Опис кінцевих груп з щільною системою F-субнормальних підгруп для формації F p-нільпотентні

Міністерство освіти Республіки Білорусь

Заклад освіти

«Гомельський державний університет

ім. Ф. Скорини »

Математичний факультет

Кафедра алгебри та геометрії

Опис кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп для формації -Нільпотентні груп

Курсова робота

Виконавець:

Студентка групи М-31

____________ Бондаренко А.Ю.

Науковий керівник:

Канд. фіз-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2005

Зміст

Перелік умовних позначень

Введення

_{Опис кінцевих груп з щільною системою-субнормальних підгруп для формації-нільпотентні груп}

Висновок

Література

Перелік умовних позначень

У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Використовуються позначення, прийняті в книгах. Літерами позначаються прості числа.

Будемо розрізняти знак включення множин і знак суворого включення ;

і --- Відповідно знаки перетину та об'єднання множин;

--- Пусте безліч;

--- Безліч всіх , Для яких виконується умова ;

--- Безліч всіх простих чисел;

--- Деякий безліч простих чисел, тобто ;

--- Додаток до у безлічі всіх простих чисел; зокрема, ;

примарний число --- будь-яке число виду ;

--- Безліч всіх цілих позитивних чисел.

--- Деякий лінійне впорядкування безлічі всіх простих чисел .

Запис означає, що передує в упорядкуванні , .

Нехай --- Група. Тоді:

--- Порядок групи ;

--- Порядок елемента групи ;

--- Одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

--- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;

--- Безліч всіх різних простих дільників натурального числа ;

- Група --- група , Для якої ;

- Група --- група , Для якої ;

--- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто перетин всіх максимальних підгруп групи ;

--- Підгрупа фіттінги групи , Тобто твір всіх нормальних нільпотентні підгруп групи ;

--- Коммутант групи ;

--- - Холловская підгрупа групи ;

--- Сіловская - Підгрупа групи ;

--- Додаток до сіловской - Підгрупі в групі , Тобто - Холловская підгрупа групи ;

--- Група всіх автоморфизмов групи ;

--- є підгрупою групи ;

нетривіальна підгрупа --- непоодинокі власна підгрупа;

--- є нормальною підгрупою групи ;

--- Підгрупа характеристичною в групі , Тобто для будь-якого автоморфізм ;

--- Індекс підгрупи в групі ;

;

--- Централизатор підгрупи в групі ;

--- Нормалізатор підгрупи в групі ;

--- Центр групи ;

--- Циклічна група порядку ;

Якщо і --- Підгрупи групи , То:

--- Пряме твір підгруп і ;

--- Півпрямі твір нормальної підгрупи і підгрупи .

Група називається:

примарний, якщо ;

біпрімарной, якщо .

Дужки застосовуються для позначення підгруп, породжених деякими безліччю елементів або підгруп.

--- Підгрупа, породжена всіма , Для яких виконується .

Групу називають - Нільпотентні, якщо .

Групу порядку називають - Дісперсівной, якщо виконується і для будь-якого має нормальну підгрупу порядку . Якщо при цьому впорядкування таке, що завжди тягне , То - Дісперсівная група називається дісперсівной по Оре.

Ланцюг --- це сукупність вкладених один в одного підгруп. Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю. Ланцюг називається -Ланцюгом (з індексами ); Якщо при цьому є максимальною підгрупою в для будь-якого , То зазначена ланцюг називається максимальною -Ланцюгом.

Ряд підгруп називається:

субнормальний, якщо для будь-якого ;

нормальним, якщо для будь-якого .

Нормальний ряд називається головним, якщо є мінімальною нормальної підгрупою в для всіх .

Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмом, позначаються прописними готичними літерами. Так само позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгруппамі і подпрямих творів. За деякими класами закріплені стандартні позначення:

--- Клас всіх груп;

--- Клас всіх абелевих груп;

--- Клас всіх нільпотентні груп;

--- Клас всіх розв'язаних груп;

--- Клас всіх - Груп;

--- Клас всіх сверхразрешімих груп.

Нехай --- Деякий клас груп і --- Група, тоді:

--- - Корадікал групи , Тобто перетин всіх тих нормальних підгруп з , Для яких . Якщо --- Формація, то є найменшою нормальної підгрупою групи , Факторгруппамі по якій належить . Якщо --- Формація всіх сверхразрешімих груп, то називається сверхразрешімим корадікалом групи .

Формація називається насиченою, якщо завжди з випливає, що і . Клас груп називається спадковим або -Замкнутим, якщо з того, що , Випливає, що і кожна підгрупа групи також належить .

Нехай --- Деяка непорожній формація. Максимальна підгрупа групи називається:

-Нормальною, якщо ;

-Абнормальной, якщо .

Максимальна -Ланцюг називається -Субнормальной, якщо для будь-якого підгрупа -Нормальна у . Підгрупа групи називається -Субнормальной, якщо існує хоча б одна -Субнормальная максимальна -Ланцюг.

Група називається групою з щільною системою -Субнормальних підгруп, якщо для будь-яких двох різних підгруп і групи , З яких перша міститься в другій і не максимальна в ній, у групі існує така -Субнормальная підгрупа , Що . У цьому випадку також кажуть, що безліч -Субнормальних в підгруп щільно.

Введення

Вивчення будови груп за заданими властивостями системи їх підгруп є одним з основних напрямків у теорії кінцевих груп. Зазначимо, що темп і глибина таких досліджень безперервно зростають. Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Як властивостей, що накладаються на системи підгруп, розглядалися абелевих, нормальність, субнормального, доповнюваність і ін Цей напрямок одержав широкий розвиток в роботах багатьох провідних алгебраїстів.

З дедекіндових груп, тобто груп, у яких нормальні все підгрупи, почалося вивчення різних (як кінцевих, так і нескінченних) груп, у яких деяка система підгруп задовольняє умові нормальності. Опис кінцевих дедекіндових груп дано в роботі Р. Дедекинда, а нескінченних в роботі Р. Бера. Ці роботи визначили важливий напрям досліджень у теорії груп. Головною метою цього напрямку є опис узагальнено дедекіндових груп. Ці узагальнення дедекіндових груп здійснюються або шляхом звуження системи підгруп , Тобто підгруп нормальних у всій групі, або ослаблення властивості нормальності для підгруп з . Серед таких узагальнень виділимо наступні дослідження.

Перше істотне узагальнення дедекіндових груп належить О.Ю. Шмідту. Він описав кінцеві групи з одним і двома класами пов'язаних ненормальних підгруп, а також встановив нільпотентні кінцевої групи, у якій нормальні все максимальні підгрупи. Кінцеві групи з нормальними -Тими максимальними підгрупами вивчали Б. Хупперт і З. Янко. Д. Баклі вивчав кінцеві групи, у яких нормальні все мінімальні підгрупи.

Значні розширення класу дедекіндових груп виникають при переході від умови нормальності до різних її узагальнень, як, наприклад, до квазінормальності, субнормального, нормалізаторним умов і ін

На початку 70-х років з ініціативи С. Н. Черникова почалося вивчення груп з щільними системами підгруп. Система підгруп групи , Що володіє деякими властивістю , Називається щільною в , Якщо для будь-яких двох підгруп з , Де не максимальна в , Знайдеться -Підгрупа така, що . Групи з щільною системою доповнюються підгруп були вивчені С. Н. Черніковим.

У 1974 році С. Н. Черніков поставив наступне питання: яке будова групи , В якій безліч всіх її субнормальних підгруп щільно? Відповідь на це питання була отримана А. Манном і В. В. Пилаєва.

Зауважимо, що в теорії формацій поняття субнормального узагальнюється наступним чином. Кажуть, що підгрупа є -Субнормальной в , Якщо існує ланцюг підгруп

така, що є -Нормальної максимальної підгрупою в для будь-якого . Якщо збігається з класом всіх нільпотентні груп (який є, звичайно, -Замкнутої насиченою формацією), то -Субнормальная підгрупа виявляється субнормальной.

У зв'язку з розвитком теорії формацій велика увага стала приділятися дослідженню кінцевих груп, насичених - Підгрупами, - Субнормальних або - Абнормальної підгрупами. У цьому напрямку проводили свої дослідження Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмід, Хоукс та інші.

Ясно, що питання С. Н. Чернікова можна сформулювати в такій загальній формі: якщо --- -Замкнута насичена формація, то яке будова групи, в якій безліч всіх її -Субнормальних підгруп щільно?

У такому вигляді запитання С. Н. Чернікова був досліджений в роботі для випадку, коли --- Клас всіх -Нільпотентні груп. У цій роботі ми досліджуємо це питання у випадках, коли --- Довільна -Замкнута насичена формація або -Нільпотентні, або -Дісперсівних, або сверхразрешімих груп.

Опис кінцевих груп з щільною системою-субнормальних підгруп для формації -Нільпотентні груп

Нехай --- Деяка -Замкнута насичена -Нільпотентні формація, --- Група c щільною системою -Субнормальних підгруп. Тоді або вирішити, або є -Нільпотентні -Групою.

Доказ. Нехай --- Група найменшого порядку, для якої лема не вірна. Так як нерозв'язна, то вона має підгрупу порядку , Де --- Просте число. За умовою, має -Субнормальную підгрупу таку, що ділить . Тому в існує максимальна підгрупа, яка містить . Таким чином, .

За лемі, безліч всіх -Субнормальних підгруп щільно в будь факторгруппамі групи . Тому лема вірна для будь нетривіальною факторгруппамі групи . Так як клас всіх розв'язаних груп і клас всіх -Нільпотентні груп --- насичені формації, то ми отримуємо, що . Очевидно, має мінімальну нормальну підгрупу , Що міститься в .

1. Розглянемо випадок . Припустимо, що нерозв'язна. Тоді містить підгрупу порядку , Де . Так як 1 не максимальна в , То в існує -Субнормальная підгрупа така, що . За лемі, є -Число. Ми отримуємо, що і , Тобто виявляється -Нільпотентні -Групою. Протиріччя. Отже, залагодити.

Зважаючи леми, лема вірна для . Значить, або вирішити, або є -Нільпотентні -Групою. Так як , То ми бачимо, що лема вірна і для .

2. Тепер розглянемо випадок . З леми і індуктивного припущення випливає, що лема вірна для будь власної підгрупи групи . Отже, кожна власна підгрупа групи або вирішити, або є -Нільпотентні -Групою.

2.1. Припустимо, що містить розв'язні -Нормальну максимальну підгрупу. Тоді розв'язана, а --- Нерозв'язна -Нільпотентні -Група. З випливає, що є -Групою для деякого простого .

Припустимо, що і . Так як нерозв'язна, то має підгрупу порядку , Де . За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Так як --- -Група, а по лемі, індекс є -Числом, то ми отримуємо, що --- -Нільпотентні -Група. Протиріччя.

Випадок і неможливий, оскільки --- Нерозв'язна -Нільпотентні -Група. Тому залишається розглянути випадок . Але тоді є -Вирішуваною -Групою. Так як нерозв'язна, то в Холловей -Підгрупі з знайдеться нециклічні сіловская підгрупа . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Тоді не максимальна в . За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Позначимо через формацію всіх -Нільпотентні груп. За лемі, -Субнормальная в . Тепер за теоремою, ми маємо . Отже, , А значить, централізує . Виходить, що будь нециклічні сіловская підгрупа з централізує . Так як не належить , То НЕ централізує . Отже, в є циклічна сіловская підгрупа , Яка не централізує . Зважаючи теореми, не максимальна в . Тепер, застосовуючи до ті ж міркування, що і для , Отримуємо, що централізує . Прийшли до суперечності.

2.2. Отже, нехай тепер кожна -Нормальна максимальна підгрупа групи є -Нільпотентні -Групою. Тоді виявляється -Групою, а її -Корадікал -Нільпотентен. Оскільки групи Шмідта вирішувані, то звідси випливає, що має -Абнормальної максимальну підгрупу , Яка не є -Нільпотентні. За припущенням, залагодити. За лемі, кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з належить . По теоремі, є -Групою для деякого простого числа . Якщо , То -Нільпотентні, протиріччя. Таким чином, , Тобто є -Група. Виберемо в підгрупу , Що задовольняє таким умовам: 1) --- Ступінь простого числа, 2) не є -Групою, 3) не максимальна в . За умовою, в знайдеться -Субнормальная підгрупа така, що . По теоремі, , А тому ми маємо . Так як НЕ -Нільпотентні, то ми отримуємо, що не є -Групою. Ми бачимо, що в існує сіловская -Підгрупа така, що максимальна в , і . Якщо нециклічні, то вона має дві різні максимальні підгрупи і , Які, як ми довели, централізують . Звідси випливає, що і централізує , Що неможливо. Отже, --- Циклічна максимальна підгрупа в . Група у нас -Залагодити. Будемо вважати, що міститься в Холловей -Підгрупі групи . Якщо максимальна в , То враховуючи, що циклічна, ми отримуємо, що, по теоремі, підгрупа залагодити. Але тоді і залагодити. Отримуємо протиріччя. Таким чином, не максимальна в . За умовою, в знайдеться така -Субнормальная підгрупа , Що . Так як , Ми отримуємо, що -Субнормальная в . По теоремі, . Знову одержали протиріччя. Лемма доведена.

Нехай --- Деяка -Замкнута насичена -Нільпотентні формація, --- Група c щільною системою -Субнормальних підгруп. Припустимо, що , --- -Група, НЕ -Нільпотентні, а всі її -Абнормальние максимальні підгрупи -Нільпотентні. Тоді справедливо одне з наступних тверджень:

1) --- Група Шмідта і ;

2) , Сіловская -Підгрупа з збігається з і є її мінімальної нормальної підгрупою;

3) , --- Доповнювана мінімальна нормальна підгрупа в , Що має індекс в , А підгрупа є циклічною, причому .

Доказ. За лемі, залагодити. Нехай --- Деяка -Абнормальної максимальна підгрупа з . Тоді, за умовою, деяка Холловей -Підгрупа входить до і нормалізує її сіловскую -Підгрупу . Так як --- -Група, то . А так як і -Нільпотентні, то з випливає, що . Розглянемо два випадки: і .

1. . За лемі, або максимальна в , Або -Субнормальная в . Нехай спочатку -Субнормальная в . Тоді, за теоремою, . Так як , То виходить, що --- Сіловская -Підгрупа з , Нормалізуюча . Це суперечить тому, що НЕ -Нільпотентні. Нехай тепер максимальна в . Тоді . Значить, або збігається з сіловской -Підгрупою , Або .

1.1. . Припустимо, що в є ненільпотентная -Нормальна максимальна підгрупа . Будемо вважати, що її Холловей -Підгрупа міститься в . Так як не максимальна в і , То, по лемі, -Субнормальная в , А значить, і в . Тепер за теоремою, , А значить, нільпотентні. Отже, --- Група Шмідта. Але тоді нормальна в , А значить, зважаючи теореми, не може бути абелевих. Таким чином, . Так як , То . Отже, --- Група типу 1).

1.2. не є сіловской -Підгрупою в . Тоді і Таким чином, є мінімальною нормальної підгрупою в . Розглянемо підгрупу . Підгрупа нормальна в і не -Нільпотентні. Підгрупа міститься в і характеристичною в . Так як --- Мінімальна нормальна підгрупа, то --- Сіловская -Підгрупа з . Нехай --- Така строго містить підгрупа з , Що максимальна в . З рівності випливає, що не є -Нільпотентні групою. Кожна власна підгрупа з не максимальна в і, по лемі, є -Субнормальной в , А значить, і в . Тепер по лемі, --- Мінімальна не -Група, тобто --- Група Шмідта. Таким чином, --- Циклічна -Група, . Так як , То . Лемма в цьому випадку доведена.

2. . Таким чином, --- Доповнення до підгрупи , Яка є в цьому випадку сіловской підгрупою в і до того ж мінімальної нормальної підгрупою. Якщо кожна власна підгрупа з -Субнормальная в , То по лемі, є групою Шмідта, тобто --- Група типу 3).

Припустимо, що не є групою Шмідта. Тоді в є не -Нільпотентні -Нормальна максимальна підгрупа , Холловей -Підгрупа якої входить до , Належить і, зважаючи теореми, не є -Субнормальной в (В іншому випадку, за теоремою, підгрупа була б -Нільпотентні). Виберемо в таку підгрупу , Що і максимальна в . Припустимо, що в є -Субнормальная в підгрупа , Не міститься в . Тоді, за теоремою, , Тобто . Тоді містить і , Тобто . Так як --- Мінімальна нормальна підгрупа, то . Будь власна підгрупа з не максимальна в і, по лемі, є -Субнормальной в . Тепер по лемі, застосованої до , Отримуємо, що --- Мінімальна не -Група. Таким чином, --- Група Шмідта. Значить, --- Примарний циклічна група. Так як розв'язна і --- Мінімальна нормальна підгрупа, то ми бачимо, що --- Група типу 2).

Отже, кожна підгрупа з , -Субнормальная в , Міститься в . Нехай --- Простий дільник індексу . Сіловская -Підгрупа з не входить до і тому не є -Субнормальной в . Тому по лемі, максимальна в . Звідси випливає, що . Лемма доведена.

Нехай --- Деяка -Замкнута насичена -Нільпотентні формація, --- Група c щільною системою -Субнормальних підгруп, і кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з -Нільпотентні. Тоді або є -Нільпотентні -Групою, або групою одного з типів:

1) --- Група Шмідта і ;

2) , Сіловская -Підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою в ;

3) , , Де --- Мінімальна нормальна підгрупа в , , циклічна, .

Доказ. Нехай не є -Нільпотентні -Групою. За лемі, залагодити. Нехай --- Формація всіх -Нільпотентні груп. Так як , То кожна -Абнормальної максимальна підгрупа є -Абнормальной, а значить, зважаючи на умови, і -Нільпотентні. За теремі, --- -Група, і тепер ми застосовуємо лему у разі . Лемма доведена.

Нехай --- Деяка -Замкнута насичена -Нільпотентні формація, --- Не -Нільпотентні група c щільною системою -Субнормальних підгруп і . Тоді будь-яка -Абнормальної максимальна підгрупа з або -Нільпотентні, або є біпрімарной групою Міллера - Морено.

Доказ. За лемі, залагодити. Нехай --- Не -Нільпотентні -Абнормальної максимальна підгрупа групи . За лемі, безліч всіх -Субнормальних підгруп в щільно. За лемі, кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з належить . По теоремі, --- -Група. Значить, --- Група типу 1), 2) або 3) леми. Надалі позначає формацію всіх -Нільпотентні груп. Нехай --- Група типу 1), тобто --- Група Шмідта з нормальною сіловской -Підгрупою і . Тоді не максимальна в . За умовою, в є -Субнормальная підгрупа така, що . Крім того, . Виходить, що -Субнормальная в , А значить, і в . По теоремі, , Що неможливо. Отже, або типу 2), або типу 3) з леми.

1. , . Тоді Холловей -Підгрупа групи строго містить деяку .

Припустимо, що --- Типу 2). Нехай --- Довільна власна підгрупа з . Так як не максимальна в , То існує -Субнормальная в підгрупа така, що . Підгрупа буде -Субнормальная в . Тому й буде -Субнормальная в . По теоремі, , Тобто . Таким чином, кожна власна підгрупа з -Нільпотентні, а значить, --- Група Шмідта, в якій --- Мінімальна нормальна підгрупа. Значить, в цьому випадку лема вірна.

Отже, --- Група типу 3), тобто , --- Доповнювана мінімальна нормальна підгрупа в , Сіловская -Підгрупа з циклічна і . Якщо -Субнормальная в , То, за теоремою, нільпотентні і, значить, , Що неможливо. Значить, НЕ -Субнормальная в . Якщо не максимальна в , То, за умовою, в знайдеться -Субнормальная підгрупа така, що . Виходить, що --- Нормальна підгрупа -Субнормальной вирішуваною -Підгрупи , А тому буде -Субнормальной в . Отже, максимальна в , А значить, . Нехай --- Сіловская -Підгрупа з , Що є доповненням до в , Очевидно, . Так як не максимальна в , То для деякої -Субнормальной підгрупи з . Тоді . Так як , То ми бачимо, що не міститься в . Зважаючи леми, -Абнормальние максимальні підгрупи -Абнормальної максимальних підгруп з належать , Тому, за теоремою, маємо . Виходить, що . Згадуючи, що --- Мінімальна нормальна підгрупа в , Ми отримуємо, що міститься в мінімальна нормальна підгрупа групи збігається з , Або з . Випадок не можливий, тому що і НЕ -Нільпотентні. Значить, . Розглянемо -Нільпотентні підгрупу . За умовою, міститься в деякій підгрупі з , Яка -Субнормальная в . Так як , То буде -Абнормальної в , А значить, і в . Тоді, за теоремою, -Нільпотентні, що суперечить тому, що НЕ -Нільпотентні. Випадок 1 повністю розглянутий.

2. . Будемо доводити цей випадок по індукції, використовуючи той вже доведений нами факт, що для -Абнормальної максимальних підгруп, індекс яких не є ступенем , Затвердження леми виконується. Нам треба розглянути дві можливості: --- Якого типу 2), або типу 3) з леми.

Розглянемо спочатку випадок, коли типу 2), тобто , Сіловская -Підгрупа з збігається з і є мінімальною нормальної підгрупою в . Ясно, що містить сіловскую -Підгрупу групи , А нормальна в ; А крім того, Холловей -Підгрупа з є Холловей -Підгрупою в . Підгрупа є -Абнормальной максимальної підгрупою в , Крім того, --- Холловей -Підгрупа в . Якщо --- Будь-яка -Абнормальної максимальна підгрупа з , Не сполучена з , То індекс не ділиться на . Але тоді --- -Абнормальної максимальна підгрупа в з індексом, не діляться на . За доведеним, або -Нільпотентні, або є групою Міллера-Морено. Будемо вважати, що . Зауважимо, що . Якщо --- -Замкнута група Міллера-Морено, то --- Мінімальна нормальна підгрупа в і, значить, , Що неможливо. Таким чином, в всі -Абнормальние максимальні підгрупи -Нільпотентні. По теоремі, --- -Група. Згадуючи, що , Отримуємо . Припустимо, що в є максимальна підгрупа така, що НЕ -Нільпотентні. По теоремі, НЕ -Субнормальная в . Так як не максимальна в , То для деякої власної -Субнормальной підгрупи з . Значить, . Підгрупа максимальна в і міститься в . Тому . Так як і , То є власною -Субнормальной підгрупою в , І тому є власною підгрупою в . Так як НЕ -Нільпотентні, то . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі з . За індукції, або -Нільпотентні, або є групою Міллера-Морено. Припустимо, що --- Група Міллера-Морено. Тоді , Де максимальна в , А --- Мінімальна нормальна підгрупа в . Так як і , То , Що неможливо, так як --- Власна підгрупа в . Значить, -Нільпотентні і, більше того, належить . Якщо не максимальна в , То, за умовою, , Де -Субнормальная в . Але тоді -Субнормальная в , Що неможливо. Таким чином, максимальна в і, значить, , Де . Так як і максимальна в і має сіловскую -Підгрупу порядку , То --- Максимальна нормальна підгрупа в , А значить, --- Теж елементарна абелева -Група.

2.1. , . Так як --- Мінімальна нормальна підгрупа в , То . По теоремі Машка, , Де . Так як , То -Головні чинники і центральні. Але тоді і містяться в . Якщо , То з випливає, що , А це суперечить тому, що --- -Ексцентральний головний чинник у . Значить, . Розглянемо підгрупу . Підгрупа не максимальна в , Тому , Де --- Деяка -Субнормальная підгрупа з . Так як , То не може бути -Субнормальной в . Тому . З максимальності в виводимо, що збігається або з , Або з . В обох випадках . Звідси і з -Субнормального підгрупи випливає, що -Субнормальная в , І ми приходимо до протиріччя.

2.2. , . Так як , То головні чинники і ізоморфні, звідки виводимо, що міститься в . Але тоді --- Непоодинокі підгрупа з , Що неможливо, так як -Ексцентральна. Отримали суперечність.

2.3. . Так як , То з випливає, що , А це суперечить мінімальності в . Тому залишається прийняти, що . Це означає, що -Нільпотентні. Але була обрана раніше так, що НЕ -Нільпотентні. Знову одержали протиріччя.

Таким чином, в немає максимальних підгруп таких, що НЕ -Нільпотентні. Виходить, що --- Мінімальна не -Нільпотентні група з мінімальною нормальної підгрупою , Тобто --- Група Міллера-Морено.

Нехай тепер --- Група типу 3), тобто , --- Доповнювана мінімальна нормальна підгрупа в , Яка не є сіловской в , А сіловская -Підгрупа з є циклічною і . Якщо -Субнормальная в , То -Нільпотентні по теоремі і, крім того, доповнення до в теж -Нільпотентні. А це суперечить тому, що НЕ -Нільпотентні. Тому надалі ми будемо мати на увазі, що НЕ -Субнормальная в .

Якщо не максимальна в , То за умовою, , Де -Субнормальная в . Так як , То виходить, що -Субнормальная в , Що неможливо. Отже, максимальна в . Нехай --- Додаток до в , А --- Додаток до в сіловской -Підгрупі з . Тоді , . Підгрупа не максимальна в , Але максимальна в , Тобто . Тому, за умовою, існує -Субнормальная підгрупа така, що . Значить, міститься в максимальній підгрупі групи , Яка містить . Рівність показує тепер, що не міститься в . Підгрупа максимальна в , Оскільки її індекс дорівнює . Так як --- Власна -Субнормальная підгрупа в , То не дорівнює , Але містить . Значить, . Але --- Власна -Субнормальная підгрупа в , Тому . Виходить, що --- Власна підгрупа з . Ясно, що міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі групи . Для лема вірна по індукції, тому або -Нільпотентні, або є групою Міллера-Морено. Якщо -Нільпотентні, то з виводимо, що і тому , Що неможливо. Таким чином, --- Група Міллера-Морено, у якої --- Сіловская -Підгрупа. Але тоді з огляду на те, що і , Ми отримуємо . Знову одержали протиріччя. Лемма доведена.

Нехай --- -Група, яка не належить непорожній -Замкнутої -Нільпотентні формації такий, що містить і не збігається з безліччю всіх простих чисел. Скажімо, що є:

1) групою типу , Якщо - Не -Нільпотентні -Група Шмідта з ;

2) групою типу , Якщо , , нециклічні, --- Мінімальна нормальна підгрупа в , є нільпотентні максимальної підгрупою в , А будь-яка інша максимальна підгрупа з , Що містить , Є групою Міллера-Морено;

3) групою типу , Якщо , , , , В є нільпотентні -Нормальна максимальна підгрупа, а також -Абнормальної максимальна підгрупа, яка є групою Міллера - Морено;

4) групою типу , Якщо , , Де , , нормальна в , циклічна, --- Мінімальна нормальна підгрупа в , Є точно три класи пов'язаних максимальних підгруп, представниками яких є , і ;

5) групою типу , Якщо , --- Мінімальна нормальна підгрупа в , є циклічною максимальної підгрупою в , --- Або група Міллера-Морено, або група типу , і --- Група Фробеніуса;

6) групою типу , Якщо , і якщо , і --- Сіловская база групи , То нормальна в , нормальна в , Одна з підгруп , нормальна в , максимальна в , Є точно три класи пов'язаних максимальних підгруп в , Представниками яких є: --- Група Міллера-Морено, і ;