. Їхнє ставлення до межі прагне до числа j = 0,61803 ...
Розглянуту закономірність розташування листя, лусочок, насіння називають филлотаксисом.
При зміні формули листорасположения змінюється і кут розбіжності листя. Формула 1 / 2 характеризує двурядное розташування листя під кутом один від одного. При формулі 1 / 3 кут між листям буде
, А при формулі 2 / 5 -
і т.д. У граничному випадку, коли відношення чисел у формулі буде відповідати золотий пропорції - 0,38196 ... кут розбіжності листя стане рівним
, Який був названий «ідеальним» кутом, або кутом золотий пропорції (
= Ф 2). Встановлено, що при розташуванні листів під ідеальним кутом жоден лист не буде розташовуватися точно над іншим, чим створюються кращі умови для фотосинтезу.
Принципи формоутворення в природі
Закономірності "золотий» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних часток, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних і космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є в будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також проявляються в біоритми і функціонуванні головного мозку і зорового сприйняття.
Все, що здобувало якусь форму, утворювалося, росло, прагнуло зайняти місце в просторі і зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення в основному у двох варіантах - ріст нагору або розстеляння по поверхні землі й закручування по спіралі.
Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрові раковина має спіраль довжиною 35 см. Спіралі дуже поширені в природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіралі.
Рис. 5. Спіраль Архімеда
Форма спірально завитий раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її і вивів рівняння спіралі. Спіраль, накреслені по цьому рівнянню, називається його іменем. Збільшення її кроку завжди рівномірно. В даний час спіраль Архімеда широко застосовується в техніці.
Ще Гете підкреслював тенденцію природи до спіральності. Гвинтоподібне і спіралевідное розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшника, у шишках сосни, ананасах, кактуси і т.д. Спільна робота ботаніків і математиків пролила світло на ці дивні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листів на гілці (філотаксіс), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, проявляє себе закон золотого перетину. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Перелякана череда північних оленів розбігається по спіралі. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль «кривий життя».
Серед пришляхових трав росте нічим не примітне рослина - цикорій. Придивімося до нього уважно. (Мал. 6) Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.
Рис. 6. Цикорій
Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротше першого, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру й знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, то другий рівний 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотої пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його росту поступово зменшувалися в пропорції золотого перерізу.
Рис. 7. Ящірка живородна
У ящірці (Мал. 7) з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так ставиться до довжини іншого тіла, як 62 до 38.
І в рослинному, і у тваринному світі наполегливо пробивається формотворна тенденція природи - симетрія щодо напрямку росту й руху. Тут золотий перетин проявляється в пропорціях частин перпендикулярно до напрямку росту.
Природа здійснила розподіл на симетричні частини й золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.
Серце б'ється безперервно - від народження людини до її смерті. Його робота повинна бути оптимальною, зумовленої законами самоорганізації біологічних систем. Відхилення від оптимального режиму викликають різні захворювання. А так як золота пропорція є одним з критеріїв самоорганізації в живій природі, природно припустити, що і в роботі серця можливий прояв цього критерію.
При роботі серця виникає електричний струм, що можна вловити спеціальним приладом і отримати криву - електрокардіограму (ЕКГ) з характерними зубцями, що відображають різні цикли роботи серця. На ЕКГ людини виділяються дві ділянки різної тривалості, відповідні систолічної та діастолічної діяльності серця. В. Цвєтков встановив, що у людини і інших ссавців є оптимальна («золота») частота серцебиття, при якій тривалості систоли, діастоли і повного серцевого циклу співвідносяться між собою в пропорції 0,382: 0,618: 1, тобто в повній відповідності із золотою пропорцією. Так, наприклад, для людини ця частота дорівнює 63 ударам за хвилину, для собак - 94, що відповідає реальній частоті серцебиття в стані спокою.
Систолічний тиск крові в аорті одно 0,382, а діастолічний - 0,618 від середнього тиску крові в аорті. Частка обсягу лівого шлуночка при ударному викиді крові по відношенню до конечнодиастолическому обсягу у десяти видів ссавців у стані спокою становить 0,37-0,4, що в середньому також відповідає золотий пропорції. Таким чином, робота серця у відношенні тимчасових циклів, зміни тиску крові та обсягів шлуночків оптимізовано за одним і тим же принципом - за правилом золотої пропорції.
Художники, вчені, модельєри, дизайнери роблять свої розрахунки, креслення або начерки, виходячи зі співвідношення золотого перерізу. Вони використовують мірки з тіла людини, створеної також за принципом золотої перетину. Леонардо Да Вінчі і Ле Корбюзье перед тим як створювати свої шедеври брали параметри людського тіла, створеного за законом Золотий пропорції. Пропорції різних частин нашого тіла становлять число, дуже близьке до золотого перетину. Якщо ці пропорції збігаються з формулою золотого перерізу, то зовнішність або тіло людини вважається ідеально складеними. Принцип розрахунку золотий заходи на тілі людини можна зобразити у вигляді схеми представленої нижче.
M / m = 1,618
Перший приклад золотого перерізу в будові тіла людини:
Якщо прийняти центром людського тіла точку пупа, а відстань між ступнею людини і точкою пупа за одиницю виміру, то зростання людини еквівалентний числа 1.618.
Крім цього є і ще кілька основних золотих пропорції нашого тіла:
відстань від кінчиків пальців до зап'ястя і від зап'ястя до ліктя одно 1:1.618
відстань від рівня плеча до верхівки голови й розміру голови одно 1:1.618
відстань від точки пупа до маківки голови і від рівня плеча до верхівки голови одно 1:1.618
відстань точки пупа до колін і від колін до ступень одно 1:1.618
відстань від кінчика підборіддя до кінчика верхньої губи і від кінчика верхньої губи до ніздрів одно 1:1.618
відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки одно 1:1.618
відстань від кінчика підборіддя до верхньої лінії брів і від верхньої лінії брів до верхівки одно 1:1.618
Золотий перетин в рисах обличчя людини як критерій досконалої краси.
У будові рис обличчя людини також є безліч прикладів, що наближаються за значенням до формули золотого перерізу. Проте не кидайтеся відразу ж за лінійкою, щоб обміряти імені всіх людей. Тому що точні відповідності золотому перетину, на думку учених і людей мистецтва, художників і скульпторів, існують тільки у людей з досконалою красою. Власне точне наявність золотої пропорції в особі людини і є ідеал краси для людського ока.
Наприклад, якщо ми підсумовуємо ширину двох передніх верхніх зубів і розділимо цю суму на висоту зубів, то, отримавши при цьому число золотого перерізу, можна стверджувати, що будова цих зубів ідеально.
На людському обличчі існують і інші втілення правила золотого перерізу. Наведемо кілька таких співвідношень:
Висота особи / ширина обличчя,
Центральна точка з'єднання губ до основи носа / довжина носа.
Висота особи / відстань від кінчика підборіддя до центральної точки з'єднання губ
Ширина рота / ширина носа,
Ширина носа / відстань між ніздрями,
Відстань між зіницями / відстань між бровами.
Рука людини
Достатньо лише наблизити нині вашу долоню до себе і уважно подивитися на вказівний палець, і ви відразу ж знайдете в ньому формулу золотого перетину. Кожен палець нашої руки складається з трьох фаланг.
Сума двох перших фаланг пальця у співвідношенні з усією довжиною пальця і дає число золотого перерізу (за винятком великого пальця).
Крім того, співвідношення між середнім пальцем і мізинцем також дорівнює числу золотого перерізу. 4
У людини 2 руки, пальці на кожній руці складаються з 3 фаланг (за винятком великого пальця). На кожній руці є по 5 пальців, тобто всього 10, але за винятком двох двухфалангових великих пальців тільки 8 пальців створено за принципом золотого перетину. Тоді як всі ці цифри 2, 3, 5 і 8 є числа послідовності Фібоначчі.
Золотий перетин присутній в будові всіх кристалів, але більшість кристалів мікроскопічно малі, так що ми не можемо розглядати їх неозброєним оком. Однак сніжинки, також представляють собою водні кристали, цілком доступні нашому погляду. Всі вишуканої краси фігури, які утворюють сніжинки, всі осі, кола та геометричні фігури в сніжинки також завжди без винятків побудовані за досконалої чіткою формулою золотого перерізу.
У Всесвіті всі відомі людству галактики і всі тіла в них існують у формі спіралі, відповідною формулою золотого перерізу. Принципу Золотого Перетини підпорядковані і періоди обертання планет Сонячної системи.
Будова усіх що зустрічаються в природі живих організмів і неживих об'єктів, що не мають ніякого зв'язку і подібності між собою, сплановано за певною математичною формулою. Це є найяскравішим доказом їх усвідомленої створеного згідно якомусь проекту, задуму. Формула золотого перерізу і золоті пропорції дуже добре відомі всім людям мистецтва, бо це головні правила естетики. Будь-який твір мистецтва, спроектоване в точній відповідності з пропорціями золотого перерізу, являє собою довершену естетичну форму.
За цим законом Великого Божественного Творіння створені галактики, створені рослини і мікроорганізми, тіло людини, кристали, живі істоти, молекула ДНК і закони фізики, тоді як вчені і люди мистецтва лише вивчають цей закон і прагнуть наслідувати йому, втілювати цей закон у своїх творах.
Поза сумнівом, що все в нашому світі, у навколишньому нас життя створене Всевишнім Господом без будь-якого подоби. Тоді як люди тільки копіюють і наслідують прикладів, які існують у природі, які Він учинив.
Ми лише відтворюємо з більшою або меншою мірою майстерності подоби досконалості форм життя, що оточують нас повсюдно.
Висновок
Ідея про гармонійність світу і систем, пов'язана з відносинами протилежностей всередині об'єкта, не нова. Вона сходить до філософії Стародавньої Греції. "Бог, - учив великий філософ і геометр Піфагор, - це єдність, а світ складається з протилежностей. Те, що призводить протилежності до єдності і створює все в космосі, є гармонія. Гармонія є божественною і полягає в числових відносинах ..." У наші дні ідея гармонії систем набуває все більшого визнання. Робляться зусилля з виявлення заходи структурної гармонії систем, виходячи з протилежностей в об'єкті, бо, як пише Е. М. Сороко, "гармонія не має будь-яким змістом поза суперечливості" Прийнято вважати, що об'єкти, які містять в собі «золотий перетин», сприймаються людьми як найбільш гармонійні.
Напевно, важко знайти надійну міру для об'єктивної оцінки самої краси, і однією логікою тут не обійдешся. Проте тут допоможе досвід тих, для кого пошук краси був сенсом життя, хто зробив це своєю професією. Це, перш за все, люди мистецтва, як ми їх називаємо: художники, архітектори, скульптори, музиканти, письменники. Але це і люди точних наук, - перш за все, математики.
Довіряючи оці більше, ніж іншим органам почуттів, людина в першу чергу навчався розрізняти навколишні його предмети за формою. Інтерес до форми якого-небудь предмета може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип золотого перетину - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі. Цю думку поділяли і поділяють багато видатних сучасні вчені, доводячи в своїх дослідженнях, що справжня краса завжди функціональна. У їх числі і авіаконструктори. І архітектори, і антропологи, і багато інших.