РЕФЕРАТ
Тема:
«Математика і золотий перетин»
Зміст
Введення
1. Історія золотого перерізу
2. Математична сутність золотого перерізу
3. Золотий перетин в сучасній науці
Висновок
Список літератури
Введення
Золотий перетин (гармонійна поділ, поділ у крайньому і середньому відношенні) - поділ відрізка на дві частини таким чином, що більша його частина є середньою пропорційною між усім відрізком і меншою його частиною.
Принципи «золотого перетину» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та ін мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів світового зодчества, головним чином античності і Відродження.
«У геометрії є два скарби - теорема Піфагора і поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні. Перше можна порівняти з цінністю золота, друге можна назвати коштовним каменем ». Ці слова сказав чотири століття тому німецький астроном і математик Йоганн Кеплер, вони є епіграфом практично до всіх працям, присвяченим «золотого перерізу». Геніальний вчений поставив пропорцію «золотого перетину» на один рівень з самої знаменитої геометричній теоремою.
Однак «золотого перерізу» пощастило менше, ніж теоремі Піфагора - «класична» наука та педагогіка його ігнорують, а «офіційна» математика не визнає.
Мета даної роботи провести короткий огляд історії та математичної сутності золотого перерізу, і спробувати осмислити його роль в сучасній математиці.
1. Історія золотого перерізу
У математиці принцип «золотого перетину» вперше було сформульовано в «Початки» Евкліда, найвідомішому математичному творі античної науки, написаному в III столітті до н.е. Перекладач Дж. Kампано з Наварри (III в.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки обраним.
Якщо спростити задачу Евкліда, то відрізок лінії АВ вважатиметься розділеним точкою С (яка ближче до точки А) в «золотої пропорції», якщо відношення більшої частини СВ до меншої АС дорівнює відношенню всього відрізка АВ до більшої частини СВ, тобто СВ: АС = АВ: СВ. Результатом вирішення цього завдання є ірраціональне число, що приблизно дорівнює 1,618, що і називають золотим перерізом, золотим числом або золотою пропорцією.
Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гіпсікл (II ст. До н.е.), Папп (III ст. Н.е.) і ін
У цілому всі перші геометричні системи - евклідова геометрія, теорема Піфагора - свідчать про те, наскільки хвилювали давніх греків проблеми гармонії, пошук ідеальних пропорцій і форм. Однак є припущення, що першими до принципу золотого перерізу прийшли все ж єгиптяни. Найбільш відома піраміда Хеопса побудована з використанням т.зв. золотого трикутника, в якому співвідношення гіпотенузи до меншого катета дорівнює золотому перерізу. Храми, барельєфи, предмети побуту і прикраси з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзье знайшов, що в рельєфі із храму фараона Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовані пропорції золотого перерізу.
Естетичним каноном давньогрецької культури цей принцип став завдяки Піфагору, який вивчав у країні пірамід таємні науки єгипетських жерців. Їх результат втілений у фасаді давньогрецького храму Парфенона, де присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу. Також з використанням золотого перерізу створені Афродіта Праксителя і театр Діоніса в Афінах.
Платон (427-347 рр.. До н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого розподілу.
У часи середньовічного Ренесансу геніальний італійський математик Лука Пачолі написав першу книжку про золотий переріз, назвавши її «божественною пропорцією». На його думку, навіть Бог використовував принцип золотого перерізу для створення Всесвіту. Ця ідея була пізніше використав Кеплер, остання книжка так і називалася - «Гармонія Всесвіту». Пачолі вважають творцем нарисної геометрії.
У той же самий час Леонардо да Вінчі, другом якого був Пачолі, використовував для композиційної побудови своєї знаменитої Джоконди т.зв. «Золотий рівнобедрений трикутник», у якому відношення бедра до основи дорівнює золотому перерізу.
Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він справляв перетину стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і кожного разу отримував прямокутники з відносинами сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому розподілу назва «золотий перетин». Так воно і тримається до цих пір, як саме популярне.
У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанта трактату про пропорції. Судячи по одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив «золотого перерізу». Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.
Систематизувати знання по золотому перетину і надати їм чіткої арифметичної форми фундаментальної пропорції світобудови вдалося вже лише в наш час. Велика роль у дослідженні золотого перерізу належить українському вченому Олексію Стахову, в 80-х роках минулого століття обгрунтував базис нового вчення про гармонію систем, якому належить стати, на його думку, основною інтегруючою наукою XXI століття. Книжки вінницького вченого «Вступ до алгоритмічної теорії виміру», «Коди золотої пропорції», «Комп'ютерна арифметика на числах Фібоначчі та золотому перерізі», «Новий тип елементарної математики і комп'ютерної науки на основі золотого перерізу» видані за кордоном і не залишилися без уваги західних виробників інформаційних та комп'ютерних технологій. Канадський університет Торонто визнав автора «мислителем XXI століття». Навесні 2003 р. російський фізик-теоретик Юрій Владимиров відкрив принцип золотого перерізу в структурі атома. Помітний прорив у сучасних уявленнях про природу формоутворення біологічних об'єктів зробив на початку 90-х років український вчений Олег Боднар, створивши нову геометричну теорію філлотаксису.
Математика гармонії застосовна й до сучасної економіки. Досить відомі, наприклад, роботи російського вченого Харитонова про економічний розвиток російських регіонів і країни, в цілому, виходячи з принципів золотого перерізу.
Завдяки дослідженням американських учених Елліота, Пречтера і Фішера числа Фібоначчі ввійшли в сферу бізнесу як основа оптимальних стратегій.
Найбільш перспективним напрямком застосування нової математики вважаються комп'ютерні технології. Сьогодні ці розробки захищені 65 патентами США, Японії, Англії, Німеччини та інших країн. За однією з таких технологій відома американська фірма недавно запустила в серійне виробництво т.зв. аналоговий мікропроцесор для цифрової обробки сигналів.
2. Математична сутність золотого перерізу
Рис 1.
Розглянемо малюнок 1. Відрізок прямій АВ можна розділити точкою C на дві частини наступними способами:
· На дві рівні частини АВ: АC = АВ: ВС;
· На дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють), таким чином, коли АВ: АC = АC: ВС.
Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні.
Алгебраїчно «золотий перетин можна виразити таким чином: AB: AC = AC: (AB - AC), звідки AC = AB: 2 (√ 5 - 1) ≈ 0,62 AB. Число 0,62 позначено літерою φ, на честь давньогрецького скульптора Фідія.
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618 ..., якщо C прийняти за одиницю, А = 0,382 ...
Золотий перетин тісно пов'язане з числами Фібоначчі. Числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні фігури.
Розглянемо взаємозв'язок «золотого перерізу з числами Фібоначчі.
Числа, що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... називаються «числами Фібоначчі», а сама послідовність - послідовністю Фібоначчі. Суть послідовності Фібоначчі в тому, що починаючи з 1, 1 наступне число виходить складанням двох попередніх.
Дана послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякого постійного співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто представляє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дробовій частині. Його неможливо виразити точно.
Якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається близько ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевершує, то не досягає його.
Широке поширення отримали т.зв. «Золоті фігури», мають у своїй основі «золотий перетин».
Прямокутник з «золотим» відношенням сторін стали називати «золотим прямокутником». Він також володіє цікавими властивостями. Якщо від нього відрізати квадрат, то залишиться знову золотий прямокутник. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. А якщо провести діагональ першого і другого прямокутника, то точка їх перетину належатиме всім одержуваним золотим прямокутниках.
«Золотий трикутник» - це рівнобедрений трикутник, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює 1.618.
Є й «золотий кубоід» - це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.
У зірчастому п'ятикутнику кожна з п'яти ліній, що складають цю фігуру, ділить іншу відносно золотого перетину, а кінці зірки є «золотими трикутниками». Усередині п'ятикутника можна продовжити будувати п'ятикутники, і це ставлення буде зберігатися.
Зірчастий п'ятикутник називається пентаграмою. Піфагорійці вибрали п'ятикутну зірку в якості талісмана, вона вважалася символом здоров'я і служила розпізнавальним знаком.
В даний час існує гіпотеза, що пентаграма - первинне поняття, а «золотий перетин» вдруге. Пентаграму ніхто не винаходив, її тільки скопіювали з натури. Вид п'ятикутної зірки мають п'ятипелюсткові квіти плодових дерев і чагарників, морські зірки. Ті й інші створіння природи людина спостерігає вже тисячі років. Тому природно припустити, що геометричний образ цих об'єктів - пентаграма - стала відома раніше, ніж «золота» пропорція.
«Лотаринзький хрест», який служив емблемою «Вільної Франції» (організація, яку в роки другої світової війни очолював генерал де Голль), складений з тринадцяти одиничних квадратів. Встановлено, що пряма, що ділить площа «лотаринзького хреста» на дві рівні частини, ділить його у золотому відношенні.
Послідовно відсікаючи від «золотих прямокутників» квадрати до нескінченності, кожен раз поєднуючи протилежні точки чвертю кола, можна отримати досить витончену криву. Першим увагу на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Він вивчав її і вивів рівняння цієї спіралі. В даний час «спіраль Архімеда» широко використовується в техніці. У гідротехніки по «золотої спіралі» згинають трубу, що підводить потік води до лопат турбіни. Завдяки цьому напір води використовується з найбільшою продуктивністю.
Інтерес людини до природи призвів до відкриття її фізичних і математичних закономірностей. Краса природних форм народжується у взаємодії двох фізичних сил - тяжіння та інерції. Золота пропорція - це математичний символ цієї взаємодії, оскільки виражає основні моменти живого зростання: стрімкий зліт юних пагонів змінюється уповільненим зростанням «за інерцією» до моменту цвітіння.
Розглядаючи розташування листя на загальних стеблі багатьох рослин, можна помітити, що між кожними двома парами листя третій розташована в місці «золотого перетину».
«Золоту спіраль» також можна помітити в творах природи.
Наприклад, розташування насіння у кошику соняшнику. Вони шикуються уздовж спіралей, які закручуються як зліва направо, так і справа наліво. В один бік у середнього соняшнику закручено 13 спіралей, в іншу - 21. Відношення 13: 21 - ставлення Фібоначчі.У більших суцвіть соняшнику кількість відповідних спіралей більше, але відношення числа спіралей, закручуються в різних напрямках також дорівнює числу j.
Схоже спіральне розташування спостерігається у лусочок соснових шишок або осередків ананаса. За золотої спіралі згорнуті раковини багатьох молюсків, деякі павуки, сплітаючи павутину, закручують нитки навколо центру з золотим спіралях. Рогу архарів закручуються по золотих спіралях.
Природа повторює свої знахідки, як в малому, так і у великому. За золотим спіралях закручуються багато галактик, зокрема і галактика Сонячної системи.
Одним з перших проявів золотого перерізу в природі помітив різнобічний спостерігач, автор багатьох сміливих гіпотез німецький математик і астроном Іоганн Кеплер (1571 - 1630). З XVII ст. спостереження математичних закономірностей у ботаніки та зоології стали швидко накопичуватися.
У 1850 р. німецький учений А. Цейзінг відкрив так званий закон кутів, згідно з яким середня величина кутового відхилення гілки рослини дорівнює приблизно 138 °. Величина середнього кутового відхилення гілки відповідає меншій з двох частин, на які ділиться повний кут при золотому перерізі.
3. Золотий перетин в сучасній науці
У кожній науці є т.зв. «Метафізичні» знання, без яких неможливе існування самої науки. Наприклад, якщо виключити з математики поняття натурального та ірраціонального чисел або аксіоми геометрії, математика відразу ж перестане існувати. З таким же правом до розряду «метафізичних» знань може бути віднесено й «золотий перетин», яке вважалося «каноном» античної культури, а потім і епохи Відродження. Однак, як це не парадоксально, в сучасній теоретичній фізиці і математиці «золота пропорція» ніяк не відображена. Нині робляться спроби показати, що «золотий перетин» є однією з найважливіших «метафізичних» ідей, без якої важко уявити подальший розвиток науки, зокрема, теоретичної фізики і математики.
Аналіз сучасних програм освіти в таких країнах, як США, Канада, Росія та Україна, показує, що в більшості з них немає навіть згадки про «золотий перетин». Тобто, має місце свідоме ігнорування одного з найважливіших відкриттів античної математики. Можливо, причину слід шукати в негативному ставленні сучасної «матеріалістичної» науки і «матеріалістичного» освіти до астрології і так званим «езотеричним» наук. У них «золотий перетин» і пов'язані з ним геометричні фігури - «пентаграма», «Платонова тіла», «куб Метатрон» - широко використовуються як основні «сакральних» символів. І «матеріалістичний» освіта не знайшло нічого більш розумного, як викинути золотий перетин на звалище «сумнівних наукових концепцій» разом з астрологією та «езотеричними» науками. У результат більшість т.з. «Освічених» людей добре знають «теорему Піфагора», але мають дуже туманне уявлення про «золотий перетин».
В даний час досліджуються математичні теорії пов'язані з принципами «золотого перетину»: нова теорія гіперболічних функцій, нова теорія чисел, нова теорія вимірювання, теорія матриць Фібоначчі і так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорію кодування і нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з точки зору золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить у теорії нові й напевно дуже цікаві математичні результати. У практичному сенсі - «золоту» комп'ютеризацію. А оскільки «математика гармонії» істотно доповнить класичну математику, цілком можливо доведеться переглянути і всю систему сучасної математичної освіти.
Висновок
У висновку спробуємо сформулювати найбільш популярне і зрозуміле для обивателя визначення «золотого перетину».
Золотий перетин - це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього.
Нами був проведений історичний екскурс і розібрана математична сутність «золотого перетину», розглянуто будову «золотих фігур».
Знайомство з принципами «золотого перетину», допомагає бачити гармонію і доцільність оточуючих нас творінь природи і людини. Можна зробити висновки:
· По-перше, золотий перетин - це один з основних основоположних принципів природи;
· По-друге, людське уявлення про красивий явно сформувалося під впливом того, який порядок і гармонію людина бачить у природі.
Незважаючи на неприйняття «золотого перерізу» сучасними «офіційними науками, воно повсюдно використовується в техніці, у багатьох країнах світу, в тому числі в Росії та України, досить великі вчені продовжують вивчати і шукати практичне застосування одного з« золотих »математичних принципів.
Список літератури
1. Азевич А.І. Двадцять уроків гармонії: гуманітарно-математичний курс. - М.: Школа-прес, 1998.
2. Васюткінскій М.М. Золота пропорція. - М., 1990.
3. Волошинов А.В. Математика і мистецтво. - М., 1992.
4. Гарднер М. Математичні головоломки й розваги. - М., 1994.
5. Кованцов Н.І. Математика і романтика. - Київ, 1976.
6. МСЕ / / під редакцією Б.А. Введенського. - М. 1959.
7. Пидоу Д. Геометрія і мистецтво. - М.: Світ, 1989.
8. Прохоров А.І. Золота спіраль / / Квант. 1984. № 9.
Тема:
«Математика і золотий перетин»
Зміст
Введення
1. Історія золотого перерізу
2. Математична сутність золотого перерізу
3. Золотий перетин в сучасній науці
Висновок
Список літератури
Введення
Золотий перетин (гармонійна поділ, поділ у крайньому і середньому відношенні) - поділ відрізка на дві частини таким чином, що більша його частина є середньою пропорційною між усім відрізком і меншою його частиною.
Принципи «золотого перетину» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та ін мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів світового зодчества, головним чином античності і Відродження.
«У геометрії є два скарби - теорема Піфагора і поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні. Перше можна порівняти з цінністю золота, друге можна назвати коштовним каменем ». Ці слова сказав чотири століття тому німецький астроном і математик Йоганн Кеплер, вони є епіграфом практично до всіх працям, присвяченим «золотого перерізу». Геніальний вчений поставив пропорцію «золотого перетину» на один рівень з самої знаменитої геометричній теоремою.
Однак «золотого перерізу» пощастило менше, ніж теоремі Піфагора - «класична» наука та педагогіка його ігнорують, а «офіційна» математика не визнає.
Мета даної роботи провести короткий огляд історії та математичної сутності золотого перерізу, і спробувати осмислити його роль в сучасній математиці.
1. Історія золотого перерізу
У математиці принцип «золотого перетину» вперше було сформульовано в «Початки» Евкліда, найвідомішому математичному творі античної науки, написаному в III столітті до н.е. Перекладач Дж. Kампано з Наварри (III в.) Зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого розподілу ревно оберігалися, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки обраним.
Якщо спростити задачу Евкліда, то відрізок лінії АВ вважатиметься розділеним точкою С (яка ближче до точки А) в «золотої пропорції», якщо відношення більшої частини СВ до меншої АС дорівнює відношенню всього відрізка АВ до більшої частини СВ, тобто СВ: АС = АВ: СВ. Результатом вирішення цього завдання є ірраціональне число, що приблизно дорівнює 1,618, що і називають золотим перерізом, золотим числом або золотою пропорцією.
Після Евкліда дослідженням золотого розподілу займалися Гіпсікл (II ст. До н.е.), Папп (III ст. Н.е.) і ін
У цілому всі перші геометричні системи - евклідова геометрія, теорема Піфагора - свідчать про те, наскільки хвилювали давніх греків проблеми гармонії, пошук ідеальних пропорцій і форм. Однак є припущення, що першими до принципу золотого перерізу прийшли все ж єгиптяни. Найбільш відома піраміда Хеопса побудована з використанням т.зв. золотого трикутника, в якому співвідношення гіпотенузи до меншого катета дорівнює золотому перерізу. Храми, барельєфи, предмети побуту і прикраси з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого розподілу при їхньому створенні. Французький архітектор Ле Корбюзье знайшов, що в рельєфі із храму фараона Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого розподілу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовані пропорції золотого перерізу.
Естетичним каноном давньогрецької культури цей принцип став завдяки Піфагору, який вивчав у країні пірамід таємні науки єгипетських жерців. Їх результат втілений у фасаді давньогрецького храму Парфенона, де присутні золоті пропорції. При його розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладені пропорції золотого розподілу. Також з використанням золотого перерізу створені Афродіта Праксителя і театр Діоніса в Афінах.
Платон (427-347 рр.. До н.е.) також знав про золотий розподіл. Його діалог «Тімей» присвячений математичним і естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого розподілу.
У часи середньовічного Ренесансу геніальний італійський математик Лука Пачолі написав першу книжку про золотий переріз, назвавши її «божественною пропорцією». На його думку, навіть Бог використовував принцип золотого перерізу для створення Всесвіту. Ця ідея була пізніше використав Кеплер, остання книжка так і називалася - «Гармонія Всесвіту». Пачолі вважають творцем нарисної геометрії.
У той же самий час Леонардо да Вінчі, другом якого був Пачолі, використовував для композиційної побудови своєї знаменитої Джоконди т.зв. «Золотий рівнобедрений трикутник», у якому відношення бедра до основи дорівнює золотому перерізу.
Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого розподілу. Він справляв перетину стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і кожного разу отримував прямокутники з відносинами сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому розподілу назва «золотий перетин». Так воно і тримається до цих пір, як саме популярне.
У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанта трактату про пропорції. Судячи по одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив «золотого перерізу». Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, а також лінією, проведеною через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.
Систематизувати знання по золотому перетину і надати їм чіткої арифметичної форми фундаментальної пропорції світобудови вдалося вже лише в наш час. Велика роль у дослідженні золотого перерізу належить українському вченому Олексію Стахову, в 80-х роках минулого століття обгрунтував базис нового вчення про гармонію систем, якому належить стати, на його думку, основною інтегруючою наукою XXI століття. Книжки вінницького вченого «Вступ до алгоритмічної теорії виміру», «Коди золотої пропорції», «Комп'ютерна арифметика на числах Фібоначчі та золотому перерізі», «Новий тип елементарної математики і комп'ютерної науки на основі золотого перерізу» видані за кордоном і не залишилися без уваги західних виробників інформаційних та комп'ютерних технологій. Канадський університет Торонто визнав автора «мислителем XXI століття». Навесні 2003 р. російський фізик-теоретик Юрій Владимиров відкрив принцип золотого перерізу в структурі атома. Помітний прорив у сучасних уявленнях про природу формоутворення біологічних об'єктів зробив на початку 90-х років український вчений Олег Боднар, створивши нову геометричну теорію філлотаксису.
Математика гармонії застосовна й до сучасної економіки. Досить відомі, наприклад, роботи російського вченого Харитонова про економічний розвиток російських регіонів і країни, в цілому, виходячи з принципів золотого перерізу.
Завдяки дослідженням американських учених Елліота, Пречтера і Фішера числа Фібоначчі ввійшли в сферу бізнесу як основа оптимальних стратегій.
Найбільш перспективним напрямком застосування нової математики вважаються комп'ютерні технології. Сьогодні ці розробки захищені 65 патентами США, Японії, Англії, Німеччини та інших країн. За однією з таких технологій відома американська фірма недавно запустила в серійне виробництво т.зв. аналоговий мікропроцесор для цифрової обробки сигналів.
2. Математична сутність золотого перерізу
○ ○ ○ А С В |
Рис 1.
Розглянемо малюнок 1. Відрізок прямій АВ можна розділити точкою C на дві частини наступними способами:
· На дві рівні частини АВ: АC = АВ: ВС;
· На дві нерівні частини в будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють), таким чином, коли АВ: АC = АC: ВС.
Останнє і є золотий розподіл або розподіл відрізка в крайньому і середньому відношенні.
Алгебраїчно «золотий перетин можна виразити таким чином: AB: AC = AC: (AB - AC), звідки AC = AB: 2 (√ 5 - 1) ≈ 0,62 AB. Число 0,62 позначено літерою φ, на честь давньогрецького скульптора Фідія.
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618 ..., якщо C прийняти за одиницю, А = 0,382 ...
Золотий перетин тісно пов'язане з числами Фібоначчі. Числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні фігури.
Розглянемо взаємозв'язок «золотого перерізу з числами Фібоначчі.
Числа, що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... називаються «числами Фібоначчі», а сама послідовність - послідовністю Фібоначчі. Суть послідовності Фібоначчі в тому, що починаючи з 1, 1 наступне число виходить складанням двох попередніх.
Дана послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякого постійного співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто представляє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дробовій частині. Його неможливо виразити точно.
Якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається близько ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевершує, то не досягає його.
Широке поширення отримали т.зв. «Золоті фігури», мають у своїй основі «золотий перетин».
Прямокутник з «золотим» відношенням сторін стали називати «золотим прямокутником». Він також володіє цікавими властивостями. Якщо від нього відрізати квадрат, то залишиться знову золотий прямокутник. Цей процес можна продовжувати до нескінченності. А якщо провести діагональ першого і другого прямокутника, то точка їх перетину належатиме всім одержуваним золотим прямокутниках.
«Золотий трикутник» - це рівнобедрений трикутник, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює 1.618.
Є й «золотий кубоід» - це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.
У зірчастому п'ятикутнику кожна з п'яти ліній, що складають цю фігуру, ділить іншу відносно золотого перетину, а кінці зірки є «золотими трикутниками». Усередині п'ятикутника можна продовжити будувати п'ятикутники, і це ставлення буде зберігатися.
Зірчастий п'ятикутник називається пентаграмою. Піфагорійці вибрали п'ятикутну зірку в якості талісмана, вона вважалася символом здоров'я і служила розпізнавальним знаком.
В даний час існує гіпотеза, що пентаграма - первинне поняття, а «золотий перетин» вдруге. Пентаграму ніхто не винаходив, її тільки скопіювали з натури. Вид п'ятикутної зірки мають п'ятипелюсткові квіти плодових дерев і чагарників, морські зірки. Ті й інші створіння природи людина спостерігає вже тисячі років. Тому природно припустити, що геометричний образ цих об'єктів - пентаграма - стала відома раніше, ніж «золота» пропорція.
«Лотаринзький хрест», який служив емблемою «Вільної Франції» (організація, яку в роки другої світової війни очолював генерал де Голль), складений з тринадцяти одиничних квадратів. Встановлено, що пряма, що ділить площа «лотаринзького хреста» на дві рівні частини, ділить його у золотому відношенні.
Послідовно відсікаючи від «золотих прямокутників» квадрати до нескінченності, кожен раз поєднуючи протилежні точки чвертю кола, можна отримати досить витончену криву. Першим увагу на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Він вивчав її і вивів рівняння цієї спіралі. В даний час «спіраль Архімеда» широко використовується в техніці. У гідротехніки по «золотої спіралі» згинають трубу, що підводить потік води до лопат турбіни. Завдяки цьому напір води використовується з найбільшою продуктивністю.
Інтерес людини до природи призвів до відкриття її фізичних і математичних закономірностей. Краса природних форм народжується у взаємодії двох фізичних сил - тяжіння та інерції. Золота пропорція - це математичний символ цієї взаємодії, оскільки виражає основні моменти живого зростання: стрімкий зліт юних пагонів змінюється уповільненим зростанням «за інерцією» до моменту цвітіння.
Розглядаючи розташування листя на загальних стеблі багатьох рослин, можна помітити, що між кожними двома парами листя третій розташована в місці «золотого перетину».
«Золоту спіраль» також можна помітити в творах природи.
Наприклад, розташування насіння у кошику соняшнику. Вони шикуються уздовж спіралей, які закручуються як зліва направо, так і справа наліво. В один бік у середнього соняшнику закручено 13 спіралей, в іншу - 21. Відношення 13: 21 - ставлення Фібоначчі.У більших суцвіть соняшнику кількість відповідних спіралей більше, але відношення числа спіралей, закручуються в різних напрямках також дорівнює числу j.
Схоже спіральне розташування спостерігається у лусочок соснових шишок або осередків ананаса. За золотої спіралі згорнуті раковини багатьох молюсків, деякі павуки, сплітаючи павутину, закручують нитки навколо центру з золотим спіралях. Рогу архарів закручуються по золотих спіралях.
Природа повторює свої знахідки, як в малому, так і у великому. За золотим спіралях закручуються багато галактик, зокрема і галактика Сонячної системи.
Одним з перших проявів золотого перерізу в природі помітив різнобічний спостерігач, автор багатьох сміливих гіпотез німецький математик і астроном Іоганн Кеплер (1571 - 1630). З XVII ст. спостереження математичних закономірностей у ботаніки та зоології стали швидко накопичуватися.
У 1850 р. німецький учений А. Цейзінг відкрив так званий закон кутів, згідно з яким середня величина кутового відхилення гілки рослини дорівнює приблизно 138 °. Величина середнього кутового відхилення гілки відповідає меншій з двох частин, на які ділиться повний кут при золотому перерізі.
3. Золотий перетин в сучасній науці
У кожній науці є т.зв. «Метафізичні» знання, без яких неможливе існування самої науки. Наприклад, якщо виключити з математики поняття натурального та ірраціонального чисел або аксіоми геометрії, математика відразу ж перестане існувати. З таким же правом до розряду «метафізичних» знань може бути віднесено й «золотий перетин», яке вважалося «каноном» античної культури, а потім і епохи Відродження. Однак, як це не парадоксально, в сучасній теоретичній фізиці і математиці «золота пропорція» ніяк не відображена. Нині робляться спроби показати, що «золотий перетин» є однією з найважливіших «метафізичних» ідей, без якої важко уявити подальший розвиток науки, зокрема, теоретичної фізики і математики.
Аналіз сучасних програм освіти в таких країнах, як США, Канада, Росія та Україна, показує, що в більшості з них немає навіть згадки про «золотий перетин». Тобто, має місце свідоме ігнорування одного з найважливіших відкриттів античної математики. Можливо, причину слід шукати в негативному ставленні сучасної «матеріалістичної» науки і «матеріалістичного» освіти до астрології і так званим «езотеричним» наук. У них «золотий перетин» і пов'язані з ним геометричні фігури - «пентаграма», «Платонова тіла», «куб Метатрон» - широко використовуються як основні «сакральних» символів. І «матеріалістичний» освіта не знайшло нічого більш розумного, як викинути золотий перетин на звалище «сумнівних наукових концепцій» разом з астрологією та «езотеричними» науками. У результат більшість т.з. «Освічених» людей добре знають «теорему Піфагора», але мають дуже туманне уявлення про «золотий перетин».
В даний час досліджуються математичні теорії пов'язані з принципами «золотого перетину»: нова теорія гіперболічних функцій, нова теорія чисел, нова теорія вимірювання, теорія матриць Фібоначчі і так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорію кодування і нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з точки зору золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить у теорії нові й напевно дуже цікаві математичні результати. У практичному сенсі - «золоту» комп'ютеризацію. А оскільки «математика гармонії» істотно доповнить класичну математику, цілком можливо доведеться переглянути і всю систему сучасної математичної освіти.
Висновок
У висновку спробуємо сформулювати найбільш популярне і зрозуміле для обивателя визначення «золотого перетину».
Золотий перетин - це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього.
Нами був проведений історичний екскурс і розібрана математична сутність «золотого перетину», розглянуто будову «золотих фігур».
Знайомство з принципами «золотого перетину», допомагає бачити гармонію і доцільність оточуючих нас творінь природи і людини. Можна зробити висновки:
· По-перше, золотий перетин - це один з основних основоположних принципів природи;
· По-друге, людське уявлення про красивий явно сформувалося під впливом того, який порядок і гармонію людина бачить у природі.
Незважаючи на неприйняття «золотого перерізу» сучасними «офіційними науками, воно повсюдно використовується в техніці, у багатьох країнах світу, в тому числі в Росії та України, досить великі вчені продовжують вивчати і шукати практичне застосування одного з« золотих »математичних принципів.
Список літератури
1. Азевич А.І. Двадцять уроків гармонії: гуманітарно-математичний курс. - М.: Школа-прес, 1998.
2. Васюткінскій М.М. Золота пропорція. - М., 1990.
3. Волошинов А.В. Математика і мистецтво. - М., 1992.
4. Гарднер М. Математичні головоломки й розваги. - М., 1994.
5. Кованцов Н.І. Математика і романтика. - Київ, 1976.
6. МСЕ / / під редакцією Б.А. Введенського. - М. 1959.
7. Пидоу Д. Геометрія і мистецтво. - М.: Світ, 1989.
8. Прохоров А.І. Золота спіраль / / Квант. 1984. № 9.