Загальні властивості кінцевих груп з умовою щільності для F-субнормальних підгруп

Міністерство освіти Республіки Білорусь

Заклад освіти

«Гомельський державний університет

ім. Ф. Скорини »

Математичний факультет

Кафедра алгебри та геометрії

ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ КІНЦЕВИХ ГРУП З умовах щільність ДЛЯ -Субнормальний ПІДГРУПИ

Курсова робота

Виконавець:

Студентка групи М-33 ____________

Циганцова А.Ю.

Науковий керівник:

Канд. фіз-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2005

Зміст

Перелік умовних позначень

Введення

1 Визначення і основні властивості кінцевих груп з умовою щільності для-субнормальних підгруп

2 Властивості максимальних підгруп в групах з щільною системою -Субнормальних підгруп

3 Опис кінцевих не-груп з щільною системою-субнормальних підгруп

Висновок

Література

Перелік умовних позначень

У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Використовуються позначення, прийняті в книгах. Літерами позначаються прості числа.

Будемо розрізняти знак включення множин і знак суворого включення ;

і --- Відповідно знаки перетину та об'єднання множин;

--- Пусте безліч;

--- Безліч всіх , Для яких виконується умова ;

--- Безліч всіх простих чисел;

--- Деякий безліч простих чисел, тобто ;

--- Додаток до у безлічі всіх простих чисел; зокрема, ;

примарний число --- будь-яке число виду ;

--- Безліч всіх цілих позитивних чисел.

--- Деякий лінійне впорядкування безлічі всіх простих чисел .

Запис означає, що передує в упорядкуванні , .

Нехай --- Група. Тоді:

--- Порядок групи ;

--- Порядок елемента групи ;

--- Одиничний елемент і одинична підгрупа групи ;

--- Безліч всіх простих дільників порядку групи ;

--- Безліч всіх різних простих дільників натурального числа ;

- Група --- група , Для якої ;

--- Підгрупа Фраттіні групи , Тобто перетин всіх максимальних підгруп групи ;

--- Підгрупа фіттінги групи , Тобто твір всіх нормальних нільпотентні підгруп групи ;

--- Коммутант групи ;

--- - Холловская підгрупа групи ;

--- Сіловская - Підгрупа групи ;

--- Додаток до сіловской - Підгрупі в групі , Тобто - Холловская підгрупа групи ;

--- Група всіх автоморфизмов групи ;

--- є підгрупою групи ;

нетривіальна підгрупа --- непоодинокі власна підгрупа;

--- є нормальною підгрупою групи ;

--- Підгрупа характеристичною в групі , Тобто для будь-якого автоморфізм ;

--- Індекс підгрупи в групі ;

;

--- Централизатор підгрупи в групі ;

--- Нормалізатор підгрупи в групі ;

--- Центр групи ;

--- Циклічна група порядку ;

Якщо і --- Підгрупи групи , То:

--- Пряме твір підгруп і ;

--- Півпрямі твір нормальної підгрупи і підгрупи .

Група називається:

примарний, якщо ;

біпрімарной, якщо .

Дужки застосовуються для позначення підгруп, породжених деякими безліччю елементів або підгруп.

--- Підгрупа, породжена всіма , Для яких виконується .

Групу називають - Нільпотентні, якщо .

Групу порядку називають - Дісперсівной, якщо виконується і для будь-якого має нормальну підгрупу порядку . Якщо при цьому впорядкування таке, що завжди тягне , То - Дісперсівная група називається дісперсівной по Оре.

Ланцюг --- це сукупність вкладених один в одного підгруп. Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю. Ланцюг називається -Ланцюгом (з індексами ); Якщо при цьому є максимальною підгрупою в для будь-якого , То зазначена ланцюг називається максимальною -Ланцюгом.

Ряд підгруп називається:

субнормальний, якщо для будь-якого ;

нормальним, якщо для будь-якого .

Нормальний ряд називається головним, якщо є мінімальною нормальної підгрупою в для всіх .

Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмом, позначаються прописними готичними літерами. Так само позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгруппамі і подпрямих творів. За деякими класами закріплені стандартні позначення:

--- Клас всіх груп;

--- Клас всіх абелевих груп;

--- Клас всіх нільпотентні груп;

--- Клас всіх розв'язаних груп;

--- Клас всіх - Груп;

--- Клас всіх сверхразрешімих груп.

Нехай --- Деякий клас груп і --- Група, тоді:

--- - Корадікал групи , Тобто перетин всіх тих нормальних підгруп з , Для яких . Якщо --- Формація, то є найменшою нормальної підгрупою групи , Факторгруппамі по якій належить . Якщо --- Формація всіх сверхразрешімих груп, то називається сверхразрешімим корадікалом групи .

Формація називається насиченою, якщо завжди з випливає, що і . Клас груп називається спадковим або -Замкнутим, якщо з того, що , Випливає, що і кожна підгрупа групи також належить .

Нехай --- Деяка непорожній формація. Максимальна підгрупа групи називається:

-Нормальною, якщо ;

-Абнормальной, якщо .

Максимальна -Ланцюг називається -Субнормальной, якщо для будь-якого підгрупа -Нормальна у . Підгрупа групи називається -Субнормальной, якщо існує хоча б одна -Субнормальная максимальна -Ланцюг.

Група називається групою з щільною системою -Субнормальних підгруп, якщо для будь-яких двох різних підгруп і групи , З яких перша міститься в другій і не максимальна в ній, у групі існує така -Субнормальная підгрупа , Що . У цьому випадку також кажуть, що безліч -Субнормальних в підгруп щільно.

Введення

Вивчення будови груп за заданими властивостями системи їх підгруп є одним з основних напрямків у теорії кінцевих груп. Зазначимо, що темп і глибина таких досліджень безперервно зростають. Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Як властивостей, що накладаються на системи підгруп, розглядалися абелевих, нормальність, субнормального, доповнюваність і ін Цей напрямок одержав широкий розвиток в роботах багатьох провідних алгебраїстів.

З дедекіндових груп, тобто груп, у яких нормальні все підгрупи, почалося вивчення різних (як кінцевих, так і нескінченних) груп, у яких деяка система підгруп задовольняє умові нормальності. Опис кінцевих дедекіндових груп дано в роботі Р. Дедекинда, а нескінченних в роботі Р. Бера. Ці роботи визначили важливий напрям досліджень у теорії груп. Головною метою цього напрямку є опис узагальнено дедекіндових груп. Ці узагальнення дедекіндових груп здійснюються або шляхом звуження системи підгруп , Тобто підгруп нормальних у всій групі, або ослаблення властивості нормальності для підгруп з . Серед таких узагальнень виділимо наступні дослідження.

Перше істотне узагальнення дедекіндових груп належить О.Ю. Шмідту. Він описав кінцеві групи з одним і двома класами пов'язаних ненормальних підгруп, а також встановив нільпотентні кінцевої групи, у якій нормальні все максимальні підгрупи. Кінцеві групи з нормальними -Тими максимальними підгрупами вивчали Б. Хупперт і З. Янко. Д. Баклі вивчав кінцеві групи, у яких нормальні все мінімальні підгрупи.

Значні розширення класу дедекіндових груп виникають при переході від умови нормальності до різних її узагальнень, як, наприклад, до квазінормальності, субнормального, нормалізаторним умов і ін

На початку 70-х років з ініціативи С. Н. Черникова почалося вивчення груп з щільними системами підгруп. Система підгруп групи , Що володіє деякими властивістю , Називається щільною в , Якщо для будь-яких двох підгруп з , Де не максимальна в , Знайдеться -Підгрупа така, що . Групи з щільною системою доповнюються підгруп були вивчені С. Н. Черніковим.

У 1974 році С. Н. Черніков поставив наступне питання: яке будова групи , В якій безліч всіх її субнормальних підгруп щільно? Відповідь на це питання була отримана А. Манном і В. В. Пилаєва.

Зауважимо, що в теорії формацій поняття субнормального узагальнюється наступним чином. Кажуть, що підгрупа є -Субнормальной в , Якщо існує ланцюг підгруп

така, що є -Нормальної максимальної підгрупою в для будь-якого . Якщо збігається з класом всіх нільпотентні груп (який є, звичайно, -Замкнутої насиченою формацією), то -Субнормальная підгрупа виявляється субнормальной.

У зв'язку з розвитком теорії формацій велика увага стала приділятися дослідженню кінцевих груп, насичених - Підгрупами, - Субнормальних або - Абнормальної підгрупами. У цьому напрямку проводили свої дослідження Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмід, Хоукс та інші.

Ясно, що питання С. Н. Чернікова можна сформулювати в такій загальній формі: якщо --- -Замкнута насичена формація, то яке будова групи, в якій безліч всіх її -Субнормальних підгруп щільно?

У такому вигляді запитання С. Н. Чернікова був досліджений в роботі для випадку, коли --- Клас всіх -Нільпотентні груп. У цій роботі ми досліджуємо це питання у випадках, коли --- Довільна -Замкнута насичена формація або -Нільпотентні, або -Дісперсівних, або сверхразрешімих груп.

1. Визначення та основні властивості кінцевих груп з умовою щільності для -Субнормальних підгруп

Опишемо спочатку загальні властивості кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна насичена -Замкнута формація.

Нехай --- Непорожній -Замкнута насичена формація, --- Підгрупа групи . Тоді справедливі наступні твердження:

1) ;

2) якщо -Субнормальная в і є подформаціей формації , То -Субнормальная в .

Доказ. 1) З того, що

випливає, що . Це означає, що .

2) Так як , То і . Звідси випливає, що кожна -Нормальна максимальна підгрупа є -Нормальної максимальною. Лемма доведена.

Нехай --- Непорожній -Замкнута насичена формація. Якщо множина всіх -Субнормальних підгруп щільно в групі , То справедливі наступні твердження:

1) якщо , То в множина всіх -Субнормальних підгруп щільно;

2) якщо --- Підгрупа з , То безліч всіх -Субнормальних підгруп з є щільним в .

Доказ. 1) Нехай --- Нормальна підгрупа групи . У фактор-групі розглянемо дві довільні підгрупи , З яких перша не максимальна у другій. Тоді і не максимальна в . За умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Отже, -Субнормальная в .

2) Нехай --- Підгрупа з і --- Дві довільні підгрупи з такі, що не максимальна в . Тоді, за умовою, в існує -Субнормальная підгрупа , Для якої . Зважаючи леми, -Субнормальная в . Лемма доведена.

Якщо --- -Субнормальная підгрупа групи , То

Доказ. За визначенням, існує ланцюг

така, що є -Нормальної максимальної підгрупою в при будь-якому . Таким чином, і тому

для кожного . Отже, .

Нехай --- Непорожній -Замкнута насичена формація, --- Група, у якій безліч всіх її -Субнормальних підгруп щільно. Справедливі наступні твердження:

1) якщо --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи , То або , Або кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з належить ;

2) якщо і , То або максимальна в , Або -Субнормальная в .

Доказ. Доведемо спочатку 1). Нехай --- -Абнормальної максимальна підгрупа, яка не належить . Припустимо, що має -Абнормальной максимальної підгрупою , Не належить . Тоді в є -Абнормальної максимальна підгрупа . За умовою, в знайдеться така -Субнормальная підгрупа , Що . Ясно, що . За лемі,

Так як -Субнормальная, то вона міститься в -Нормальної максимальної підгрупі, і тому . Значить, . Останнє суперечить наступного:

Доведемо 2). Нехай і . Припустимо, що не максимальна в . За умовою, в знайдеться така -Субнормальная підгрупа , Що . Так як -Замкнута, то . Тому -Субнормальная в . Тепер ясно, що -Субнормальная в . Лемма доведена.

Нехай --- Насичена -Замкнута формація, --- Група з нормальною сіловской -Підгрупою , Яка задовольняє таким умовам:

1) ;

2) Холловей -Підгрупа -Групи є максимальною в і належить ;

3) будь-яка власна підгрупа з -Субнормальная в .

Тоді є мінімальної не -Групою.

Доказ. З умови прямо випливає, що збігається з і є мінімальною нормальної підгрупою в . Зрозуміло, що кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з пов'язана з і тому належить . Нехай --- Довільна -Нормальна максимальна підгрупа з . Тоді . Так як -Замкнута, то . Підгрупа є власною в і за умовою -Субнормальная в . По теоремі,

Отже, кожна максимальна підгрупа з належить . Лемма доведена.

2. Властивості максимальних підгруп в групах з щільною системою -Субнормальних підгруп

В даному розділі вивчаються властивості максимальних підгруп кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна насичена -Замкнута формація.

Нехай далі --- Деяке фіксоване впорядкування безлічі всіх простих чисел.

Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- -Дісперсівная група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить , У якій всі -Абнормальние максимальні підгрупи належать . Тоді справедливо одне з наступних тверджень:

1) --- Максимальна підгрупа в ;

2) --- Максимальна в -Абнормальной максимальної підгрупі з .

Доказ. Нехай --- Група мінімального порядку, для якої лема не вірна. По теоремі --- -Група. Нехай --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи . Тоді містить деяку -Холловей підгрупу . За нашим припущенням, не максимальна в . Тоді по лемі -Субнормальная в . Якщо --- -Максимальний простий дільник , То підгрупа нормальна в . Тоді, за теоремою,

Протиріччя. Нехай --- Безліч простих дільників порядку групи , Великих при упорядкуванні . За доведеним вище безліч не порожньо. Тоді . За індукції максимальна в . Протиріччя. Лемма доведена.

Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- -Дісперсівная група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить . Тоді будь-яка -Абнормальної максимальна підгрупа з або належать , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою.

Доказ. Припустимо, що твердження леми не виконуються і в існує -Абнормальної максимальна підгрупа , Не задовольняє твердженням леми. Зважаючи леми і теореми, , Де --- -Абнормальної максимальна підгрупа з , --- -Група, . Очевидно, що містить деяку -Холловей підгрупу з .

1. Припустимо, що . Якщо , То кожна -Нормальна максимальна підгрупа групи буде мати вигляд , Де --- Деяка максимальна підгрупа з . Так як не максимальна в , То, по лемі, -Субнормальная в . Тоді по теоремі і --- Мінімальна не -Група. Припустимо тепер, що . Якщо припустити, що , То не максимальна в . Тоді . Якщо НЕ -Максимальний простий дільник порядку групи , То в існує нормальна сіловская -Підгрупа , . Тоді підгрупа

Якщо -Холловей підгрупа з не максимальна в , То застосовуючи лему і теорему, одержуємо, що . Нехай максимальна в . Тоді кожна власна підгрупа з буде не максимальна в і, отже, по лемі, -Субнормальная в . Якщо підгрупа , То, за теоремою, . максимальна в , Тому що в противному випадку не максимальна в . Застосовуючи лему і теорему, одержуємо, що --- Мінімальна не -Група і -Корадікал групи є сіловской -Підгрупою. Оскільки за нашим припущенням , То порядок групи ділиться на і, отже, . Тоді, за теоремою, . Протиріччя. Значить, --- -Максимальний простий дільник порядку групи . Тоді і кожна власна підгрупа з не максимальна в . Якщо -Субнормальная в , То по теоремі . Так як не максимальна в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що

Так як , То

Звідси випливає, що і . Очевидно, що . Підгрупа міститься в деякій -Нормальної максимальної підгрупі з .

1.1

Тоді --- -Максимальний простий дільник порядку групи і сіловская -Підгрупа групи нормальна в . Звідси випливає, що . Так як --- -Група, то міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі групи . За індукції або належить формації, або є мінімальної не -Групою. Якщо --- Мінімальна не -Група, то і . Протиріччя. Значить, . Нехай --- -Головний фактор із . Але так як , То --- -Головний фактор і виконується ізоморфізм . Так як , То --- -Центральний -Головний фактор. Протиріччя.

1.2 ,

Так як , То міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі групи . Тоді в існує -Абнормальної максимальна підгрупа . Якщо не максимальна в , То, по лемі, -Субнормальная в . Протиріччя. Значить, максимальна в . За умовою знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що

Так як , То . Якщо , То і, отже, -Субнормальная в . Значить, . Але тоді -Субнормальная в . Протиріччя.

2. і --- Мінімальна нормальна підгрупа в . Якщо кожна максимальна підгрупа з -Субнормальная в , То --- Мінімальна не -Група. Значить, в знайдеться максимальна підгрупа , Не -Субнормальная в . Очевидно, що . Розглянемо підгрупу . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі з . Так як не максимальна в , То, за умовою, в існує -Субнормальная підгрупа така, що . Так як і , То . Розглянемо підгрупу . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі з . За індукції або належить , Або є мінімальної не -Групою.

2.1

Тоді . Якщо припустити, що є -Максимальним простим дільником порядку групи , , То сіловская -Підгрупа нормальна в і, по теоремі,

Значить, --- -Максимальний простий дільник порядку групи . Це означає, що і . Нехай --- Мінімальна не -Група. Тоді збігається з сіловской -Підгрупою групи і, отже, . Отримали, що . З іншого боку, -Субнормальная в , А значить, і в . Тому

Протиріччя. Значить, . Це означає, що . З того, що максимальна в , А максимальна в , Випливає, що --- Абелева доповнювана в підгрупа. Так як і , То і . По теоремі Гашюца має доповнення в . Так як не максимальна в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . З того, що випливає, що . Але тоді -Субнормальная в . Протиріччя.

2.2

Тоді --- Сіловская -Підгрупа групи . Розглянемо -Холловей підгрупу групи , Що містить . Так як , То міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі групи . Якщо не максимальна в , То буде -Субнормальная в . Тому максимальна в . Зважаючи теореми --- -Група. Якщо , То, згідно доведеному вище, лема вірна. Значить, --- Мінімальна нормальна підгрупа в . максимальна в . Підгрупа міститься в деякій -Абнормальной максимальної підгрупі групи . Так як не максимальна в , То, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . Так як , То . Але підгрупа буде міститися в підгрупі групи . Якщо , То -Субнормальная в . Якщо ж , То отримуємо протиріччя з тим, що --- -Абнормальної максимальна підгрупа групи . Теорема доведена

3. Опис звичайно не -Груп з щільною системою -Субнормальних підгруп

У роботі Закревської Л.М. був досліджений питання про будову групи , В якій безліч всіх її -Субнормальних підгруп щільно для випадку, коли --- Клас всіх -Нільпотентні груп. При розгляді довільній формації можливий випадок, коли . Будова таких груп досліджується в у даному розділі.

Нехай --- Довільна насичена -Замкнута формація, --- Група з щільною системою -Субнормальних підгруп, яка не належить формації , . Тоді залагодити.

Доказ. Нехай і --- Група мінімального порядку, для якої теорема не вірна. Так як , То містить всі сіловскіе -Підгрупи, . Отже, кожна -Субнормальная підгрупа повинна містити всі сіловскіе -Підгрупи, .

Нехай --- Сіловская -Підгрупа групи і . Тоді якщо в ній існує друга максимальна підгрупа, то, за умовою, знайдеться -Субнормальная підгрупа така, що . Тоді, за доведеним, містить всі сіловскіе -Підгрупи, . Протиріччя. Значить, в немає других максимальних підгруп і .

Припустимо, що . Тоді кожна максимальна підгрупа групи буде -Абнормальной в . Нехай деяка непоодинокі сіловская підгрупа групи . Якщо припустити, що в існує друга максимальна підгрупа, то, за умовою, знайдеться -Субнормальная в підгрупа така, що . Звідси випливає, що . Протиріччя. Отже, --- Просте число. Отримали, що кожна непоодинокі сіловская підгрупа з має простий порядок і, значить, розв'язана, що суперечить нашим припущенням.

Нехай тепер . Так як, за доведеним, , То . Тоді по індукції --- Здійсненне група. За доведеним, кожна сіловская підгрупа фактор-групи має простий порядок, і, значить, залагодити. Отже, можна залагодити й сама група . Лемма доведена.

Нехай --- Непорожній -Замкнута насичена формація, --- Група, в якій безліч всіх -Субнормальних підгруп щільно, . Тоді --- Група одного з таких типів:

1) , , ;

2) , , максимальна в , , ;

3) , , .

Доказ. За лемі, залагодити. Так як , То ясно, що . Покладемо і розглянемо Холловей -Підгрупу групи . Якщо одинична підгрупа не є максимальною в , То існує -Субнормальная в підгрупа така, що . За лемі, і, значить, --- -Група. Отримали суперечність. Таким чином, дорівнює або 1, або є простим числом.

Розглянемо тепер Холловей -Підгрупу групи . Нехай --- Нормальна максимальна підгрупа з . Нехай , . Якщо 1 не максимальна в , То між 1 і можна вставити -Субнормальную підгрупу, індекс якої, по лемі, є -Числом. Зрозуміло, що цей індекс ділиться на . Отримуємо протиріччя. Значить, дорівнює або квадрату простого числа, або простого числа, або добутку двох різних простих чисел.

Якщо , То ясно, що або типу 1), або типу 3). Нехай --- Просте число. Якщо --- Просте число, то --- Група типу 1). Нехай , Де --- Прості числа. Припустимо, що в існує підгрупа порядку . Так як 1 не максимальна в , То між 1 і існує, за умовою, -Субнормальная підгрупа, індекс якої, по лемі, є -Числом. Але цей індекс ділиться і на . Залишається прийняти, --- Максимальна підгрупа групи . Але тоді і --- Група типу 2). Теорема доведена.

Наведемо приклад, який показує, що класи груп, перераховані в теоремі, не порожні.

Нехай --- Така -Замкнута насичена формація -Нільпотентні груп, що не збігається з безліччю всіх простих чисел. Нехай --- Будь-яке просте число, що не входить в . Тоді будь-яка група порядку , Де --- Будь-яке просте число, є групою типу 1), а всяка група порядку або є групою типу 3) теореми. Припустимо, що і існує таке просте число , Що і (Зокрема, можна взяти і ). У сплетінні групи порядку з групою порядку візьмемо підгрупу Шмідта . Тоді має порядок і є групою типу 2) теореми.

Висновок

У даній роботі розглядалися кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп, де --- Довільна -Замкнута насичена формація. У першому розділі даної глави встановлено загальні властивості, які можуть бути використані для вивчення будови кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп. У другому розділі досліджуються властивості максимальних підгруп в кінцевих групах з щільною системою -Субнормальних підгруп. Зокрема, встановлено, що в -Дісперсівной групі з щільною системою -Субнормальних підгруп кожна -Абнормальної максимальна підгрупа або належать , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальної підгрупою. У третьому розділі даної глави описані кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп у випадку, коли --- Довільна -Замкнута насичена формація і .

Література

1.Гольфанд Ю.А. Про групи, всі підгрупи яких спеціальні / / Докл. АН СРСР. --- 1948. --- Т. 60, № 8. --- C. 1313 - 1315.

2.Закревская Л.М. Кінцеві групи з щільною системою -Субнормальних підгруп / / в кн: Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп. --- Мінськ: Наука і техніка, 1984. --- 71 - 88.

3.Закревская Л.М. Кінцеві групи з -Щільної системою підгруп / / в кн: Арифметичне і підгруповий будова кінцевих груп. --- Мн.: Наука і техніка, 1986. --- 59 - 69.

4.Каморніков С.Ф., Селькін М.В. Подгрупповие функтори і класи кінцевих груп. --- Мінськ: Бел. навука, 2003. --- 254 с.

5.Кехмадзе Ш.С. Квазінільпотентние групи / / Докл. АН СРСР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003 - 1005.

6.Монахов В.С. Про вплив властивостей максимальних підгруп на будову кінцевої групи / / матем. заст. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183 - 190.

7.Пилаев В.В. Кінцеві групи з щільною системою субнормальних підгруп / / в кн: Деякі питання теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1975. --- С. 197 - 217.

8.Пилаев В.В. Кінцеві групи з узагальнено щільною системою субнормальних підгруп / / в кн: Дослідження з теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1976. --- С. 111 - 138.

9.Семенчук В.М. Мінімальні НЕ -Групи / / Алгебра і логіка. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348 - 382.

10.Черніков С.Н. Групи з щільною системою доповнюються підгруп / / Деякі питання теорії груп. --- Київ: Ін-т математики АН УРСР, 1975. --- С. 5 - 29.

11.Черніков С.Н. Групи з заданими властивостями системи нескінченних підгруп / / Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111 - 131.

12.Черніков С.Н. Про нормалізаторном умови / / Мат. нотатки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45 - 50.

13.Чуніхін С.А. Про -Властивості кінцевих груп / / матем. СБ --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- С. 321 - 346.