Функціональна залежність між числовими величинами і особливості її вивчення в курсі загальноосвітньої школи

Ім'я файлу: дипломна-робота.doc
Розширення: doc
Розмір: 176кб.
Дата: 10.11.2022
скачати
Пов'язані файли:
142512-98533.docx
Волощук-магістр.docx
Курсовий проект.doc

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

УЖГОРОДСЬКИЙ національний університет

факультет математики та цифрових технологій

кафедра теорії ймовірності та математичного аналізу

ВОЛОЩУК АНГЕЛІНА АНАТОЛІЇВНА

ТЕМА : Функціональна залежність між числовими величинами і особливості її вивчення в курсі загальноосвітньої школи

014.04 середня освіта (математика)
Дипломна робота на здобуття освітнього ступеня магістра

Науковий керівник:

Боярищева Тетяна Валеріївна

Доцент, кандидат

фізико-математичних наук

Ужгород – 2022
Зміст
ВСТУП…………………………………………………………………….2

РОЗДІЛ 1.ФОРМУВАННЯ ПОНЯТТЯФУНКЦІЇ………………………..…6

1.1. Історія формування та розвитку поняття функції………….…6

1.2. Сучасні підходи до вивчення поняття функції………………9

ГЛАВА 2. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ВИВЧЕННЯ ФУНКЦІЙ У ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ…………………………………………13

2.1. Методики запровадження основних понять……………………………...13

2.2. Аналіз вивчення основних елементарних функцій у сучасних підручниках ……………………………………………………………..19

2.3. Програмні вимоги щодо вивчення теми "функції"
ГЛАВА 3. РОЗРОБКА ЕЛЕКТИВНОГО КУРСУ………………………….…30

3.1. Пояснювальна записка………………….……………………………31

3.2. Вимоги до рівня підготовленості школярів…………….33

3.3. Зміст курсу…………………………………………………….34

ВИСНОВОК………………………………………………………………….....38

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ……………...........……..........39

ВСТУП
Поняття функції є одним із фундаментальних на уроках не лише математики, а й інших суміжних дисциплін, як-от фізика, хімія, географія. Функціональна лінія займає значне місце у процесі вивчення алгебри, тому має величезну цінність для шкільного курсу математики. Багато відомих математиків і педагогів стверджували, що поняття функції має стати не лише одним з важливих понять шкільного. курсу, а й тим стрижнем, що від елементарної математики до вищих розділів алгебри і геометрії, навколо якого групується все математичне уявлення.

У зв'язку з таким великим значенням поняття функції у шкільному курсі математики постає проблема правильного формування цього поняття в учнів 8 класу.Таким чином, пропедевтика функціональної лінії п'ятих та шостих класах виходить на перший план. Методичних рекомендацій до підручників математики 5–6 класу, в яких виділяється цей напрямок, на даний момент немає, тому робота зі створення цих рекомендацій є дуже актуальною. Це сприяє розвитку інтелектуальних умінь

та творчих здібностей учнів; розвитку різних форм мисленнєвої діяльності, а також посилює підготовку на тему.

Актуальність даної роботи зумовлена тим, що поняття функції, безсумнівно, фундаментальне та пріоритетне серед усіх математичних понять. До того ж, воно динамічне і мінливе по відношенню до більшості явищ і об'єктів у світі, тим самим воно демонструє взаємопов'язаність із реальною дійсністю. Істотний обсяг математичного матеріалу, вивченого у шкільництві, приділяється тему вивчення функцій. Від того, наскільки успішно учнями будуть освоєні функціональні вміння та уявлення, значною мірою залежить успішність подальшого навчання. Учні повинні усвідомлювати, що саме функція дозволяє здійснити міжпредметні зв'язки і тим самим розкриває внутрішні зв'язки між поняттям функції та іншими поняттями шкільного курсу математики. Крім вищевикладеного, тема функцій стосується й інших предметних областях, наприклад, таких як фізика та інформатика.

У сучасному світі функціональна лінія є однією з базових, що визначають стиль вивчення багатьох тем та розділів алгебри та початку аналізу. Мабуть, найвизначніша особливість даної лінії - надання можливості встановлювати різні зв'язки у навчанні. Наприклад, завдання, що встановлюють зв'язки між курсами алгебри та геометрії за допомогою координатного методу. Вивчення графіків поєднується із числовими розрахунками. Наприклад, при розв'язанні рівнянь, нерівностей або систем рівнянь за допомогою графічного методу, на графіці є можливість наочно знайти точки, значення координат яких дозволяє знайти відповідь, а використання нерівностей призводить до їх визначення.Для успішного оволодіння поняттями функціональної залежності та функції необхідно тривале і досить поглиблене накопичення уявлень та фактів про них, оскільки це поняття є досить складним для засвоєння.

За підсумками вивчення шкільного курсу математики, учні повинні розуміти, що функція є математичною моделлю, завдяки якій з'явилася можливість аналізувати та вивчати різні залежності між реальними величинами.

Поняття функціональної залежності та функції повинні бути засвоєні учнями повною мірою, оскільки матеріал даної теми є фундаментальним у математичній науці та багато в чому успішність засвоєння подальшого матеріалу залежить від розуміння функцій. Важливо донести сенс цього поняття кожного учня.

Мета: вивчення поняття функції у шкільному курсі математики та на основі сучасних походів до введення поняття функції та функціональної залежності та методик викладання цих понять створити елективний курс на тему «Функції та графіки».

Об'єкт: поняття функції та функціональної залежності у шкільному курсі математики.

Предмет: процес вивчення функціональної залежності та функції у шкільному курсі математики основного загального та середнього загального рівнів освіти.

Завданнями цієї роботи є:

1. Вивчити історію розвитку та формування поняття функції та функціональної залежності.

2. Проаналізувати різні джерела та підручники шкільного курсу математики на предмет вивчення поняття функції та функціональної залежності.

3. Розглянути основні підходи до запровадження поняття функції у шкільному курсі математики.

4.Вивчити основні методи запровадження понять функції та функціональної залежності у шкільному курсі математики.

5. Розробити елективний курс з урахуванням особливостей викладання поняття функції та функціональної залежності у шкільному курсі математики.

Історія формування та розвитку поняття функції

Поняття змінної величини ввів у науку французький математик Рене Декарт (1596 – 1650). Залежності між величинами стали зображуватися числами. Це була неявно виражена ідея числової функції числового аргументу. Записуючи залежності, Р. Декарт став вживати букви. Відносини між відомими та невідомими величинами Р. Декарт виражав у вигляді рівнянь. З метою наочності зображення рівняння він замінював усі величини довжинами відрізків. Це можна вважати моментом зародження методу координат. Одночасно з Р. Декартом до ідеї відповідності між лініями та рівняннями прийшов французький математик П'єр Ферма (1601 – 1665).

На початку 17 століття математики були знайомі з еліпсом, гіперболою, параболою та іншими кривими. Але тоді ще не було єдиного методу дослідження ліній. Відкриття Р. Декарта та П. Ферма дозволили одержувати та досліджувати нові криві за їх рівняннями Після створення ідеї змінних та буквеної алгебри сили вчених були спрямовані на вивчення відповідностей між величинами. За допомогою координат дані відповідності зображувалися графічно.

Спочатку поняття функції знаходилося у безпосередньому зв'язку з геометричними, а також механічними уявленнями. У І. Ньютона розуміння про змінну величину з'явилося з розглядом питань механіки. Під функцією він розумів величину, що змінюється з часом. Р. Декарт і П. Ферма (1601 – 1665) пов'язували уявлення про перемінну величину з дослідженням питань геометрії

Р.Декарт у своїй праці «Геометрія» писав: «Надаючи лінії нескінченну безліч різних значень, ми знайдемо також нескінченну кількість значень і, тим самим, отримаємо нескінченну кількість різних точок…; вони опишуть потрібну лінію». Тут очевидно виражена ідея геометричного вираження залежності величин і , тобто графіка функції.

Термін «функція» (від латинського function – вчинення, виконання) вперше використав 1673 р. німецький математик Р. Лейбніц. Спочатку це поняття вживали у вузькому значенні цього слова, пов'язуючи лише з геометричними уявленнями. Йшлося про відрізки, що стосуються кривих, їх проекції на осі координат і про «інші лінії, що виконують для даної фігури деяку функцію». Тобто поняття функції досі не звільнилося від геометричного трактування

На початку 18 століття, з розвитком математичного аналізу, відбувся перехід від інтуїтивно-геометричного уявлення про функцію до аналітичного визначення її. Цьому переходу сприяв швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1667 – 1748). Він визначив функцію перемінної величини як кількість, утворену будь-яким способом із цієї змінної та сталих.

У 1748 р. учень Йоганна Бернуллі, Леонард Ейлер визначив функцію змінної величини як аналітичний вираз, складений будь-яким способом із цієї змінної величини і з чисел, або постійних величин. Л. Ейлеру належить сучасне позначення функції.Н.Я. Віленкін, аналізуючи дане вище визначення І.Бернуллі, зауважує, що у його визначенні не сказано, яким чином має бути утворена «кількість». Для повноцінності цього визначення потрібно вирішити питання про допустимі способи завдання функцій.

До середини 18 століття було вирішено безліч завдань механіки, які пов'язані з рухом окремих точок. У центрі уваги математиків опинилися проблеми механіки суцільних тіл. Однією із таких проблем була проблема дослідження коливань струни. У вирішенні цієї проблеми взяли участь найвизначніші вчені 18 століття - Ейлер, Даламбер, Д. Бернуллі та ін. Вирішуючи цю проблему, Ейлер і Даламбер незалежно один від одного дійшли рішення, в якому спочатку відхилення струни могло на різних ділянках задаватися різними виразами. Ейлер вважав знайдене рішення законним, Даламбер наполягав на тому, що початкова умова повинна задаватися лише одним виразом для всіх значень . У цю суперечку втрутився Бернуллі. Він запропонував формулу, що виражала рішення як суми нескінченного ряду, складеного з тригонометричних функцій. Він був упевнений, що його рішення є найзагальнішим випадком. Ейлер і Даламбер були не згодні з цим, оскільки це суперечило загальній думці математиків того часу, які були переконані, що два різні висловлювання не можуть задавати одну і ту ж функцію. Виникла суперечка призвела до того, що наприкінці 18 століття математики, визначаючи функцію, уникали говорити, як вона задана. Так, французький математик Лакруа писав: «Будь-яка кількість, значення якої залежить від однієї чи багатьох кількостей, називається функцією кінцевих , незалежно від цього, відомо чи ні, які операції треба застосувати, щоб перейти від нього до першого». З цього визначення видно, що Лакруа не ототожнював поняття функції та її аналітичне вираження.

Остаточний розрив між поняттям функції та її аналітичним виразом стався на початку 19 століття. Французький математик Фур'є показав, що функції, задані на різних ділянках по-різному, можна подати у всій області завдання у вигляді суми одного й того ж нескінченного ряду. Таким чином, несуттєво одним або багатьма виразами задано функцію: суть лише в тому, які значення набуває одна величина при заданих значеннях іншої величини.

У зв'язку з цією ідеєю в 19 столітті відбувається перехід до більш узагальненого визначення функції, даного вперше німецьким математиком Л. Діріхле в 1837: «є функція змінної (на відрізку, якщо кожному значенню (на цьому відрізку) відповідає певне значення , причому байдуже, як встановлено цю відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею і навіть просто словами». До аналогічного визначення незалежно від Л. Діріхле прийшов і російський математик Н.І. Лобачевський (1834)

Отже, у середині 19 століття поняття функції було звільнено від єдиновладдя математичної формули.Нове загальне визначення поняття функції стала ідея відповідності.

У другій половині 19 століття, коли була створена теорія множин, ідея відповідності була доповнена ідеєю множини, яка дозволяла розглядати функцію не лише для числових множин, а й на об'єктах довільної природи. Поняття функції стало ототожнюватись із поняттям відображення

Саме творці теорії множин Г. Кантор та Р. Дедекінд дали загальне визначення відображення: нехай і дві множини. Кажуть, що задано відображення , якщо для будь-якого елемента вказано відповідний елемент Введення в математику загального поняття відображення дало можливість уточнити поняття зворотної функції, складної функції та дослідити низку інших проблем.

З початку 20 століття навколо визначення Діріхле почали вестись суперечки. У 1930 р. після виходу книги «Основи квантової механіки» Поля Дірака гостро постало питання про необхідність подальшого розширення поняття функції. Він запровадив дельта-функцію, що виходила за рамки класичного визначення. З цієї причини радянський математик Н.М. Гюнтер та інші вчені опублікували роботи, де невідомими є «функції області», а не функції точки, що ближче до фізичної сутності явищ.

У загальному вигляді поняття узагальненої функції було запроваджено французом Лораном Шварцем. Першим розглянув випадок узагальненої функції, який включав і дельта-функцію, 28-річний радянський математик та механік С.Л. Соболєв у 1936 році. Свою теорію він застосував до вирішення низки завдань математичної фізики. Цінний внесок у розвиток теорії узагальненої функції зробили учні та послідовники Л.А.Шварца - І.М. Гельфант, Г.Є. Шилов та ін.

Таким чином, поняття функції у своєму історичному розвитку пройшло через кілька етапів:

Пропедевтичний - з найдавніших часів до 17 століття.

Введення поняття функції через механічні та геометричні уявлення - 17 століття.

Аналітичне визначення функції – 17 століття – початок 19 століття.

Функція як відображення – 19 століття.

Подальший розвиток поняття функції – з ХХ століття.

Історія розвитку поняття функції показує широту, складність та багатогранність даного поняття. Над ним працювали десятки провідних вчених. Структура вивчення функціональної лінії у шкільному курсі математики будується з урахуванням історичних аспектів розвитку поняття функції. Історичний підхід до поняття функції у шкільному курсі передбачає повторення у навчанні основних етапів, якими це поняття пройшло у науці

Поняття функції в математиці та в школі

Завершальним етапом формування поглядів на всіх компонентах поняття функції та його взаємозв'язку і роллю що у математиці є запровадження поняття самої функції. Цей процес знайшов відображення у трьох

основних лініях:

розгортання системи понять, упорядкування всіх уявлень про
функції, притаманних функціональної лінії;
поглиблене вивчення окремих приватних функцій та їх класів;
розширення області використання алгебри за рахунок введення до неї
функцій та розгорнутих дій над ними.

Для того щоб представити всю різноманітність уявлень поняття

функції порівняємо два підходи у його трактуванні – генетичний та логічний.

Генетична трактування заснована на розробці основних рис, що входили в поняття функції до 19 століття.Основними поняттями при розглянутому трактуванні є змінна величина та функціональна залежність змінних.

Дане трактування має безліч переваг. Динамічний характер поняття функції підкреслює функціональну залежність, у якій

добре проглядається модельний аспект при вивченні, багатьох важливих

явищ природи. З цього видно, як добре пов'язує з табличним та аналітичним уявленням більшості функцій.

Генетична трактування включає у собі обмежувальні риси понять функцій. Цими обмеженнями є навіть те, що змінні всі-

4

гда пробігає безперервний числовий ряд значень. Тільки за такого трактування відбувається звуження обсягу поняття функції через те, що поняття

пов'язано лише з числовими функціями одного аргументу. [14, с.234]

Друге аналізоване трактування – логічне. Вона заснована на двох

напрямках. Перша це висновок поняття функції з поняття відносин, а

друге полягає в тому, що функція виступає у вигляді відношення спеціального виду між двома множинами.

Логічна трактування поняття функції охоплює безліч різної

природи. Перевага даного трактування полягає в тому, що воно дуже

проста за своєю структурою. Це дозволяє точно дати визначення, які

відносяться до функціональної лінії, наприклад уявлення зворотної

функція та багатьох інших.

Приходимо до висновку, логічне трактування функції є з певного боку надлишковим, у той час як генетичний підхід є

недостатнім для узагальнення поняття функції.Хочеться наголосити, що

така відмінність у трактуваннях проявляється з найбільшою різкістю при введенні самого поняття. При подальшому вивченні функціональної лінії

відмінності поступово стираються. У шкільному курсі математики

функції запроваджується за допомогою генетичного підходу.

Крім відмінності в трактуванні поняття, існує три способи завдання

функції у шкільному курсі математики. Перерахуємо їх:

аналітичний;
табличний;
графічний.

Розглянемо різні способи завдання функції з прикладу завдань, аналізовані під час уроків математики, різних етапах запровадження понять

функції.

1. Аналітичний метод задання функції.

Цей спосіб є універсальний. Він полягає в тому, що

функція задається за допомогою використання формул, тобто використовуючи буквенні вирази, те з чого починається введення у понять у курсі вивчення математики у п'ятому класі.

Наведемо приклади аналітичного завдання функції.

1) y=x

2)

3).

Аналітичний спосіб досить звичний і не створює проблем у

сформування поняття функції.

2. Табличний метод завдання функції.

Суть табличного методу у його назві. Цей спосіб представлення функції за допомогою звичайної таблиці

X -3 -2 -1 0 1 2 3

Y 9 4 1 0 1 4 9

Таблиця 1.1 Табличний спосіб завдання функції.

У цій таблиці кожному іксу відповідає якесь значення гравця.

У першому рядку - значення аргументу. У другому рядку - відповідні значення функції.

До цього методу учні звикають вже з молодших класів. У 5 і

6 класах дуже часто зустрічається завдання, засновані на побудові таблиць

для функцій.

3. Графічний метод завдання функції.

У цьому методі функція представлена графіком. По осі абсцис відкладається аргумент (х), а по осі ординат – значення функції (у). За графіком теж можна вибрати будь-який х і знайти відповідне йому значення у

.

Особливості змістової лінії "функції" за державним стандартом загальноосвітньої школи
Державний стандарт базової і повної загальної середньої освіти (далі - Державний стандарт) спрямований на виконання завдань загальноосвітніх навчальних закладів II і III ступеня (далі - загальноосвітні заклади) і визначає вимоги до освіченості учнів основної і старшої школи.

Цей Державний стандарт ґрунтується на засадах особистісно зорієнтованого, компетентнісного і діяльнісного підходів, що реалізовані в освітніх галузях і відображені в результативних складових змісту базової і повної загальної середньої освіти.
При цьому особистісно зорієнтований підхід до навчання забезпечує розвиток академічних, соціокультурних, соціально-психологічних та інших здібностей учнів.
Компетентнісний підхід сприяє формуванню ключових і предметних компетентностей.
До ключових компетентностей належить уміння вчитися, спілкуватися державною, рідною та іноземними мовами, математична і базові компетентності в галузі природознавства і техніки, інформаційно-комунікаційна, соціальна, громадянська, загальнокультурна, підприємницька і здоров’язбережувальна компетентності, а до предметних (галузевих) - комунікативна, літературна, мистецька, міжпредметна естетична, природничо-наукова і математична, проектно-технологічна та інформаційно-комунікаційна, суспільствознавча, історична і здоров’язбережувальна компетентності.
Діяльнісний підхід спрямований на розвиток умінь і навичок учня, застосування здобутих знань у практичних ситуаціях, пошук шляхів інтеграції до соціокультурного та природного середовища.
У цьому Державному стандарті враховано можливості навчального середовища, сприятливого для задоволення фізичних, соціокультурних і пізнавальних потреб учнів.
Цей Державний стандарт складається із:
загальної характеристики складових змісту освіти;
Базового навчального плану загальноосвітніх навчальних закладів II-III ступеня згідно з додатком 1 (далі - Базовий навчальний план);
державних вимог до рівня загальноосвітньої підготовки учнів згідно з додатком 2.
Цей Державний стандарт розроблений на основі Державного стандарту початкової загальної освіти, затвердженого постановою Кабінету Міністрів України від 20 квітня 2011 р. № 462 (Офіційний вісник України, 2011 р., № 33, мал.1378), із спрямуванням освітніх галузей на розвиток сформованих і формування нових предметних (галузевих) компетентностей.
Предметні (галузеві) компетентності стосуються змісту конкретної освітньої галузі чи предмета, і для їх опису використовуються такі ключові поняття: "знає і розуміє”, "уміє і застосовує”, "виявляє ставлення і оцінює” тощо.
Цей Державний стандарт включає такі освітні галузі, як "Мови і літератури”, "Суспільствознавство”, "Мистецтво”, "Математика”, "Природознавство”, "Технології”, "Здоров’я і фізична культура”, зміст яких послідовно взаємозв’язаний із змістом відповідних освітніх галузей Державного стандарту початкової загальної освіти.
Зміст освітніх галузей, їх складові, державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів відповідають завданням основної і старшої школи у їх послідовному взаємозв’язку. Зміст кожної освітньої галузі структурується та реалізується за навчальними предметами і курсами, програми яких затверджує МОНмолодьспорт.
Визначальним для системи вітчизняної загальної середньої освіти є українознавче спрямування всіх освітніх галузей.
Протягом навчання в основній школі учні здобувають базову загальну середню освіту, що разом із початковою є основою загальноосвітньої підготовки, формує в них готовність до вибору професії і реалізації шляхів подальшої освіти. Зміст освіти в основній школі для всіх учнів єдиний.
Варіативність методик організації навчання, а також наявність в учнів можливості обирати курси за вибором залежно від власних пізнавальних здібностей дають змогу застосовувати особистісно зорієнтований, компетентнісний і діяльнісний підходи.
У старшій школі, де навчання є профільним, обов’язковий для вивчення зміст освітніх галузей реалізується шляхом вивчення окремих предметів, курсів за вибором загальноосвітніх закладів відповідно до загальної кількості годин, передбачених для кожної галузі, або шляхом застосування модульної технології.
Інваріантна складова Базового навчального плану формується на державному рівні і є обов’язковою для реалізації в усіх навчальних закладах, що дають повну загальну середню освіту.
Освітня потреба старшокласників у профільному навчанні задовольняється шляхом створення мережі загальноосвітніх закладів різного типу, яка складається з однопрофільних і багатопрофільних ліцеїв, гімназій, загальноосвітніх шкіл, що мають змогу повністю реалізувати _ального_сть навчання, а також професійно-технічних навчальних закладів, коледжів. Крім того, освітня потреба учнів старшої школи у профільному навчанні може задовольнятися в межах освітніх округів.
Зміст освіти і вимоги до його засвоєння у старшій школі диференціюються за базовим і профільним рівнями. Базовий рівень визначається обов’язковими вимогами до загальноосвітньої підготовки учнів згідно з цим Державним стандартом, а профільний - навчальними програмами, затвердженими МОН молодь спортом.
Змістова лінія до якої входить тема даної курсової роботи - "функції". За державним стандартом, до рівня загальноосвітньої підготовки учнів за цією лінією відносяться знання та розуміння понять координатної прямої і координатної площини; означення функціональної залежності між змінними; способів задання функції; означення та властивості лінійної, квадратичної функції, функції обернена пропорційність, функції , числової послідовності, арифметичної та геометричної прогресій. Уміння визначати координати точки на площині; будувати точки за заданими їх координатами; будувати та аналізувати графіки функцій, функцій обернена пропорційність, функції ; розв’язувати задачі із застосуванням формул загального члена та суми перших членів прогресії. Застосування функціональної залежності для створення математичних моделей реальних процесів та явищ.
Змістова лінія до якої входить тема даної курсової роботи - "функції". За державним стандартом, до рівня загальноосвітньої підготовки учнів за цією лінією відносяться знання та розуміння понять координатної прямої і координатної площини; означення функціональної залежності між змінними; способів задання функції; означення та властивості лінійної, квадратичної функції, функції обернена пропорційність, функції , числової послідовності, арифметичної та геометричної прогресій. Уміння визначати координати точки на площині; будувати точки за заданими їх координатами; будувати та аналізувати графіки функцій, функцій обернена пропорційність, функції ; розв’язувати задачі із застосуванням формул загального члена та суми перших членів прогресії. Застосування функціональної залежності для створення математичних моделей реальних процесів та явищ.

Методичний аналіз теми "функції" за підручником "Алгебра" 7 класу

Дана тема "Функції" - третя тема курсу алгебри 7-го класу, на вивчення якої відведено 10 годин. Тема має велике значення, так як фактично розкриває основні питання та сутність змістової лінії - "Функції", до якої повністю відноситься. Ця тема має велике значення у курсі шкільного курсу алгебри, так як дає базові знання, що необхідні при подальшому вивченні алгебри у старших класах. Але разом з тим, тема не надто тісно пов’язана з уже пройденим матеріалом, що дає можливість учням з низьким рівнем знань легко оволодіти нею. Це одна з найцікавіших тем шкільного курсу математики так як містить чимало цікавих задач та побудов, в тому числі практичного спрямування, що можуть з легкістю зацікавити учнів та заохотити їх до вивчання теми.

Дана тема має таку структуру:

Вивчення даної теми спрямоване на набуття нових умінь та навичок учнів. Вони повинні навчитись наводити приклади функціональних залежностей, лінійних функцій, пояснювати зміст понять: аргумент, функція, область визначення функції, множина значень функції, графік функцій.
Формулювати означення понять:
функція;
графік функції;
лінійна функція;
пряма пропорційність.
Під час вивчення теми учні мають навчитись також називати та ілюструвати на прикладах способи задання функції, описувати побудову графіка функції, зокрема лінійної, та її окремого виду пропорційності.
Також важливою навичкою є вміння розв’язувати вправи, що передбачають:
знаходження області визначення функції;
знаходження значення функції за даними аргументу;
побудову графіка лінійної функції;
знаходження за графіком функції значення функції за даним значенням аргументу і навпаки;
визначення окремих характеристик функції за її графіком (додатні значення, від’ємні значення, нулі).
До базових знань необхідних для вивчення теми функції можна віднести вирази зі змінними, цілі раціональні вирази, тотожні вирази та їх перетворення, властивості степеня. Також необхідним є розуміння учнями означень одночлена та многочлена, та розв’язання не складних показникових рівнянь.
Основними поняттями теми (за підручником алгебри 7 клас (О.С. Істер)є:
Якщо кожному значенню змінної х з деякої множини відповідає єдине значення змінної у, то таку залежність називають функціональною залежність або функцією.
Усі значення які набуває незалежна змінна (аргумент), утворюють область визначення функції; усі значення яких набуває залежна
змінна (функція), утворюють область значень функції.
Графіком функції називається фігура, яка складається з усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції.
Нуль функції - значення аргументу, при якому значення функції дорівнює нулю.
Лінійною називається функція, яку можна задати формулою виду y=kx+b, де x - незалежна змінна, k, b - деякі числа.
Що стосується способу означення математичних понять даної теми, то означення функції, області значення та області визначення функції доцільно віднести до конструктивних означень.
Так як дана тема являється новою для новою для учнів, то доцільніше буде використати абстрактно-дедуктивний метод введення понять, так як цей спосіб потребує менше часу для пояснення залишаючи більше часу для розгляду прикладів, хоча і потребує від учнів певного рівня математичної підготовки та уже може використовуватися в шкільному курсі математики 7-го класу.
Що стосується способу вивчення означень, я вважаю, що можливо використати роздільний спосіб, для кращого запам’ятовування змісту означень.
У класах з низьким рівнем підготовки учнів доцільно використати конкретно-індуктивний спосіб введення цих понять, якщо достатньо часу.
Основними твердженнями теми є:
Графіком будь-якої лініяної функції є пряма.
Щоб побудувати графік функції y=b, досить досить позначити на осі у точку з координатами (0; b) та провести через цю точку пряму, паралельну осі х.
визначення прямої пропорційності.

Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат.

В класі з високим рівнем підготовки учнів можна, за наявності часу, довести дані твердження.

Якщо діти окремого класу мають низький рівень підготовки, то кількість доведень доцільно обмежити, а усю увагу приділити вирішенню прикладів та задач. Якщо ж дана тема вивчається з учнями з високим рівнем підготовки, то більше часу виділити на пояснення, а саме на вирішення завдань підвищеної складності.

Для закріплення теми можна використати наступні завдання:

Через яку з даних точок проходить графік рівняння 5х+4у=20?

а) А (-4; 0) б) В (3;

1) в) С (0;

5) г) Д (2;

3)

2. Побудуйте графік функції у=-2х-2. Користуючись побудованим графіком установіть, при яких значеннях аргументу функція набуває від’ємних значень.

х	-2	-1	0	1	2
у	2	0	-2	-4	-6

Функція набуває від’ємних значень при (0; +∞)

№1198

Точка А (a; b), де a≠0, b≠0, належить графіку функції

. Чи належить цьому графіку точка:

а) В (-a; b) б) С (a; - b) в) Д (-a; - b)

Так як дана функція за умовою є параболою, і a≠0, b≠0, то вітки направлені вгору. Отже х - може приймати як додатні так і від’ємні значення, а у - лише додатні.

Відповідь: В (-a; b) - належить функції, С (a; - b); Д (-a; - b) не належать.

№ 833

Поїзд рухаючись зі швидкістю 65км/год, пройшов за t годин відстань s кілометрів. Задайте формулою залежність s від t. Обчисліть значення функції яка відповідає значенню аргументу: 1; 2,4; 3; 5,8

S=

,

отже y=65x, підставимо значення у таблицю:

Х	1	2,4	3	5,8
у	65	156	195	377

Задача

На параболі, що є графіком функції

знайдіть точки, для яких сума абсциси та ординати дорівнює 6.

Нехай (x; y) - шукана точка, тоді її координати задовольняють умову x+y=6. Маємо систему