Грати субнормальних і f-субнормальних підгруп

Курсова робота

"Грати субнормальних і -Субнормальних підгруп "

Введення

У теорії кінцевих груп одним із центральних понять є поняття -Субнормальной підгрупи. Вивченню властивостей субнормальних підгруп кінцевих груп поклало початок в 1939 р. відома робота Віландта [10], що зробила величезний вплив на розвиток усієї теорії кінцевих груп в наступні роки.

У першому розділі курсової роботи вивчаються основні положення теорії субнормальних підгруп. Найважливішим досягненням даної теорії результат є Віландта про те, що багато всіх субнормальних підгруп будь-якої кінцевої групи утворює грати.

Формації, тобто класи груп, замкнуті щодо фактор-груп і подпрямих творів, завжди знаходилися в полі діяльності дослідників з теорії кінцевих груп. Проте аж до 1963 р. формаційне розвиток теорії кінцевих груп йшло лише шляхом накопичення фактів, що відносяться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація вирішуваних груп і її подформаціі, складені з абелевих, нільпотентні і сверхразрешімих груп. Хоча теорія кінцевих груп ніколи не відчувала браку в загальних методах, ідеях і невирішених проблемах, все ж велика кількість отриманих результатів з неминучістю призвело до необхідності розробки нових загальних методів і систематизують точок зору. Поштовх, вироблений роботою Гашюца [8], викликав цілу лавину досліджень і привів до виникнення нового напрямку - теорії формацій.

У теорії формацій одним з найважливіших понять є поняття -Субнормальних підгруп, яке є природним розширенням субнормальних підгруп. Тому, звичайно, виникає задача про побудову теорії -Субнормальних підгруп, аналогічної теорії субнормальних підгруп Віландта.

У другому розділі курсової роботи розглядаються мінімально не -Групи.

У третьому розділі наводиться опис локальних спадкоємних формацій, що володіють властивістю гратковий для -Субнормальних підгруп.

1. Субнормальних подгпруппи та їх властивості

Визначення. Нехай - Підгрупа групи . Ланцюг підгруп

в якій для будь-якого , , ..., , Називається субнормальной -Ланцюгом, а число - Довжиною цього ланцюга. Найменше , При якому існує хоча б одна субнормальная -Ланцюг довжини , Називається дефектом підгрупи в і позначається через .

Визначення. Нехай - Підгрупа групи . Якщо існує хоча б одна субнормальная -Ланцюг, то підгрупа називається субнормальной, позначається .

Лемма. Якщо субнормальная в , І субнормальная в , То субнормальная в .

субнормальная в , Отже, за визначенням субнормальной підгрупи існує субнормальная -Ланцюг

субнормальная в , Отже, існує субнормальная -Ланцюг

Таким чином, ми отримали субнормальную -Ланцюг

тобто субнормальная в за визначенням. Лемма доведена.

Теорема. Якщо підгрупа субнормальная, але не нормальна в , То існує такий елемент , Що

Доказ. Нехай - Дефект підгрупи в групі . Розглянемо субнормальную -Ланцюг довжини :

З того, що не нормальна в , Випливає, що . не нормальна і в , Інакше ми отримуємо протиріччя з тим, що - Дефект підгрупи в групі , Так як в цьому випадку підгрупу в ланцюзі можна було опустити. Тому існує елемент такий, що . Тепер маємо

Так як , То . З іншого боку, і , Звідки отримуємо . Теорема доведена.

Визначення. Нехай - Субнормальная підгрупа дефекту в . Субнормальний -Ланцюг

називається канонічної, якщо для будь субнормальной -Ланцюга

має місце , , , ..., .

Іншими словами, канонічна субнормальная ланцюг входить почленно в будь-яку іншу субнормальную ланцюг тієї ж довжини.

Теорема. Якщо субнормальная в , То існує єдина канонічна субнормальная -Ланцюг.

Доказ. Нехай - Дефект підгрупи в групі . Будемо розглядати всі можливі субнормальних -Ланцюга довжини .

всі субнормальних -Ланцюга довжини ( - Другий індекс). Покладемо . Так як , То для будь-якого , , ..., ми маємо

Таким чином, ланцюг

є субнормальной -Ланцюгом довжини і, отже, не має повторень. Так як при будь-яких і , То теорема доведена.

Теорема. Якщо субнормальная в і - Підгрупа , То перетин є субнормальная підгрупа .

Доказ. Розглянемо субнормальную -Ланцюг мінімальної довжини :

Покладемо . Отримуємо ланцюг

Ясно, що вона буде субнормальной, так як . Дійсно, нехай , Значить, і . Тоді для будь-якого , Так як і .

Ми отримали субнормальную -Ланцюг. Теорема доведена.

Слідство. Нехай і - Підгрупи групи . Якщо субнормальная в і - Підгрупа , То субнормальная в .

Доказ. Нехай і ланцюг

є субнормальной -Ланцюгом.

Поклавши , Отримаємо субнормальную -Ланцюг

що і було потрібно.

Теорема. Нехай субнормальная в і субнормальная в . Тоді перетин є субнормальная підгрупа в .

Доказ. Нехай - Найбільший з дефектів підгруп і в групі . Очевидно, існує (можливо, з повтореннями) ланцюга

Покладемо , , , ..., . З , випливає, що нормальна в . Отже, ланцюг

є субнормальной -Ланцюгом, що і доводить теорему.

Лемма. Якщо субнормальная в , А - Нормальна підгрупа групи , То твір є субнормальная підгрупа групи .

Доказ. субнормальная в , Отже, існує субнормальная -Ланцюг

Отже, ланцюг

буде субнормальной.

Дійсно, так як і , То . Лемма доведена.

Лемма. Якщо підгрупи і субнормальних в і , Топроізведеніе є субнормальная підгрупа групи .

Доказ. Якщо нормальна в , То результат слід по лемі 1.9.

Припустимо, що не нормальна в , Тобто . Будемо вважати, що теорема правильна для субнормальних підгруп з дефектом меншим . Таким чином, якщо і субнормальних в причому і , То з індуктивного припущенням субнормальная в .

Нехай - Канонічна субнормальная -Ланцюг. Так як нормалізує підгрупу , То для будь-якого ланцюг

буде субнормальной -Ланцюгом. За властивості канонічної субнормальной -Ланцюга , А значить, для будь-якого , , ..., (По определеделенію).

Отже, міститься в для будь-якого . Так як і , То по індукції субнормальная в . По слідству 1.7.1 субнормальная в . Так як і , То . Таким чином, , , А значить, по лемі 1.9 підгрупа субнормальная в . До того ж , То ми отримуємо . Лемма доведена.

Теорема. Якщо і - Субнормальний підгрупи групи , То є також субнормальная підгрупа .

Доказ. Покладемо . Серед субнормальних підгруп групи , Що містяться в , Виберемо підгрупу , Що мають найбільший порядок. По слідству 1.7.1 субнормальная в . Доведемо, що нормальна в . Припустимо гидке, тобто що не нормальна в . Тоді по теоремі 1.4 знайдеться такий елемент , Що , і . Так як субнормальная в і , То субнормальная в . Виходить наступна ситуація: і субнормальних в , . За лемі 1.10 субнормальная в . Зважаючи вибору звідси випливає , Що суперечить .

Отже, нормальна в , А значить, і нормалізують підгрупу . За лемі 1.10 і субнормальних в . Так як і , То через вибору отримуємо . Отже, , Звідки випливає, що . Теорема доведена.

Об'єднаймо теореми 1.8 та 1.11 в один результат.

Теорема (Віландт). Безліч всіх субнормальних підгруп групи утворює підгратки решітки .

Зазначимо одне часто використовуваний додаток теорем 1.4 та 1.12.

Теорема. Нехай - Деяке непорожня множина субнормальних підгруп групи , Що задовольняє таким умовам:

1) якщо і , То ;

2) якщо , , , , То .

Тоді для будь підгрупи .

Доказ. Візьмемо довільну підгрупу з . Якщо не нормальна в , То по теоремі 1.4 знайдеться такий елемент , Що , , . За умовами 1) і 2) , . Якщо не нормальна в , То знайдеться такий, що , , . Тоді і . Якщо не нормальна, то описану процедуру застосовуємо до . Так як кінцева, то цей процес завершиться побудовою нормальної підгрупи , Представимо у вигляді , Де - Деякі елементи з . Очевидно, , І теорема доведена.

Слідство. Якщо - Непорожній радикальний клас, то містить всі субнормальних -Підгрупи групи .

Доказ. Нехай - Множина всіх субнормальних -Підгруп з . Зважаючи теореми 1.12 легко помітити, що задовольняє умовам 1) і 2) теореми 1.13.

Слідство. Для будь субнормальной підгрупи групи справедливі наступні твердження:

1) якщо - -Група, то ;

2) якщо нільпотентні, то ;

3) якщо -Нільпотентні, то ;

4) якщо залагодити, то .

2. Мінімальні НЕ -Групи

Лемма [3]. Нехай , Де - Локальна формація. Тоді справедливі наступні твердження:

1) група монолітічна з монолітом

2) - -Група для деякого простого ;

3) - -Ексцентральний головний фактор ;

4) ;

5) якщо група неабелева, то її центр, коммутант і підгрупи Фраттіні збігаються і мають експоненту ;

6) якщо абелева, то вона елементарна;

7) якщо , То - Експонента ; При експонента не перевищує 4;

8) для будь -Абнормальной максимальної підгрупи з має місце

9) будь-які дві -Абнормальние максимальні підгрупи групи сполучені в ;

10) якщо і підгрупа містить , То для будь-якого повного локального екрану формації ;

11) якщо - -Абнормальної максимальна підгрупа групи і - Деякий повний локальний екран , То - Мінімальна не -Група і або , Або .

Доказ. 1) Нехай - Мінімальна нормальна підгрупа з така, що . Очевидно, що . Протиріччя. Отже, - Мінімальна нормальна підгрупа . Так як - Формація, то, неважко помітити, що - Єдина мінімальна нормальна підгрупа з . А це означає, що

Звідси випливає, що

2) Вище ми показали, що - Головний -Фактор. Покажемо, що - -Група. Припустимо гидке. Нехай просте число ділить , Але не ділить . За лемі 4.4 з [5] , Де - Міститься в сіловская -Підгрупа з . Тоді

Звідси і з насиченості одержимо . Але тоді , Що неможливо.

Нехай - Головний фактор групи . Зважаючи 2) є -Групою і . Отже, кожна -Абнормальної від найбільшої підгрупа групи є -Нормалізатором групи . Так як -Нормалізатор групи покриває тільки -Центральні головні чинники, то ми отримуємо, що -Гіперцентральна в . Згідно слідству 9.3.1 з [5] . Звідси випливає, що , Тобто .

Позначимо через коммутант групи . Так як - -Корадікал групи , То по теоремі 11.6 з [5] кожен головний фактор групи на ділянці від до -Ексцентрален. Звідси і з -Гіперцентральності укладаємо, що . Так як

то ми отримуємо тaкже рaвенство . Таким чином, твердження 2) - 6), 9) доведені.

Доведемо 7). Припустимо, що неабелева. Нехай - Довільний елемент з . Зважаючи 4) , Причому . Отже,

для всіх елементів , з . Це означає, що має експоненту . Враховуючи це і те, що міститься в , Отримуємо для будь-яких , З при :

Значить, відображення є -Ендоморфізмом групи . Так як

то -Гіперцентральна в . Згадуючи, що - -Ексцентральний головний фактор, отримуємо рівність . Так як має експоненту , То твердження 7) при доведено.

Нехай . Тоді

де . Розглядаючи відображення як і вище отримуємо, що . Значить має експоненту не більше 4.

Доведемо 8). Вище ми довели, що . Нехай . Тоді в знайдеться така максимальна підгрупа , Що . Так як , То . Звідси . Протиріччя. Отже, . По теоремі 9.4 з [5] маємо для будь -Абнормальной максимальної підгрупи групи . Неважко показати, що .

По теоремі 7.11 з [5],

Так як , То

З огляду на те, що і - Головний фактор , Маємо . Отже, . Нехай - Будь-яка -Абнормальної максимальна підгрупа групи . Тоді . Ясно, що

Не обмежуючи спільності, покладемо . Тоді - Єдина мінімальна нормальна підгрупа . Легко бачити, що і . Але - -Група. Значить, . За умовою . Отже, зважаючи повноти екрану має місце

то . Таким чином, всяка власна підгрупа групи належить . Припустимо, що . Тоді

і тому . Отримане протиріччя показує, що , Тобто - Мінімальна не -Група.

Припустимо тепер, що . Покажемо, що . Не втрачаючи спільності, можна покласти, що . Тоді , . Нехай , Де і , Де . Для всякого через позначимо підгрупу . Припустимо, що все відмінні від . Так як , То - Доповнення до в . Якщо для всіх різних і , То

і тому . Протиріччя. Значить для деяких різних і . З останнього випливає

що неможливо. Отримане протиріччя показує, що для деякого і, отже, . Лемма доведена.

Лемма [4]. Нехай - Спадкова локальна формація, - Така нормальна підгрупа групи , Що . Тоді рівносильне .

Доказ. Нехай . Тоді , І якщо - Довільна максимальна підгрупа , То , А значить, і належить . Отже, .

Припустимо тепер, що . Зрозуміло, що . Нехай - Довільна максимальна підгрупа , Тоді . Нехай - Довільний -Головний фактор із . Позначимо . Нехай - Максимальний внутрішній локальний екран формації , І нехай . Так як , То . Покажемо, що . За лемі 8.7 з [6] формація спадкова. Отже, якщо , То відразу отримаємо . Якщо ж , То випливає з ізоморфізму . Отже, всякий -Головний фактор із , -Центральний в . Значить, . Таким чином, . Лемма доведена.

Лемма [3]. Нехай - Локальна спадкова формація, - Деякий її повний екран. Група належить тоді і тільки тоді, коли виконуються наступні дві умови:

1) ;

2) , Де - Головний -Фактор групи , - Мінімальна не -Група.

Доказ. Необхідність випливає з леми 2.1.

Достатність. Нехай і - Довільні максимальні підгрупи . Покажемо, що . Якщо -Абнормальної, то зважаючи леми 2.1 маємо . Значить, . Нехай . За умовою

Отже, і по лемі 2.1 - -Група. Значить по лемі 8.2 з [6] . Отже, . Застосовуючи тепер лему 2.1 отримуємо, що . Лемма доведена.

Лемма [3]. Нехай - Локальна формація, що має постійний спадковий локальний екран . Тоді справедливі наступні твердження:

1) для будь-якого з ;

2) тоді і тільки тоді, коли для будь-якого з , - Головний фактор , .

Доказ. 1) Нехай - Довільна група з . Покажемо, що . Припустимо гидке. Нехай - Підгрупа найменшого порядку з , Яка не належить . Очевидно, що . Так як - Постійний екран, то зважаючи леми 4.5 з [5] для будь-якого з . Якщо , То з того, що слід . Отримали суперечність. Отже, - Власна підгрупа з . Але тоді , Що неможливо.

2) Нехай . Покажемо, що . Так як

то, не обмежуючи спільності, можна вважати, що . Нехай - Довільна -Абнормальної максимальна підгрупа групи . Тоді по лемі 2.1 , Де . Очевидно, що . Звідси випливає, що - -Група. Так як і - Постійний екран, то . Нехай - Довільна власна підгрупа з . Так як формація спадкова, то . Крім того, . Звідси . Отже,

Якщо тепер , То . Звідси неважко помітити, що . Протиріччя. Отже, . З леми 2.1 випливає, що

є головний -Фактор групи .

Нехай тепер . Очевидно, що . Нехай - Власна підгрупа з . Розглянемо підгрупу . Якщо , То тоді

Згідно з пунктом 1 . Нехай . Тоді - Власна підгрупа групи . Тоді

Звідси . А це означає, що . Отже, . Так як , То по лемі 2.1 . Лемма доведена.

Лемма. Нехай - Непорожній спадкова формація. Тоді:

1) якщо - Підгрупа групи і , То -Субнормальная в ;

2) якщо -Субнормальная в , - Підгрупа групи , То -Субнормальная в ;

3) якщо і -Субнормальних підгрупи , То - -Субнормальная підгрупа ;

4) якщо -Субнормальная в , А -Субнормальная в , То -Субнормальная в ;

5) якщо всі композиційні чинники групи належать формації , То кожна субнормальная підгрупа групи є -Субнормальной;

6) якщо - -Субнормальная підгрупа групи , То -Субнормальная в для будь-яких .

Лемма. Нехай - Непорожній формація, - Підгрупа групи , - Нормальна підгрупа з . Тоді:

1) якщо -Субнормальная в , То -Субнормальная в і -Субнормальная в ;

2) якщо , То -Субнормальная в тоді і тільки тоді, коли -Субнормальная в .

3. Формації з гратковий властивістю

Лемма [1]. Нехай - Спадкова формація. Тоді наступні твердження еквівалентні:

1) володіє гратковий властивістю для -Субнормальних підгруп;

2) група належить , Якщо , - -Субнормальних -Підгрупи групи ;

3) - Формація фіттінги і всяка -Субнормальная -Підгрупа групи міститься в -Радикал цієї групи.

Встановимо, що з 1) слід 2).

Нехай - Контрпример мінімального порядку. У цьому випадку , Де -Субнормальная -Підгрупа групи , , І не належить . Нехай - Мінімальна нормальна підгрупа групи . Всі умови леми для фактор-груп виконуються, тому в силу вибору маємо, що . З причини теореми 4.3 з [7] формація є насиченою. Тому група має єдину мінімальну нормальну підгрупу і .

Якщо , То - Проста група. Так як і - -Субнормальная підгрупа групи , , То або , Або . Значить, . Суперечність з вибором групи .

Нехай . Розглянемо підгрупи і . Так як - Власна -Субнормальная підгрупа і , То неважко бачити, що - Власна підгрупа , . Покажемо, що .

Розглянемо два випадки.

1. Нехай - Абелева група. Тоді - -Група, - Просте число. Так як і підгрупа -Субнормальная в , То по лемі 2.6 отримуємо , .

2. Нехай - Неабелева група. У цьому випадку

є пряме твір ізоморфних неабелевих простих груп і .

Розглянемо підгрупу . Так як підгрупа -Субнормальная в , То з огляду на леми 2.4 і підгрупа -Субнормальная в групі . Нехай

Зважаючи леми 2.5 підгрупа -Субнормальная в для будь-якого з . Так як формація володіє гратковий властивістю для -Субнормальних підгруп, то - -Субнормальная підгрупа . Крім того, з випливає, що . Якщо , То . Отримали протиріччя з . Значить, . Так як нормальна в , То нормальна в . Але

де - Неабелева проста група і для всіх . Тому

З і спадковості формації випливає, що . Але тоді . Далі, так як , То по лемі 2.5 підгрупа -Субнормальная в . Значить, вона -Субнормальная і в , . Тоді з отримуємо що

Нехай - Додавання до підгрупи в групі . Так як , То . В силу насиченості формації з