Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Федеральне державне освітній заклад
вищої професійної освіти
"Чуваська державний університет ім. І. М. Ульянова"
Факультет Інформатики та обчислювальної техніки
Кафедра математичного і апаратного забезпечення інформаційних систем
Системи масового обслуговування
Виконав: ст. гр. ІХТ 11-06
Григор'єв Д.Г.
Перевірила: викладач
Козловська Д.В.
Чебоксари 2010
Зміст
1.Заданіе
2. Загальні відомості
2.1 Системи масового обслуговування з очікуванням
2.2 Двофазні системи масового обслуговування з очікуванням
2.3 Системи з необмеженою потоком заявок
3. Виконання завдання
4. Програма
5. Результати
Література
1. Завдання
ЕОМ умовно можна розділити на 2 частини: пристрій введення (1-а фаза) і всі інші (2-а фаза). Відомо, що інтенсивність потоку заявок, що надходять на пристрій введення, дорівнює l заявок на хвилину (потік заявок пуассоновский). Якщо пристрій введення зайнято, то заявки чекають його звільнення. Після обслуговування в першій фазі, заявки надходять у другу фазу і обслуговуються в тому ж порядку. Час обслуговування в кожній фазі має експоненційний розподіл з середнім Т1 і Т2 в кожній фазі відповідно.
Оцінити основні показники якості функціонування системи. Повторити рішення при припущенні, що час обслуговування в другій фазі має неекспоненціальное розподіл (середні тривалість обслуговування в обох випадках рівні). Порівняти отримані результати.
l
Т1
Т2
Коефіцієнт варіації обслуговування в другій фазі
5
0,15
0,14
0,7; 0,8; 0,9.
2. Загальні відомості
Під багатофазові системами розуміються такі, в яких процес обслуговування проходить пофазно. Що надходить у систему заявка спочатку обслуговується в першій фазі, а по закінченні обслуговування переходить в другу і т. д. Прикладів багатофазних систем можна навести багато. Наприклад, технологічні потоки складання різних технічних виробів: коли в одному цеху здійснюється складання одних вузлів, після того, як зібрані ці вузли, виріб надходить у наступний цех, де триває збірка наступних вузлів і т. д., - являє собою приклад багатофазові системи обслуговування . Іншим прикладом може служити угруповання різних вогневих засобів зі своїми системами управління. Тут спочатку деякі органи проводять збір та обробку інформації, що надходить про ворога і про свої війська, потім оброблена інформація надходить на пункт управління, де проводиться перерозподіл, після чого вогневі засоби виконують поставлене перед ними бойове завдання. Ремонт машин також проводиться послідовно. Наприклад, спочатку машина може вступити в цех з ремонту електроустаткування, потім в цех з ремонту двигуна або ремонту шасі і т. д.
Технічне обслуговування автобусів в автопарку може бути розглянуто як багатофазові. Автобус після повернення в парк повинен пройти мийний пункт, після чого пройти техогляд.
Рис.1. Схема 2-фазної системи
Як видно, ймовірність обслуговування заявки системою не залежить від послідовності фаз. Це означає, що пропускна спроможність системи визначається її вузькими місцями. Якщо продуктивність однієї з фаз дуже мала в порівнянні з іншими, то ця фаза і буде визначати пропускну спроможність системи. Залежності, що визначають ймовірності станів системи, були отримані в припущенні, що час обслуговування кожного приладу випадкове і розподіляється по показовому закону.
Однак у реальних системах масового обслуговування час, необхідний приладу для обслуговування однієї заявки, може бути відмінним від показового.
2.1 Системи масового обслуговування з очікуванням
Системи масового обслуговування з очікуванням поширені найбільш широко. Їх можна розбити на дві великі групи: розімкнуті та замкнуті. Ці системи визначають так само, як системи з обмеженим і необмеженим входять потоком. До замкнутим відносяться системи, в яких вступник потік вимог обмежений. Наприклад, майстер, завданням якого є налагодження верстатів у цеху, повинен періодично їх обслуговувати. Кожен налагоджений верстат стає в майбутньому потенційним джерелом вимог на налагодження. У подібних системах загальне число циркулюючих вимог звичайно і частіше всього постійно. Якщо провід джерело має нескінченним числом вимог, то системи називаються розімкнутими. Прикладами подібних систем можуть бути магазини, каси вокзалів, портів та ін Для цих систем вступник потік вимог можна вважати необмеженим.
2.2 Двофазні системи масового обслуговування з очікуванням
Прикладом двофазної системи масового обслуговування з очікуванням можуть служити магазини, в яких, перш ніж отримати товар, покупець повинен сплатити його вартість у касі. Цей приклад є типовим, але не єдиним у своєму роді. Робота подібних систем масового обслуговування буде розглянута на прикладах двофазних одноканальних систем масового обслуговування з необмеженим і обмеженим потоком заявок.
2.3 Системи з необмеженою потоком заявок
Розглядається робота системи масового обслуговування, що складається з двох приладів різної продуктивності.
Час обслуговування приладами заявок підпорядковане показовому закону розподілу з параметрами і
відповідно для першого і другого приладів. Надійшло в систему вимога спочатку обслуговується першим приладом. Якщо він вже зайнятий, то вимога чекає своєї черги до тих пір, поки всі раніше прийшли вимоги не будуть обслужені. Після обслуговування першого приладом вимоги надходять на другий. Так само як і в попередньому приладі, вони надходять на обслуговування, якщо другий прилад вільний. Якщо прилад зайнятий, то вимога стає в чергу. Для необмеженого пуассоновского вхідного потоку з щільністю
можна написати рівняння станів системи:
(1)
де - Імовірність того, що в момент часу t обидва прилади вільні;
- Ймовірність стану системи, при якому в момент часу t в першій фазі знаходиться
вимог (включаючи і ті, які обслуговуються), а в другій фазі -
вимог.
Після рішення рівнянь отримані характеристики, що описують стану системи масового обслуговування:
1. Імовірність того, що обидва прилади (обидві фази) вільні від заявок:
де
2. Імовірність того, що в першій фазі знаходиться одна заявка, а в другій ні однієї:
3. Імовірність того, що в другій фазі є одна заявка, а в першій жодної:
4. Імовірність того, що в першій фазі знаходиться одна заявка, і в другій фазі теж одна заявка:
5. Математичне сподівання кількості заявок, що у системі:
при цьому середнє число заявок, що у першій фазі, так само:
,
а в другій фазі:
, Де
3. Виконання завдання
Введемо декілька формул:
середній час очікування заявки в черзі:
середній час перебування заявки в системі:
середнє число заявок у системі:
де - Середнє число заявок в черзі і
.
Враховуючи, що довільна заявка, що надійшла в систему в момент обслуговування, застає її зайнятої з імовірністю R, можна записати:
(2)
Звідси випливає, що
Так як є 2 фази то:
, (3)
з використанням відповідно для кожної їх фаз.
Зробимо обчислення для неекспоненціального розподілу, причому середні тривалості обслуговування в обох випадках рівні.
Якщо виразити другий початковий момент через дисперсію, математичне сподівання і коефіцієнт варіації, то
,
де - Коефіцієнт варіації, характеристика, що показує ступінь нерегулярності потоку заявок. Тоді середній час очікування
(4)
Вираз (4) використовуємо, щоб знайти середній час очікування заявки в другій фазі, для першої ж фази використовуємо вираз (2). Потім за формулою (3) знаходимо середній час перебування заявки в системі.
Виробляємо порівняння отриманих результатів при експоненційному розподіл та неекспоненціальном розподілі.
4. Програма
//------------------------------------------------ ---------------------------
# Pragma hdrstop
# Include <iostream.h>
# Include <string.h>
# Include <conio.h>
//------------------------------------------------ ---------------------------
# Pragma argsused
int main (int argc, char * argv [])
{
float a1, a2, ly = 5, T1 = 0.15, T2 = 0.14, M1, M2, M, P00, P10, P01, P11;
a1 = ly * T1;
a2 = ly * T2;
P00 = (1-a1) * (1-a2); / / обидві фази вільні від заявок
P10 = a1 * (1-a1) * (1-a2); / / у 1-й фазі заявка ,2-я вільна
P01 = a2 * (1-a1) * (1-a2); / / у 2-й фазі заявка ,1-я вільна
P11 = a1 * a2 * (1-a1) * (1-a2); / / обидві фази зайняті
M1 = a1 / (1-a1); / / середнє число заявок, що у 1-й фазі
M2 = a2 / (1-a2); / / середнє число заявок, що у 2-й фазі
M = M1 + M2; / / Математичне сподівання кількості заявок, що у системі
cout <<'\ n' <<"P 00 =" <<P 00 <<'\ n' <<"P 10 =" <<P 10 <<'\ n' <<"P 01 =" << P 01 <<'\ n' <<"P 11 =" <<P 11 <<'\ n' <<"M 1 =" <<M 1 <<'\ n' <<"M 2 =" < <M 2 <<'\ n' <<"M =" <<M;
float toz1, toz2, tpreb1, tpreb2; / / для експон. і неекспон. розподілу відповідно
float R1, R2, k1 = 0.7, k2 = 0.8, k3 = 0.9;
R1 = P10 + P11; R2 = P01 + P11;
toz1 = ly * (T1 * T1 / (2-2 * R1) + T2 * T2 / (2-2 * R2));
toz2 = ly * (T1 * T1 / (2-2 * R1) + T1 * T1 * (1 + k1 * k1 + k2 * k2 + k3 * k3) / (2-2 * R2));
tpreb1 = toz1 + (a1 + a2) / ly;
tpreb2 = toz2 + (a1 + a2) / ly;
cout <<'\ n' <<"Srednee vremya ozidania zaavki v system pri eksponencialnom raspredelenii:" <<'\ n' <<toz1 <<'\ n' <<"Srednee vremya ozidania zaavki v system pri neeksponencialnom raspredelenii:" <<'\ n' <<toz2 <<'\ n' <<"Sravnenie:" <<'\ n' <<toz2/toz1 <<'\ n';
cout <<'\ n' <<"Srednee vremya prebivania zaavki v system pri eksponencialnom raspredelenii:" <<'\ n' <<tpreb1 <<'\ n' <<"Srednee vremya prebivania zaavki v system pri neeksponencialnom raspredelenii:" <<'\ n' <<tpreb2 <<'\ n' <<"Sravnenie:" <<'\ n' <<tpreb2/tpreb1 <<'\ n';
getch ();
return 0;
}
//------------------------------------------------ ---------------------------
5. Результати
Для заданих значень маємо:
1. значення характеристик, що описують стану системи масового обслуговування;
2. значення середнього часу очікування заявки в системі при експоненційному і неекспоненціальном розподілі часу обслуговування для порівняння;
3. значення середнього часу перебування заявки в системі при експоненційному і неекспоненціальном розподілі часу обслуговування для порівняння.
При порівнянні ми бачимо, що при неекспоненціальном розподілі часу обслуговування середній час очікування заявки збільшилося в 2,1 разів в порівнянні з експоненціальним, а середній час перебування в системі приблизно в 1,3 разів.
Отже, продуктивність при заданих значеннях вище при експоненційному розподілі часу обслуговування в порівнянні з неекспоненціальним.
Література
1. Новіков О.А., Пєтухов С.І. Прикладні питання теорії масового обслуговування. М., Вид-во "Радянське радіо", 1969.