Введення
Поняття про «золотий перетин» Йоганн Kеплер говорив, що геометрія володіє двома скарбами - теоремою Піфагора і «золотим перетином». І якщо перше з цих двох скарбів можна порівняти з мірою золота, то друге з коштовним каменем. Теорему Піфагора знає кожен школяр, а що таке золотий перетин - далеко не всі.
Людина розрізняє навколишні його предмети за формою. Інтерес до будь-якого об'єкта може бути продиктований життєвою необхідністю, а може бути викликаний його красою. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє найкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться в певному відношенні один до одного і до цілого. Принцип «золотого перетину» - вищий прояв структурної і функціональної досконалості цілого і його частин у мистецтві, науці, техніці і природі.
За своєю природою термін «золотий перетин» в першу чергу відноситься до математичних понять, так як його сутність визначається якимось співвідношенням. Так що ж таке «золотий перетин»?
«Золотий перетин» - це гармонійне поділ, поділ у крайньому і середньому відношенні, - розподіл відрізка AB на дві частини таким чином, що більша його частина AC є середньою пропорційною між усім відрізком AB і меншою його частиною CB. Математики встановили, що зразкову значення ідеальної пропорції «золотого перетину» дорівнює 1,618 ... Отримане значення є знамените число «фе», назване так американським математиком Марк Барр за першою літерою імені великого скульптора Фідія, який, за переказами, використовував «золотий перетин» у своїх роботах.
Геометричне побудову «золотого перетину» відрізка AB здійснюється так: у точці B відновлюють перпендикуляр до AB, на ньому відкладають відрізок BE = 1 / 2 AB, з'єднують A і E, відкладають ED = EB і, нарешті, AC = AD, тоді буде AB : AC = AC: AB.
1 Історія «золотого перетину»
У дійшла до нас античній літературі «золотий перетин» вперше зустрічається в II книзі «Начал» Евкліда, де дається геометрична побудова «золотого перетину», рівносильну рішенням рівності квадратного рівняння виду x (a + x) = a ². Евклід застосовує «золотий перетин» при побудові правильних 5 - і 10-кутників, а також у стереометрії при побудові правильних 12 - і 20-гранником. Безсумнівно, що «золотий перетин» було відомо і до Евкліда. Досить імовірно, що завдання «золотого перетину» була вирішена ще й піфагорійцями, яким приписуються побудова правильного 5-кутника і геометричні побудові, рівносильні рішенням квадратних рівнянь. Після Евкліда дослідженням золотого перерізу займалися Гіпксіл (2 ст. До н.е.), Папп Александрійський (3 ст. Н.е.) та ін У середньовічній Європі з «золотим перетином» познайомилися по арабських перекладах "Почав" Евкліда. Перекладач і коментатор Евкліда Дж. Кампано з Новари (13 ст.) Додав до книги «Начал» пропозиція, що містить арифметичне доказ несумірності відрізка і обох частин його «золотого перетину».
У 15-16 ст. (В епоху Відродження, або Ренесанс) посилився інтерес до «золотого перерізу» серед вчених і художників у зв'язку з його застосуваннями як в геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі. Наприклад, італійський мислитель Лука Пачоллі присвятив «золотого перерізу» трактат «Про божественну пропорції». Термін «золотий перетин» був популяризував Леонардо, який надавав великого значення гармонійним співвідношенням в живописі, архітектурі і будову людського тіла. Гуманізм Відродження полягав, зокрема, в тому, що пентаграма була виведена з чорної магії, а пропорції «золотого перетину» Леонардо побачив у будову людського тіла.
Ряд Фібоначчі. З історією «золотого перетину» непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика-ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім'ям Фібоначчі. Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р. вийшов у світ його математична праця "Книга про абаці" (рахунковій дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань свідчив "Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться". Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував такий ряд цифр:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, і т.д.
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого розподілу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервний розподіл відрізка прямій у «золотий» пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так ставиться до більшого, як більший до всього.
2 «Золотий перетин»: застосування в культурі і мистецтві
Архітектура.
Давно помічено: лад речей, скомпонованих з «золотого перерізу», володіє в мистецтві геть винятковою силою впливу, оскільки створює відчуття граничної органічності. "Золотий перетин" дає найбільш спокійне співвідношення розмірів тих чи інших довжин.
Пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями «золотого перерізу» при їх створенні. Відповідно до цього принципу побудовані найкращі пам'ятки Стародавньої Греції і Ренесансу. У фасаді давньогрецького храму Парфенона (V ст. До н. Е..) Також присутні «золоті» пропорції. Відношення висоти будівлі до його довжини одно 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенона по "золотому перетину", то отримаємо ті чи інші виступи фасаду.
Іншим прикладом з архітектури давнини є Пантеон.
Відомий російський архітектор М. Казаков у своїй творчості широко використовував "золотий перетин".
Його талант був багатогранним, але більшою мірою він розкрився в численних здійснених проектах житлових будинків і садиб. Наприклад, "золотий перетин" можна виявити в архітектурі будівлі сенату в Кремлі. За проектом М. Казакова в Москві була побудована Голіцинська лікарня, яка в даний час називається Першою клінічною лікарнею імені Н.І. Пирогова (Ленінський проспект, д. 5).
Ще один архітектурний шедевр Москви, при зведенні якого використовувався принцип «золотого перетину», - будинок Пашкова - є одним з найбільш досконалих творів архітектури В. Баженова. Прекрасне творіння В. Баженова міцно увійшло в ансамбль центру сучасної Москви, збагатило його. Зовнішній вигляд будинку зберігся майже без змін до наших днів, незважаючи на те, що він сильно обгорів в 1812г.
Живопис і кіномистецтво.
У композиції найцікавіших творів живопису "працює" та ж пропорція.
Аналізуючи знамените полотно Василя Сурікова "Бояриня Морозова", Ейзенштейн робить відкриття. Вища точка «золотого перетину» проходить не через підняту двуперстіем руку боярині, не через її голову, не через палаючі очі, як здається багатьом, а виявляється перед ротом вивозяться у вигнання боярині-старообрядницької. Найголовніше, на що вказує точка «золотого перетину», пластично неізобразімо, адже це летить до народу з вуст боярині слово, вогняне слово переконаного в своїй правоті опального лідера, як ми б сказали сьогодні. Самою точкою «золотого перетину» художник прикував нашу увагу не тільки на-віч видатної особистості, якою була Морозова, але мовби до самого полум'яному заклику, що вилітають з її вуст.
Це знання було свідомо покладено творцем "Броненосця" Потьомкін "у композицію фільму. Там, як стверджував Ейзенштейн, не тільки кожна окрема частина, але вся картина в цілому, включаючи два її кульмінаційних моменту (в точці повної нерухомості - тема мертвого Вакулінчука і в точці максимального зльоту - точці апогею, коли над бунтівним кораблем здіймається червоний прапор, на чорно-білій плівці було прокрашени червоним кольором саме прапор), найсуворішим чином діють за законом «золотого перетину».
Наш співвітчизник, математик і композитор Михайло Марутаев сформулював три числових закону гармонії, що випливають один з іншого: 1) якісна симетрія, 2) порушена симетрія, 3) «золотий перетин». «Золотий перетин», відоме з незапам'ятних часів, набуло в концепції Марутаєва новий зміст. У результаті були отримані деякі основні числа і похідні від них числові ряди. Ряд основних чисел збігся із загадковими фізичними константами, наприклад з магічним числом 137. Трійка, сімка, туз з "Пікової дами" - те ж саме число 137, геніальний здогад Пушкіна. У темі ля-мінорній сонати Моцарта Марутаев обчислив відношення 37: 27, тобто 1,37037 ... Фантастична точність!
3 «Золотий перетин» у природі
Професор Університету Дьюка Адріан Бежан встановив, що «золотий перетин» є не чим іншим, як «дизайнерським спрощенням» природи, яка знайшла оптимальний спосіб уніфікувати все живе і прискорити процес зорового сприйняття об'єктів. «У біологічних дослідженнях 70-90 років показано, що, починаючи з вірусів і рослин і кінчаючи організмом людини, усюди виявляється« золота »пропорція, що характеризує відповідність і гармонійність їх будови, - говорить Бежан. На його думку, «золотий перетин» можна знайти практично скрізь, тому що подібні пропорції полегшують сприйняття інформації. Так, оці набагато легше сканувати зображення, де співвідношення частин прирівнюється до 1,62.
«Добре відомо, що око одержує інформацію більш ефективно, коли рух зіниці здійснюється з боку в бік, а не зверху вниз, тому наш зір орієнтоване на фрагментарне сприйняття навколишнього світу. І, що найцікавіше, в поле зору завжди виявляється частина панорами, відповідна коефіцієнту «золотого перетину», - пояснює Бежан. Як показує дослідження, гармонійність і привабливість «золотого перетину» пов'язана з тим, що саме такі пропорції дозволяють нашому оку найкраще просканувати об'єкт, а мозку отримати максимум інформації про спостережуваний предмет. «Потяг людей до« золотого перерізу »обумовлена ще й інстинктивної потребою в безпеці. Адже те, що добре проглядається і піддається вивченню, здається нам менш небезпечним », - відзначає вчений.
Краса по формулі.
Закон «золотого перетину» проглядається і в кількісному членуванні людського тіла. Зіставляючи довжини фаланг пальців і кисті руки в цілому, а також відстані між окремими частинами особи, можна знайти «золоті» співвідношення. Скульптори стверджують, що талія ділить вчинене людське тіло відносно «золотого перетину». Вимірювання декількох тисяч людських тіл дозволили виявити, що для дорослих чоловіків цей показник дорівнює в середньому приблизно 13 / 8 = 1,625, а для дорослих жінок воно становить 8 / 5 = 1,6. Так що пропорції у чоловіків ближче до «золотого перерізу», ніж у жінок. Саме тому, щоб наблизитися до «золотих стандартів», жінки віддають перевагу взуття на підборах.
Таким чином, принцип «золотого перетину» претендує на універсальна ознака краси. Десятки, якщо не сотні досліджень знову і знову показують, що чим симетричні тіло і обличчя, тим більш красивими вони виглядають в очах людей. Причина в тому, що симетрія частин тіла безпосередньо залежить від синхронної активності генів, що визначають розвиток людини. Якщо ці гени успішно працюють, незважаючи на всі несприятливі впливи навколишнього середовища, значить, і весь геном людини можна назвати хорошим, і навпаки.
Схоже, ця закономірність універсальна. Принаймні, у тваринному світі вона теж простежується: наприклад, птахи вибирають собі партнерів з більш симетричним розташуванням пер у хвості, а в особин з симетричними формами виявляється більш сильна імунна система.
4 Фотографія і «золотий перетин»
Виробляючи зйомку, фотохудожник щоразу вирішує непросту задачу-домогтися реалістичного зображення тривимірного простору на плоскій поверхні. У цьому йому допомагає не тільки досконала фотографічна техніка, але і знання прийомів композиції, правила вибору освітлення та багато іншого. Є принаймні один з найпростіших прийомів композиції, яким легко може користуватися будь-фотолюбитель. У його основі лежать відомі зі шкільного курсу математичні факти.
Навіть початківець фотограф знає, що якщо об'єкт зйомки помістити в центр кадру, то малюнок вийде невиразною. Виникає питання: де розмістити основний об'єкт, щоб виділити його серед другорядних об'єктів, гармонійно з ними поєднувати і врахувати масу інших деталей?
Вибрати точку розташування об'єкта зйомки допомагає знання «золотого перетину». В епоху Відродження правило «золотого перетину» з успіхом застосовували в архітектурі і живопису для побудови гармонічних композицій. Було відмічено, що певні точки зображення завжди привертають увагу глядача незалежно від розмірів картини. Таких точок - зорових центрів - всього чотири. Щоб їх знайти, треба боку прямокутного картинного полотна двічі розділити за принципом «золотого перетину» і через точки поділу провести прямі. На перетині цих прямих і будуть розташовані додаткові центри.
Правило «золотого перетину» поширилося і на мистецтво фотографії. Воно стало одним з базових у композиції. Основний об'єкт зйомки слід розташовувати або уздовж прямих, що поділяють кадр в «золотому перерізі», або в зорових центрах. Звичайно, конкретне розташування залежить від типу об'єкта, його розміру, задуму фотографа і т.п., але для досягнення найбільшої виразності правило «золотого перетину» має бути обов'язково враховане або під час зйомки, або при підготовці фотографії до друку.
На практиці не так-то легко на око побудувати «золотий перетин». Тому при зйомці можна використовувати трохи спрощену композиційний прийом - так зване правило третин, коли сторони кадру діляться за «золотого перерізу», а просто на три рівні частини.
5 «Золотий перетин» і його роль в економіці
Однією з найцікавіших проблем в галузі математичних методів аналізу економіки є визначення оптимальних кількісних співвідношень в тих чи інших економічних процесах. Існують унікальні, закриті для більшості населення і навіть для переважної більшості економістів технології, які засновані на кількісних співвідношеннях, закладених у так званому "золотому перетині", в методології троїстості, в так званих числах Фібоначчі.
Зараз економічна теорія будується, як правило, за двома параметрами: витрати - прибуток, попит - пропозиція і т. п. двопараметрична рівновага - це досить обмежена схема, яка застосовується в обмеженій кількості випадків. Коли ж ми розглядаємо економіку в усьому різноманітті її зв'язків, то вона, як правило, не застосовується. Основний підхід полягає в тому, щоб знайти три агрегованих показника. У цьому випадку працює технологія "золотого перетину". І відразу стає видно, де мають місце відхилення від стану стійкості. Після цього стає зрозуміло, які заходи необхідно здійснити. Якщо звернутися до сучасної економічної ситуації в Росії, то таким відсутнім третім параметром можна вважати стан законодавчої бази, яка зараз розглядається у відриві від економіки. Одне тільки зміна фактора "ідеологія" здатне забезпечити приріст в два рази валового національного продукту на душу населення.
У СРСР також виконувалися деякі правила, що випливають з технології "золотого перетину". Однак, наприклад, розрив між проголошеної ідеологемою "все для людини" та реальною економічною практикою був досить великий. У радянській економіці пріоритетним в реальності було забезпечення обороноздатності країни. Отже, пропорція стійкості між споживанням і відтворенням існувала, але була, так би мовити, "дзеркально перевернута" щодо людського фактора. Тепер завдання полягає в тому, щоб більша частина валового національного продукту йшла на підтримку людського фактора, тобто на споживання. При цьому правило "золотого перетину" має виконуватися. Але це неможливо без вдосконалення законодавчо-правової бази.
Удавана простота підходів троїстості і "золотого перетину" вимагає на ділі досить складного математичного апарату. Проте він вже є. Завдання тепер полягає в тому, щоб ті, хто буде формувати цілі економічної політики і хто реально вболіває за інтереси Росії, підтримали даний науковий напрямок, яке вже зараз здатне змінити багато підходи до багатьох проблем. Зокрема, ці технології докорінно змінюють уявлення про методологію прогнозування.
Висновок
Пошук досконалості в передачі на полотні чи в камені зображення людини ще в стародавні часи виробив стандарти, критерії і норми дослідження органічного світу. На зміну стихійності, спекулятивним домислів, фантазіям і забобонам поступово прийшла установка на об'єктивне, доказове, емпірично обгрунтоване знання. Накопичувальна біологічна робота в XVI - XVII ст. значно розширила відомості про морфологічні та анатомічних характеристиках організмів. Наслідком накопичувальної роботи є розвиток теоретичного компонента біологічного пізнання - вироблення понять, категорій, методологічних установок, створення перших теоретичних концепцій, покликаних пояснити фундаментальні характеристики живого. І однією з універсалій такої важливої характеристики, як гармонійність об'єктів природи, став принцип «золотого перетину», вживання якого в різних сферах діяльності людей простежується вже протягом кількох століть.
Багато художників, особливо працювали в пластичних мистецтвах, ведені інтуїцією, відчуттям "спека холодних числ", відчували, що в гармонії з притаманними їй спільними законами пропорційності, законами співвідношення єдиного цілого і його частин діє його величність Число. Причому число в піфагорейської сенсі - як вираження сутності. Це число, рівне приблизно 1,62, сприймається нами як еталон привабливості і гармонії, є основним природним механізмом, що допомагає найбільш повно черпати інформацію з навколишнього світу.
Література
Бібліотека Мошкова. Лаврус В. Золотий перетин; http://nt.ru/tp/iz/zs.htm
RBC Daily. Таємниці пропорції. Дата випуску: 24.12.2009
Наука і життя (Москва). Навіщо фотографу математика? Дата випуску: 16.08.2010. Номер випуску: 8.
Московська правда / Задзеркалля N 187. Дата випуску: 20.09.2008. Номер випуску: 203.
Медична газета. Золотий перетин «Давида». Дата випуску: 05.11.2004. Номер випуску: 087.
Парадокс. Дівчина з числом. Дата випуску: 01.03.2004. Номер випуску: 03.
Економічна газета, Москва. Золотий перетин. Дата випуску: 13.05.1998. Номер випуску: 19.