СИБІРСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ СПОЖИВЧОЇ КООПЕРАЦІЇ
Контрольна робота № 1
Дисципліна Економіко-математичні методи
Застосування математичного моделювання в економіці
Студент
Качан Тетяна Юріївна
2010 р .
Зміст
1. Завдання 1
2. Завдання 2
3. Завдання 3
4. Завдання 4
5. Завдання 5
6. Завдання 6
7. Завдання 7
8. Завдання 8
Список використаної літератури
Завдання 1 Виробничі функції
1. Дайте поняття виробничої функції і ізокванти. Що означає взаємозамінність ресурсів?
Виробничою функцією називається залежність кількості продукту, що може зробити фірма, від обсягів витрат ресурсів. Виробнича функція характеризує чисто технічну залежність між кількістю застосовуваних ресурсів і обсягом своєї продукції в одиницю часу. Виробнича функція описує безліч технічно ефективних способів виробництва заданого обсягу продукції. Ізокванта (у теорії виробничих функцій) - це геометричне місце точок у просторі ресурсів, в яких різні поєднання виробничих ресурсів дають одне і те ж кількість продукції, що випускається. Взаємозамінність ресурсів - це можливість використання різних видів ресурсів для досягнення народно-господарського оптимуму. Розрізняють взаємозамінність ресурсів технічну та економічну. Розроблено економіко-математичні моделі розрахунків ефективності взаємної заміни ресурсів.
2. Виробнича функція для райпо має вигляд f (x1, x2) = 10 √ x1 * √ x2, де f - товарообіг, млн. руб.; X1 - виробнича площа, тис.кв. м; x2 - чисельність працівників, сотні чол. Розгляньте ізокванту рівня y0 = √ 100 + β і знайдіть у ньому точку С1 з координатами x1, x2, де x1 = (β-100) / 100, і точку С2 з координатами x1, x2, де х2 = (β-300) / 100. Зробіть висновок про можливість заміни ресурсів (x1, x2) і (x1, x2). Отримані результати зобразите графічно.
Рішення: кількість β = 523, тоді рівняння ізокванти 10 √ x * √ x = √ 523, (100 +523 = 623).
Зводячи обидві частини в квадрат і ділячи їх на 100, отримаємо: х1 * х2 = 6,23.
Знайдемо координати точки С1. Так як х1 = (523-100) / 100 = 4,23, то з рівняння ізокванти знаходимо х2 = 6,23 / 4,23 = 1,47. Аналогічно знаходимо координати точки С2. Так як х2 = (523-300) / 100 = 2,23, то х1 = 6,23 / 2,23 = 2,79.
Отже, 147 працівників райпо, використовуючи 4,23 тис.кв.метрів виробничої площі, забезпечать товарообіг √ 623 ≈ 25,0 (млн.крб.), І такий же товарообіг можуть забезпечити 223 працівника районного споживчого товариства, використовуючи площа 2,79 тис. кв. метрів (рис.1).
Завдання 2. Класифікація товарів
1. Дайте поняття малоеластічних, среднееластічних і високоеластичних товарів. Які товари називаються взаємозамінними?
Якщо цінова еластичність більше одиниці, то такий товар прийнято називати високоеластічним; якщо менше одиниці - нізкоеластічним; якщо дорівнює одиниці - товар з одиничною еластичністю.
Якщо невеликі зміни в ціні на товар призводять до значних змін у кількості продукції, що купується, то такий попит називають відносно високоеластічним. Якщо істотна зміна в ціні веде до невеликої зміни в кількості покупок, то такий попит - малоеластічний. Коли процентна зміна ціни і наступна зміна кількості продукції рівні за величиною, то такий випадок називають среднееластічностью.
Взаємозамінні товари - за визначенням Закону РФ "Про конкуренцію і обмеження монополістичної діяльності на товарних ринках" від 22 березня 1991 р. "група товарів, які можуть бути порівнянні за їх функціональним призначенням, застосування, якісним і технічним характеристикам, ціні та іншим параметрам таким чином , що покупець дійсно замінює або готовий замінити їх один одним в процесі споживання (у тому числі виробничого) ".
При підвищенні ціни на один з таких товарів росте попит на інший, що його замінює товар.
2. Проведіть класифікацію товарів по наступній таблиці еластичностей:
Нехай β = 523. Тоді таблиця еластичностей приймає вигляд:
Так як | Е11 | = 0,87 <1, то перший товар малоеластічний;
тому що | Е22 | = 1,17> 1, то другий товар високоеластичний;
тому що | Е33 | = 1,57> 1, то третій товар високоеластичний.
Оскільки Е12 = 0,028> 0 і Е21 = 0,23> 0, то перший і другий товари взаємозамінні.
Оскільки Е13 = 0,48> 0 і Е31 = 0,40> 0, то перший і третій товари взаємозамінні.
Оскільки Е23 =- 0,03 <0 і Е32 =- 0,03 <0, то другий і третій товари взаємодоповнюючі.
Завдання 3. Міжгалузевий баланс
1. Дайте визначення коефіцієнтів прямих витрат. Де вони можуть бути використані?
aij = xij / Xj,
де aij - коефіцієнт прямих витрат продукту i на виробництво одиниці продукту j, xij - загальний обсяг витрат продукту i на виробництво продукту j, Xj - весь обсяг виробництва продукту j. К. п. з. змінюються під впливом технічного прогресу, поліпшення організації виробництва і т. п. і тим самим відображають зростання ефективності суспільного виробництва.
Коефіцієнти прямих витрат aij - це відношення обсягу продукту i-ої галузі, використовуваного за звітний період j-ої галуззю, до валового випуску продукції j-ої галузі.
Коефіцієнти прямих витрат можуть використовуватися для визначення планового виробництва валової продукції галузей.
2. За звітний період мав місце наступний баланс продукції:
x1 = x11 + x12 + у1
x2 = x21 + x22 + у2
x11 = 800 - β;
x12 = 700 - β
x21 = 750 - β;
x22 = 850 - β
у1 = 300;
у2 = 220
а) Обчисліть коефіцієнти прямих витрат.
б) Обчисліть плановий обсяг валової продукції галузей, якщо план випуску кінцевої продукції y1 = 350; y2 = 250 за умови незмінності технології виробництва.
x11 = 800-523 = 277
x12 = 700-523 = 177
x21 = 750-523 = 227
x22 = 850-523 = 327
x1 = 277 +177 +300 = 754
x2 = 227 +327 +220 = 774
а) Обчислимо коефіцієнти прямих витрат:
А11 = х11/х1 = 277/754 = 0,367
А12 = х12/х2 = 177/774 = 0,229
А21 = х21/х1 = 227/754 = 0,301
А22 = х22/х2 = 327/774 = 0,422
б) Обчислимо плановий обсяг валової продукції галузей:
(1-0,367) х1-0, 229х2 = 350 0,633 х1-0, 229х2 = 350
-301х1 + (1-0,422) х2 = 250 -0,301 х1 +0,578 х2 = 250
Висловимо з першого рівняння x1:
0,633 х1 = 350 +0,229 х2
х1 = 350 / 0,633 +0,229 / 0,633 х2
х1 = 552,923 +0,362 х2-і поставимо на друге рівняння
-0,301 (552,923 +0,362 х2) +0,578 х2 = 250
-166,43-0,109 Х2 +0,578 х2 = 250
0,578 х2-0, 109х2 = 250 +166,43
0,469 х2 = 416,43
х2 = 416,43 / 0,469 = 887,91
х1 = 552,923 +0,362 * 887,91 = 552,923 +321,423 = 874,346.
Таким чином, х1 = 874,346 - плановий обсяг валової продукції першої галузі;
х2 = 887,91 - плановий обсяг валової продукції другої галузі.
Завдання 4. Використання методу теорії ігор в торгівлі
1. Поясніть сенс елементів платіжної таблиці та способи вибору стратегій з позицій крайнього песимізму, крайнього оптимізму та оптимізму-песимізму. Розглянемо проблему уцінки неходового товару з метою отримання якомога більшою виручки від реалізації. Припустимо, що еластичність попиту залежно від ціни невідома, тобто неясно, як відреагує ринок на те чи інше зниження ціни. Іншими словами, потрібно прийняти рішення в умовах невизначеності. У такому випадку можна використовувати методи теорії ігор. Позначимо А1, А2, ..., Аm - стратегії зниження ціни на товар на α1%, α2%, ..., αm% відповідно. Візьмемо досить докладний перелік можливих значень еластичності ε1, ε2, ..., εn. Якщо вибрати певну стратегію Аi і знати еластичність товару εj, то, використовуючи ще деякі, звичайно відомі величини, можна підрахувати виручку від реалізації товару аij. Проробивши це для всіх Аi і для всіх εj, отримаємо платіжну таблицю. У таблиці представлений докладний перелік різних ситуацій. Для прийняття рішення можна використовувати наступні способи.
Підхід з позиції крайнього песимізму
Він полягає в тому, щоб вважати, що при виборі будь-якої стратегії А i еластичність товару буде найнесприятливіша і виручка α i буде мінімально можливою, тобто
α i = min (α i1, α i2, ..., α im).
Обчисливши всі величини α i (α 1, α 2, ..., α m), потрібно взяти найбільшу з них α: α = max (α i).
Та стратегія, яка відповідає числу α, і є стратегія крайнього песимізму. Інакше кажучи, така стратегія є найкращий вибір з поганих ситуацій, і ця стратегія гарантує, що, як би не склалася справжня ситуація, виручка буде не менше, ніж α.
Підхід з позиції крайнього оптимізму
Він полягає в тому, щоб вважати, що при виборі будь-якої стратегії А i еластичність буде найбільш сприятливою і виручка β i найбільша, тобто
β i = max (α i1, α i2, ..., α im).
Обчисливши всі β i, потрібно взяти найбільшу з них: β = max (β i).
Та стратегія, яка відповідає величині β, і є шукана.
Підхід з позиції песимізму-оптимізму
Розглянемо величину H = max [(1 -
λ - числовий параметр, 0
Пропонується обирати стратегію, відповідну величиною H.
При λ = 0 Н = max α i = α, і цей підхід перетворюється на підхід з позиції крайнього песимізму. При λ = 1 Н = max β i = β, і цей підхід перетворюється на підхід з позиції крайнього оптимізму. Взагалі, величина Н при зміні λ від 0 до 1 безперервно змінюється від α до β, і вибір деякого проміжного λ відповідає поєднанню песимізму та оптимізму при виборі стратегії. Візьмемо, наприклад, λ = 0,5 і обчислимо
а потім виберемо найбільше з них
Стратегію, на якій досягається величина γ, будемо називати відповідної підходу з позиції песимізму-оптимізму.
2. Виберіть стратегії з позицій крайнього песимізму, крайнього оптимізму та оптимізму-песимізму для наступної платіжної таблиці. Вкажіть відповідні виграші.
Для числа β = 523 таблиця набуває вигляду:
Виберемо по кожному рядку таблиці мінімальне з чисел αi, максимальне βi, а потім обчислимо їх полусумму γi.
Отримаємо:
α = max (α 1, α 2, α 3,) = (33,87,37) = 87;
β = max (β1, β2, β3) = max (97; 107; 117) = 117;
γ = max (γ1, γ2, γ3) = max (65,97,77) = 97.
Так як α = 87 і це число знаходиться в рядку, що відповідає А2, то А2 - стратегія крайнього песимізму, очікуваний виграш дорівнює 87 одиницям. Так як β = 117 і це число знаходиться в рядку, що відповідає А3, то А3 стратегія крайнього оптимізму, очікуваний виграш дорівнює 117 одиницям. Так як γ = 97 і це число знаходиться в рядку, що відповідає А2, то А2 стратегія оптимізму-песимізму, очікуваний виграш дорівнює 97 одиницям.
Завдання 5. Системи масового обслуговування
1. Дайте опис вхідного потоку вимог та каналів обслуговування. Які економічні показники характеризують роботу СМО?
Системи масового обслуговування - це такі системи, в які у випадкові моменти часу надходять заявки на обслуговування, при цьому надійшли заявки обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування. З позиції моделювання процесу масового обслуговування ситуації, коли утворюються черги заявок (вимог) на обслуговування, виникають наступним чином. Поступивши в обслуговуючу систему, вимога приєднується до черги інших (раніше надійшли) вимог. Канал обслуговування вибирає вимога, що знаходяться в черзі, з тим, щоб приступити до його обслуговування. Після завершення процедури обслуговування чергової вимоги канал обслуговування приступає до обслуговування наступного вимоги, якщо така є в блоці очікування. Цикл функціонування системи масового обслуговування подібного роду повторюється багато разів протягом усього періоду роботи обслуговуючої системи. При цьому передбачається, що перехід системи на обслуговування чергового вимоги після завершення обслуговування попереднього вимоги відбувається миттєво, у випадкові моменти часу.
Обслуговування вимог у СМО проводиться обслуговуючими приладами. Класична СМО містить від одного до нескінченного числа приладів. Основними елементами СМО є: вхідний потік вимог, черга вимог, що обслуговують пристрої, (канали) і виходить потік вимог Вхідний потік вимог - сукупність вимог, що надходять у СМО. У загальному випадку під вимогою звичайно розуміють запит на задоволення деякої потреби. Вхідний потік вимог вивчається з метою встановлення закономірностей цього потоку і подальшого поліпшення якості обслуговування. У більшості випадків вхідний потік некерованим і залежить від ряду випадкових факторів. Число вимог, що надходять в одиницю часу, випадкова величина. Випадковою величиною є також інтервал часу між сусідніми надходять вимогами. Проте середня кількість вимог, що надійшли в одиницю часу, і середній інтервал часу між сусідніми надходять вимогами задано. Середнє число вимог, що у систему обслуговування за одиницю часу, називається інтенсивністю надходження вимог, і вона показує, скільки в середньому вимог надходить в одиницю часу.
Засоби, обслуговуючі вимоги, називаються обслуговуючими пристроями або каналами обслуговування. Однією з найважливіших характеристик обслуговуючих пристроїв, яка визначає пропускну здатність всієї системи, є час обслуговування. Час обслуговування однієї вимоги - випадкова величина, яка може змінюватися у великому діапазоні. Вона залежить від стабільності роботи самих обслуговуючих пристроїв, так і від різних параметрів, що у систему, вимог. Інтенсивність обслуговування показує, скільки в середньому вимог обслуговується одним каналом в одиницю часу.
Економічні показники, що характеризують роботу СМО:
Pk - частка часу роботи k каналів, k = 0,1, +, n;
L - середня довжина черги
P0 - ймовірність того, що система вільна
П - ймовірність утворення черги
Pотк - ймовірність відмови в обслуговуванні
g - відносна пропускна здатність
А - абсолютна пропускна здатність
nзан - середня кількість зайнятих каналів
tож - середній час знаходження в черзі
2. У магазині самообслуговування працюють дві каси з інтенсивністю μ = (β +300) / 100 (треб. / хв.) Кожна. Вхідний потік вимог має інтенсивність λ = (β +400) / 100 (треб. / хв.). Розрахуй ті частку часу простою кас і середню довжину черги. Якщо інтенсивність вхідного потоку стане рівною λ = (700 - β) / 10 (треб. / хв.), То чи буде виконана умова стаціонарності? Якщо буде, то у скільки разів збільшиться середня довжина черги?
Нехай β = 523. Тоді μ = 8,23 (треб. / хв.), А первинне значення λ одно 9,23 (треб. / хв.)
α = 9,23 / 8,23 = 1,122
р0 = (2-1,122) / (2 +1,122) = 0,878 / 3,122 = 0,281 (р0 = 28,1%)
L1 = (1,122) / 4 - (1,122) = 1,412 / 2,741 = 0,515 (треб.)
Якщо інтенсивність λ стане рівною (700-523) / 10 = 17,7 (треб. / хв.), То в силу нерівності 17,7> 2.8, 23 умова стаціонарності СМО не буде виконано.
Завдання 6 Оптимальне управління запасами
1. Сформулюйте задачу оптимального управління запасами.
Завдання: визначити такий обсяг замовляється партії товару, при якому витрати на складські операції в одиницю часу будуть мінімальні і темп надходження замовленого товару буде, перевищує норму попиту на цей товар.
2. Дайте економічну інтерпретацію граничної орендної плати.
Гранична орендна плата λ економічно інтерпретується як гранична (максимальна) орендна плата за використання додаткових складських ємностей. Якщо фактична орендна плата α
3. Зробіть висновок про доцільність оренди додаткових складських ємностей або про необхідність скорочення обсягу замовленої партії товару з урахуванням наявних складських ємностей при порівнянні фактичної α (руб / кг * доб) і граничної λ (руб / кг * доб) орендної плати за зберігання одиниці товару в одиницю часу.
α = (700 - β) / 4000
λ = (β - 400) / 4000
Рішення
α = (700 - 523) / 4000 = 0,044 (руб / кг * доб)
λ = (523 - 400) / 4000 = 0,031 (руб / кг * доб)
α> λ
Висновок: фактична орендна плата більше граничної орендної плати. Отже, оренда додаткових складських ємностей невигідна, і тоді обсяг замовляється партії треба скоротити до таких меж, щоб виник товарний запас можна було розмістити у наявних складських ємностях.
Завдання 7. Вибірковий метод
1. Дайте поняття генеральної і вибіркової сукупностей.
Сукупність генеральна - безліч результатів всіх можливих спостережень, які могли б бути отримані при даному дослідженні. При вибірковому спостереженні сукупність генеральну називають сукупність (безліч) об'єктів, з яких виробляється вибірка.
Вибіркова сукупність - частина об'єктів з генеральної сукупності, відібраних для вивчення, з тим щоб зробити висновок про всю генеральної сукупності.
2. Визначте співвідношення між довірчими інтервалами:
а) при фіксованих значеннях середньоквадратичного відхилення σ, надійності Р і різних значеннях обсягу вибірки
n1 = 610 - β, n2 = β -490;
б) при фіксованих значеннях середньоквадратичного відхилення σ, обсягу вибірки n і різних значеннях надійності
р1 = 800 - β / 400
р2 = β-300/400
в) при фіксованих значеннях надійності Р, обсягу вибірки n і різних значеннях середньоквадратичного відхилення
σ1 = (700 - β) / 100
σ2 = (β - 400) / 100
а) n1 = 610-523 = 87; n2 = 523-490 = 33.
Обсяги вибірок знаходяться в співвідношенні n1> n2. Тоді з формули знаходження похибки слід, що за умов зростання обсягу вибірки n значення Δ зменшується і Δ1 <Δ2, тобто довірчий інтервал, відповідний обсягом вибірки n1 = 87, буде менше довірчого інтервалу, відповідного обсягу вибірки n2 = 33.
Завдання 8. Кореляційні методи
1. Дайте поняття функціонального та кореляційного залежностей.
Кореляційна залежність - це такий зв'язок між результативними і факторними ознаками, коли значення результативної ознаки функції повністю визначається значеннями факторних ознак.
Функціональна залежність - форма стійкого взаємозв'язку між об'єктивними явищами або відображають їх величинами, за якої зміна одних явищ викликає певне кількісне зміна (певним значенням факторних ознак відповідає безліч випадкових значень результативної ознаки).
2. Коефіцієнт кореляції. Його зміст і властивості.
Коефіцієнт кореляції показує ступінь статистичної залежності між двома числовими змінними.
Коефіцієнтом кореляції rху випадкових величин X і Y називається відношення кореляційного моменту до твору середніх квадратичних відхилень цих величин.
rxy = μxy / σxσy
Коефіцієнт кореляції є безрозмірною величиною. Коефіцієнт кореляції незалежних випадкових величин дорівнює нулю.
Властивості:
1. Абсолютна величина кореляційного моменту двох випадкових величин Х і Y не перевищує середнього геометричного їх дисперсій.
│ μxy │ ≤ √ DxDy
2. Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує одиниці.
│ rxy │ ≤ 1
Випадкові величини називаються корельованими, якщо їх кореляційний момент відмінний від нуля, і некоррелірованнимі, якщо їх кореляційний момент дорівнює нулю. Якщо випадкові величини незалежні, то вони і некорельованих, але з некорельованість не можна зробити висновок про їх незалежності. Якщо дві величини залежні, то вони можуть бути як корельованими, так і некоррелірованнимі.
3. Оцініть тісноту зв'язку та напрямок зв'язку між ознаками x і y, якщо відомі: b - коефіцієнт регресії,
- Середньоквадратичне відхилення ознак x і y.
Напрямок та тіснота зв'язку між ознаками x і y оцінюються на основі коефіцієнта кореляції, який розраховується за формулою
b = (-1) (650-523) / 300 = -0,423;
= (700-523) / 100 = 1,77;
= (523-400) / 100 = 1,23;
r = -0,423 * 1,77 / 1,23 = -0,423 * 1,439 = -0,609;
r = -0,609.
Отриманий коефіцієнт кореляції показує, що зв'язок між ознаками x і y помірна і зворотна, тобто при зростанні факторного ознаки x значення результативної ознаки y зменшується.
Список використаної літератури
1. Іванілов Ю.П., Лотів А.В. Математичні методи в економіці - М.: Наука, 1979.
2. Лопатников Л.І. Економіко-математичний словник. - М.: Наука, 1987.
3. Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Учеб. посібник для вузів / Під ред. В.В. Федосєєва. - М.: ЮНИТИ, 2000.
4. Громенко В. В. Математична економіка: Навчально-практичний посібник, посібник з вивчення дисципліни, навчальна програма з дисципліни / Московський державний університет економіки, статистики та інформатики. - М.: МЕСИ, 2004. - 100 с.
5. Щедрін І.І., Карху О.М. Економіко-математичні методи в торгівлі. - М.: Економіка, 1980.
Контрольна робота № 1
Дисципліна Економіко-математичні методи
Застосування математичного моделювання в економіці
Студент
Качан Тетяна Юріївна
Зміст
1. Завдання 1
2. Завдання 2
3. Завдання 3
4. Завдання 4
5. Завдання 5
6. Завдання 6
7. Завдання 7
8. Завдання 8
Список використаної літератури
Завдання 1 Виробничі функції
1. Дайте поняття виробничої функції і ізокванти. Що означає взаємозамінність ресурсів?
Виробничою функцією називається залежність кількості продукту, що може зробити фірма, від обсягів витрат ресурсів. Виробнича функція характеризує чисто технічну залежність між кількістю застосовуваних ресурсів і обсягом своєї продукції в одиницю часу. Виробнича функція описує безліч технічно ефективних способів виробництва заданого обсягу продукції. Ізокванта (у теорії виробничих функцій) - це геометричне місце точок у просторі ресурсів, в яких різні поєднання виробничих ресурсів дають одне і те ж кількість продукції, що випускається. Взаємозамінність ресурсів - це можливість використання різних видів ресурсів для досягнення народно-господарського оптимуму. Розрізняють взаємозамінність ресурсів технічну та економічну. Розроблено економіко-математичні моделі розрахунків ефективності взаємної заміни ресурсів.
2. Виробнича функція для райпо має вигляд f (x1, x2) = 10 √ x1 * √ x2, де f - товарообіг, млн. руб.; X1 - виробнича площа, тис.кв. м; x2 - чисельність працівників, сотні чол. Розгляньте ізокванту рівня y0 = √ 100 + β і знайдіть у ньому точку С1 з координатами x1, x2, де x1 = (β-100) / 100, і точку С2 з координатами x1, x2, де х2 = (β-300) / 100. Зробіть висновок про можливість заміни ресурсів (x1, x2) і (x1, x2). Отримані результати зобразите графічно.
Рішення: кількість β = 523, тоді рівняння ізокванти 10 √ x * √ x = √ 523, (100 +523 = 623).
Зводячи обидві частини в квадрат і ділячи їх на 100, отримаємо: х1 * х2 = 6,23.
Знайдемо координати точки С1. Так як х1 = (523-100) / 100 = 4,23, то з рівняння ізокванти знаходимо х2 = 6,23 / 4,23 = 1,47. Аналогічно знаходимо координати точки С2. Так як х2 = (523-300) / 100 = 2,23, то х1 = 6,23 / 2,23 = 2,79.
Отже, 147 працівників райпо, використовуючи 4,23 тис.кв.метрів виробничої площі, забезпечать товарообіг √ 623 ≈ 25,0 (млн.крб.), І такий же товарообіг можуть забезпечити 223 працівника районного споживчого товариства, використовуючи площа 2,79 тис. кв. метрів (рис.1).
Завдання 2. Класифікація товарів
1. Дайте поняття малоеластічних, среднееластічних і високоеластичних товарів. Які товари називаються взаємозамінними?
Якщо цінова еластичність більше одиниці, то такий товар прийнято називати високоеластічним; якщо менше одиниці - нізкоеластічним; якщо дорівнює одиниці - товар з одиничною еластичністю.
Якщо невеликі зміни в ціні на товар призводять до значних змін у кількості продукції, що купується, то такий попит називають відносно високоеластічним. Якщо істотна зміна в ціні веде до невеликої зміни в кількості покупок, то такий попит - малоеластічний. Коли процентна зміна ціни і наступна зміна кількості продукції рівні за величиною, то такий випадок називають среднееластічностью.
Взаємозамінні товари - за визначенням Закону РФ "Про конкуренцію і обмеження монополістичної діяльності на товарних ринках" від 22 березня 1991 р. "група товарів, які можуть бути порівнянні за їх функціональним призначенням, застосування, якісним і технічним характеристикам, ціні та іншим параметрам таким чином , що покупець дійсно замінює або готовий замінити їх один одним в процесі споживання (у тому числі виробничого) ".
При підвищенні ціни на один з таких товарів росте попит на інший, що його замінює товар.
2. Проведіть класифікацію товарів по наступній таблиці еластичностей:
| Товар | Перший | Другий | Третій |
| Перший | β-610/100 | 550,5-β / 100 | 570,5-β / 100 |
| Другий | 550,5-β / 120 | β-640/100 | 520-β/100 |
| Третій | 570,5-β / 120 | 520-β/90 | 680-β/100 |
| Товар | Перший | Другий | Третій |
| Перший | -0,87 | 0,28 | 0,48 |
| Другий | 0,23 | -1,17 | -0,03 |
| Третій | 0,40 | -0,03 | -1,57 |
тому що | Е22 | = 1,17> 1, то другий товар високоеластичний;
тому що | Е33 | = 1,57> 1, то третій товар високоеластичний.
Оскільки Е12 = 0,028> 0 і Е21 = 0,23> 0, то перший і другий товари взаємозамінні.
Оскільки Е13 = 0,48> 0 і Е31 = 0,40> 0, то перший і третій товари взаємозамінні.
Оскільки Е23 =- 0,03 <0 і Е32 =- 0,03 <0, то другий і третій товари взаємодоповнюючі.
Завдання 3. Міжгалузевий баланс
1. Дайте визначення коефіцієнтів прямих витрат. Де вони можуть бути використані?
aij = xij / Xj,
де aij - коефіцієнт прямих витрат продукту i на виробництво одиниці продукту j, xij - загальний обсяг витрат продукту i на виробництво продукту j, Xj - весь обсяг виробництва продукту j. К. п. з. змінюються під впливом технічного прогресу, поліпшення організації виробництва і т. п. і тим самим відображають зростання ефективності суспільного виробництва.
Коефіцієнти прямих витрат aij - це відношення обсягу продукту i-ої галузі, використовуваного за звітний період j-ої галуззю, до валового випуску продукції j-ої галузі.
Коефіцієнти прямих витрат можуть використовуватися для визначення планового виробництва валової продукції галузей.
2. За звітний період мав місце наступний баланс продукції:
x1 = x11 + x12 + у1
x2 = x21 + x22 + у2
x11 = 800 - β;
x12 = 700 - β
x21 = 750 - β;
x22 = 850 - β
у1 = 300;
у2 = 220
а) Обчисліть коефіцієнти прямих витрат.
б) Обчисліть плановий обсяг валової продукції галузей, якщо план випуску кінцевої продукції y1 = 350; y2 = 250 за умови незмінності технології виробництва.
x11 = 800-523 = 277
x12 = 700-523 = 177
x21 = 750-523 = 227
x22 = 850-523 = 327
x1 = 277 +177 +300 = 754
x2 = 227 +327 +220 = 774
а) Обчислимо коефіцієнти прямих витрат:
А11 = х11/х1 = 277/754 = 0,367
А12 = х12/х2 = 177/774 = 0,229
А21 = х21/х1 = 227/754 = 0,301
А22 = х22/х2 = 327/774 = 0,422
б) Обчислимо плановий обсяг валової продукції галузей:
(1-0,367) х1-0, 229х2 = 350 0,633 х1-0, 229х2 = 350
-301х1 + (1-0,422) х2 = 250 -0,301 х1 +0,578 х2 = 250
Висловимо з першого рівняння x1:
0,633 х1 = 350 +0,229 х2
х1 = 350 / 0,633 +0,229 / 0,633 х2
х1 = 552,923 +0,362 х2-і поставимо на друге рівняння
-0,301 (552,923 +0,362 х2) +0,578 х2 = 250
-166,43-0,109 Х2 +0,578 х2 = 250
0,578 х2-0, 109х2 = 250 +166,43
0,469 х2 = 416,43
х2 = 416,43 / 0,469 = 887,91
х1 = 552,923 +0,362 * 887,91 = 552,923 +321,423 = 874,346.
Таким чином, х1 = 874,346 - плановий обсяг валової продукції першої галузі;
х2 = 887,91 - плановий обсяг валової продукції другої галузі.
Завдання 4. Використання методу теорії ігор в торгівлі
1. Поясніть сенс елементів платіжної таблиці та способи вибору стратегій з позицій крайнього песимізму, крайнього оптимізму та оптимізму-песимізму. Розглянемо проблему уцінки неходового товару з метою отримання якомога більшою виручки від реалізації. Припустимо, що еластичність попиту залежно від ціни невідома, тобто неясно, як відреагує ринок на те чи інше зниження ціни. Іншими словами, потрібно прийняти рішення в умовах невизначеності. У такому випадку можна використовувати методи теорії ігор. Позначимо А1, А2, ..., Аm - стратегії зниження ціни на товар на α1%, α2%, ..., αm% відповідно. Візьмемо досить докладний перелік можливих значень еластичності ε1, ε2, ..., εn. Якщо вибрати певну стратегію Аi і знати еластичність товару εj, то, використовуючи ще деякі, звичайно відомі величини, можна підрахувати виручку від реалізації товару аij. Проробивши це для всіх Аi і для всіх εj, отримаємо платіжну таблицю. У таблиці представлений докладний перелік різних ситуацій. Для прийняття рішення можна використовувати наступні способи.
Підхід з позиції крайнього песимізму
Він полягає в тому, щоб вважати, що при виборі будь-якої стратегії А i еластичність товару буде найнесприятливіша і виручка α i буде мінімально можливою, тобто
α i = min (α i1, α i2, ..., α im).
Обчисливши всі величини α i (α 1, α 2, ..., α m), потрібно взяти найбільшу з них α: α = max (α i).
Та стратегія, яка відповідає числу α, і є стратегія крайнього песимізму. Інакше кажучи, така стратегія є найкращий вибір з поганих ситуацій, і ця стратегія гарантує, що, як би не склалася справжня ситуація, виручка буде не менше, ніж α.
Підхід з позиції крайнього оптимізму
Він полягає в тому, щоб вважати, що при виборі будь-якої стратегії А i еластичність буде найбільш сприятливою і виручка β i найбільша, тобто
β i = max (α i1, α i2, ..., α im).
Обчисливши всі β i, потрібно взяти найбільшу з них: β = max (β i).
Та стратегія, яка відповідає величині β, і є шукана.
Підхід з позиції песимізму-оптимізму
Розглянемо величину H = max [(1 -
λ - числовий параметр, 0
Пропонується обирати стратегію, відповідну величиною H.
При λ = 0 Н = max α i = α, і цей підхід перетворюється на підхід з позиції крайнього песимізму. При λ = 1 Н = max β i = β, і цей підхід перетворюється на підхід з позиції крайнього оптимізму. Взагалі, величина Н при зміні λ від 0 до 1 безперервно змінюється від α до β, і вибір деякого проміжного λ відповідає поєднанню песимізму та оптимізму при виборі стратегії. Візьмемо, наприклад, λ = 0,5 і обчислимо
а потім виберемо найбільше з них
Стратегію, на якій досягається величина γ, будемо називати відповідної підходу з позиції песимізму-оптимізму.
2. Виберіть стратегії з позицій крайнього песимізму, крайнього оптимізму та оптимізму-песимізму для наступної платіжної таблиці. Вкажіть відповідні виграші.
| А Е | Е1 | Е2 | Е3 |
| А1 | β -490 | β -480 | 620 - β |
| А2 | 610 - β | 620 - β | 630 - β |
| А3 | Ι550-βΙ +10 | Ι560-βΙ +10 | 640 - β |
| А Е | Е1 | Е2 | Е3 |
| А1 | 33 | 43 | 97 |
| А2 | 87 | 97 | 107 |
| А3 | 37 | 47 | 117 |
| А Е | Е1 | Е2 | Е3 | αi | βi | γi |
| А1 | 33 | 43 | 97 | 33 | 97 | 65 |
| А2 | 87 | 97 | 107 | 87 | 107 | 97 |
| А3 | 37 | 47 | 117 | 37 | 117 | 77 |
α = max (α 1, α 2, α 3,) = (33,87,37) = 87;
β = max (β1, β2, β3) = max (97; 107; 117) = 117;
γ = max (γ1, γ2, γ3) = max (65,97,77) = 97.
Так як α = 87 і це число знаходиться в рядку, що відповідає А2, то А2 - стратегія крайнього песимізму, очікуваний виграш дорівнює 87 одиницям. Так як β = 117 і це число знаходиться в рядку, що відповідає А3, то А3 стратегія крайнього оптимізму, очікуваний виграш дорівнює 117 одиницям. Так як γ = 97 і це число знаходиться в рядку, що відповідає А2, то А2 стратегія оптимізму-песимізму, очікуваний виграш дорівнює 97 одиницям.
Завдання 5. Системи масового обслуговування
1. Дайте опис вхідного потоку вимог та каналів обслуговування. Які економічні показники характеризують роботу СМО?
Системи масового обслуговування - це такі системи, в які у випадкові моменти часу надходять заявки на обслуговування, при цьому надійшли заявки обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування. З позиції моделювання процесу масового обслуговування ситуації, коли утворюються черги заявок (вимог) на обслуговування, виникають наступним чином. Поступивши в обслуговуючу систему, вимога приєднується до черги інших (раніше надійшли) вимог. Канал обслуговування вибирає вимога, що знаходяться в черзі, з тим, щоб приступити до його обслуговування. Після завершення процедури обслуговування чергової вимоги канал обслуговування приступає до обслуговування наступного вимоги, якщо така є в блоці очікування. Цикл функціонування системи масового обслуговування подібного роду повторюється багато разів протягом усього періоду роботи обслуговуючої системи. При цьому передбачається, що перехід системи на обслуговування чергового вимоги після завершення обслуговування попереднього вимоги відбувається миттєво, у випадкові моменти часу.
Обслуговування вимог у СМО проводиться обслуговуючими приладами. Класична СМО містить від одного до нескінченного числа приладів. Основними елементами СМО є: вхідний потік вимог, черга вимог, що обслуговують пристрої, (канали) і виходить потік вимог Вхідний потік вимог - сукупність вимог, що надходять у СМО. У загальному випадку під вимогою звичайно розуміють запит на задоволення деякої потреби. Вхідний потік вимог вивчається з метою встановлення закономірностей цього потоку і подальшого поліпшення якості обслуговування. У більшості випадків вхідний потік некерованим і залежить від ряду випадкових факторів. Число вимог, що надходять в одиницю часу, випадкова величина. Випадковою величиною є також інтервал часу між сусідніми надходять вимогами. Проте середня кількість вимог, що надійшли в одиницю часу, і середній інтервал часу між сусідніми надходять вимогами задано. Середнє число вимог, що у систему обслуговування за одиницю часу, називається інтенсивністю надходження вимог, і вона показує, скільки в середньому вимог надходить в одиницю часу.
Засоби, обслуговуючі вимоги, називаються обслуговуючими пристроями або каналами обслуговування. Однією з найважливіших характеристик обслуговуючих пристроїв, яка визначає пропускну здатність всієї системи, є час обслуговування. Час обслуговування однієї вимоги - випадкова величина, яка може змінюватися у великому діапазоні. Вона залежить від стабільності роботи самих обслуговуючих пристроїв, так і від різних параметрів, що у систему, вимог. Інтенсивність обслуговування показує, скільки в середньому вимог обслуговується одним каналом в одиницю часу.
Економічні показники, що характеризують роботу СМО:
Pk - частка часу роботи k каналів, k = 0,1, +, n;
L - середня довжина черги
P0 - ймовірність того, що система вільна
П - ймовірність утворення черги
Pотк - ймовірність відмови в обслуговуванні
g - відносна пропускна здатність
А - абсолютна пропускна здатність
nзан - середня кількість зайнятих каналів
tож - середній час знаходження в черзі
2. У магазині самообслуговування працюють дві каси з інтенсивністю μ = (β +300) / 100 (треб. / хв.) Кожна. Вхідний потік вимог має інтенсивність λ = (β +400) / 100 (треб. / хв.). Розрахуй ті частку часу простою кас і середню довжину черги. Якщо інтенсивність вхідного потоку стане рівною λ = (700 - β) / 10 (треб. / хв.), То чи буде виконана умова стаціонарності? Якщо буде, то у скільки разів збільшиться середня довжина черги?
Нехай β = 523. Тоді μ = 8,23 (треб. / хв.), А первинне значення λ одно 9,23 (треб. / хв.)
α = 9,23 / 8,23 = 1,122
р0 = (2-1,122) / (2 +1,122) = 0,878 / 3,122 = 0,281 (р0 = 28,1%)
L1 = (1,122) / 4 - (1,122) = 1,412 / 2,741 = 0,515 (треб.)
Якщо інтенсивність λ стане рівною (700-523) / 10 = 17,7 (треб. / хв.), То в силу нерівності 17,7> 2.8, 23 умова стаціонарності СМО не буде виконано.
Завдання 6 Оптимальне управління запасами
1. Сформулюйте задачу оптимального управління запасами.
Завдання: визначити такий обсяг замовляється партії товару, при якому витрати на складські операції в одиницю часу будуть мінімальні і темп надходження замовленого товару буде, перевищує норму попиту на цей товар.
2. Дайте економічну інтерпретацію граничної орендної плати.
Гранична орендна плата λ економічно інтерпретується як гранична (максимальна) орендна плата за використання додаткових складських ємностей. Якщо фактична орендна плата α
3. Зробіть висновок про доцільність оренди додаткових складських ємностей або про необхідність скорочення обсягу замовленої партії товару з урахуванням наявних складських ємностей при порівнянні фактичної α (руб / кг * доб) і граничної λ (руб / кг * доб) орендної плати за зберігання одиниці товару в одиницю часу.
α = (700 - β) / 4000
λ = (β - 400) / 4000
Рішення
α = (700 - 523) / 4000 = 0,044 (руб / кг * доб)
λ = (523 - 400) / 4000 = 0,031 (руб / кг * доб)
α> λ
Висновок: фактична орендна плата більше граничної орендної плати. Отже, оренда додаткових складських ємностей невигідна, і тоді обсяг замовляється партії треба скоротити до таких меж, щоб виник товарний запас можна було розмістити у наявних складських ємностях.
Завдання 7. Вибірковий метод
1. Дайте поняття генеральної і вибіркової сукупностей.
Сукупність генеральна - безліч результатів всіх можливих спостережень, які могли б бути отримані при даному дослідженні. При вибірковому спостереженні сукупність генеральну називають сукупність (безліч) об'єктів, з яких виробляється вибірка.
Вибіркова сукупність - частина об'єктів з генеральної сукупності, відібраних для вивчення, з тим щоб зробити висновок про всю генеральної сукупності.
2. Визначте співвідношення між довірчими інтервалами:
а) при фіксованих значеннях середньоквадратичного відхилення σ, надійності Р і різних значеннях обсягу вибірки
n1 = 610 - β, n2 = β -490;
б) при фіксованих значеннях середньоквадратичного відхилення σ, обсягу вибірки n і різних значеннях надійності
р1 = 800 - β / 400
р2 = β-300/400
в) при фіксованих значеннях надійності Р, обсягу вибірки n і різних значеннях середньоквадратичного відхилення
σ1 = (700 - β) / 100
σ2 = (β - 400) / 100
а) n1 = 610-523 = 87; n2 = 523-490 = 33.
Обсяги вибірок знаходяться в співвідношенні n1> n2. Тоді з формули знаходження похибки слід, що за умов зростання обсягу вибірки n значення Δ зменшується і Δ1 <Δ2, тобто довірчий інтервал, відповідний обсягом вибірки n1 = 87, буде менше довірчого інтервалу, відповідного обсягу вибірки n2 = 33.
Завдання 8. Кореляційні методи
1. Дайте поняття функціонального та кореляційного залежностей.
Кореляційна залежність - це такий зв'язок між результативними і факторними ознаками, коли значення результативної ознаки функції повністю визначається значеннями факторних ознак.
Функціональна залежність - форма стійкого взаємозв'язку між об'єктивними явищами або відображають їх величинами, за якої зміна одних явищ викликає певне кількісне зміна (певним значенням факторних ознак відповідає безліч випадкових значень результативної ознаки).
2. Коефіцієнт кореляції. Його зміст і властивості.
Коефіцієнт кореляції показує ступінь статистичної залежності між двома числовими змінними.
Коефіцієнтом кореляції rху випадкових величин X і Y називається відношення кореляційного моменту до твору середніх квадратичних відхилень цих величин.
rxy = μxy / σxσy
Коефіцієнт кореляції є безрозмірною величиною. Коефіцієнт кореляції незалежних випадкових величин дорівнює нулю.
Властивості:
1. Абсолютна величина кореляційного моменту двох випадкових величин Х і Y не перевищує середнього геометричного їх дисперсій.
│ μxy │ ≤ √ DxDy
2. Абсолютна величина коефіцієнта кореляції не перевищує одиниці.
│ rxy │ ≤ 1
Випадкові величини називаються корельованими, якщо їх кореляційний момент відмінний від нуля, і некоррелірованнимі, якщо їх кореляційний момент дорівнює нулю. Якщо випадкові величини незалежні, то вони і некорельованих, але з некорельованість не можна зробити висновок про їх незалежності. Якщо дві величини залежні, то вони можуть бути як корельованими, так і некоррелірованнимі.
3. Оцініть тісноту зв'язку та напрямок зв'язку між ознаками x і y, якщо відомі: b - коефіцієнт регресії,
Напрямок та тіснота зв'язку між ознаками x і y оцінюються на основі коефіцієнта кореляції, який розраховується за формулою
b = (-1) (650-523) / 300 = -0,423;
r = -0,423 * 1,77 / 1,23 = -0,423 * 1,439 = -0,609;
r = -0,609.
Отриманий коефіцієнт кореляції показує, що зв'язок між ознаками x і y помірна і зворотна, тобто при зростанні факторного ознаки x значення результативної ознаки y зменшується.
Список використаної літератури
1. Іванілов Ю.П., Лотів А.В. Математичні методи в економіці - М.: Наука, 1979.
2. Лопатников Л.І. Економіко-математичний словник. - М.: Наука, 1987.
3. Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Учеб. посібник для вузів / Під ред. В.В. Федосєєва. - М.: ЮНИТИ, 2000.
4. Громенко В. В. Математична економіка: Навчально-практичний посібник, посібник з вивчення дисципліни, навчальна програма з дисципліни / Московський державний університет економіки, статистики та інформатики. - М.: МЕСИ, 2004. - 100 с.
5. Щедрін І.І., Карху О.М. Економіко-математичні методи в торгівлі. - М.: Економіка, 1980.