Енергетичні характеристики гравітаційних і магнітних аномалій

Кафедра загальної та прикладної геофізики

Курсова робота на тему:

Енергетичні характеристики гравітаційних і магнітних аномалій.

Дубна, 2005

Зміст

1. Введення

2. Теоретична частина

3. Розрахункова частина

4. Список літератури

Введення

У даній роботі розглядаються елементи теорії випадкових функцій та їх застосування для інтерпретації гравітаційних і магнітних аномалій. Апарат теорії випадкових функцій і заснований на ньому статистичний підхід можна застосовувати в різних ситуаціях. По-перше, коли мало відомо про параметри аномалій або геологічних об'єктах, якими вони викликані. По-друге, коли поставлене завдання гравиразведки і магніторозвідки можна вирішити тільки з застосуванням апарату теорії випадкових функцій і, нарешті, по-третє, при вирішенні завдань різними детермінованими методами.

Одержані дані, кореляційні функції і пов'язані з ними енергетичні спектри аномалій мають такі властивості: мала чутливість до погрішностей спостережень; взаємозамінність; парність одержуваних виразів.

У роботі також наведені приклади застосування теоретичного матеріалу до практики. Представлені розрахунки для нескінченної горизонтальної матеріальної лінії, нескінченної вертикальної матеріальної смуги і нескінченної горизонтальної смуги .. Для досліджуваних функцій побудовані графіки при різних вихідних даних.

Теоретична частина

ЕНЕРГЕТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ гравітаційних і магнітних аномалій

Енергія процесу f (t), відповідна зміни часу від t = - t _1, до t = t ₁ визначається інтегралом

Середнє значення енергії за час 2 t ₁ (або середня потужність) визначається виразом

Через ці інтеграли прямо можна висловити основні статистичні характеристики сигналів - автокорреляционную функцію і енергетичний спектр. Тому ці характеристики називають ще й енергетичними характеристиками сигналів.

Аналогічні інтеграли можна написати і для відрізка профілю при зміні відстані x від - T до + T, а саме:

,

Ці інтеграли висловлюють площа між кривою квадрата функції f ² (x) і віссю x при зміні x від - T до + T і середню величину цієї площі, тобто суму значень квадратів функції і середній квадрат функції.

За аналогією з величинами E і E _ср гравиразведки і магніторозвідки значення F і F _ср також називають енергією функції f (x) (енергія і середня величина енергії). При цьому величину f ² (x) називають миттєвою енергією, а значення інтеграла повною енергією функції f (x) (якщо, звичайно, він існує). Автокорреляционная функція В (τ) і енергетичний спектр сигналу Q (ω) однозначно можна виразити через зазначені інтеграли, що визначають енергії. Тому функції B (τ) і Q (ω) також називають енергетичними характеристиками функції f (x), в нашому випадку гравітаційної або магнітної аномалії.

У наступних розділах розглядаються енергетичні характеристики та детермінованих, і випадкових аномалій. Причому перші є аномаліями f (x) певної форми з класу (За В. М. Страхову), для яких існує інтеграл .

§ 1. Визначення енергетичних спектрів та кореляційних функцій аномалій

Аномалії відомої форми (детерміновані сигнали)

Нехай f (x) - деяка обмежена вздовж профілю функція строго певної форми, а S (ω) - її трансформанта Фур'є (припускаємо, що вона існує) і нехай далі існує інтеграл .

Автокорреляционной функцією такого сигналу f (x) (за визначенням В. М. Страхова, якщо функція f (x) належить класу , H> 0) називається функція

(1.1)

Визначивши перетворення Фур'є такої функції B (τ), отримаємо енергетичний спектр (спектральна щільність) сигналу f (х):

(1.2)

Тоді

(1.3)

Між автокорреляционной функцією В (τ) аномалії f (х) і її енергетичним спектром Q (ω) існує зв'язок, що визначається цією парою перетворень Фур'є. Якщо визначимо функцію Q (ω) через значення простого спектру S (ω) аномалії f (x), то отримаємо вираз

(1.4)

(Це в симетричній формі запису. У несиметричною формі запису коефіцієнт буде відсутній).

Перейдемо до вираження взаємної кореляційної функції і взаємного енергетичного спектру аномалій. Нехай f _p (х) і f _л (х) - два сигнали відомої форми, а S _р (ω) і S _л (ω) їх трансформанта Фур'є або спектри (припускаємо, що вони існують) і, крім того, нехай існує інтеграл

Для таких функцій взаємної кореляційної функцій називається виразом вигляду

(1.5)

Перетворення Фур'є функції В _рк (τ) називається взаємним енергетичним спектром (взаємної спектральної щільністю) сигналів f _р (х) і f _л (х):

(1.6)

У цьому випадку

(1.7)

Приймемо, що f _р (х) і f _л (х) неперервні при - ∞ <x: <∞ і В _рк (τ) визначена при - ∞ <τ <∞. Тоді взаємний енергетичний спектр також можна виразити через спектри складових функцій S _р (ω) і S _л (ω). Легко переконатися, що в цьому випадку замість формули (1.4) отримаємо співвідношення

(1.8)

(Тут, так само, як і у формулі (1.4), функції S (ω) і S (-ω) є взаємно спряженими, тобто S (-ω) = S * (ω)).

Нормовану автокорреляционную функцію можна визначити з рівності

(1.9)

Аналогічні вирази можна написати і для тривимірних аномалій. Нехай існує спектр S (u, v) функції відомої форми f (х, y). І нехай існує інтеграл

Тоді автокореляційна функція

(1.10)

Енергетичний спектр

(1.11)

Крім того,

(1.12)

Нехай спектри функцій f _р (х, у), f _я (х, у) будуть рівні відповідно S _p (u, v) і S _л (u, v). Тоді за умови існування інтеграла

для визначення взаємних кореляційних функцій та енергетичного спектру отримаємо рівності

(1.13)

(1.14)

. (1.15)

Нехай f (x, y), f _p (x, y), f _л (x, y) неперервні в прямокутнику - ∞ <х <∞, - ∞ <у <∞, В і В _рк визначені в прямокутнику - ∞ < ξ <∞, - ∞ <η <∞, тоді вірні рівності

(1.16)

(1.17)

Нормована автокореляційна функція

(1.18)

Для осесиметричних аномалій, тобто коли функція f (x, y) залежить тільки від змінної , З формул (1.11), (1.12) і (1.16) відповідно отримаємо

(1.19)

(1.20)

(1.21)

§ 2. Деякі властивості та особливості застосування енергетичних спектрів та кореляційних функцій

Розглянемо деякі властивості та особливості застосування енергетичних спектрів та кореляційних функції аномалій, які будуть широко використані в наступних розділах.

1. Теорема Парсеваля

Нехай функція f (х) має спектр S (ω). Інтегруючи по ω в нескінченних межах обидві частини рівності (1.4), знайдемо

На підставі рівності (1.3) отримаємо

З урахуванням формули (1.1) остаточно знайдемо

де враховано, що функція | S (ω) | - парна. Цю формулу звичайно називають теоремою Парсеваля або теоремою Релея.

Аналогічно для тривимірних аномалій на підставі рівностей (1.16), (1.12) і (1.10) для теореми Парсеваля отримаємо

Для тривимірних аномалій, симетричних щодо вертикальної осі, переходячи до полярних координатах, звідси знайдемо

Цю формулу можна отримати і з рівності (1.21) (множачи обидві його частини на ρ та інтегруючи по ρ в межах від 0 до ∞) з урахуванням виразів (1.10) і (1.20).

Теорема Парсеваля, що враховує величину повної енергії аномалій, має важливе значення в гравиразведки і магніторозвідки. Вона використовувалася в роботах багатьох дослідників (К. В. Гладкий та ін.) З її застосуванням В.М. Страховим були отримані ряд фундаментальних формул спектрального аналізу гравітаційних і магнітних аномалій.

2. Вираз енергетичних спектрів та кореляційних функцій одних аномалій через інші

Нехай f _x (x, y), f _y (x, y), f _z (x, y) - похідні по осях координат x, y і z від деякої гравітаційної або магнітної аномалії f (х, y) (від гравітаційного або магнітного потенціалу, від прискорення сили тяжіння і т.д.). Тоді користуючись теоремами про спектри похідної функції, після невеликих перетворень отримаємо:

(1.22)

Практично найбільш важливими є випадки f = U і f = V _z, де U - магнітний потенціал, V _z - прискорення вільного падіння. Для цих випадків останнє рівність можна переписати у вигляді:

(1.23)

(1.24)

З цих рівностей можна визначити (замінити) енергетичний спектр однієї з аномалій: X, Y, Z або V _xz, V _yz, V _zz через відомі значення енергетичних спектрів інших аномалій. Цей висновок можна перенести й на випадок автокореляційних функцій:

(1.25)

. (1.26)

У двомірному випадку (при ) З рівності (1.23) - (1.26) отримаємо

(1.26а)

З цих рівностей видно, що в двомірної задачі енергетичні спектри та Автокореляційні функції аномалій H, Z або гравітаційних V _xz, V _хх, V _zz повністю взаємозамінні. Деякі з них показані на рис. 6. Це ж положення вірне в двомірному випадку і для аномалій V _х, V _z, тобто для горизонтальної і вертикальної похідних від будь-якої вихідної однієї і тієї ж аномалії. Воно ж вірно і для аномалій H, Z в разі косого і вертикального намагнічування і для нормованих функцій Q і B аномалій H, Z і Δ T.

Це важлива властивість автокореляційних функцій і енергетичних спектрів. Їм не мають вихідні гравітаційні і магнітні аномалії, за винятком функцій V _xz, V _хх, V _zz в тривимірному випадку і V _хх і V _zz - у двомірному, для яких зазначене властивість випливає з рівняння Лапласа.

Легко показати, що енергетичний спектр аномалії є завжди речової і парною функцією. Тоді й автокореляційна функція аномалії буде речової і парною функцією. Розглянемо взаємні енергетичні спектри Q ₁₂ (ω) і Q ₂₁ (ω) двох функцій f ₁ (x) і f ₂ (x). Для них вірні співвідношення

Рис. 1. Приклади різних аномалій, яким відповідають одні і ті ж автокореляційна функція B (τ) і енергетичний спектр Q (ω)

, (1.27)

(1.28)

(1.29)

Крім того, легко показати, що твір Q ₁₂ Q ₂₁ і сума Q ₁₂ ⁺ Q ₂₁ є завжди парними функціями, а різниця Q ₂₁ - Q ₁₂ - завжди вдаваною. При цьому, якщо одна аномалія парна, а друга непарна, то

(1.30)

Тут, якщо перша функція - це , А друга , Де f - деяка вихідна аномалія (у двомірному випадку, наприклад, для функцій V _x, V _z; V _xz, V _zz для магнітних аномалій H і Z, якщо одна з них парна, а друга - непарна), то враховуючи доведене вище рівність Q _p = _{Q q} отримаємо для суми аномалій F = p + q:

(1.31)

для взаємного енергетичного спектру:

(1.32)

Що ж стосується взаємних кореляційних функцій, то для них отримаємо

де В ₁₂ (τ) + У ₂₁ (τ) - парна функція; У ₂₁ (τ) - У ₁₂ (τ) - непарна функція.

Крім того, з рівності (1.30), (1.31) і (1.32) відповідно отримаємо (якщо одна з аномалій парна, друга - непарна)

, (1.33)

(1.34)

(1.35)

Отримані рівності можна використовувати для заміни виразів Q _12, Q ₂₁ і B ₁₂ через значення Q _1, Q ₂ і B ₂₁ при вирішенні різних завдань, зокрема, при визначенні радіуса кореляції сумарного поля, що складається з декількох компонент - регіональної, локальної складових і помилок спостережень; при визначенні можливості наявності кореляції між двома сигналами і т.д. З викладеного матеріалу видно, що кореляційні функції та енергетичні спектри аномалій мають ряд інших важливих властивостей, які при вирішенні багатьох завдань гравиразведки і магніторозвідки роблять їх застосування переважніше, ніж застосування самих аномалій. Перш за все це те, що кореляційні функції та енергетичні спектри аномалій є деякими інтегральними характеристиками, тобто при визначенні їх значень (хоча б одного) використовуються всі точки вихідної аномалії - вся крива, що призводить до значного зменшення випадкових похибок інструментального та геологічного характеру. Впливу помилок спостережень піддається тільки центральна частина кривих кореляційних функцій, що робить можливим виправлення їх значень у цій центральній частині.

Для випадку автокореляції найближча до поверхні особлива точка одержуваних функцій залягає в 2 рази глибше. Цей факт розширює області застосування різних трансформацій до значень автокореляційної функції.

Автокореляційні функції та енергетичні спектри аномалій для похідних одного порядку взаємозамінні (у двомірному випадку рівні), що дозволяє за даними В або Q для аномалії однієї похідної визначити значення аналізованих функцій для аномалій інший похідної або, якщо відомі значення аномалій двох похідних, наприклад, Z і H підвищувати точність обчислення функції B і Q Взаємозамінність знаходить, наприклад, широке застосування при спільній інтерпретації даних гравітаційного і магнітного полів.

Функції B і Q є завжди парними, і цей факт полегшує можливість отримання різних співвідношень, спрощує криві і робить їх більш придатними для визначення форми, розмірів і глибини залягання аномальних тел.

У той же час слід відзначити, що через парності автокореляційних функцій і енергетичних спектрів аномалій у них пропадають корисні ефекти, пов'язані з асиметричністю кривих аномалій і косим намагнічуванням магнітних мас. Це викликано тим, що зазначені функції формуються лише значеннями амплітудного спектру, вплив же фазового спектра в них відсутній. Саме цим і пояснюється те, що аномалії з рівними амплітудними та різними фазовими спектрами мають одні й ті ж енергетичні характеристики - функції B і Q. Тому корисна властивість

парності їх кривих у деяких випадках є їх недоліком. Але застосування енергетичних характеристик аномалій засноване на використанні їх корисних властивостей. Корисні ж ефекти асиметричності косого намагнічування аномалій чітко відбиваються на значеннях взаємних енергетичних спектрів та взаємних кореляційних функцій, і при необхідності їх можна визначити з значень цих функцій.

3. Інтегрування кореляційних функцій знакозмінних аномалій

Інша властивість автокореляційних функцій для випадку знакозмінних аномалій полягає в наступному. Нехай f (x) - гравітаційна чи магнітна аномалія, автокореляційна функція якої B (τ) має нуль в одній точці τ ₀ (друга точка нуля знаходиться в нескінченності). Для таких аномалій

(1.36)

Переходячи під інтегралом від автокореляційної функції до енергетичного спектру і змінюючи межі інтегрування, для першого інтеграла правій частині отримуємо

(1.37)

З іншого боку, для знакозмінних аномалій на підставі теорем про спектр похідних отримаємо

де S ₁ (ω) - спектр аномалії f (x) (наприклад, гравітаційної аномалії V _xz або V _zz ), А S (ω) - спектр вихідної незнакопеременной аномалії (наприклад, аномалії V _z), який звертається в нуль лише при . При ω = 0 з урахуванням формула (1.2) з останнього рівності отримаємо.

(1.38)

або

Тоді повинне виконуватися рівність

, (1.39)

тобто позитивна частина площі під функцією B (τ) і віссю τ повинна рівнятися негативною. Тому з рівності (1.36) отримаємо

(1.40)

Це рівність визначає важлива властивість автокореляційних функцій знакозмінних аномалій і дозволяє замінити нескінченні границі інтегрування модуля автокореляційних функцій кінцевими - тільки від 0 до τ _0.

На підставі формули (3.37) запишемо аномалії

(1.41)

Це рівність дозволяє перейти від інтегрування автокореляційних функцій до інтегрування енергетичних спектрів.

Для тривимірних знакозмінних по осях x і y аномалій отримаємо рівність, аналогічне (1.40) (відповідно для довільних і осесиметричних аномалій):

(1.42)

(1.43)

де ξ ₀ і η ₀ - горизонтальні координати точок переходу автокореляційної функції через нуль. Тоді аналогічно рівності (1.40) зможемо написати:

(1.44)

(1.45)

Аналогічно формулі (1.41) в тривимірному випадку відповідно для довільних f (x, y) осесиметричних f (r) знакозмінних аномалій з урахуванням рівностей (1.42), (1.43) можна отримати наступні вирази:

(1.46)

(1.47)

Отримані співвідношення мають важливе практичне застосування, зокрема вони будуть використані надалі при визначенні значень радіуса кореляції знакозмінних гравітаційних і магнітних аномалій.

Розрахункова частина

Візьмемо нормовану автокорреляционную функцію для випадків вертикальної похідної порядку n = 0. Розглянемо її поведінка для нескінченної матеріальної горизонтальної лінії, нескінченної горизонтальної смуги і для нескінченної вертикальної матеріальної смуги.

1. Нескінченна горизонтальна матеріальна лінія.

Розглядаємо для значень h = 0,5, 2, 3.

Графік зміни автокореляційної функції при різних h

2. Нескінченна горизонтальна смуга шириною 2 l.

де b = τ/2h, a = l / h, A = b + a, c = b - a;

Приймемо l = 3 h, тоді отримаємо графік зміни автокореляційної функції

3. Нескінченна вертикальна матеріальна смуга, висотою Δ h = h ₂ - h _1.

де b = τ / h _1, a + 1 = k, a + 2 = E.

Отримаємо графіки зміни функції для даних тел.

Список літератури

1. Серкеров С. А. Спектральний аналіз гравітаційних і магнітних аномалій. - М.: Надра, 2002.