УДК 537.812
Аксіоматична побудова СИСТЕМИ
ПЕРВИННИХ рівняння електромагнітного поля
В.В. Сидоренков
МГТУ ім. Н.Е. Баумана
На основі корпускулярно-польового дуалізму електромагнітних характеристик матерії опрацьовано фізико-математичні принципи аксіоматичної побудови первинних рівнянь електромагнітного поля, фізичний зміст яких представляє собою концептуально новий рівень розвитку польової теорії класичного електромагнетизму.
Відомо [1], що в електромагнетизмі базової фізичної характеристикою матеріального тіла є його електричний заряд, уявлення про який на мікрорівні має принципове доповнення: елементарна частинка характеризується не тільки зарядом q, кратним заряду електрона | e - |, але і спіном s, трактуються як власний момент кількості руху частки, величина якого квантована значенням h / 2, де h - постійна Планка. Таким чином, локальними (корпускулярними) електромагнітними характеристиками мікрочастинки є електричний заряд, що визначає її електричні властивості і власний момент, відповідальний за її магнітні властивості, оскільки істинний магнетизм має спінову природу.
З іншого боку, звернемо увагу на основну аксіому філософії: «п ространство і в ремя є форми існування м атером », що означає неможливість у принципі існування матерії поза простором і часом, відповідно, реалізації простору і часу без матерії. Іншими словами, властивості матерії і простору-часу єдині і взаємно обумовлені. На нашу думку, аксіома концептуально обгрунтовує реальність корпускулярно-польового дуалізму матерії, який, здавалося б, відмінний тільки лише за назвою від «корпускулярно-хвильового дуалізму» частинок мікросвіту у квантовій механіці. Формально і тут і там маємо нерозривний взаємозв'язок матерії з її просторово-тимчасовим власним полем. Однак сутнісні відмінності принципові: уявлення корпускулярно-польового дуалізму засновані на об'єктивному єдності частинки матерії і її поля в реальному просторі фізичного вакууму, а в концепції корпускулярно-хвильового дуалізму матеріальна частинка представляється хвилею ймовірності в абсолютно порожньому, абстрактному просторі.
На базі цієї логіки приходимо до висновку, що і електромагнітні характеристики мікрооб'єктів повинні володіти «корпускулярно-польових дуалізмом», завдяки якому зазначеним вище локальним параметрами частинки відповідає певний польовий аналог у вигляді її власного первинного поля. Такий висновок зовсім не так тривіальна, як може здатися на перший погляд, адже він стосується не до відомого електромагнітного поля силового взаємодії зарядів один з одним на відстані, а до іншого , далеко не очевидному, первинному полю мікрочастинки. Більш конкретно поки можна лише сказати, що якщо таке поле дійсно реально, то воно обов'язково повинно бути функціонально пов'язано зі звичайним векторним електромагнітним полем. З цієї причини вважаємо первинне поле також векторним, де електрична вектор-компонента породжена зарядом мікрочастинки q, а магнітна компонента - Питомою (на одиницю заряду) моментом n ( ), Кратним (n - натуральне число) кванту магнітного потоку [1]. А оскільки експериментально електричний заряд і спін виявляються опосередковано виміром характеристик електромагнітного поля, то фізично логічно вважати, що і компоненти первинного поля передбачуваних корпускулярно-польових пар будуть також визначатися за допомогою того ж електромагнітного поля.
Як бачимо, наше основне завдання - розібратися далі, що має представляти собою таке поле, яким чином можна аналітично описати його фізичні властивості і в підсумку аксіоматично побудувати рівняння функціонального взаємозв'язку компонент цього гіпотетичного поля і з реально спостерігаються в даний час компонентами електромагнітного поля у вигляді електричної та магнітної напруженостей.
Можна спробувати вже зараз поставити питання, яким має бути обговорюване первинне поле. Наприклад, відомий фізично цікавий факт, що у хвильове рівняння квантової механіки (рівняння Шредінгера) входить поле векторного магнітного потенціалу, яке в принципі не може бути замінено полем вектора магнітної індукції. Цілком можливо, що саме електрична і магнітна компоненти поля векторного потенціалу і є первинні польові характеристики мікрочастинки, польовий еквівалент її локальних параметрів. Однак сьогодні про фізичні властивості електромагнітного векторного потенціалу відомо порівняно мало, та й взагалі поки не ясно, чи відповідає дане припущення дійсності. Все це і багато чого іншого ми повинні з'ясувати у процесі проведених досліджень.
Отже, продовжимо наші міркування. Оскільки компоненти обговорюваного гіпотетичного первинного поля є векторні функції просторово-часових змінних, то описують їх поведінку диференціальні рівняння найбільш просто можна одержати дією на і просторової похідної першого порядку (оператор «набла») з властивостями вектора і скалярної приватної тимчасової похідної . При цьому природно виникає принципове питання про допустимість саме таких математичних дій з точки зору фізичного змісту одержуваних результатів, їх адекватності, що розглядається.
У ситуації, що склалася скористаємося надзвичайно важливим зауваженням класика електродинаміки Дж.К. Максвелла, який настійно закликав [2] відповідально ставитися до математичних операцій над векторами електромагнітного поля та їх фізичної трактуванні. Ось його слова ([2] п. 12): "У науці про електрику електрорушійна і магнітна напруженості належать до величин першого класу - вони визначені щодо лінії. ... Навпаки, електрична і магнітна індукція, а також електричні струми належать до величин другого класу - вони визначені щодо площі ". Як бачимо, тут конкретно йдеться про принципові відмінності електромагнітних векторів: напруженостей і - Лінійних (циркуляційних) векторів, відповідно, електричної та магнітної індукцій, щільності електричного струму - Потокових векторів. Тут матеріальні параметри середовища: - Електрична і - Магнітна абсолютні проникності, - Питома електропровідність.
У розвиток сказаного далі Максвелл обговорює коректні математичні дії над функціями полів зазначених векторів з точки зору фізики ([2] п. 14): "У разі напруженості слід брати інтеграл вздовж лінії від твору елемента довжини цієї лінії на складову напруженості уздовж цього елемента. ... У разі потоків слід брати інтеграл по поверхні від потоку через кожен її елементів ". Тоді в рамках таких умов при переході до диференціальної формі запису цих математичних дій операція «ротора» (див. теорему Стокса) дозволений тільки для польових функцій лінійних векторів: і , А взяття «дивергенції» (див. теорему Гауса-Остроградського) можливе лише від функцій поля потокових векторів: , і .
На жаль, заклики Максвелла до обліку фізико-математичних відмінностей функцій векторів електромагнітного поля зазвичай ігнорують, коли навіть у навчальній літературі формально пишуть фізично безглузді висловлювання і , Створюючи плутанину понять у розумах читачів, перетворюючи на абсурд процес пізнання, а навчання - в безглузде заняття. Як показує практика наукової роботи і викладання все це наслідок завидною живучості в умах самих «просвітителів» (часто на підсвідомому рівні) чужорідної електродинаміки гауссовой системи одиниць з її безрозмірними коефіцієнтами і , Де вектори і , і - Тотожні. У результаті вихолощується фізичний зміст у співвідношеннях електромагнетизму і афішується на передній план формалізм математики. Можливо, цей математичний нігілізм і є одна з причин концептуального застою в класичній електродинаміці, яка після Максвелла як наука вже не розвивалася, не дивлячись на серйозну методичну модернізацію вихідних максвеллівським рівнянь і грандіозні успіхи впровадження досягнень електромагнетизму в багатьох сферах життя людського суспільства.
Дивно, але стан справ вважається нормальним. Більше того, повсюдно з помпою стверджується, що «дана галузь знання найбільш повно розроблена у всіх її аспектах, і справжній її рівень є вершиною людського генія». Однак треба думати, що ці гучні заяви, звичайно, не відносяться власне до самої електромагнітної теорії, а стосуються тільки математичного рівня її опису. Адже математика - всього лише мова фізики. Правда, корисна глобальна математизація сучасних методів наукових досліджень породжує ілюзію, що саме рівень розвитку математики визначає сьогодні прогрес наших знань про Природу. Треба володіти чималою мужністю і вагомої аргументацією, щоб у прагненні конструктивно змінити таку, здавалося б, тупикову ситуацію привселюдно стверджувати: фізичні уявлення класичного електромагнетизму - це концептуально недостатньо досліджена область природознавства.
Отже, розглянемо дію оператора «набла» і приватної тимчасової похідної на векторні функції обговорюваного тут гіпотетичного первинного поля. Так як для потокових векторів, слідуючи здоровій логіці Максвелла, операція «ротора» неприпустима, то функції і вважаємо полями лінійних векторів. У цьому випадку ми отримаємо два (з трьох можливих) варіанта запису дії зазначених операторів на представлені функції: і , і . А перетворення лінійних векторів і в потокові і , Аналогічні відомим потоковим векторах і , Що описує відгук простору середовища на вплив цих полів, дозволяє записати інший, скалярний результат дії оператора «набла»: і .
Ці вирази використовуємо далі для фізико-математичного побудови співвідношень функціонального зв'язку компонент гіпотетичного первинного поля і з компонентами електромагнітного поля у вигляді електричної та магнітної напруженостей. Оскільки взяття ротора функції поля лінійного вектора дає функцію потокового вектора, то, щоб задовольнити апріорним вимогам взаємозв'язку зазначених полів, фізично логічно вважати, що циркуляція векторів і первинного поля обумовлена явищем електричної та магнітної поляризації середовища:
(A) , (B) . (1)
Тут враховано, що компонента первинного поля мікрочастинки є польовий еквівалент її електричного заряду, що створює електричне поле, а компонента породжується спіном частинки, відповідальним за магнітне поле.
У співвідношеннях (1) ротор функцій не дорівнює нулю, що говорить про те, що компоненти первинного поля і є вихровими. З цієї причини дивергентні рівняння для зазначених польових компонент запишемо у вигляді співвідношень кулоновской калібрування, що визначають математично чисто вихровий характер таких полів:
(A) , (B) . (2)
Оскільки дія скалярного оператора приватної тимчасової похідної на векторну функцію не змінює її геометричні властивості, то одержувані при цьому нові вектори і залишаться лінійними (циркуляційними) векторами. А тому функціональний зв'язок полів або можлива лише з компонентами електромагнітного поля лінійних векторів і напруженостей, причому для однозначного вибору пар цих компонент треба врахувати, що рівність векторів можливе лише за їх колінеарності. Як істотного уточнення зауважимо, що, згідно з співвідношенням (1), вектори в парах і , Відповідно, і взаємно ортогональні. Таким чином, з необхідністю приходимо до співвідношень і , Які, однак, не можна вважати остаточними. Адже в наших міркуваннях ніяк не відображена принципово важлива характеристика матеріальної середовища - її електрична провідність , Якій у тій чи іншій мірі володіють всі реальні середовища. А це має виразно вплинути на остаточний вигляд даних виразів.
Як відомо [1], процес електропровідності в хорошому наближенні описується законом Ома , Де електричне поле в провіднику з струмом потенційно: , Тобто не може бути вихровим. Отже, отримане раніше співвідношення є остаточним. Однак вихровий магнітне поле електричного струму існує. Це випливає з закону збереження заряду , Коли підстановки в нього виразів закону Ома , Теореми Гауса та співвідношення (1а) дають , Де - Об'ємна щільність стороннього заряду, а - Постійна часу релаксації заряду в середовищі за рахунок її електропровідності. У результаті шукані співвідношення для вихрових і полів запишуться остаточно у вигляді
(A) , (B) . (3)
Таким чином, збираючи отримані в наших фізико-математичних міркуваннях співвідношення (1) - (3) разом, приходимо до системи диференціальних рівнянь функціонального взаємозв'язку компонент нашого гіпотетичного поля і з реально спостерігаються в даний час компонентами електромагнітного поля у вигляді електричної та магнітної напруженостей:
(A) , (B) , (C) ,
(D) , (E) , (G) . (4)
Як бачимо, дана система рівнянь (4) описує властивості незвичайного з точки зору традиційних уявлень вихрового векторного електродинамічного поля, що складається з чотирьох нерозривно пов'язаних векторних компонент , , і , Яке умовно можна назвати реальне електромагнітне поле.
Переконаємося тепер, що властивості функцій компонент полів в нашій системі рівнянь дійсно відповідають концепції корпускулярно-польового дуалізму електромагнітних характеристик матерії, завдяки якому конкретному локальному параметру частинки відповідає свій польовий аналог у вигляді власного первинного поля. Спочатку розглянемо електричну компоненту первинного поля, причому для більшої наочності та математичної спільності представимо співвідношення (4а) в інтегральній формі:
. (5)
Ці інтегральні співвідношення встановлюють фізично змістовне положення про те, що величина циркуляції вектора за довільним замкнутому контуру С визначається електричним потоком через поверхню , Що спирається на цей контур, тобто поляризаційним електричним зарядом, індукованим на зазначеній поверхні. Звідси, зокрема, випливає визначення поля вектора електричного зміщення , За величиною рівного поверхневої щільності поляризаційного заряду на пробної майданчику, орієнтація якої в даній точці створює на ній максимальне значення цього заряду, а нормаль до майданчика вказує напрямок вектора . Визначення як потокового вектора показує його принципова відмінність від лінійного (циркуляційного) вектора напруженості , Що є силовою характеристикою електричного поля.
Таким чином, згідно співвідношенню (5), електричного заряду відповідає його польової еквівалент - електрична векторна компонента первинного поля, розмірність якого є лінійна щільність електричного заряду. Отже, дійсно маємо реалізацію першої фундаментальної корпускулярно-польовий пари з одиницями виміру в системі СІ .
Корпускулярно-польові подання підтверджуються зв'язком напруженості магнітного поля та електричної компоненти первинного поля за допомогою співвідношення (4 с), що має в системі СІ одиницю виміру , Але ж це, як і повинно бути, польовий еквівалент повного електричного струму (Струмів провідності і зсуву), величина (сила струму) якого має одиницю вимірювання Ампер. Як бачимо, співвідношення (4 с) для вихрових полів і являє собою польову складову корпускулярно-польовий пари , Що є очевидним прямим фізичним наслідком першої фундаментальної пари.
Перейдемо тепер до магнітної компоненті первинного поля і проаналізуємо співвідношення зв'язку поля вектора з полями векторів магнітної індукції (4 d) і електричної напруженості (4 g). Розглянемо спочатку співвідношення (4 d), яке представимо в інтегральній формі:
. (6)
Видно, що величина циркуляції вектора по контуру З визначається магнітним потоком через поверхню , Що спирається на цей контур, і має одиницю вимірювання в СІ Вебер = (Джоуль ∙ секунда) / Кулон, що відповідає модулю моменту імпульсу на одиницю заряду. При цьому розмірність магнітної компоненти первинного поля може бути двоякою: або імпульс на одиницю заряду, або їй альтернативна лінійна щільність моменту імпульсу на одиницю заряду. Звичайно, формально обидві розмірності вектора , Виражені через одиниці виміру, математично тотожні: (Ньютон секунда) / Кулон = (Джоуль ∙ секунда) / (Кулон метр), але така рівність абсурдно фізично, так як це принципово різні величини.
Для нас тут важливо те, що, згідно Максвеллу [2], в електромагнетизмі лінійні (циркуляційні) вектори і мають розмірність лінійної щільності фізичної величини, а потокові вектори , і - Її поверхневої щільності. Зокрема, розмірність вектора магнітної індукції дорівнює поверхневої щільності моменту імпульсу на одиницю заряду в системі СІ Тесла = (Джоуль ∙ секунда) / (Кулон (Метр метр)). Експериментально це переконливо і яскраво ілюструється ефектом Ейнштейна-де Хааса [1], де в матеріальному середовищі при її однорідному намагнічуванні виникає механічний момент обертання, спрямований колінеарні полю, обумовлений упорядкуванням під дією поля власних магнітних моментів, відповідно, моментів кількості руху електронів в атомах речовини середовища. Отже, поле вектора визначає момент імпульсу матеріального середовища, виявляється при її намагнічуванні.
Тому, згідно співвідношенню (6), розмірністю вихрового поля вектора слід вважати лінійну щільність моменту імпульсу на одиницю заряду. Отже, локальної характеристиці мікрочастинки - моменту імпульсу на одиницю заряду - зіставляється його польової еквівалент - магнітна компонента первинного поля, що дає друге фундаментальну корпускулярно-польову пару, яку, наприклад, конкретно для електрона можна записати як з одиницями виміру в системі СІ .
Далі звернемося до співвідношення (4 g) зв'язку векторів і , Де вектор визначено похідної за часом від моменту імпульсу . Тоді розмірність вихрового поля електричної напруженості однозначно дорівнює лінійної щільності моменту сили на одиницю заряду, що жодним чином не спростовує традиційні одиниці виміру цього вектора Вольт / метр або Ньютон / Кулон, а лише уточнює його фізичний зміст. Таким чином, співвідношення (4 g) представляє собою польовий аналог основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла в механіці, що узгоджується з уявленнями корпускулярно-польового дуалізму характеристик матерії.
Логіка вимагає, що якщо електродинамічні рівняння (4), згідно реалізованому тут планом їх побудови, є основоположними в електромагнітній теорії, то обов'язковим тривіальним наслідком з них повинна бути система традиційних рівнянь Максвелла класичної електродинаміки для полів і напруженостей. І дійсно, векторне дію оператора «набла» на співвідношення (4c) і (4g) з підстановкою в цей результат співвідношень (4a) і (4d), і, відповідно, скалярний дію оператора «набла» на (4a) і (4d) дають нам класичні рівняння електромагнітного поля для випадку середовищ з локальної електронейтральності ( ):
(A) , (B) ,
(C) , (D) . (7)
Принципова особливість цих рівнянь полягає в тому, що в їх структурі закладена відбиває узагальнення дослідних даних основна аксіома класичної електродинаміки - нерозривна єдність змінних в часі електричної та магнітної компонент електромагнітного поля, що поширюються у вільному просторі у вигляді поперечних хвиль. Наприклад, з (7) отримаємо хвильове рівняння для електричної напруженості:
,
де - Фазова швидкість хвилі в відсутність поглинання ( ).
Рівняння (7) відповідають також на питання про перенесення цими хвилями електромагнітної енергії, закон збереження якої аналітично сформульований у так званій теоремі Пойнтінга:
. (8)
Тут вступник ззовні потік енергії компенсує в даній точці середовища джоулеви (теплові) втрати при електропровідності (перший доданок праворуч) і змінює електричну і магнітну енергії, або навпаки.
Зробимо важливе зауваження. Отримані з більш загальної системи рівнянь (4) рівняння Максвелла (7) відповідають на центральне питання наших досліджень: що являє собою введене на основі корпускулярно-польового дуалізму електромагнітних характеристик матерії власне первинне поле мікрочастинки. Відповідь формулюється так: якщо дивергенція ротора будь-якого векторного поля тотожно дорівнює нулю, то з дивергентного рівняння (7 b) слід співвідношення (4 a), відповідно, з (7 d) маємо співвідношення (4 d), за допомогою яких вводять поняття саме компонент векторного електромагнітного потенціалу. До речі, компоненти зазначеного потенціалу фізично слід вважати поляризаційними потенціалами. Таким чином, ми переконалися, що компоненти гіпотетичного первинного поля і дійсно однозначно є полями відповідно електричної та магнітної компонент векторного потенціалу, які, як показано вище, а також, наприклад, в [4], з їх фізичному змістом є польові еквіваленти відповідних локальних електромагнітних параметрів частинок матерії.
І ще важлива. З рівнянь (4) також слідують структурно аналогічні системі (7) ще три системи рівнянь для інших пар вихрових компонент реального електромагнітного поля. Їх можна одержати дією оператора «набла» на відповідні вислови в системі рівнянь (4), аналогічно висновку системи рівнянь Максвелла (7). Рівняння в цих системах (див. роботи [3, 4]) розглядають такі області простору, де присутня або тільки поле електромагнітного векторного потенціалу з електричної та магнітної компонентами:
(A) , (B) ,
(C) , (D) ; (9)
або електричне поле з компонентами і
(A) , (B) ,
(C) , (D) ; (10)
або, нарешті, магнітне поле з компонентами і .
(A) , (B) ,
(C) , (D) . (11)
Як і слід було очікувати, з цих нових систем електродинамічних рівнянь аналогічно висновку формули (8) безпосередньо отримуємо співвідношення балансу:
для потоку моменту ЕМ імпульсу з рівнянь системи (9)
(12)
для потоку електричної енергії з рівнянь системи (10)
(13)
і, нарешті, для потоку магнітної енергії з рівнянь системи (11)
. (14)
Оскільки дивергенція за визначенням є об'ємна щільність потоку векторного поля в даній точці, то співвідношення балансу (8) і (12) - (14) показують, що наявність (відповідно, зміна) певної величини енергії або моменту імпульсу в розглянутій точці неможливо у відриві від навколишнього простору, без взаємодії з ним за допомогою потокової зв'язку ззовні. Істотно, що це не є чимось специфічним або незвичайним. Ось, наприклад, тривіально наочна ситуація: розтягнута руками пружина, де її внутрішня енергія пружної деформації створюється і існує лише за рахунок взаємодії з оточенням (дії рук). Отже, саме співвідношення балансу, що є наслідком систем рівнянь (7) і (9) - (11), однозначно ілюструють реальність корпускулярно-польового дуалізму характеристик матерії, використання концепції якого дозволило побудувати систему електродинамічних рівнянь (4) первинної функціонального взаємозв'язку тепер вже конкретно компонент поля електромагнітного векторного потенціалу та електромагнітного поля, тим самим підняти на новий концептуальний рівень фізичні уявлення польовий теорії класичного електромагнетизму.
Таким чином, аргументовано показано, що в Природі об'єктивно існує дуже складне і незвичайне з точки зору традиційних уявлень четирехвекторное вихровий поле у вигляді сукупності функціонально нерозривно пов'язаних між собою вихровий-польових компонент , і , . Щодо спостереження його фізичних проявів таке поле реалізується четвіркою складових його електродинамічних полів з пар вищевказаних компонент. Тут поле електромагнітного векторного потенціалу з компонентами і описується системою рівнянь (9), електромагнітне поле з і - Системою (7), електричне поле з і - Системою (10), нарешті, магнітне поле з і - Системою (11). Причому такі структурні утворення з двох векторних взаємно ортогональних польових компонент роблять принципово можливим переміщення в просторі конкретного електродинамічного поля у вигляді потоку відповідної фізичної величини (див. співвідношення (8), (12) - (14)). Докладно характеристики і специфіка поширення хвиль таких полів розглянуті, наприклад, в роботах [5].
Зауважимо у зв'язку з цим, що з методичної точки зору серйозних проблем не повинно виникнути, якщо обговорюване тут реальне електромагнітне поле збереже за собою традиційне в електромагнетизмі нинішню назву - електромагнітне поле з урахуванням сучасного концептуального розвитку фізичних поглядів і його нового змісту.
Як бачимо, описують всі ці поля електродинамічні співвідношення (4) об'єктивно є фундаментом класичної електродинаміки і є основними первинними рівняннями електромагнітного поля, де система традиційних рівнянь електродинаміки Максвелла - це всього лише рядове приватне слідство.
Література
1. Тамм І. Є. Основи теорії електрики. - М.: Наука, 1989.
2. Максвелл Дж.К. Трактат про електрику і магнетизм. Том I і II. - М.: Наука, 1989.
3. Сидоренков В. В. Узагальнення фізичних уявлень про векторних потенціалах в класичній електродинаміці / / Вісник МГТУ ім. Н.Е. Баумана. Сер. Природничі науки. 2006. № 1. - С. 28-37.
4. Сидоренков В. В. Фундаментальні основи електродинамічної теорії нетеплового дії електромагнітних полів на матеріальні середовища / / Вісник Воронезького державного технічного університету. 2007. Т. 3. № 11. - С. 75-82.
5. Сидоренков В.В. Реальна структура електромагнітного поля і характеристики поширення його складових / / X Міжнародна конференція «Фізика в системі сучасної освіти». Санкт-Петербург: РГПУ, 2009. Секція 1. "Професійне фізичну освіту". С. 114-117; Рівняння і характеристики поширення хвиль реального електромагнітного поля / / http://revolution.allbest.ru/physics/00072431.html.
Посилання (links):
http://revolution.allbest.ru/physics/00072431.html