Міністерство освіти Російської Федерації

Тульський державний університет

Кафедра Радіоелектроніки

АНАЛІЗ ПРОХОДЖЕННЯ ПЕРІОДІЧЕСКОГОСІГНАЛА ЧЕРЕЗ LC-ФІЛЬТР З ВТРАТАМИ

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

до курсової роботи з основ теорії кіл

Тула

2004

Анотація
У цій роботі за допомогою інтегрованого середовища Mathcad виконаний розрахунок: А-параметрів фільтра як чотириполюсника, номінальних величин елементів схеми, коефіцієнта передачі чотириполюсника за напругою, вхідного і вихідного опорів фільтра, вхідної та вихідної напруги П-образного реактивного фільтру високих частот після підключення його до ЕРС у вигляді послідовності імпульсів.
Курсова робота складається з текстової та графічної частин.
Графічна частина роботи містить графіки АЧХ коефіцієнта передачі, АЧХ вхідного і вихідного опорів, форму вхідної і вихідної напруги, виконаних на форматі А1.

Зміст:
1. Введення
2. Аналіз заданої ЕРС
2.1. Розкладання функції в ряд Фур'є
2.2 Пошук ширини спектру ЕРС
3. Розрахунок номінальних величин елементів
4. Розрахунок А-параметрів схеми ФВЧ
5. Коефіцієнт передачі
6. Граничні частоти
7. Вхідний і вихідний опору фільтру
8. Розрахунок форми вхідної і вихідної напруги
9. Зміна параметрів схеми
10. Висновок
11. Список літератури

1.Вступ
Відбулася науково-технічна революція зачепила всі види діяльності людини навіть такі як медицина, наука, сільське господарство, а також промисловість. З появою комп'ютерів з'явилася необхідність кадрової перепідготовки. Фахівці у всіх областях знань стали освоювати роботу на персональному комп'ютері.
Робота на ЕОМ має багато переваг. Саме основне і головна перевага-швидкодію і точність. Людині більше не потрібно проводити різні обчислення вручну. Йому потрібно було тільки запрограмувати комп'ютер, а той за мінімальний час всі розрахує. Це дозволяло при мінімальних витратах часу економити безліч праці та здоров'я. При появі персональних ЕОМ процес використання новітніх знань і технологій набагато покращився. За допомогою спеціальних програм інженери могли теоретично (без практичних досліджень і дослідів) проаналізувати і розрахувати усі необхідні для них процеси і явища, що відбуваються в різних сферах нашої діяльності.
Комп'ютеризація торкнулася і інженерну сферу діяльності. На заводах і підприємствах стали запроваджувати автоматичні системи, які стали виконувати роботу людину без його безпосередньої участі. Це нововведення заощадило багато часу і сил. Але, щоб ці системи нормально функціонували, потрібно було їх правильно запрограмувати і задавати їм точні дані. Ось чому інженери вивчають різні комп'ютерні програми, такі як Autoсad, Mathсad, Exel, Electronic WorkBench, КОМПАС та багато інших.

2. Аналіз заданої ЕРС.

Завдання аналізу ЕРС включає в себе наступні пункти:
1) Розкладання гармонійної функції в ряд Фур'є
2) Пошук ширини спектру ЕРС
1.1) Будь-яку функцію , Що задовольняє умовам Діріхле, можна представити у вигляді ряду Фур'є:
, (1)
де
(2)
- Середнє значення функції за період або постійна складова, яка називається іноді нульової гармонікою спектру.
(3а)
і
(3б)
- Амплітуди косінусоідальное і синусоїдальних складових ряду відповідно.
- Амплітуда k-ої гармоніки спектра. (4)
- Початкова фаза k-ої гармоніки. (5)
- Періодична функція, яка задовольняє умовам Діріхле.
- Кутова частота (рад / с). (6)
F - циклічна (Гц) частота першої гармоніки спектра або основна частота.
Т - період повторення функції .
- Будь-який довільно обраний момент часу умовно прийнятий за нульовий.
Безпосередній аналіз ерс по рис.3-10 показує, що вона має три ділянки: 1) Пряма, рівна E, що лежить у відрізку часу від 0 до , 2) Пряма, рівна-E1, що лежить у відрізку часу від до ; 3) Пряма, рівна Е, що лежить у відрізку часу від до Т. Тому рівняння ерс може бути записано у вигляді
,
де (7)
Для даної ерс (7) за формулами (2), (3а), (3б) маємо інтегральні вирази:
, (8)
, (9)
(10)
- Де
Візьмемо інтеграли використовуючи інтегровану середу Mathcad (далі просто Mathcad). Після підстановки меж інтегрування і алгебраїчних перетворень отримуємо вирази
,
,
,
-6.2832
Підставивши конкретні значення у формули (1), (4) отримаємо:



Так як функція парна отримаємо



Рис.1 Графік e (t)
1.2) Теоретично спектр періодичної функції нескінченний. Однак на практиці під шириною спектру розуміють діапазон частот , В межах якого сумарна потужність гармонік становить 90% або більше від повної середньої потужності сигналу за період.
Середню за період потужність сигналу можна знайти за формулою:
, (11)
- Де - Напруга або струм.
При використанні ряду Фур'є середню за період потужність сигналу, яку переносять постійної складової і першими n гармоніками, можна знайти за формулою
(12)
по заданому відношенню за допомогою формул (11) і (12) можна знайти номер максимальної гармоніки і розрахувати ширину спектру як або .
За допомогою Mathcad розрахуємо за формулою (11) повну потужність ерс:

Обчислюючи послідовно за формулою (10) амплітуди гармонік і внесок кожної з них у загальну потужність, можна знайти ширину спектру сигналу.

Номер гармоніки	Амплітуда гармоніки	Потужність гармоніки	Сумарна потужність
0	0.7600E	0.5776	0.5776	0.4272
1	0.8233E	0.3389	0.9165	0.6779
2	0.6661E	0.2218	1.1384	0.8420
3	0.4442E	0.0986	1.2371	0.9150

Таким чином, постійна складова та перша гармоніка переносять більше 90% повної потужності сигналу. Тому n = 1 і ширину спектру сигналу потрібно прийняти рівною
nF = 1 * 1,0 = 1 кГц.

3. Розрахунок номінальних величин елементів

У завданні дана схема П-образного ФВЧ. У даного фільтра в крайніх вертикальних гілках включені індуктивності L2, а в горизонтальній гілки ємність С _1. Тому ємність конденсатора СК1 дорівнює С1, а індуктивності котушок Lк2 = 2L2.
Тепер за даними табл. 4.1 необхідно розрахувати частоту зрізу і за формулами , значення індуктивності і ємностей для . Після підстановки і розрахунків за допомогою Mathcad отримуємо , . Далі вибираємо величину ємності зі стандартного ряду номінальних величин . Звідси маємо значення реальних (конструктивних) елементів , .
Тепер слід уточнити частоту зрізу:
,
і характеристичний опір .
На частоті зрізу паразитні опору втрат становлять:
в послідовній схемі заміщення конденсатора
і

у котушки індуктивності.
Схема заміщення прийме наступний вигляд:

Рис.2 Схема заміщення

4. Розрахунок А-параметрів схеми ФВЧ.
Використовуючи літературу [1], знайдемо рівняння А-параметрів для симетричного П-образного чотириполюсника.
, ,
, ,
- Де ,
Після підстановки числових значень відомих величин і розрахунків в Mathcad отримуємо остаточні вираження А-параметрів в алгебраїчній формі:



Обчислюємо значення А-параметрів на частотах зрізу:
1) :


2) :

5. Коефіцієнт передачі

Залежність коефіцієнта передача К від частоти має вигляд:
, Де

Номінальна величина коефіцієнта передачі ФВЧ при дорівнює 1. Таким чином нормоване значення До збігається з абсолютним.
Побудуємо АЧХ коефіцієнта передачі на інтервалі



Рис.3 АЧХ коефіцієнта передачі
Таблиця АЧХ коефіцієнта передачі К:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
| K |	0.04789	0.1712	0.4064	0.7925	1.255	1.491	1.476	1.396	1.317	1.256	1.210

Побудуємо ФЧХ коефіцієнта передачі на інтервалі

Рис.4 ФЧХ коефіцієнта передачі

Таблиця ФХЧ коефіцієнта передачі К:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
	2.970	2.814	2.597	2.269	1.799	1.313	0.9651	0.7527	0.6112	0.5153	0.4464

6. Граничні частоти.

Для знаходження граничних частот на заданому рівні загасання (3 і 40 дБ) скористаємося формулою:
;
Вирішуючи це рівняння з допомогою Mathcad і підставляючи значення В ₁ = 3 дБ і В ₂ = 40 дБ методом отримаємо:

7. Вхідний і вихідний опору фільтру

Вхідний опір чотириполюсника є ставлення вхідної напруги до вхідного току, або

Отже, АЧХ вхідного опору має вигляд:


Рис.5 АЧХ вхідного опору.
Таблиця АЧХ вхідного опору:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
	1434	3015	6278	12130	5546	3937	3815	4057	4399	4752	5091

ФЧХ вхідного опору має вигляд:
Рис.6 ФЧХ вхідного опору

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
	1.560	1.547	1.431	0.4552	0.0753	0.1499	0.3632	0.4831	0.5476	0.5780	0.5891

Таблиця ФЧХ вхідного опору:
Внаслідок того, що даний в умові чотириполюсник (ФВЧ) симетричний функція вихідного опору буде наступною:

- Де .
Отже АЧХ вихідного опору має вигляд:

Рис.7 АЧХ вихідного опору.
Таблиця АЧХ вихідного опору:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
	1431	2930	5305	10450	33780	29980	12650	8330	6279	5100	4328

ФЧХ вихідного опору буде мати наступну залежність від частоти:

Рис.8 ФЧХ вихідного опору.
Таблиця ФЧХ вихідного опору:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
	1.559	1.553	1.553	1.471	1.119	-1.029	-1.285	-1.335	-1.351	-1.355	-1.352

8.Расчет форми вхідної і вихідної напруги.

Для розрахунку вхідного напруження треба знайти його спектр на вхідному опорі схеми:

- Спектр вхідний ерс (перші 3 гармоніки)

Ріс.8Спеткр вхідний ЕРС.
, Де .
Виконавши розрахунки в Mathcad отримаємо спектр вихідної напруги:

- Де

Побудуємо графік форми вхідної напруги:

Рис.9 Форма вхідного Напруження
Для пошуку форми напруги на виході схеми потрібно знайти його спектр на опорі навантаження. А щоб отримати цей спектр, треба знайти коефіцієнт передачі схеми від точок підключення ідеальної ЕРС до точок приєднання навантаження Z _н:

Для отримання треба знайти параметри складного чотириполюсника, утвореного каскадним з'єднанням R _г і ФВЧ.

Знаходимо коефіцієнт передачі :

- Де
Таким чином, знаючи спектр вхідний ЕРС (f (t)) і представляючи коефіцієнт передачі K _E в комплексній формі, можна знайти спектр напруги на виході:

Рис.10 Форма вихідної напруги

9. Зміна параметрів схеми

У даному варіанті потрібно розглянути зміну характеристик схеми при зміні величини опору навантаження.
Згідно з приміткою до таблиці додатка 1велічіни елементів фільтра та його характеристичний опір залишаться колишніми. З вище наведених формул випливає, що зміняться коефіцієнт передачі, вхідна напруга, форми вхідної і вихідної напруги, тому ці характеристики слід розрахувати повторно.

9.1. Коефіцієнт передачі

Залежність коефіцієнта передача К від частоти має вигляд:
, Де

Номінальна величина коефіцієнта передачі ФВЧ при дорівнює 1. Таким чином нормоване значення До збігається з абсолютним.
Побудуємо АЧХ коефіцієнта передачі на інтервалі

Рис.11 АЧХ коефіцієнта передачі

Таблиця АЧХ коефіцієнта передачі К:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
| K |	0.0436	0.1284	0.2317	0.3349	0.4302	0.5129	0.5830	0.6398	0.6888	0.7296	0.7636

Побудуємо ФЧХ коефіцієнта передачі на інтервалі

Рис.12 ФЧХ коефіцієнта передачі

Таблиця ФЧХ коефіцієнта передачі К:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
	2.683	2.357	2.077	1.843	1.645	1.480	1.341	1.226	1.125	1.038	0.9619

9.2. Граничні частоти.

Для знаходження граничних частот на заданому рівні пропускання (3 і 40 дБ) скористаємося формулою:
;
Вирішуючи це рівняння з допомогою Mathcad і підставляючи значення В ₁ = 3 дБ і В ₂ = 40 дБ методом отримаємо:

9.3. Вхідний опір фільтра

Вхідний опір чотириполюсника є ставлення вхідної напруги
до вхідного току, або

Отже, АЧХ вхідного опору має вигляд:

Рис.13 АЧХ вхідного опору.
Таблиця АЧХ вхідного опору:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
| Zвх |	1434	2975	5555	10610	14620	10780	7925	6447	5548	4974	4581

ФЧХ вхідного опору має вигляд:

Рис.14 ФЧХ вхідного опору.
Таблиця ФЧХ вхідного опору:

	3770	6851	9933	13000	16100	19200	22300	25300	28400	31500	34600
Arg (| Zвх |)	1.559	1.541	1.452	1.127	0.333	0.2221	0.4038	0.4583	0.4699	0.4630	0.4482

9.4.Расчет форми вхідної і вихідної напруги.

Для розрахунку вхідного напруження треба знайти його спектр на вхідному опорі схеми:

- Спектр вхідний ерс (перші 2 гармоніки)
, Де .
Виконавши розрахунки в Mathcad отримаємо спектр вихідної напруги:

- Де

Побудуємо графік форми вхідної напруги:

Рис.15. Форма вхідного сигналу
Для пошуку форми напруги на виході схеми потрібно знайти його спектр на опорі навантаження. А щоб отримати цей спектр, треба знайти коефіцієнт передачі схеми від точок підключення ідеальної ЕРС до точок приєднання навантаження Z _н:

Для отримання треба знайти параметри складного чотириполюсника, утвореного каскадним з'єднанням R _г і ФВЧ.

Знаходимо коефіцієнт передачі :

- Де
Таким чином, знаючи спектр вхідний ЕРС (f (t)) і представляючи коефіцієнт передачі K _E в комплексній формі, можна знайти спектр напруги на виході:



Висновок.
Таким чином у даній курсовій роботі з допомогою інтегрованого середовища Mathcad був виконаний розрахунок: А-параметрів фільтра як чотириполюсника, номінальних величин елементів схеми, коефіцієнта передачі чотириполюсника за напругою, вхідного і вихідного опорів фільтра, вхідної та вихідної напруги П-образного фільтру високих частот після підключення його до ЕРС у вигляді послідовності імпульсів.
З розрахунків і графіків видно що при :
1. АЧХ коефіцієнта передачі в інтервалі зростає від 0 до 0.711, далі з зростанням частоти АЧХ приймає значення . АЧХ коефіцієнта передачі показує, що в реальних умовах роботи фільтру при постійному опорі навантаження спостерігається пригнічення сигналів і в смузі пропускання, а їх придушення в смузі затримування менше, ніж було б при узгодженому навантаженні ( ).
2. АЧХ вхідного опору в інтервалі зростає від 1528 Ом до 14680 Ом, далі з зростанням частоти АЧХ вхідного опору зменшується до 4680 Ом.
3. АЧХ вихідного опору в інтервалі зростає від 0,0014 Ом до 68900 Ом, далі з зростанням частоти АЧХ вихідного опору зменшується до 460 Ом.
4. Форма вхідного і вихідного сигналу розрізняються. Різниця має місце через загасання гармонік які мають частоти збігаються зі смугою затримування.
При зміні опору навантаження :
1. Форма АЧХ і ФЧХ коефіцієнта передачі не змінюються, тільки лише змінюються їхні чисельні значення.
2. З формою і чисельними значеннями АЧХ вхідного опору повторюється та ж ситуація, як і з АЧХ коефіцієнта передачі.

11. Список літератури.

1 Основи теорії кіл: Підручник для вузів / Г.В. Зевеке, П.А. Іонкіна, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. - 5-е вид., Перераб. - М.: Вища школа, 1989. - 528 с.: Іл.
2 Атабеков Г. І. Теоретичні основи електротехніки. ч. 1. Лінійні електричні кола. - Вид. 3-є, перероб. і доп. - М.-Л., Енергія, 1966. - 320 с.: Іл.
3 Гоноровський І.С. Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Підручник для радіотехніч. вузів і фак-тів. - М.: Сов. радіо, 1963. - 696 с.: Іл.
4 Кудрявцев Є.М. Mathcad 8. М.: ДМК, 2000. - 320 с.: Іл.
5 ГОСТ 2.004-88 ЕСКД. Загальні вимоги до виконання конструкторських і технологічних документів на друкуючих і графічних пристроях виводу ЕОМ
6 ГОСТ 2.104-68 ЕСКД. Основні написи
7 ГОСТ 2.105-95 ЕСКД. Загальні вимоги до текстових документів

Міністерство освіти і науки Російської Федерації
ГОУ ВПО Тульський державний університет

КАФЕДРА РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

основи теорії кіл

ЗАВДАННЯ НА КУРСОВУ РОБОТУ

Студенту гр. 220321 _Авдееву Д. Д__
1. Тема "Проходження періодичного сигналу через реактивний фільтр з втратами"
2. Термін подання курсової роботи до захисту 20 травня 2004
3. Вихідні дані для проектування:
3.1. Знайдіть свій варіант завдання на КР, номер якого повинен збігатися з двома останніми цифрами номера вашої залікової книжки.
3.2. Отримайте формули для розрахунку: 1) А-параметрів фільтра як чотириполюсника, 2) коефіцієнта передачі чотириполюсника за напругою, 3) вхідного і вихідного опорів фільтра, 4) вхідної і вихідної напруги.
3.3. Розрахуйте, використовуючи інтегроване середовище для розв'язування математичних завдань Mathcad або MATLAB: 1) ширину спектру сигналу, 2) номінальні величини елементів схеми, 3) номінальну величину коефіцієнта передачі чотириполюсника, 4) фазочастотную характеристику (ФЧХ) і нормовану щодо номінальної величини коефіцієнта передачі АЧХ фільтру , 5) граничні частоти смуги пропускання на рівнях загасання 3 та 40 дБ, 6) залежності модуля (АЧХ) і фази (ФЧХ) вхідного опору фільтру від частоти, 7) залежності модуля (АЧХ) і фази (ФЧХ) вихідного опору фільтру від частоти , 8) форму вхідної напруги, 9) форму вихідної напруги фільтра, 10) змінивши параметри схеми згідно з даними таблиці "б) параметри ерс", повторіть обчислення за тим із пунктів 2 год 9, яких торкнулися ці зміни, 11) зробіть висновки про вплив змінених параметрів на характеристики фільтра.
Результати розрахунку по пунктах 4, 6, 7, 8 і 9 виведіть як у графічній, так і в табличній формах.
4. Форма звітності: 1) пояснювальна записка, 2) графічна частина.
5. Зміст пояснювальної записки до курсової роботи: титульний лист - 1 стор, завдання на курсову роботу - 1 стор, анотація (з основним написом за формою 2) - 1 стор, зміст (з основним написом за формою 2а) - 1 стор , введення (з основним написом за формою 2а) - 1ч2 стор, аналіз завдання, огляд літературних джерел - 2ч4 стор, розробка математичних питань завдання - 15ч20 стор, закінчення - 1ч2 стор, список використаної літератури - 1 стор
6. Графічна частина: схема принципова електрична, графіки вхідний і вихідний функцій, АЧХ - 1 аркуш формату А1.
Керівник курсової роботи Л.А. Туманова
Завдання прийняв до виконання.
Студент гр. 2203321 __________________ ()
(Підпис, дата)