Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
«Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра ТБ і матстатістікі
Курсова робота
КІНЦЕВІ ГРУПИ З заданій системі СЛАБКО нормальних підгруп
Виконавець:
Студент групи М-32 Макарченко А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент Малінковскій М.Т.
Гомель 2007

Зміст
ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ
ВСТУП
1. Визначення і загальні властивості слабко нормальних підгруп
2. Кінцеві групи зі слабко нормальними підгрупами
ВИСНОВОК
ЛІТЕРАТУРА

Перелік умовних позначень
У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими.
Будемо розрізняти знак включення множин і знак суворого включення ;
і - Відповідно знаки перетину та об'єднання множин;
- Порожня множина;
- Множина всіх для яких виконується умова ;
- Множина всіх натуральних чисел;
- Безліч всіх простих чисел;
- Деяке безліч простих чисел, тобто ;
- Доповнення до в безлічі всіх простих чисел; зокрема, ;
Примарна число - будь-яке число виду ;
Нехай - Група. Тоді:
- Порядок групи ;
- Порядок елемента групи ;
- Одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;
- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;
- Безліч всіх різних простих дільників натурального числа ;
-Група - група , Для якої ;
-Група - група , Для якої ;
- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто те що всіх максимальних підгруп групи ;
- Підгрупа Фиттинг групи , Тобто твір всіх нормальних нільпотентних підгруп групи ;
- Найбільша нормальна -Нільпотентна підгрупа групи ;
- Коммутант групи , Тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи ;
- -Ий коммутант групи ;
- Найбільша нормальна -Підгрупа групи ;
- -Холлівських підгрупа групи ;
- Сіловская -Підгрупа групи ;
- Доповнення до сіловской -Підгрупі в групі , Тобто -Холлівських підгрупа групи ;
- Група всіх автоморфізмів групи ;
- є підгрупою групи ;
- є власною підгрупою групи ;
- є максимальною підгрупою групи ;
нетривіальна підгрупа - непоодинокі власна підгрупа;
- є нормальною підгрупою групи ;
- Підгрупа характеристичні в групі , Тобто для будь-якого автоморфізм ;
- Індекс підгрупи в групі ;
;
- Централізаторів підгрупи в групі ;
- Нормалізатор підгрупи в групі ;
- Центр групи ;
- Циклічна група порядку ;
- Ядро підгрупи в групі , Тобто те що всіх підгруп, пов'язаних з в .
Якщо і - Підгрупи групи , То:
- Прямий добуток підгруп і ;
- Полупрямой твір нормальної підгрупи і підгрупи ;
- і ізоморфні.
Група називається:
примарной, якщо ;
біпрімарной, якщо .
Дужки застосовуються для позначення підгруп, породжених деякими безліччю елементів або підгруп.
- Підгрупа, породжена всіма , Для яких виконується .
, Де .
Групу називають:
-Замкнутої, якщо сіловская -Підгрупа групи нормальна в ;
-Нільпотентні, якщо -Холлівських підгрупа групи нормальна в ;
-Розв'язною, якщо існує нормальний ряд, фактори якого або -Групи, або -Групи;
-Сверхразрешімой, якщо кожен її головний фактор є або -Групою, або циклічної групою;
нільпотентні, якщо всі її сіловскіе підгрупи нормальні;
метанільпотентной, якщо існує нормальна нільпотентна підгрупа групи така, що нільпотентна.
розв'язною, якщо існує номер такий, що ;
сверхразрешімой, якщо вона має головний поруч, всі індекси якого є простими числами.
Група Шмідта - це кінцева ненільпотентная група, всі власні групи якої нільпотентні.
Додаванням до підгрупи групи називається така підгрупа з , Що .
Мінімальна нормальна підгрупа групи - Непоодинокі нормальна підгрупа групи , Не містить власних непоодиноких нормальних підгруп групи .
Цоколь групи - Добуток мінімальних нормальних підгруп групи .
- Цоколь групи .
Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмів, позначаються прописними готичними літерами. Також позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгрупою і подпрямих творів. За деякими класами закріплені стандартні позначення:
- Клас всіх груп;
- Клас всіх абелевих груп;
- Клас всіх нільпотентних груп;
- Клас всіх розв'язаних груп;
- Клас всіх -Груп;
- Клас всіх сверхразрешімих груп;
Формації - це класи кінцевих груп, замкнуті щодо взяття гомоморфним образів і кінцевих подпрямих творів.
Нехай - Деякий клас груп і - Група, тоді:
- -Корадікал групи , Тобто те що всіх тих нормальних підгруп з , Для яких . Якщо - Формація, то є найменшою нормальною підгрупою групи , Факторгрупою по якій належить . Якщо - Формація всіх сверхразрешімих груп, то називається сверхразрешімим корадікалом групи .
Формація називається насиченою, якщо завжди з випливає, що і .
Клас груп називається спадковим чи замкненим відносно підгруп, якщо з того, що випливає, що і кожна підгрупа групи також належить .
Твір формацій і складається з усіх груп , Для яких , Тобто .
Нехай - Деяка непорожня формація. Максимальна підгрупа групи називається -Абнормальної, якщо .
Підгрупи і групи називаються переставних, якщо .
Нехай - Максимальна підгрупа групи . Нормальним індексом підгрупи називають порядок головного чинника , Де і , І позначають символом .
Нехай - Група і - Різні прості дільники порядку групи . Тоді група називається дісперсівний по Оре, якщо існують підгрупи , Такі що - Сіловская -Підгрупа групи та підгрупа нормальна в для всіх .

Введення

У своїй роботі Оре розглянув два узагальнення нормальності, обидва з яких викликають неослабний інтерес у дослідників і в наші дні. По-перше, у роботі були вперше введені в математичну практику квазінормальние підгрупи: слідуючи, ми говоримо, що підгрупа групи квазінормальна в , Якщо переставних з будь-якою підгрупою з (Тобто для всіх підгруп з ). Виявилося, що квазінормальние підгрупи мають ряд цікавих властивостей і що фактично вони мало відрізняються від нормальних підгруп. Зазначимо, зокрема, що згідно, для будь-якої квазінормальной підгрупи має місце , А згідно, квазінормальние підгрупи - це в точності ті субнормальний підгрупи групи , Які є модулярним елементами в решітці всіх підгруп групи .
Зрозуміло, що якщо підгрупа групи нормальна в , То в завжди знайдеться така підгрупа , Що виконана така умова:

Таким чином, умова є ще одним узагальненням нормальності. Така ідея також була вперше розглянута в роботі, де зокрема, було доведено, що: Група є розв'язною тоді і тільки тоді, коли всі її максимальні підгрупи задовольняють умові . Надалі, в роботі підгрупи, що задовольняють умові були названі -Нормальними. У цій же роботі була побудована красива теорія -Нормальних підгруп і дано деякі її застосування в питаннях класифікації груп з заданими системами підгруп.
У даній дисертаційній роботі ми аналізуємо таке поняття, яке одночасно узагальнює як умова квазінормальності, так і умова -Нормальності для підгруп.
Визначення. Підгрупа групи називається слабко квазінормальной в підгрупою, якщо існує така підгрупа групи , Що і , - Квазінормальние в підгрупи.
Наступний простий приклад показує, що в загальному випадку слабко квазінормальная підгрупа не є ні квазінормальной, ні -Нормальною.
Приклад. Нехай
,
де . І нехай , . Тоді і . Нехай - Група простого порядку 3 та , Де - База регулярного сплетення . Оскільки , і - Модулярная група, то квазінормальна в і тому підгрупа слабо квазінормальна в . Значить, підгрупа є слабо квазінормальной в , Але не квазінормальной і не -Нормальною в .
В останні роки значно зріс інтерес до квазінормальним і -Нормальним підгрупах, що говорить про безсумнівну актуальність даного напрямку. Слід зазначити, що багатьма авторами (Асаад, Баклі, Баллестеро-Болінше, Ванг, Вей, Лі, Педра-Агуела, Рамадан, А. М. Скиба, Срінівазан та ін) отримано велику кількість теорем пов'язаних з вивченням груп, ті чи інші виділені системи підгруп яких -Нормальні або квазінормальни. Не дивлячись на той факт, що квазінормальность і -Нормальність є цілком різними узагальненнями нормальності, в даний час отримано багато аналогічних результатів незалежно для квазінормальних і -Нормальних підгруп. У даній роботі такої паралелізм усувається на основі введеного вище поняття слабкої квазінормальності.
Таким чином, завдання вивчення груп із заданою системою слабо квазінормальних підгруп цілком актуальна, її реалізації присвячена дана робота.

1. Визначення і загальні властивості слабко нормальних підгруп

Визначення. Підгрупа групи називається слабко нормальною в підгрупою, якщо існує така квазінормальная підгрупа групи , Що і .
Доведемо ряд загальних властивостей слабо нормальних підгруп.
Нехай - Група і . Тоді справедливі наступні твердження:
(1) Нехай - Нормальна в підгрупа. Тоді слабо нормальна підгрупа в групі тоді і тільки тоді, коли - Слабо нормальна підгрупа в групі .
(2) Якщо - Слабо нормальна в підгрупа, то - Слабо нормальна в підгрупа.
(3) Нехай - Нормальна в підгрупа. Тоді для всіх слабо нормальних в підгруп таких, що , - Слабо нормальна підгрупа в групі .
Доказ. (1) Нехай - Слабо нормальна в підгрупа і - Така квазінормальная в підгрупа, що


Тоді , - Квазінормальная в підгрупа і . Значить, - Слабо нормальна в підгрупа.
Нехай тепер, для деякої квазінормальной в підгрупи ми маємо і


Ясно, що

Оскільки

то

і - Квазінормальние в підгрупи. Отже, - Слабо нормальна в підгрупа.
Затвердження (2) очевидно.
(3) Нехай - Слабо нормальна підгрупа в групі і - Квазінормальная в підгрупа така, що і . Ясно, що і

Значить, слабо нормальна у і з огляду на (1), - Слабо нормальна в підгрупа.

2. Кінцеві групи зі слабко нормальними підгрупами

У даному розділі ми доведемо деякі критерії розв'язаних, метанільпотентних, дісперсівний по Оре і сверхразрешімих груп в термінах слабко нормальних підгруп.
Наступна теорема доводиться аналогічно теоремі 3.5.1.
Група розв'язна тоді і тільки тоді, коли , Де , - Підгрупи групи такі, що кожна максимальна підгрупа з і кожна максимальна підгрупа з слабо нормальні в .
Нехай - Група тоді наступні твердження еквівалентні:
(1) - Розв'язна;
(2) , Де , - Підгрупи групи такі, що кожна максимальна підгрупа з і кожна максимальна підгрупа з слабо квазінормальни в ;
(3) , Де , - Підгрупи групи такі, що кожна максимальна підгрупа з і кожна максимальна підгрупа з слабо нормальні в .
Група метанільпотентна тоді і тільки тоді, коли , Де підгрупа -Квазінормальна в , - Нільпотентна і кожна сіловская підгрупа з слабо нормальна у .
Доказ. Припустимо, що , Де - -Квазінормальна в , - Нільпотентна і кожна сіловская підгрупа з слабо нормальна у . Покажемо, що група метанільпотентна. Припустимо, що це не вірно і хай - Контрприклад мінімального порядку. Тоді справедливі наступні твердження.
(1) не є нільпотентні групою.
Припустимо, що нільпотентна. Так як зважаючи леми GOTOBUTTON GEQ187 REF GEQ187 \ * MERGEFORMAT (??)( 3), субнормальная, то міститься в деякій нільпотентні нормальної підгрупі з по лемі GOTOBUTTON GEQ158 REF GEQ158 \ * MERGEFORMAT (??)( 2). Тоді

нільпотентна і тому метанільпотентна. Отримане протиріччя з вибором групи доводить (1).

(2) .
Припустимо, що . Тоді через леми GOTOBUTTON GEQ189 REF GEQ189 \ * MERGEFORMAT (??), нільпотентна, що суперечить (1). Значить, ми маємо (2).
(3) Якщо - Абелева мінімальна нормальна підгрупа групи , Що міститься в , То метанільпотентна.
Нехай - -Група і - Сіловская -Підгрупа в . Тоді і тому по лемі GOTOBUTTON GEQ258 REF GEQ258 \ * MERGEFORMAT (??) кожна сіловская підгрупа з слабо нормальна у . Оскільки за лемі GOTOBUTTON GEQ187 REF GEQ187 \ * MERGEFORMAT (??), -Квазінормальна в ,


то умови теореми справедливі для . Так як , То з огляду на вибору групи , метанільпотентна.
(4) Умови теореми справедливі для (Це проямо випливає з леми GOTOBUTTON GEQ258 REF GEQ258 \ * MERGEFORMAT (??)).
(5) можна вирішити.
Якщо , То метанільпотентна за (4) і вибору групи . Нехай тепер . Припустимо, що для деякої сіловской підгрупи з ми маємо . Тоді через (3), можна вирішити. Нехай тепер для кожної сіловской підгрупи групи . Тоді за умовою кожна сіловская підгрупа з має квазінормальной доповнення в і тому нільпотентна. Отримане протиріччя в вибором групи доводить (5).
(6) У групі мається на точності одна мінімальна нормальна підгрупа , Що міститься в .
Нехай - Мінімальна нормальна підгрупа групи , Що міститься в . Тоді абелева згідно (5), і тому з огляду на (3), метанільпотентна. Так як клас всіх метанільпотентних груп. Крім того, так як клас всіх метанільпотентних груп є насиченою формацією (див. GOTOBUTTON GEQ156 REF GEQ156 \ * MERGEFORMAT [??]), то - Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , Що міститься в .

(7) Якщо -Група, то кожна сіловская -Підгрупа з , Де , Має квазінормальное доповнення в .
Нехай - Сіловская -Підгрупа в , Де . Тоді на увазі (6), . За умовою, слабо нормальна у і тому має квазінормальную підгрупу , Таку що і

Заключне протиріччя.
Нехай - Сіловская -Підгрупа в і . Тоді

За умовою має квазінормальную підгрупу , Таку що і

Тоді


і тому - Доповнення для в , Яке є квазінормальной в підгрупою. Якщо - -Підгрупа з , Де , То з огляду на (7), має доповнення в , Яке є квазінормальной підгрупою (див. доказ твердження (3) леми GOTOBUTTON GEQ223 REF GEQ223 \ * MERGEFORMAT (??)). Тоді по лемі GOTOBUTTON GEQ223 REF GEQ223 \ * MERGEFORMAT (??), нільпотентна і тому метанільпотентна. Отримане протиріччя доводить метанільпотентность групи .
Зворотно, припустимо, що метанільпотентна. Покажемо, що кожна сіловская підгрупа з слабо нормальна у . Припустимо, що це не вірно і хай - Контрприклад мінімального порядку. Тоді має сіловскую підгрупу , Яка не є слабо нормальною в . Нехай - Довільна мінімальна нормальна підгрупа в і - Підгрупа Фиттинг групи . Припустимо, що . Тоді слабо нормальна у і тому по лемі GOTOBUTTON GEQ258 REF GEQ258 \ * MERGEFORMAT (??)( 1), слабо нормальна у , Протиріччя. Значить, і тому

Оскільки за умовою метанільпотентна і - Сіловская підгрупа в , То має нормальне доповнення в . Але оскільки і - -Групи, то - Нормальне доповнення для в . Отже, слабо нормальна у . Отримане протиріччя показує, що кожна сіловская підгрупа з слабо нормальна у .
Нехай - Група тоді наступні твердження еквівалентні:
(1) - Метанільпотентна;
(2) , Де підгрупа субнормальная в , - Абелева Халловей підгрупа в і кожна сіловская підгрупа з слабо квазінормальна в ;
(3) , Де підгрупа -Квазінормальна в , - Нільпотентна і кожна сіловская підгрупа з слабо нормальна у .
Нехай , Де підгрупа -Квазінормальна в , нільпотентна. Припустимо, що будь-яка максимальна підгрупа кожної нециклический підгрупи з слабо нормальна у . Тоді сверхразрешіма.
Доказ. Припустимо, що ця теорема не вірна і нехай - Контрприклад мінімального порядку. Тоді:
(1) Кожна власна підгрупа групи , Що містить , Сверхразрешіма.
Нехай , Де . Тоді

де нільпотентна і -Квазінормальна в . Так як по лемі GOTOBUTTON GEQ258 REF GEQ258 \ * MERGEFORMAT (??)( 2), будь-яка максимальна підгрупа кожної нециклический сіловской підгрупи з слабо нормальна у і , То за вибором групи ми маємо (1).
(2) Нехай - Непоодинокі нормальна підгрупа в . Припустимо, що -Група. Припустимо, що містить сіловскую -Підгрупу з , Або циклічна, або . Тоді сверхразрешіма.
Якщо , То

нільпотентна. Нехай тепер . Так як , То нам тільки потрібно показати, що умови теореми справедливі для . Ясно, що

де -Квазінормальна в і нільпотентна. Нехай сіловская -Підгрупа з і - Довільна максимальна підгрупа в . Нехай - Сіловская -Підгрупа з , Така що . Ясно, що - Сіловская -Підгрупа групи . Значить, для деякої сіловской -Підгрупи з . Припустимо, що не є циклічною підгрупою. Тоді НЕ циклічна. Покажемо, що слабо нормальна у . Якщо , То це прямо випливає з леми GOTOBUTTON GEQ258 REF GEQ258 \ * MERGEFORMAT (??). Припустимо, що або сіловская -Підгрупа з циклічна, або . Тоді . Покажемо, що - Максимальна в підгрупа. Так як і , То

Припустимо, що для деякої підгрупи з ми маємо

де

Тоді

Так як - Максимальна в підгрупа, то або , Або . Якщо , То

що суперечить вибору підгрупи . Значить, і тому ми маємо


протиріччя. Отже, - Максимальна в підгрупа і за умовою слабо нормальна у . Значить,

слабо нормальна у . Отже, умови теореми справедливі для .
(3) і сверхразрешіма.
За вибором групи , і тому сверхразрешіма згідно (1).
(4) - Здійсненне група.
За умовою -Квазінормальна в і тому по лемі GOTOBUTTON GEQ158 REF GEQ158 \ * MERGEFORMAT (??)( 3), міститься в деякій вирішуваною нормальної підгрупі групи . Так як група нільпотентна, то можна вирішити.
(5) Якщо - Просте число і , То .
Нехай . Тоді на увазі (2), сверхразрешіма. Якщо - Безліч всіх простих дільників порядку групи , То за лемі GOTOBUTTON GEQ158 REF GEQ158 \ * MERGEFORMAT (??)( 1), , Де - Нормальна -Підгрупа групи і тому

сверхразрешіма. Але тоді

сверхразрешіма. Отримане протиріччя з вибором групи доводить (5).

(6) .
Припустимо, що . Тоді по лемі GOTOBUTTON GEQ189 REF GEQ189 \ * MERGEFORMAT (??), нільпотентна. Нехай - Сіловская -Підгрупа з . Так як зважаючи леми GOTOBUTTON GEQ187 REF GEQ187 \ * MERGEFORMAT (??)( 3) субнормальная в , То субнормальная в . Тоді , Згідно лемі GOTOBUTTON GEQ187 REF GEQ187 \ * MERGEFORMAT (??)( 1). Але тоді на увазі (2), сверхразершіма і тому , На вибір групи . Так як і

нільпотентна, то - Сіловская -Підгрупа з . Нехай - Холловей -Підгрупа з і . За лемі GOTOBUTTON GEQ190 REF GEQ190 \ * MERGEFORMAT (??), нормальна в і тому . Припустимо, що для деякого простого дільника порядку , Відмінного від , Ми маємо . Тоді нормальна в і тому - Нормальна підгрупа в , Оскільки . Але тоді , Що суперечить (5). Отже, і тому . Згідно з теоремою GOTOBUTTON GEQ140 REF GEQ140 \ * MERGEFORMAT (??), сверхразрешіма і тому - Абелева група, експонента якою ділить , Згідно леми GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??). Але тоді - Абелева група експоненти, що ділить і тому сверхразрешіма, згідно леми GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??). Отримане протиріччя з вибором групи доводить (6).
Заключне протиріччя.
Нехай - Мінімальна нормальна підгрупа в , Що міститься в . Нехай - -Група і - Сіловская -Підгрупа групи . У силу (2), сверхразрешіма і тому - Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , Що міститься в . Ясно, що і . Значить, по лемі GOTOBUTTON GEQ185 REF GEQ185 \ * MERGEFORMAT (??) Для деякої максимальної підгрупи з ми маємо . Ясно, що і тому за умовою має додаток в , Яке є квазінормальной в підгрупою. Тоді

і тому . Але тоді

і тому, зважаючи на мінімальності , . Зважаючи на (5), має Холловей -Підгрупу. Так як в силу леми GOTOBUTTON GEQ187 REF GEQ187 \ * MERGEFORMAT (??)( 3), субнормальная в , То кожна Холловей -Підгрупа групи міститься в . Отже, - -Група. Звідси випливає, що

сверхразрешіма. Отримане протиріччя завершує доведення теореми.
Група дісперсівний по Оре тоді і тільки тоді, коли , Де підгрупа квазінормальна в , дісперсівний по Оре і кожна максимальна підгрупа будь нециклический сіловской підгрупи групи слабо нормальна у .
Доказ. Нехай , Де підгрупа квазінормальна в , дісперсівний по Оре і кожна максимальна підгрупа будь нециклический сіловской підгрупи групи слабо нормальна у . Покажемо, що група дісперсівний по Оре. Припустимо, що це не вірно і хай - Контрприклад мінімального порядку. Тоді:
(1) Кожна власна підгрупа групи , Що містить , Дісперсівний по Оре.
Нехай , Де . Тоді

де дісперсівний по Оре і квазінормальна в . Так як по лемі GOTOBUTTON GEQ258 REF GEQ258 \ * MERGEFORMAT (??)( 2) будь-яка максимальна підгрупа кожної нециклический сіловской підгрупи з слабо нормальна у і , То за вибором групи ми маємо (1).
(2) Нехай - Непоодинокі нормальна підгрупа в , Що є -Група для деякого простого числа . Припустимо, що або містить сіловскую -Підгрупу з , Або циклічна, або . Тоді дісперсівний по Оре.
Якщо , То

дісперсівний по Оре. Нехай тепер . Так як , То нам лише потрібно показати, що умови теореми справедливі для . Ясно, що

де квазінормальна в і дісперсівний по Оре. Нехай сіловская -Підгрупа з і - Довільна максимальна підгрупа в . Нехай - Сіловская -Підгрупа з , Така що . Ясно, що - Сіловская -Підгрупа групи . Значить, для деякої сіловской -Підгрупи з . Припустимо, що не є циклічною підгрупою. Тоді НЕ циклічна. Покажемо, що слабо нормальна у . Якщо , То це прямо випливає з леми GOTOBUTTON GEQ258 REF GEQ258 \ * MERGEFORMAT (??). Припустимо, що або сіловская -Підгрупа з циклічна, або . Тоді . Покажемо, що - Максимальна в підгрупа. Так як і , То

Припустимо, що для деякої підгрупи з ми маємо

де

Тоді

Так як - Максимальна в підгрупа, то або , Або . Якщо , То , Що суперечить вибору підгрупи . Значить, і тому ми маємо

протиріччя. Отже, - Максимальна в підгрупа і за умовою слабо нормальна у . Значить,

слабо нормальна у . Отже, умови теореми справедливі для .
(3) Якщо - Просте число і , То .
Нехай

Тоді на увазі (2), дісперсівний по Оре. З іншого боку, якщо - Безліч всіх простих дільників , То з огляду на леми GOTOBUTTON GEQ187 REF GEQ187 \ * MERGEFORMAT (??)( 3) і леми GOTOBUTTON GEQ158 REF GEQ158 \ * MERGEFORMAT (??), , Де - Нормальна -Підгрупа в і тому

дісперсівний по Оре. Але тоді

дісперсівний по Оре, протиріччя. Значить, справедливо (3).
(4) можна вирішити.
За умовою квазінормальна в і тому з огляду на леми GOTOBUTTON GEQ187 REF GEQ187 \ * MERGEFORMAT (??)( 3) і леми GOTOBUTTON GEQ158 REF GEQ158 \ * MERGEFORMAT (??), міститься в деякій вирішуваною нормальної підгрупі групи . Так як

дісперсівний по Оре, то можна вирішити.
(5) .
Припустимо, що . Тоді згідно лемі GOTOBUTTON GEQ189 REF GEQ189 \ * MERGEFORMAT (??), нільпотентна. Нехай - Сіловская -Підгрупа групи . Оскільки субнормальная в , То субнормальная в . Значить, по лемі GOTOBUTTON GEQ158 REF GEQ158 \ * MERGEFORMAT (??), . Але з огляду (2), дісперсівний по Оре і тому за вибором групи , . Нехай - Найменший простий дільник . Тоді має нормальну максимальну підгрупу , Таку що і . Нехай - Найбільший простий дільник , - Сіловская -Підгрупа групи . Тоді через (1), нормальна в і тому . Якщо , То - Сіловская -Підгрупа групи і тому дісперсівний по Оре. Звідси випливає, що дісперсівний по Оре, протиріччя. Отже, . Але тоді -Група. Нехай - Сіловская -Підгрупа в . Тоді - Сіловская -Підгрупа в . Оскільки - Підгрупа групи і з огляду на (1), дісперсівний по Оре, то . Так як дісперсівний по Оре, то і тому . Отже, група дісперсівний по Оре. Отримане протиріччя доводить (5).
Заключне протиріччя.
Нехай - Мінімальна нормальна підгрупа групи , Що міститься в . Нехай - -Група і - Сіловская -Підгрупа групи . Зважаючи на (2), дісперсівний по Оре. Нехай - Найменший простий дільник . Тоді має нормальну максимальну підгрупу , Таку що і . Нехай - Найбільший простий дільник , - Сіловская -Підгрупа групи . Тоді через (1), нормальна в і тому . Міркуючи як вище бачимо, що . Але тоді -Група. Значить, і тому дісперсівний по Оре. Отримане протиріччя завершує доведення теореми.

Висновок
В останні роки значно зріс інтерес до квазінормальним і -Нормальним підгрупах. Слід зазначити, що отримано велику кількість теорем пов'язаних з вивченням груп, ті чи інші виділені системи підгруп яких -Нормальні або квазінормальни в групі . Не дивлячись на той факт, що квазінормальность і -Нормальність є цілком різними узагальненнями нормальності, в даний час отримано багато аналогічних результатів не залежно для квазінормальних і -Нормальних підгруп. У даній роботі ми усуваємо такий паралелізм на основі введеного поняття слабкої квазінормальності.
Основні результати даної роботи:
- Доведені нові критерії належності групи насиченою формації;
- Знайдені опису розв'язаних і метанільпотентних груп за властивостями їх максимальних і сіловскіх підгруп;
- Отримані опису дісперсівний по Оре і сверхразрешімих груп за властивостями максимальних підгруп сіловскіх підгруп;
- Знайдені критерії розв'язності та метанільпотентності груп в термінах слабко нормальних підгруп.
Робота має теоретичний характер. Результати курсової роботи можуть бути використані при вивченні слабко нормальних, квазінормальних і слабо квазінормальних підгруп.

Література
1.Боровіков, М.Т. Групи з переставних підгрупами взаємно простих порядків / М.Т. Боровиков / / Питання алгебри. Випуск 5. - Мінськ: Університетське, 1990. - С. 80-82.
2.Боровіков, М.Т. Про -Розв'язності кінцевої групи / М.Т. Боровиков / / Арифметичне і підгруповий будова кінцевих груп / За редакцією М.І. Салука. - Мінськ: Наука і техніка, 1986. - С. 3-7.
3.Го Веньбінь. -Накривають системи підгруп для класів -Сверхразрешімих і -Нільпотентних кінцевих груп / Го Веньбінь, К.П. Шам, О.М. Скиба / / Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.
4.Пальчік, Е.М. Про групи, всі -Максимальні підгрупи яких переставних з сіловской підгрупою / Е.М. Пальчик / / ИАН БРСР. Сер. фіз.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.
5.Пальчік, Е.М. Про кінцевих групах з переставних підгрупами / Е.М. Пальчик / / Докл. АН БРСР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.
6.Пальчік, Е.М. Про групи, всі -Максимальні підгрупи яких переставних з сіловской підгрупою. II / Е.М. Пальчик, Н.П. Конторович / / ИАН БРСР. Сер. фіз.-матем. наук. - 1969. - № 3. - С. 51-57.
7.Подгорная, В.В. Напівнормальних підгрупи і сверхразрешімость кінцевих груп / В.В. Підгірна / / Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матем. навук. - 2000. - № 4. - С. 22-25.
8.Подгорная, В.В. Факторизації кінцевих груп дісперсівний і сверхразрешімимі підгрупами / В.В. Підгірна / / Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтета. - 1999. - № 4 (14). - С. 80-82.
9.Поляков, Л.Я. Кінцеві групи з переставних підгрупами / Л.Я. Поляков / / Кінцеві групи. - Мінськ: Наука і техніка, 1966. - С.75-88.
10.Самусенко (Підгірна), В.В. Про кінцевих групах з заданими мінімальними додатками до підгрупах / В.В. Самусенко / / Питання алгебри. Випуск 13. - 1998. - С. 177-182.