Проходження випадкового сигналу через дискретну і нелінійну системи

Предмет:
Статистична динаміка систем автоматичного управління
тема:
Проходження випадкового сигналу через дискретну і нелінійну систему. Проходження випадкового сигналу через дискретну систему

Розглянемо дискретну систему, схема якої представлена ​​на рис.1.

T

K (p)

T

xy
Rxx (t) Ryy [nT]
Sxx (w) S * yy (w)
Рис. 1
Кореляційна функція виходу дорівнює
(1)
де (2N +1) - число відліків. Визначимо співвідношення для спектральних густин вхідного і вихідного сигналу. Виконаємо дискретне перетворення Фур'є

З урахуванням


отримаємо вирази для спектральних густин
(2)
Кореляційні функції рівні:
(3)

Статистичні характеристики сигналів у дискретних системах

Для дискретних систем можна використовувати методи статистичної динаміки, розроблені для безперервних систем з урахуванням деяких особливостей.
Основний тимчасовою характеристикою безперервної системи при випадкових впливах є кореляційна функція
(4)
Для дискретних систем вона представляє гратчасту функцію
(5)
Середнє квадратичне відхилення або дисперсія

(8.6)
Перетворення Фур'є для безперервних і дискретних систем
(7)

Приклади рішень завдань

Приклад 1. Для заданої спектральної щільності безперервного сигналу визначити дискретну спектральну щільність
. Визначити .
Рішення:
1. Для заданої спектральної щільності визначимо кореляційну функцію

2. Визначимо дискретну кореляційну функцію


3. Визначимо дискретну спектральну щільність

4. Визначимо дискретну спектральну щільність у формі z - перетворення, виконавши підстановку z = e ^pT.

Перевірка: Визначимо дискретну кореляційну функцію

Спектральна щільність дорівнює


Так як кореляційна функція є парною то

Приклад 2. Визначити дискретну спектральну щільність і кореляційну функцію вихідного сигналу для заданої системи (рис.3), якщо спектральна щільність вхідного сигналу має вигляд

T

1 p + a

T

xy
Rxx (t) Ryy [nT]
Sxx (w) S * yy (w)


Рис. 3
Рішення:
Для заданої

передатна функція дискретної системи дорівнює

Визначимо дискретну спектральну щільність і кореляційну функцію виходу

Аналогічно визначимо дискретну кореляційну функцію виходу для лівої гілки

Так як кореляційна функція є парною, то

Приклад 3. Визначити дискретну спектральну щільність і кореляційну функцію вихідного сигналу для заданої системи (рис.4), якщо кореляційна функція вхідного сигналу має вигляд

T

1 p + a

T

xy


Rxx (t) Ryy [nT]
Sxx (w) S * yy (w)
Рис. 4
Рішення: Визначимо дискретну передавальну функцію

Для заданої кореляційної функції вхідного сигналу дискретна спектральна щільність дорівнює:

Визначимо дискретну спектральну щільність і кореляційну функцію виходу


Так як кореляційна функція є парною то

Приклад 4. Визначити дискретну спектральну щільність для заданої системи (мал. 5), якщо кореляційна функція вхідного сигналу має вигляд

T

1 p

T

xuy
_
Rxx (t) Ryy [nT]
Sxx (w) S * yy (w)
Рис.5
Рішення: Спектральна щільність дорівнює


Приклад 5. Для заданої системи (Рис.6) визначити , Якщо а алгоритм функціонування цифрової частини описується рівнянням:

АЦП

ЦА

ЦАП

10 p +1

xy
-
Рис.6
Рішення: Відповідно до алгоритму функціонування цифрової частини запишемо його передавальну функцію

Вихідну сему можна представити у вигляді (рис.7)

T, e

10 p +1

1-e-pT p

T

T

x

yX

y *

Рис.7
Визначимо передавальну функцію розімкнутої системи


Визначимо передавальну функцію замкненої системи

Спектральної щільності безперервного сигналу

відповідає дискретна спектральна щільність (див. приклад 1)


Спектральна щільність вихідного сигналу дорівнює:

Проходження випадкового сигналу через нелінійну систему

У статистичної динаміці лінійних систем використовуються методи усереднення за часом (кореляційні функції та спектральні щільності), у статистичній динаміці нелінійних систем використовують методи усереднення по безлічі (закони розподілу).

z (t) f (z)

x (t) f (x)

j (x)

Розглянемо нелінійне безінерційні ланка із заданою характеристикою z = j (x), на вхід якого подається випадковий сигнал x (t) із заданим законом розподілу f (x) (рис.8)
Визначити закон розподілу f (z).
Припустимо, характеристика нелінійного елемента є монотонною, а щільність ймовірності з нормальним розподілом (мал. 9, б).


а) б)
Рис.9
Кожному значенню x відповідає певне значення z. Розглянемо деяку область] x _1, x ₁ + dx [
P (x ₁ <X <x ₁ + dx) = f (x) dx;
P (z ₁ <Z <z ₁ + dz) = f (z) dz.
З умови рівності ймовірностей приналежності сигналу на вході області x ₁ <X <x ₁ + dx і сигналу на виході області z ₁ <Z <z ₁ + dz можна визначити f (z)
f (x) dx = f (z) dz; f (z) = f (x) dx / dz.

Рис.10

Приклад 9.1. На вхід нелінійного ланки із заданою характеристикою надходить випадковий сигнал з симетричним нормальним розподілом (рис. 10). Визначити щільність розподілу сигналу на виході ланки. Нормальне центрированное (симетричне) розподіл має вигляд

Щільність розподілу сигналу на виході ланки можна визначити з співвідношення

При зміні вхідної величини - ¥ <x <¥, вихідна величина змінюється в межах 0 <z <¥, тобто кожному значенню x відповідає два значення z, тому можна записати

Якщо , То при цьому можна записати вираз для щільності розподілу на виході нелінійного ланки

Література

1. Імовірнісні методи в обчислювальній техніці. Під ред.А.Н. Лебедєва і Є.А. Чернявського - М.: Вищ. Шк., 1986. - 312 с.
2. Гальперін М.В. Автоматичне управління Вид-во: ИНФРА-М, ВИДАВНИЧИЙ ДІМ, 2004с. - 224с.
3. Довідник з теорії автоматичного управління. / Під ред.А. А. Красовського - М.: Наука, 1987. - 712 с.
4. Теорія автоматичного керування: Підручник для вузів. Ч1/Под ред.А. А. Воронова - М.: Вищ. Шк., 1986. - 367 с.