Твори кінцевих груп близьких до нільпотентні

Введення

Вивчення груп, представимо у твір своїх підгруп є класичною задачею алгебри.

Вивчення факторізуемих груп почалося з вивчення груп, розкладені в пряме твір деякої безлічі своїх істинних підгруп, тобто за умов, коли факторізующіе підгрупи інваріантні в факторізуемой групі і перетин будь-якої з них з твором інших дорівнює одиниці. Ще в XIX столітті було встановлено, що будь-яка кінцева абелева група разложима у твір деякої безлічі циклічних підгруп (Фробеніус і Штікельбергер [1]). У зв'язку з цією теоремою в теорію груп прийшов питання про кінцеві неабелевих групах, факторізуемих деяким безліччю своїх попарно перестановки циклічних підгруп. При цьому не пропонується ні нормальність факторізующіх множників, ні одиничність перетину кожного з них з твором інших. Був встановлений ряд властивостей кінцевих груп, які мають факторизацию такого роду, зокрема їх сверхразрешімость (теорема Хупперта [2]).

Як відомо, кінцева нільпотентні група - це пряме твір -Підгруп за різними простим У зв'язку з цим виникло питання характеризації кінцевих груп, розкладені на витвір попарно перестановки -Підгруп за різними простим

Випадок, коли група є витвором своїх двох сіловскіх підгруп, тобто біпрімарной, був розглянутий ще Берсайдом, який встановив їх розв'язність. У 1938 році Ф. Холл [28] довів свою знамениту теорему про те, що кінцева група тоді і тільки тоді разложима у твір попарно перестановки -Підгруп за різними простим , Коли вона залагодити.

У зв'язку з цими результатами виникло питання про будову кінцевих груп, представимо у твір своїх нільпотентні підгруп. Відповідь на це питання була отримана Віландтом [4] і Кегелем [19], які встановили разрешимость таких груп.

Клас кінцевих груп, представимо у твір своїх двох деяких нільпотентні підгруп (коротко, дінільпотентних груп) досить складний. Він включає в себе сверхразрешімие групи, біпрімарние, метанільпотентние і т.д. і цими прикладами він далеко не вичерпується.

Навіть для таких груп зв'язок групи з властивостями підгруп-множників досить складна і дослідження її стає вельми непростим завданням.

В останні п'ятнадцять років цей зв'язок вивчалася в роботах багатьох авторів. Отримано чимало цікавих глибоких результатів і розроблені методи дослідження. Природно, що цей напрямок далеко не вичерпало себе і має широкі перспективи.

Ця дипломна робота присвячена вивченню деяких властивостей кінцевих вирішуваних груп, представимо у вигляді добутку своїх двох -Розкладені підгруп. Надалі, для стислості, групи з такою властивістю буєм називати ді- -Розкладені. Розглядаються тільки кінцеві розв'язні групи.

Робота складається з переліку умовних позначень, реферату, вступу, основної частини, що включає три розділи, висновків і списку цитованої літератури.

Перший розділ носить довідковий характер. Тут наведені позначення, визначення та деякі відомі результати, істотно використовуються в роботі.

Другий розділ присвячений викладу деяких результатів про будову груп ді- -Розкладені груп. Тут зібрані з різних джерел і систематизовано основні результати про ді- -Розкладені групах та отримано один новий результат.

Нагадаємо наступне визначення:

2.2.1 О п р е д е л е н і е. Нехай - Непорожній формація. Підгрупа групи називається:

1) -Субнормальной в , Якщо або , Або існує максимальна ланцюг підгруп така, що для всіх (Позначається );

2) -Досяжною в , Якщо існує ланцюг підгруп така, що або підгрупа субнормальная в , Або для будь-якого (Oбозначается ).

2.2.6 Т е о р е м а. Нехай - Наслественная насичена формація, причому і - Ді- -Разожімая група. Тога справіліви наступні твердження:

1) якщо і то

2) якщо і то

Основні результати і висновки роботи зосереджені в третьому розділі, в якому вивчаються властивості підгруп ді- -Розкладені груп.

У 1958 році Віландт [4] ввів таке поняття. Підгрупа групи називається факторізуемой щодо якщо і Хайнекен Н. [4] в 1990 році досліджував факторізуемие -Проектори в дінільпотентних кінцевих групах для випадку, коли - Насичена формація. Група називається дінільпотентной, якщо , Де і - Нільпотентні підгрупи групи Детальніше в 1994 році Амберг В. та Хефлінг В. [3] поширили основний результат Хайнекен на класи Шунков.

У третьому розділі нами досліджуються факторізуемие проектори у ді- -Нільпотентні групах. У класі всіх кінцевих вирішуваних груп отримані наступні результати.

3.2.1 Т е о р е м а. Нехай - Деяке безліч простих чисел, - Клас Шунков і . Якщо - Ді- -Разложима група, причому , То в є хоча б один факторізуемий щодо -Проектор.

Так як будь-яка насичена формація є класом Шунков, то справедливо наступне:

3.2.2 З л е д с т в і е. Нехай - Насичена формація, причому Якщо - Ді- -Разложима група, причому , То в є хоча б один факторізуемий щодо -Проектор.

Дотримуючись [], підгрупу групи назвемо -Картеровой підгрупою, якщо -Нільпотентні, і містить деяку -Холловскую підгрупу групи .

3.2.4 З л е д с т в і е. Нехай - Ді- -Разложима група. Тоді в є хоча б одна факторізуемая щодо -Картерова підгрупа.

Дотримуючись, [] підгрупу групи назвемо -Гашюцевой підгрупою, якщо -Сверхразрешіма, містить деяку -Холловскую підгрупу групи і для індекс є складене число.

3.2.6 З л е д с т в і е. Нехай - Ді- -Разложима група. Тоді в є хоча б одна факторізуемая щодо -Гашюцева підгрупа.

Мета дипломної роботи - вивчення основних властивостей кінцевих вирішуваних творів -Розкладені груп та їх факторізуемих підгруп. У роботі вирішені наступні завдання: - вивчені властивості примітивних кінцевих вирішуваних творів -Розкладені груп; - знайдені умови факторізуемості -Проекторів кінцевих вирішуваних творів -Розкладені груп для випадку, коли - Клас Шунков кінцевих вирішуваних груп; - знайдені застосування отриманих результатів для класичних формацій.

Об'єктом дослідження є кінцеві розв'язні твори -Розкладені груп і їх підгруп. Предметом дослідження - властивості кінцевих вирішуваних творів -Розкладені груп і їх підгруп.

Методологія і методи дослідження. В дипломної роботі використовуються методи доказів абстрактної теорії кінцевих груп, а також методи теорії класів кінцевих груп.

Новизна отриманих результатів: Результати перших двох розділів носять в основному реферативний характер. Теорема 2.2.6 є новою. Параграф 3.1 розділу 3 взято з роботи Васильєвої Т.І. [36]. Параграф 3.2 містить нові результати.

Практичне застосування та економічна значимість роботи: Результати дипломної роботи можуть бути використані в науково-дослідній роботі студентів, аспірантів, а також у навчальному процесі при читанні спецкурсів на математичних спеціальностях у вищих навчальних закладах.

Необхідні відомості

Перелік визначень і умовних позначень

Розглядаються тільки кінцеві групи. Нижче ми наводимо відомі визначення і поняття, які суттєво використовуються в роботі.

- Просте число;

- Група;

- Клас груп;

- Деяке безліч простих чисел;

- Доповнення до у безлічі всіх простих чисел;

- Безліч всіх різних простих дільників порядку групи G;

- Безліч всіх різних простих дільників порядків груп, які належать ;

- Формація;

- Клас всіх нільпотентні груп;

- Клас всіх нільпотентні -Груп;

- Клас всіх нільпотентні -Груп;

1.1.1 О п р е д е л е н і е. Підгрупа групи називається факторізуемой щодо якщо і

1.1.2 О п р е д е л е н і е. Група називається дінільпотентной, якщо де і - Нільпотентні підгрупи групи

1.1.3 О п р е д е л е н і е. Група називається сверхразрешімой, якщо вона володіє нормальним поруч з циклічними факторами.

1.1.4 О п р е д е л е н і е. Холловей підгрупою кінцевої групи називають підгрупу, порядок і індекс якої взаємно прості.

1.1.5 О п р е д е л е н і е. Мінімальною нормальної підгрупою групи називається нормальна підгрупа групи така, що і в немає нетривіальних нормальних підгруп групи

1.1.6 О п р е д е л е н і е. Твір всіх нормальних нільпотентні підгруп групи називається підгрупою фіттінги групи . Позначається через

1.1.7 О п р е д е л е н і е. Група дісперсівна, якщо вона володіє нормальним поруч, фактори якого ізоморфні Силівка підгрупах.

1.1.8 О п р е д е л е н і е. формацією називається клас груп, замкнутий щодо факторгруппамі і подпрямих творів.

1.1.9 О п р е д е л е н і е. Формація називається насиченою, якщо вона є насиченим класом, тобто якщо то

1.1.10 О п р е д е л е н і е. Клас називається примітивно замкнутим класом, якщо всі примітивні факторгруппамі групи належать , То

1.1.11 О п р е д е л е н і е. Класом Шунков називається клас груп, який одночасно замкнутий щодо факторгруппамі і є примітивно замкнутим класом.

1.1.12 О п р е д е л е н і е. Якщо - Підгрупа групи і то називається -Підгрупою.

1.1.13 О п р е д е л е н і е. -Максимальної підгрупою групи називається така -Підгрупа групи яка не міститься ні в якій більшою -Підгрупі.

1.1.14 О п р е д е л е н і е. Нехай - Деякий клас груп. Підгрупа групи називається -Проектором, якщо виконані умови: і з того, що , А , Завжди слід

1.1.15 О п р е д е л е н і е. Підгрупу групи назвемо -Картеровой підгрупою, якщо -Нільпотентні, і містить деяку -Холловскую підгрупу групи .

1.1.16 О п р е д е л е н і е. Підгрупу групи назвемо -Гашюцевой підгрупою, якщо -Сверхразрешіма, містить деяку -Холловскую підгрупу групи і для індекс є складене число.

1.1.17 О п р е д е л е н і е. Перетин всіх нормальних підгруп групи факторгруппамі по яких належать позначають через і називають -Корадікалом групи

1.1.18 О п р е д е л е н і е. -Клас Шунков - клас Шунков, для якого з умови , Завжди слід .

Факторізуемие підгрупи творів кінцевих груп

У цьому розділі викладається докладно теорія факторізуемих підгруп теорії кінцевих груп, взята з [32] c точними посиланнями на роботи авторів наведених результатів.

1.2.1 Л е м м а. Нехай - Деяка група, і - Її підгрупи. Підгрупи і перестановки тоді і тільки тоді, коли твір є підгрупою групи .

(Кажуть, що непусті безлічі і елементів групи з перестановки, якщо .)

Д о к о з а т е л ь с т в о. Необхідність. Нехай підгрупи і перестановки. Тоді, очевидно

(Якщо - Непорожня безліч елементів деякої групи, то, як звичайно, .)

З урахуванням останніх співвідношень безліч є підгрупою групи .

Достатність. Нехай підмножина є підгрупою. Тоді, очевидно, тобто підгрупи і перестановки.

Лемма доведена.

1.2.2 О п р е д е л е н і е. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і . Якщо , То будемо говорити, що підгрупа факторізуема щодо розкладання

1.2.3 Л е м м а (Віландт [4]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і ; - Деяка підгрупа групи і - Нормалізатор підгрупи в . Підгрупа факторізуема щодо розкладання якщо виконується така умова:

(*) Всякий раз, коли для елементів і

елементи і містяться в .

Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай виконується умова (*), і - Довільні елементи відповідно з і , Для яких . Тоді виконується співвідношення (1) і, отже, і Тому зважаючи довільності елементів і і, значить, . Лемма доведена.

1.2.4 Л е м м а. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і ; - Підгрупа, породжена деякими інваріантними підгрупами відповідно груп і і - Нормалізатор підгрупи в . Підгрупа факторізуема щодо розкладання тоді і тільки тоді, коли виконується умова (*) з формулювання леми 1.2.3.

Д о к о з а т е л ь с т в о. Якщо умова (*) виконується, то по лемі 1.2.3 підгрупа факторізуема щодо розкладання Нехай підгрупа факторізуема щодо розкладання і - Які-небудь елементи відповідно з підгруп і , Такі, що виконується співвідношення (1). Оскільки то для деяких елементів і Звідси отримуємо

Очевидно, Тому з урахуванням співвідношень (2) і Лемма доведена.

1.2.5 Л е м м а. Нехай - Група, - Її підгрупа і - Елемент групи деяка натуральна ступінь якого міститься в . Тоді підгрупа не є істинною підгрупою групи .

(Підгрупа, відмінна від самої групи, називається її істинної підгрупою.)

Д о к о з а т е л ь с т в о. Дійсно, якби була дійсною підгрупою групи , То вона, як легко переконатися, була б і справжньої підгрупою групи при будь-якому натуральному , У тому числі при , Для якого , Що неможливо. Лемма доведена.

1.2.6 Л е м м а. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і Нехай, далі - Деякі інваріантні підгрупи відповідно груп - Підгрупа, породжена підгрупами і - Нормалізатор підгрупи в Підгрупа факторізуема щодо розкладання якщо виконується хоча б одна з таких умов:

1) для жодного елемента підгрупа не є істинною підгрупою групи

2) ні для якого елементу підгрупа не є істинною підгрупою групи

3) підгрупа НЕ ізоморфна жодної зі своїх істинних підгруп (зокрема, кінцева;)

4) принаймні одна з фактор-груп і періодична.

1.2.7 Л е м м а (Дедекинда). Нехай - Підгрупа групи і - Підгрупа з . Тоді для будь підгрупи групи виконується співвідношення

Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай і - Довільні елементи відповідно підгруп і . Тоді і і, значить, . Отже, З іншого боку, якщо для деяких елементів і то і, значить, Отже, Отже, співвідношення (3) виконується. Лемма доведена.

1.2.8 Л е м м а (С. Н. Черніков [17]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і , І - Підгрупа групи , Що містить . Тоді

1.2.9 Л е м м а (Сесекін [18]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і ; - Деяка інваріантна підгрупа групи і Тоді виконуються співвідношення

Д о к о з а т е л ь с т в о. Враховуючи, що і і використовуючи лему 1.2.7, отримуємо

Покажемо, що Так як і , То Нехай - Довільний елемент з і де і Тоді значить, Тому зважаючи довільності Отже, з урахуванням співвідношень (5) і, значить, Таким чином, всі співвідношення (4) виконуються. Лемма доведена.

1.2.10 Л е м м а. Нехай - Група, разложима у твори

деяких підгруп і і кінцевої підгрупи . Тоді індекси підгрупи в групах , і кінцеві і виконуються співвідношення

Д о к о з а т е л ь с т в о. З урахуванням співвідношень (6), очевидно,

Тому

Лемма доведена.

1.2.11 Л е м м а. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і перетин яких періодичне, і - Локально кінцева підгрупа групи породжена деяким безліччю кінцевих інваріантних підгруп групи і Тоді

1.2.12 Л е м м а. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і ; - Кінцева підгрупа групи , Породжена деякими інваріантними підгрупами груп і і - Нормалізатор підгрупи в . Тоді знайдуться, перестановочне підгрупи і кожна з яких може бути породжена не більш ніж елементами, такі, що

Примітка. У випадках, коли підгрупа інваріантна в і коли вона породжена деякою інваріантної підгрупою групи і деякої інваріантної підгрупою групи , Існування перестановки підгруп і кожна з яких породжена не більш ніж елементами, таких, що встановив Кегель [19] (див. в [19] лему 1.3 і її доказ.)

1.2.13 Л е м м а (Амберг [20]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і і - Деякі підгрупи кінцевих індексів відповідно груп і - Підгрупа, породжена і Тоді індекс підгрупи в кінцевий.

1.2.14 Л е м м а (Амберг [21]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і з кінцевими фактор-групами і Тоді фактор-група скінченна і

1.2.15 З л е д с т в і е. Нехай - Група, факторізуемая попарно перестановки підгрупами , з кінцевими фактор-групами Тоді фактор-група скінченна і .

1.2.16 Л е м м а. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і і - Деякі непусті інваріантні безлічі елементів відповідно груп і Тоді для будь-яких елементів і групи знайдеться такий її елемент що і

1.2.17 Л е м м а (Віландт [16]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і Тоді для будь-яких елементів і групи по-перше, знайдеться такий її елемент що і і, по-друге, виконується співвідношення

1.2.18 Л е м м а (Віландт [16]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і - Деяка підгрупа групи Наступні умови рівносильні:

1) підгрупа факторізуема щодо розкладання і містить перетин

2) які б не були елементи і твір міститься в в тому і тільки тому випадку, коли елементи і містяться в

Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай виконується умова 1). Покажемо, що виконується умова 2).

Нехай і - Елементи, для яких Так як підгрупа факторізуема щодо розкладання то для деяких елементів і Звідси отримуємо

і

Отже, за умови 1) виконується умова 2). Зворотне очевидно. Лемма доведена.

1.2.19 З л е д с т в і е. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і - Підгрупа групи містить перетин і факторізуемая щодо розкладання і - Деякі підгрупи відповідно груп і містять перетин За цих умов підгрупа факторізуема підгрупами і тоді і тільки тоді, коли і

1.2.20 Л е м м а (Амберг [20]). Нехай - Група, факторізуема двома підгрупами і . Тоді перетин довільної сукупності підгруп групи , Факторізуемих щодо розкладання і містять перетин , Є підгрупою, факторізуемой щодо цього розкладу.

Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай - Факторізуемие щодо розкладання підгрупи групи , Кожна з яких містить перетин Якщо для деяких елементів і твір міститься в то вона міститься і в кожній підгрупі Тому зважаючи леми 1.2.11 елементи і містяться в кожній підгрупі і, значить, в Отже, знову через леми 1.2.11 підгрупа факторізуема щодо розкладання Лемма доведена.

1.2.21 Л е м м а (Амберг [20]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і - Її підгрупа, факторізуемая щодо розкладання і містить перетин Тоді

Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай - Довільний елемент множини Тоді для деяких елементів і Звідси Так як твір належить і містить перетин то зважаючи леми 1.2.11 Тому елемент належить Таким чином, отже, співвідношення (4) виконується. Лемма доведена.

1.2.22 Л е м м а (Амберг [20]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і - Деяка підгрупа групи перестановки з підгрупами і - Перетин всіх підгруп групи факторізуемих щодо розкладання і містять підгрупи і і Тоді виконуються співвідношення

1.2.23 Л е м м а. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і - Деяка підгрупа групи - Перетин всіх підгруп групи факторізуемих щодо розкладання і містять підгрупи і Нехай для деякої підгрупи факторізуемой щодо розкладання і містить підгрупи і підгрупа перестановки з підгрупами і Тоді виконуються співвідношення

1.2.24 Л е м м а (Чуніхін [22]). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і ; - Інваріантна підгрупа групи , Що міститься в перетині Тоді нормальне замикання підгрупи в збігається з її нормальним замиканням в

1.2.25 Л е м м а (Віландт [23], Хупперт [24], гл. IV, пропозиція 4.6). Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і ; - Непорожня безліч простих чисел. Тоді якщо в групах і сіловскіе -Підгрупи пов'язані (в часності, якщо складається з одного простого числа), то знайдуться сіловскіе і одночасно Холловей -Підгрупи і відповідно груп і такі, що

1.2.26 Л е м м а (Н. С. Черніков [25], Зайцев [26]). Нехай - Кінцева група, факторізуемая двома підгрупами і ; і - Деякі підгрупи відповідно груп і - Підгрупа, породжена підгрупами і Тоді виконується наступне нерівність для індексів:

1.2.27 Л е м м а (Віландт [23]). Нехай - Кінцева група, факторізуемая попарно перестановки нільпотентні підгрупами Якщо твір кожних двох підгруп є вирішуваною групою, то група залагодити.

1.2.28 Л е м м а. Нехай група факторізуема двома підгрупами - інваріантної підгрупою і деякої підгрупою - Непорожня безліч елементів підгрупи таке, що Тоді виконуються співвідношення

1.2.30 Л е м м а (Н. С. Черніков [27]). Нехай - Кінцева група, разложима у твори деяких підгруп і і нільпотентні підгрупи - Подгрупа групи містить така, що перетину і нільпотентні. Тоді якщо підгрупи і інварівнтни відповідно в і то їх нормальні замикання в нільпотентні.

1.2.31 Л е м м а. Довільна група, яка може бути отримана будь-яким кінцевим безліччю своїх субнормальних нільпотентні підгруп кінцевого індексу, нільпотентні.

1.2.32 Т е о р е м а (Ф. Холл [28]). Для довільної кінцевої вирішуваною групи справедливе твердження: при будь-якому непорожня множина простих чисел сіловскіе -Підгрупи групи сполучені в ній і є її Холловей -Підгрупами.

1.2.33 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30], Чуніхін [29]).

1) Кінцева група володіє для будь-якого Холловей -Підгрупою, можна вирішити.

2) Кінцева група представимо у вигляді добутку деяких своїх попарно перестановки -Підгруп за різними простим (Або, що рівносильно, яка має повну сіловской базою, представимо у вигляді добутку деяких своїх попарно перестановки примарний підгруп), можна вирішити.

1.2.34 Т е о р е м а (Ф. Холл [28,30]). Кінцева група залагодити тоді й тільки тоді, коли вона разложима у твір попарно перестановки -Підгруп за різними простим

1.2.35 Т е о р е м а (Кегель [31] - Віландт [4]). Кінцева група, представимо у вигляді добутку деяких своїх попарно перестановки нільпотентні підгруп, можна вирішити.

1.2.36 Т е о р е м а. Нехай - Деяке безліч простих чисел; - Група, факторізуемая підгрупами і де - -Група, а така, що Тоді є сіловской -Підгрупою групи

1.2.37 Л е м м а. Нехай - Група, факторізуемая двома підгрупами і де - -, А - -Підгрупа група Якщо в всі сіловскіе -Підгрупи чи все сіловскіе -Підгрупи поєднані, то

1.2.38 Л е м м а (Гардінер, Хартлі, Томкінсон [33]). Нехай - Група, - Її інваріантна підгрупа, - -Підгрупа групи для деякого непорожнього безлічі простих чисел. Якщо є сіловской -Підгрупою групи і - Сіловской -Підгрупою групи то є сіловской -Підгрупою групи

1.2.39 Т е о р е м а (С. Н. Черніков [34, 35]). Група, факторізуемая двома нільпотентні підгрупами, кінцевими над своїми центрами, можна вирішити.

Будова груп, представимо у твір ді- -Розкладені груп

Будова примітивних ді- -Розкладені груп

2.1.1 Л е м м а. Нехай група є твір своїх підгруп і , - Деяке безліч простих чисел. Тоді справедливі наступні твердження.

1) нехай є -Групою, а і - -Групами. Тоді знайдуться Холловей -Підгрупи і підгруп і відповідно такі, що є Холловей -Підгрупа ;

2) якщо підгрупи і -Замкнуті, то .

2.1.2 Т е о р е м а (Васильєв А.Ф. [5]). Нехай - Ненільпотентная здійсненне група, де і - -Розкладені підгрупи групи . Якщо має єдину мінімальну нормальну підгрупу , Де і , То справедливі наступні твердження:

1) ;

2) ;

3) якщо , То є -Групою, а - -Групою.

Д о к о з а т е л ь с т в о. Встановимо справедливість твердження 1). Так як ненільпотентна, і - Мінімальна нормальна підгрупа в , То в знайдеться максимальна підгрупа така, що . З єдиності і випливає, що , Тобто . Крім того, .

Зважаючи 1) леми 2.1.1 в і існують Холловей -Підгрупи і відповідно і сіловскіе -Підгрупи і відповідно такі, що є Холловей -Підгрупа, а є сіловская -Підгрупа групи .

За умовою і . Тому

Звідки , Так як . Але . Значить, .

Розглянемо перетин . Так як , - -Група і всі доповнення до в поєднані, то можна вважати, що . Візьмемо підгрупу фіттінги підгрупи . Тому,

. Отже, - -Група. Так як , То . Тому . Звідси і з випливає, що . Зауважимо, що є сіловской -Підгрупою в . Тому . Зважаючи мінімальності або , Або . Випадок неможливий, оскільки . Тому , Тобто . Тепер з , і отримуємо, що - -Група. З -Разложимости і випливає, що . Але тоді . Це означає, що .

Тепер з і , Зважаючи і отримуємо, що . Твердження 1) доведено.

Доведемо 2). Досліджуємо перетину і . Зауважимо, що