Впорядковані множини

Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Федеральне агентство з освіти
Нижньокамськ МУНІЦИПАЛЬНИЙ ІНСТИТУТ
Кафедра інформатики математики та природно -
наукових дисциплін
Група 561
РЕФЕРАТ
з дисципліни «Абстрактна алгебра»
Рівень освіти фахівець
Тема: Впорядковані множини
Керівник ___________________ Р.М. Муніпов

Студент ___________________ А.В. Глазунов
Нижньокамськ 2007

ЗМІСТ
ВСТУП ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
1. Частково впорядковані множини ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
2. Цілком впорядковані множини ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 20
3. Часткові группоіди та їх властивості ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 23
ВИСНОВОК ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 35
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .36

Введення
В даний час алгебра розуміється в основному як загальна теорія алгебраїчних операцій і стосунків. Її характеризує велика внутрішня природність вихідних ідей і завдань, єдність методів, далеко що йде широта основних понять. Її область окреслена чітко і ясно. І все ж існуючі межі теорії не можна визнати встановленими міцно і остаточно. Все частіше починає виявлятися прагнення вийти за її межі. Відчувається потреба розглядати операції не тільки повні, але й часткові.
Теорія часткових дій природно повинна продовжувати теорію повних дій. Ця остання в даний час є вкрай розгалуженої, багатою і знаходиться в періоді свого розквіту. Природно виникає думка про перенесення вироблених там понять і результатів у нову область. Це, зрозуміло, необхідно і в багатьох випадках плідно. Проте вже з перших кроків розвитку теорії часткових дій дає себе знати значна специфіка цього напряму. Часто пряме перенесення результатів теорії повних дій виявляється скрутним або навіть неможливим. Звичний алгебраїчний матеріал доводиться піддавати істотній переробці або переосмислення, крім того, виникають зовсім нові поняття і завдання, специфічні для нового напрямку. Для них потрібно своя методика дослідження.
Таким чином, теорія часткових алгебраїчних дій, будучи продовженням теорії повних дій, користуючись її досягненнями, пов'язана з нею ідеями та досвідом додатків за межами алгебри, все ж повинна оформитися як самостійний напрям в обширній області сучасної алгебри.
До теперішнього часу опубліковано сотні праць, спеціально присвячених вивченню часткових дій. Що стосується робіт, в яких ті чи інші часткові дії зустрічаються по ходу дослідження, то число їх не піддається оцінці. Про часткові діях говориться і в деяких загальних алгебраїчних працях, але завжди дуже коротко.
Поки ще не було достатньо повного і зв'язного викладу теорії часткових алгебраїчних дій. Панує різнобій у вихідних поняттях і навіть в позначеннях та термінології. Бракує зв'язків між окремими роботами. Дається взнаки недостатність розробки окремих питань, потрібних для побудови загальної теорії.

1. Частково впорядковані множини
Бінарне відношення

на багатьох А називається антисиметричних якщо:

(

а, в

А) а τ в в τ а
Бінарне відношення

на багатьох А називається рефлексивним якщо:
( a A) a a
Бінарне відношення

на багатьох А називається транзитивним якщо:
(

a, в, c A) a в в c → а з
Приклад 1.
Ставлення

подільності (без остачі) на множині натуральних чисел N антисиметричною. Справді, якщо а в, в а, то існують натуральні q _1, q N, такі, що а = в q _1, у = а q звідки а = а q ₁ q , Тобто q ₁ q = 1. Але,
q _1, q N, отже q ₁ = q = 1, звідки випливає, що а = в.
Рефлексивне антисиметричною транзитивне бінарне відношення на множині А називається відношенням порядку (часткового порядку) на багатьох А.
Безліч А з заданим на ньому відношенням часткового порядку ≤ називають частково упорядкованим безліччю і позначають <А; ≤>.
У подальшому для зручності будемо користуватися скороченням чум, що позначає частково впорядкована множина.
Приклад 2.
<N, ≤> - звичайне нестрогое нерівність чисел (у шкільному сенсі). Потрібно довести транзитивність, рефлексивність і антисиметричність цього відношення ≤.
a) a ≤ a, (2 ≤ 2) - рефлексивність,
b) якщо а ≤ в, у ≤ с, то a ≤ c, (3 ≤ 4, 4 ≤ 5 → 3 ≤ 5) - транзитивність,
c) якщо a ≤ в, у ≤ a, то a = в, (3 ≤ 3, 3 ≤ 3 → 3 = 3) - антисиметричність.
З цього випливає, що <N, ≤> - чум.
Приклад 3.
<N,

>.
a) Відношення подільності

на множині натуральних чисел N рефлексивно, т.к всяке число кратно самому собі, тобто т.к для будь-якого а N завжди a = A ∙ 1 (1 N), це, за змістом ставлення

, Маємо а

а. Отже,

рефлексивно.
б) Якщо перше число ділиться без остачі на друге (тобто кратне другому), а друге кратно третього, то перше кратно третьому, значить ставлення

транзитивно, тобто якщо а

в, в

с, a, в, c N. Отже, існують такі q , Q N, що
a = в q ,
в = c q ,
звідки
a = c (q q ).
Позначимо: q = q q N. Маємо
a = cq,
де q N, тобто а

з - за визначенням

. Отже, ставлення

транзитивне.
в) антисиметричність відносини

випливає з того, що два натуральних числа, кратних один одному, рівні між собою, тобто якщо а в, в а, то існують такі q _1, q N, що
а = в q _1,
в = а q ,
звідки
а = а q ₁ q ,
тобто q ₁ q = 1. Але, q _1, q N, отже q ₁ = q = 1, звідки випливає, що

а = в. Отже

антисиметричною.
Тому

є частковий порядок і, отже, <N,

> - Чум (частково упорядкованим множиною).

Елементи a, в ЧУМА А називаються непорівнянні і записуються

а | | в, якщо a ≤ в і в ≤ а.
Елементи a, в ЧУМА А називаються порівнянними якщо a ≤ в або в ≤ а.
Частковий порядок ≤ на A називається лінійним, а саме чум лінійно - впорядкованим або ланцюгом, якщо будь-які два елементи з А порівнянні, тобто для будь-яких a, в A, або a ≤ в, або в ≤ a.
Приклад 4.
<N, ≤>, <R, ≤> - є ланцюгом. Однак <В (М);

>, Де В (М) - множина всіх підмножин множини М або В (М) називається булеаном на безлічі М, не є ланцюгом, тому що не для будь-яких двох підмножин безліч М одне є підмножиною іншого.
Нехай <А, ≤> - довільний чум.
Елемент m A називається мінімальним, якщо для будь-якого x A з того, що x ≤ m слід x = m.
Сенс цього поняття в тім, що А не містить елементів суворо менших цього елемента m. Кажуть, що х строго менше m і записують х <m, якщо x ≤ m, але при тому x ≠ m. Аналогічно визначається максимальний елемент цього чум. Ясно, що якщо m , M - Різні мінімальні (максимальні) елементи чум, то m | | m .
У теорії частково впорядкованих множин умова a ≤ в іноді читають так: елемент а міститься в елементі в або елемент у містить елемент а.
Лема.
Кожен елемент кінцевого ЧУМА містить мінімальний елемент і міститься в максимальному елементі цього чума.
Доказ:
Нехай а - довільний елемент кінцевого ЧУМА S. Якщо а - мінімальний елемент, то в силу рефлексивності, лема доведена. Якщо А не мінімальний, то знайдеться елемент а такий, що
а <А (1)
Якщо а мінімальний, то все доведено. Якщо ж елемент а не є
мінімальним, то для деякого а отримаємо
а <А (2)
Якщо а мінімальний, то з (1), (2), завдяки транзитивності, укладаємо, що а містить мінімальний елемент а . Якщо ж а НЕ мінімальний, то
а <А (3)
для деякого а

S. І так далі. Зазначений процес не може бути нескінченним на увазі кінцівки самої множини S.
Таким чином, на деякій n - му кроці міркувань процес обірветься, що рівнозначно тому, що елемент а мінімальний. При цьому
а <А < <А <А <А
За рахунок транзитивності звідси випливає, що елемент а містить мінімальний елемент а . Аналогічно, елемент а міститься в максимальному елементі. Лема доведена.
Слідство.
Кінцеве чум містить, щонайменше, один мінімальний елемент.
Зараз ми введемо важливе для подальшого викладу поняття діаграми кінцевого ЧУМА S.
Спочатку беремо всі мінімальні елементи m , M ,

, M в S. Згідно зі слідством такі знайдуться. Потім в частково впорядкованій множині
S = S \ {m , M ,

, M },
які, як і S, є кінцевим, беремо мінімальні елементи,

, ,

і розглядаємо безліч

= S \ {

, ,

}
Елементи "першого ряду" m , M ,

, M зображуємо точками. Дещо вище відзначаємо точками елементи "другого ряду"

, ,

і з'єднуємо відрізками точки

в тому і тільки тому випадки, якщо m <

Далі відшукуємо мінімальні елементи ЧУМА

, Зображуємо їх точками "третього ряду" і з'єднуємо точками "другого ряду" зазначеним вище способом. Продовжуємо процес до тих пір, поки не будуть вичерпані всі елементи даного ЧУМА S. Процес кінцевий чинності кінцівки безлічі S. Отриману сукупність точок і відрізків називають діаграмою ЧУМА S. При цьому a <в тоді і тільки тоді, коли від "точки" а можна перейти до "точки" в за деякою "висхідній" ламаною. У силу цієї обставини, будь-яке кінцеве чум можна ототожнити з його діаграмою.
Приклад 5.

Тут задано діаграмою чум S = {m , m ,

, ,

}, В якій m <

, M < , M <

m <

, M <

m <

, M <

.
Елемент m називається найменшим елементом чума, якщо для будь-якого x A завжди m ≤ x.
Зрозуміло, що найменший елемент є мінімальним, але зворотне не вірно: не всякий мінімальний елемент є найменшим. Найменший елемент (якщо такий є) тільки один. Аналогічно визначається найбільший елемент.
Приклад 6.

· · · ·
Це чум, елементи якого попарно можна порівнювати. Такі частково
впорядковані множини називаються антіцепямі.
Приклад 7.

0
Цей ланцюг з найменшим і найбільшим елементом. Де 0 - найменший елемент, а 1 - найбільший елемент.
Нехай М - підмножина часткового впорядкованої множини А. Елемент а A називають нижньою межею безлічі М, якщо а ≤ х для будь-якого x М.
Найбільша з усіх нижніх граней множини М, якщо вона існує, називається точною нижньою гранню безлічі М і позначають inf M.
Нехай <А, ≤> - довільний чум. Елемент з A називається точною нижньою гранню елементів a, в A, якщо з = inf {a, в}.
Зауваження 1.
Не у всякому чум для будь-яких двох елементів існує точна нижня грань.
Покажемо це на прикладі.
Приклад 8.

Для {a; c}, {d; e} немає нижньої межі,
inf {a; в} = d, inf {в; c} = e.
Приклад 9.

Наведемо приклад чум, у якого для будь-яких елементів існує точна нижня грань.
inf {a; в} = d, inf {a; d} = d, inf {a; 0} = 0, inf {a; c} = 0, inf {a; e} = 0,
inf {в; c} = e, inf {в; e} = e, inf {в; d} = d,
inf {c; e} = c, inf {c; 0} = 0, inf {c; d} = 0,
inf {d; e} = 0, inf {d; 0} = 0,
inf {e; 0} = 0.
Визначення: Частково впорядкована множина, в якому для будь-яких двох елементів існує точна нижня грань, називається полурешеткой.
Приклад 10.
Наведемо приклад чум, яка не є полурешеткой.
Нехай <N, ≤> - лінійно - впорядкована множина натуральних чисел і e , E N. На безлічі N = N { e

, E } Визначимо бінарне відношення ≤, полога що x ≤ y, якщо x, y

N, де x ≤ y, або якщо x

N, y

{ e

, E }. Також вважаємо за визначенням: e

≤ e

, E ≤ e .
Діаграма цього чум наступна:

SHAPE \ * MERGEFORMAT

Будь-яке натуральне число n ≤ e

і n ≤ e , Але в N немає найбільшого елемента, отже, N - Чум, але не полурешетка.
Отже, по самому визначенню, полурешетка є модель (як безліч зі ставленням ≤). Як ми зараз побачимо до поняття полурешеткі можливий і інший підхід, а саме, полурешетку можна визначити як деяку алгебру.
Для цього введемо деякі додаткові алгебраїчні поняття. Як відомо, напівгруп називається непорожня множина з заданої на ньому асоціативної бінарної алгебраїчної операцією.
Довільну напівгрупу зазвичай позначають S (semigroup).
Визначення. Елемент e

S називається ідемпотентом, якщо
e = E, тобто e · e = e.
Приклад 11.
Напівгрупа <N; ·> - володіє єдиним ідемпотентом 1.
Напівгрупа <Z; +> - володіє єдиним ідемпотентом 0.

Напівгрупа <N; +> - не має ідемпотента, тому що 0 N.
Для будь-якого непорожньої безлічі X, як завжди, через

позначається безліч всіх підмножин множини X - булеан множини X.
Напівгрупа <У

;

> - Така, що кожен її елемент ідемпотентен.

A У

, A = A A.
Напівгрупа називається Ідемпотентний напівгруп або зв'язкою, якщо кожен її елемент є Ідемпотентний. Таким чином, прикладами зв'язки є будь булеан щодо об'єднання.
Приклад 12.
Нехай X - довільна множина.
B

- Множина всіх підмножин множини Х.
B

- Називається булеаном на множині Х.
Якщо Х = {1,2,3}, то
B

= {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3}}.
Так як перетин двох підмножин множини Х знову є підмножиною в Х, то маємо группоід <У

;

>, Більше того, це напівгрупа і навіть зв'язка, так як А У

і А = А А = А.
Точно також, маємо зв'язку <; У

>.
Коммутативная зв'язка називається полурешеткой.
Приклад 13.
Нехай Х = {1,2,3}, побудуємо діаграму <У

;

{1, 2, 3}

SHAPE \ * MERGEFORMAT

{2, 3}

{3}

{2}

{1}

{1, 2}

{Ø}

{1, 3}

Наведемо приклади чум, але не полурешеткі.
Приклад 14.

Чум з двома нижніми гранями е і d , Які між собою не можна порівняти: е | | d. Отже, inf {a; з} не існує.

Приклад 15.

Чум з двома нижніми гранями с і d, які між собою непорівнянні: з | | d. Отже, inf {a; в} не існує.
Наведемо приклади полурешеток.
Приклад 16.
Діаграма:
а

Є полурешеткой, тому що для будь-яких двох елементів існує точна нижня грань, тобто
inf {a; в} = в, inf {a; з} = с, inf {a; d} = d,
inf {в; c} = d, inf {в; d} = d,
inf {c; d} = d.

Приклад 17.
Є полурешеткой, тому що для будь-яких двох елементів існує точна нижня грань, тобто
inf {a; в} = в, inf {a; з} = с, inf {в; c} = с.
Теорема 1.
Нехай <S ; ≤> - полурешетка. Тоді <S ;

> Коммутативная зв'язка, де

a в = inf {a, в} (*).
Доказ:
Потрібно довести, що в <S ;

> Виконуються наступні тотожності:
(1) x

y = y

x
(2) (x

z = x

z)
(3) x

x = x
1) Згідно рівності (*)
x

y = inf (x, y) = inf (y, x) = y

x
2) Позначимо а = (x

z, в = x

( y

z)
Доведемо, що а = в.
Для цього достатньо довести, що
а ≤ в (4)
в ≤ а (5) (в силу антисиметричність)
Позначимо
з = x

y , D = y

z
За змістом, а точна нижня грань між с і z
а ≤ с, а ≤ z, c ≤ x, отже, в силу транзитивності a ≤ x.
Аналогічно, а ≤ y, тобто а - загальна нижня межа для y і z. А d - їх точна нижня грань.
Отже, a ≤ d, але у = inf {x, d}.
З нерівності a ≤ x , a ≤ d випливає, що а - деяка загальна нижня межа для х і d, а в - їх точна нижня грань, отже,
а ≤ в

(4) доведено.
Аналогічно доводиться (5).
З (4) і (5), на увазі антисиметричність, укладаємо, що
а = в.
Цим ми довели асоціативність операції (

).
3) Маємо x

х = inf {x, x} = x.
Рівність виконується за рахунок рефлексивності: х ≤ х.
Т.ч. побудована алгебра <S ;

> Буде комутативною Ідемпотентний напівгруп, тобто комутативною зв'язкою.
Теорема 2.
Нехай <S ; ·> - Комутативне Ідемпотентний напівгрупа, тоді бінарне відношення ≤ на S, визначається рівність
≤ = {(a, в)

S × S | a · у = а},
є частковим порядком. При цьому чум <S ; ≤> є полурешеткой.
Доказ:
1) рефлексивність ≤.
За умовою <S ; ·> Задовольняє трьом тотожностям:
(1) х = Х
(2) х · y = y · x
(3) (x · y) · z = x · (y · z)
Тоді х · х = х = Х - в силу (1). Тому х ≤ х.
2) антисиметричність ≤.
Нехай х ≤ у та у ≤ х, тоді за визначенням,
(4) х · у = х
(5) у · х = у
звідси, завдяки комутативності, маємо х = у.
3) транзитивність ≤.
Нехай х ≤ у та у ≤ z тоді, за визначенням,
(6) х · у = х
(7) у · z = у
Маємо x · z = (x · y) · z

x · (y · z)

х · у х
Отже, x · z = x, тобто х ≤ z.
Таким чином, маємо чум <S ; ≤>. Залишається показати, що для будь-яких (а, в)

S існує inf {а, в}.
Беремо довільні а, в S і доведемо, що елемент з = а · в є inf {а, в}, тобто з = inf {а, в}.
У самому справі,
з · а = (а · в) · а

а · (а · в)

(А · а) · на а · в = с,
т.ч. з ≤ а.
Аналогічно, з · в = (а · в) · у

а · (в · в) а · в = с,
тобто з ≤ ст.
Отже, з - загальна нижня грань {а, в}.
Доведемо її точність.
Нехай d - деяка загальна нижня межа для а і в:
(8) d ≤ a
(9) d ≤ в
Тоді
(10) d · a = d
(11) d · в = d
Тому
d · c = d · (а · в)

(D · а) · на d · в d,
d · c = d, отже, d ≤ c.
Висновок: з = inf {a, в}.
Доведені теореми 1 і 2 дозволяють дивитися на полурешеткі з двох точок зору: як на чум, і як на алгебрі (Ідемпотентний комутативні напівгрупи).

2. Цілком впорядковані множини
Теорію впорядкованих множин створив Г. Кантор. У 1883 він ввів поняття цілком впорядкованої множини і порядкового числа, а в 1895 - поняття упорядкованої множини і порядкового типу. У 1906-07 С. О. Шатуновський сформулював визначення спрямованого безлічі (у Шатуновського - розташований комплекс) і межі по спрямованому безлічі (амер. математиками Е. Г. Муром і Г. Л. Смітом ці ж поняття були розглянуті, незалежно від Шатуновського, але значно пізніше - в 1922). Загальне поняття частково впорядкованої множини належить Ф. Хаусдорфа (1914).
Цілком впорядковані множини-Впорядковане безліч називається цілком упорядкованим, якщо кожне його підмножина має першим елементом (тобто елементом, за яким слідують всі інші). Всі кінцеві впорядковані множини впорядковані. Натуральний ряд, упорядкований за зростанням (а також деякими іншими способами), утворює цілком упорядкована множина. Важливість цілком упорядкованих множин визначається головним чином тим, що для них справедливий принцип трансфінітної індукції.
Впорядковані множини, що мають однаковий порядковий тип, володіють і однаковою потужністю, так що можна говорити про потужність даного порядкового типу. З ін боку, кінцеві впорядковані множини однакової потужності мають один і той самий порядковий тип, так що кожній кінцевій потужності відповідає певний кінцевий порядковий тип. Становище змінюється при переході до нескінченних безлічей. Два нескінченних упорядкованих безлічі можуть мати одну й ту ж потужність, але різні порядкові типи.

3. Часткові группоіди та їх властивості
Як відомо, бінарна алгебраїчна операція на множині S - це відображення із декартового квадрата S × S. У цьому випадку говорять, що задано дію на S. Ми його в цьому параграфі будемо називати повним дією.
Будь-яке відображення із підмножини S × S в S називається частковим дією на S. Іншими словами, часткове дію на S - це деяка функція із S × S → S.
Можна сказати, що на S задано часткове дію (часткове множення), якщо для будь-яких елементів а, в S твір а · в або не визначено, або певне однозначно. Простіше кажучи, тут не будь-які елементи перемножити.
Безліч S із заданим у ньому частковим множенням називається частковим группоідом і позначається (S; ·) на відміну від повного группоіда <S; ·>.
Якщо для повного группоіда можна говорити про таблицю Келі, то для часткового группоіда можна говорити про деяке аналогу таблиці Келі, а саме про таку таблиці, коли деякі клітини порожні - це в тому випадку, коли твір елементів невизначено.
Приклад 1.

•	a	в	з
а	a	в	з
в	─	в	─
з	в	а	─

а · в = в, але в · а не визначено, тобто в · а = Ø. Символ "Ø" не належить S, тобто не є елементом з S.

Приклад 2.
Розглянемо чум (S; ≤).

S = {a, в, c, d}, де а ≤ а, в ≤ в, з ≤ з, d ≤ d, з ≤ а, з ≤ в, d ≤ а, d ≤ в.
У довільному чумі (S; ≤) домовимося позначати:
а в = inf {a, в}.
Тоді вказане в прикладі чум щодо цього часткового дії

, Є частковим группоідом (S;

), Таблицею Келі якого є наступна

^	а	в	з	d
a	a	─	c	d
в	─	в	з	d
з	c	c	c	─
d	d	d	─	d

У цьому параграфі ми розглянемо три види асоціативності: сильна асоціативність, середня асоціативність, слабка асоціативність.
Визначення 1.
Частковий группоід (S; ·) називається слабко асоціативним, якщо
(

х, y, z S) (x · y) · z Ø

x · (y · z) → (x · y) · z = x · (y · z)

(*)
Визначення 2.
Частковий группоід (S; ·) називається середньо асоціативним, якщо
(

х, y, z S) (x · y) · z Ø

y · z → (x · y) · z = x · (y · z)

Визначення 3.
Частковий группоід (S; ·) називається сильно асоціативним, якщо
(

х, y, z S) [(x · y) · z Ø

x · (y · z)

Ø → (x · y) · z = x · (y · z)]

(*)
У сильно асоціативному частковому группоіде виконується властивості середньої і слабої асоціативності. Проте зворотне аж ніяк не обов'язково.
Приклад 3.
Дано А = {a, в, с}. Задамо на А часткове дію множення "частковою таблицею Келі".

•	a	в	з
а	─	─	─
в	з	─	─
з	─	в	з

Отримаємо деякий частковий группоід. Перевіримо чи буде группоід сильно асоціативним.
Нехай (x · y) · z Ø тому що х а, то або х = з

х = в
1) нехай х = с, тоді у = в у = с
а) нехай у = в, тоді z = a
(З · в) · а Ø з · (в · а) визначено
(З · в) · а = з · (в · а) рівність виконується
б) нехай у = с, тоді z = в

z = з
а ') якщо z = в, тоді
(З · с) · у Ø з · (з · в) визначено
(З · с) · в = з · (з · в) рівність виконується
б ') якщо z = с, тоді
(З · с) · з Ø з · (з · с) визначено
(З · с) · з = з · (з · с) рівність виконується
2) нехай х = в, тоді у = а, а z = в

z = c
а) якщо у = а і z = в
(В · а) · на Ø = в · (а · в) не визначено
(В · а) · на в · (а · в) рівність не виконується
б) нехай у = а і z = з
(В · а) · з Ø = в · (а · с) не визначено
(В · а) · з в · (а · с) рівність не виконується
Отже, за визначенням, частковий группоід не є сильно асоціативним. Але це ще не означає, що (S; ·) не є слабо асоціативним.
З'ясуємо це.
Нехай (X · y) · z Ø

x · (y · z)

Ø.
При х а, у а, а саме, коли
х = в х = з
у = в у = с
цей частковий группоід є слабо асоціативним.
Приклад 4.
Нехай А = {a, в, с}, можна задати на А наступну таблицю Келі. Отримаємо деякий частковий группоід. Перевіримо чи буде цей группоід середньо асоціативним.

•	a	в	з
а	з	а	─
в
з	а	а	─

Нехай (x · y) · z Ø тому що х в, тоді х = а

х = з
1) нехай х = а, тоді у = а у = в
а) нехай у = а, тоді z = a, z = в
а ') якщо z = а, тоді
(А · а) · а Ø а · a визначено
(А · а) · а а · (а · a) рівність не виконується
б ') якщо z = в, тоді
(А · а) · на Ø а · в визначено
(А · а) · на а · (а · в) рівність не виконується
Звідси, ми бачимо, що группоід не є середньо асоціативним. З'ясуємо чи є він слабо асоціативний.
Нехай (x · y) · z Ø

x · (y · z)

Ø, тому що х в, тоді х = а

х = з
1) нехай х = а, тоді у = а у = в
а) нехай у = а, тоді z = a, z = в
а ') якщо z = а, тоді
(А · а) · а Ø = а · (а · a) не визначено
(А · а) · а а · (а · a)
б ') якщо z = в, тоді
(А · а) · на Ø а · (а · в) визначено
(А · а) · в = а · (а · в) рівність виконується
б) нехай у = в, тоді z = a, z = в

а ') якщо z = а, тоді
(А · в) · а Ø = а · (в · a) не визначено
(А · в) · а а · (в · a)
б ') якщо z = в, тоді
(А · в) · у Ø а · (в · в) не визначено
(А · в) · у а · (в · в) рівність не виконується
2) нехай х = с, тоді у = а, в = в
а) нехай у = а, тоді z = a, z = в
а ') якщо z = а, тоді
(З · а) · а Ø = з · (а · a) не визначено
(З · а) · а з · (а · a) рівність не виконується
б ') якщо z = в, тоді
(З · а) · на Ø з · (а · в) визначено
(З · а) · в = з · (а · в) рівність виконується
Отже, ми бачимо що частковий группоід є слабо асоціативним при х = а і z = в або при х = с якщо у = а і z = в.
Визначення 4.
Частковий группоід (S; ·) називається комутативним, якщо
(

х, y S) x · y = Y · х

Визначення 5.
Частковий группоід (S; ·) називається катенарним, якщо
(

х, y, z S) (x · y Ø

y · z) → [(x · y) · z Ø

x · (y · z)]
Визначення 6.
Частковий группоід (S; ·) називається Ідемпотентний, якщо
(

х S) х = Х
Наведемо приклад некатенарного часткового группоіда.
Приклад 5.

^	а	в	з	d
a	a	─	c	d
в	─	в	з	d
з	c	c	c	─
d	d	d	─	d

Маємо з а = з Ø, а d = d Ø. Однак, (з а)

d = c d Ø. Отже, заданий ЧГ не є катенарним.
Ясно, що розуміємо під терміном "загальна верхня грань" елементів а і в деякого чум.
Визначення 7.
Чум називається категорійним, якщо будь-які два його елемента, що мають верхню межу, мають точну нижню грань.
Приклад 6.

Чум не є категорійним, тому що елементи з і d мають верхню межу, але не мають точну нижню грань.

Приклад 7.
Частково впорядкована множина, що задається таблицею Келі:

	а	в	з	d	e	f	g	h	k	s
a	a	в	c	d	h	g	g	h		
в	в	в	d	d	0	g	g	0		
c	c	d	c	d	h	0	0	h		
d	d	d	d	d	0	0	0	0		
e	h	0	h	0	e	0	0	h		
f	g	0	0	0	0	f	g	0		
g	G	g	0	0	0	g	g	0		
h	h	0	h	0	h	0	0	h		
k									k	s
s									s	s

SHAPE \ * MERGEFORMAT

є категорійним, так як будь-які два його елемента, що мають верхню межу, мають точну нижню грань.
Приклад 8.
Частково впорядкована множина

SHAPE \ * MERGEFORMAT

має наступну таблицю Келі:

•	а	в	з	d	f
а	а	з	з	-	-
в	з	в	з	-	-
з	з	з	з	-	-
d	-	-	-	d	f
f	-	-	-	f	f

є категорійним, так як будь-які два його елемента, що мають верхню межу, мають точну нижню грань.
Зрозуміло, що будь-яка полурешетка - це категорійні чум (але не на оборот), тому що будь-які два елементи мають точну нижню грань. Іншими словами, клас всіх категорійних чум містить клас всіх полурешеток, але з ним не збігається. Т.ч. будь-яку пропозицію, доведене для категорійних чум тягне в якості очевидного слідства деяку теорему щодо полурешеток.
Наведемо приклади полурешеток.

Приклад 9.
Діаграма:

називається діамантом, і визначається полурешеткой, має таку таблицю Келі:

^	а	в	з	d
a	a	в	c	d
в	в	в	d	d
з	c	d	c	d
d	d	d	d	d

Приклад 10.

Діаграма:

називається Пентагоном, і визначається полурешеткой, має таку таблицю Келі:

•	а	в	з	е
а	а	0	0	а
в	0	в	з	в
з	0	з	з	з
е	а	в	з	е
0	0	0	0	0

Приклад 11.
Полурешетка, що задається таблицею Келі:

•	а	в	з	е
а	а	0	0	а
в	0	в	0	в
з	0	0	з	з
е	а	в	з	е
0	0	0	0	0

має діаграму:

•

Теорема 1.
Нехай (S; ≤) - категорійного чум, тоді (S;

) - Катенарний Ідемпотентний комутативними слабо асоціативний частковий группоід.
Доказ:
Для будь-якого а S завжди
а а = inf {a, a} = a тому частковий группоід S ідемпотентен.
Маємо а в = inf {a, в} = inf {в, a} = в а, а тому S коммутатівен.
Перевіримо слабку асоціативність.
Нехай (а в) з Ø а (У з), позначимо
а в = d, в з = e, (а в) з = d з = f, а (У с) = а е = g
Доведемо, що f = g.
За визначенням маємо f ≤ d ≤ a f ≤ a,
f ≤ d ≤ в f ≤ в (1)
            f ≤ c (2)
Оскільки е = inf {в, с}, то з (1), (2) випливає, що f ≤ e. Т.ч. f - деяка загальна нижня межа для а та е, а g - Їх точна нижня грань, тому
f ≤ g                         (3)
Аналогічно,
g ≤ f                      (4)
Нерівність (3), (4) і антисиметричність відносини ≤ забезпечують f = g. Слабка асоціативність доведена.
Перевіримо катенарность S.
Нехай а в Ø в с, позначимо а в = х, у з = y, звідси х ≤ в, біля ≤ в, тобто
в - загальна верхня межа х та у. Оскільки Чум S категорійно, то існує inf {х, у}, тобто існує в S х у. Позначимо х у = z, покажемо, що
а (У с) = х з = z. Маємо z ≤ x, z ≤ y (Тому z = inf {х, у}), y ≤ z z ≤ x, z ≤ c,
z - Нижня межа для х і с.
Забезпечимо точність.
Нехай t ≤ x , T ≤ c (T - будь - яка нижня грань), тому що t ≤ x , То t ≤ a, t ≤ в, за умовою t ≤ с, тобто t - загальна нижня межа для в і с. Звідси випливає за визначенням у, t ≤ y.
Отже, t ≤ x, t ≤ у отже t ≤ z (За визначенням z).
Катенарность доведена.
Теорема 2.
Якщо (S; ·) - катенарний Ідемпотентний комутативними слабо асоціативний частковий группоід, то ставлення
≤ = {(а, в)

S × S | ав = а

} (2)
Є відношенням порядку. При цьому чум <S; ≤> - є катенарним.
Доказ:
Доведемо рефлексивність відносини ≤. Оскільки частковий группоід S ідемпотентен, то a · a = a звідси, за визначенням (2) а ≤ а.
Перевіримо антисиметричність.
Якщо а ≤ в, у ≤ а, то а · в = а, в · а = в, ліві частини рівні на увазі комутативності, значить рівні і праві, отже а = в.
Залишилося довести транзитивність.
Нехай а ≤ в, у ≤ с, тоді а · в = а, в · з = в, а · з = (а · в) · с. У силу катенарності маємо (а · в) · з Ø, а · (в · с)

Ø, звідси в силу слабої асоціативності
(А · в) · з = а · (в · с), а тому, а · з = а · (в · с) = а · у = а.
Отже, а · з = а, тобто а ≤ с.
Т.ч. маємо чум <S; ≤>.
Перевіримо категоричність чум.
Нехай z - загальна верхня межа для х та у. Отже, x ≤ z, y ≤ z, звідси х · z = x, y · z = y, тоді z · y = y. У силу катенарності (x · y) · z Ø

x · y

Ø.
Позначимо х · у = s, доведемо, що s точна нижня грань.
Маємо s · x = (x · y) · x = x · (x · y) = (x · x) · y = x · y = s (На увазі катенарності і слабої асоціативності), отже, s ≤ x, тобто s - загальна нижня грань.
З цих теорем випливають відомі в теорії полурешеток два наслідки.
Наслідок 1.
Якщо <S; ·> - Ідемпотентний Коммутативная напівгрупа, то ставлення ≤, певне рівністю (2), є частковим порядком. При цьому для будь-яких двох елементів в S існує точна нижня грань.
Наслідок 2.
Якщо <S; ·> - частково впорядкована множина, в якому будь-яких двох елементів існує точна нижня грань, то щодо операції
а в = inf {a, в} (3)
множина S є Ідемпотентний комутативною напівгруп.

ВИСНОВОК
У висновку можна відзначити, що теорію впорядкованих множин створив Г. Кантор. У 1883 він ввів поняття цілком впорядкованої множини і порядкового числа, а в 1895 - поняття упорядкованої множини і порядкового типу. У 1906-07 С. О. Шатуновський сформулював визначення спрямованого безлічі (у Шатуновського - розташований комплекс) і межі по спрямованому безлічі (амер. математиками Е. Г. Муром і Г. Л. Смітом ці ж поняття були розглянуті, незалежно від Шатуновського, але значно пізніше - в 1922). Загальне поняття частково впорядкованої множини належить Ф. Хаусдорфа (1914).
Таким чином, теорія часткових алгебраїчних дій, будучи продовженням теорії повних дій, користуючись її досягненнями, пов'язана з нею ідеями та досвідом додатків за межами алгебри, все ж повинна оформитися як самостійний напрям в обширній області сучасної алгебри.
До теперішнього часу опубліковано сотні праць, спеціально присвячених вивченню часткових дій. Що стосується робіт, в яких ті чи інші часткові дії зустрічаються по ходу дослідження, то число їх не піддається оцінці. Про часткові діях говориться і в деяких загальних алгебраїчних працях, але завжди дуже коротко.

Список літератури
1. А.К. Кліфорд, Г. Престон. Алгебраїчна теорія напівгруп. 1972.
2. Грейцер. Загальна теорія решеток.Москва.-284с.
3. Кожевников О.Б. Частково впорядковані множини часткових группоідов.Москва, 1998. - 680с.
4. Є.С. Ляпін. Напівгрупи. Москва: фізмат, 1960 .- 354с.
5. Ляпін Є.С. Алгебра і теорія чисел. Москва, 1980.-589с.