2. Опис -Формацій Шеметкова

Введемо таке визначення.
Визначення. Формація називається -Формацією Шеметкова, якщо будь-яка мінімальна не -Група --- або група Шмідта з ненормальною циклічної -Сіловской підгрупою, або група простого порядку.
Наведемо приклад -Формацій Шеметкова.
2.1 Приклад. У класі кінцевих розв'язаних груп формація всіх -Замкнутих груп є -Формацією Шеметкова.
Дійсно. Нехай --- Довільна мінімальна не -Група. Так як НЕ -Замкнута, то . Нехай . Згідно з теоремою 2.2.5, , Де --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа з , --- -Група, , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Покажемо, що . Дійсно, в іншому випадку, з того факту, що -Замкнута і -Замкнута, випливає, що -Замкнута. Отримуємо протиріччя. Відомо, що формацію можна представити у вигляді . Згідно лемі 2.2.20, формація має максимальний внутрішній локальний екран такий, що . Очевидно, що будь-яка мінімальна не -Група є група простого порядку . Отже, --- Група Шмідта з ненормальною циклічної підгрупою простого порядку . Нехай . Вище показано, що --- Група Шмідта з ненормальною циклічної -Сіловской підгрупою. Згідно лемі 3.1.1, --- Група Шмідта з ненормальною циклічної -Сіловской підгрупою. Отже, --- -Формація Шеметкова.
2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація. Тоді наступні твердження еквівалентні:
1) --- -Формація Шеметкова;
2) , Де і .
Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2).
Ясно, що формація є формацією Шеметкова. Тоді, згідно лемі 2.2.22, ця формація має наступну будову:

де --- Максимальний внутрішній локальний екран . Спочатку доведемо, що , Де --- Будь-яке просте число з . Припустимо, що це не так. Тоді знайдеться просте число , Але . Позначимо через групу простого порядку . Очевидно, що і . Так як , То існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай . Покажемо, що . Так як точний, то . Так як , То, очевидно, що . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Так як і , То неважко помітити, що . Отже, . Так як , То це неможливо з огляду на те, що --- -Формація Шеметкова. Отже, для будь-якого з . Звідси, зокрема, випливає, що . Враховуючи дані факти, неважко показати, що рівність (5.1) приймає наступний вигляд:

Використовуючи лему 5.1.2, рівність (5.2) приводиться до вигляду:

де --- Деякий безліч простих чисел, що містить число .
Покажемо, що з 2) слід 1).
Дійсно, що --- Довільна мінімальна не -Група. Згідно з умовою, можна вирішити. Нехай . Згідно з теоремою 2.2.5, , Де --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа, --- -Група і , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Якщо , То з того факту, що , Випливає, що . Отримали протиріччя. Тоді . Згідно лемі 2.2.20, насичена формація має повний локальний екран такий, що . Очевидно, що . Так як , То очевидно, що . Отже, будь-яка мінімальна не -Група з або група простого порядку, або група Шмідта з ненормальною -Сіловской підгрупою. Згідно лемі 2.2.21, це ж вірно, коли . Отже, --- -Формація Шеметкова. Теорема доведена.
2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена -Формація Шеметкова. Формація містить будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на , Тільки в тому випадку, коли --- Формація -Замкнутих груп.
Доказ. Нехай --- -Формація Шеметкова. Згідно з теоремою 5.2.2, вона має наступну будову:

де . Якщо , То --- Формація -Замкнутих груп. Так як індекси , не діляться на , То і містять сіловскую -Підгрупу групи . За умовою, і -Замкнуті. Звідси випливає, що -Замкнута. Нехай безліч містить просте число . Покажемо, що в цьому випадку твердження леми невірно. Нехай --- Група порядку . Нехай --- Просте число, відмінне від і . Так як , То існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай . Так як і має єдину мінімальну нормальну підгрупу, то згідно лемі 2.2.18, існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай . Так як , То, як і вище, існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай .
Розглянемо наступні дві підгрупи: і . Ясно, що . Підгрупи і -Замкнуті, причому індекси , не діляться на . Якби група була б -Замкнута, то тоді була б нормальною підгрупою в групі , Що неможливо. Отже, твердження леми вірно тільки тоді, коли . Лема доведена.
2.4 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай --- -Здійсненне група, , Де , , Індекси , не діляться на . Тоді .
Доказ. Доказ проведемо індукцією по порядку . Нехай --- Мінімальна нормальна підгрупа . Так як --- -Здійсненне група, то або -Група, або -Група. Якщо --- -Група, то . Згідно індукції, . Отримали протиріччя.
Нехай --- -Група. Так як , не діляться на , То . Так як --- Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи і , То . Розглянемо підгрупу . Так як , --- -Група, , То неважко показати, що --- -Група. Так як , То --- -Замкнута група. Аналогічним чином можна довести, що --- -Замкнута група. Звідси випливає, що --- -Замкнута група. А це означає, що . Отримаємо протиріччя. Лема доведена.

3. Критерій приналежності груп, факторізуемих підгрупами, індекси яких не діляться на деякий просте число, спадково насиченим формаціям

У даному розділі в класі вирішуваних груп отримано опис спадкових формацій Фиттинг , Що містять будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на деяке фіксоване просте число .
3.1 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова насичена формація, яка містить будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на деяке фіксоване просте число . Тоді будь-яка вирішувана мінімальна не -Група належить одному з наступних типів:
1) --- Група простого порядку , Де ;
2) --- Група Шмідта;
3) , Де , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації , --- Просте число відмінне від ;
4) , , , Де --- -Замкнута група, , Де --- Максимальний внутрішній локальний екран формації , --- Просте число відмінне від .
Доказ. Нехай --- Довільна здійсненне мінімальна не -Група. Якщо , То неважко показати, що --- Група простого порядку , Причому .
Нехай . Покажемо, що --- Біпрімарная -Підгрупа. Дійсно, якщо --- Примарна група, то з насиченості формації випливає, що . Протиріччя. Нехай . Так як --- Здійсненне група, то неважко показати, що , Де , Індекси , не діляться на . Згідно з умовою, . Отримали протиріччя. Отже, .
Нехай --- Мінімальна нормальна підгрупа . Якщо --- -Група, то . Розглянемо випадок, коли . Покажемо, що в цьому випадку --- Група Шмідта. Спочатку доведемо, що --- Циклічна група. Дійсно, у противному випадку , Де і --- Максимальні підгрупи . Тоді . Так як , не діляться на , , То . Протиріччя. Отже, --- Циклічна група, . Нехай . Покажемо, що . Припустимо протилежне. Нехай , Де . Нехай і --- Циклічні групи відповідно порядків і . Позначимо через регулярне сплетіння . І нехай --- База сплетення, т. е. . Так як деяка підгрупа групи ізоморфна , То . Очевидно, що підгрупи , належать формації .
Нехай , Де . Позначимо через базу сплетення . Тоді

Легко бачити, що .
Так як індекси і не діляться на , То . Але , І тому

Отримане протиріччя показує, що . Отже, довели, що --- Група Шмідта. Згідно лемі 2.2.21, --- Група Шмідта. Отже, --- Група типу 2).
Нехай --- -Група і . Нехай . Тоді, згідно теоремі 2.2.5, , Де , , --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Так як , То --- -Група. Нехай . Тоді розглянемо підгрупу . Так як --- Власна підгрупа , То . Так як , То не ділиться на . Так як --- Здійсненне група, то . Але тоді в існує максимальна підгрупа така, що . Розглянемо підгрупу . Так як --- Власна підгрупа , То . Неважко помітити, що не ділиться на і . Тепер, згідно з умовою, . Отримали протиріччя. Отже, довели, що , Тобто --- -Замкнута група. Отже, - Група типу 4).
Нехай тепер --- -Група. Тоді . Покажемо, що . Припустимо, що . Нехай . Тоді в знайдеться максимальна підгрупа така, що . Розглянемо підгрупу . Так як і --- Власні підгрупи , То вони належать . Очевидно, що , не діляться на і . Тоді, згідно з умовою, . Протиріччя. Звідси випливає, що --- -Замкнута, але тоді --- -Замкнута. Той факт, що ( --- Максимальний внутрішній локальний екран ) Випливає з теореми 2.2.5. Отже, --- Група типу 3). Лема доведена.
3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Нехай --- Тотально насичена формація, яка містить будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на деяке фіксоване просте число . Тоді будь-яка вирішувана мінімальна не -Група належить одному з наступних типів:
1) --- Група простого порядку , Де ;
2) --- Група Шмідта;
3) --- Група Шмідта;
4) , Де і , Де --- Група Шмідта з нормальною -Сіловской підгрупою, --- Просте число відмінне від .
Доказ. Згідно лемі 5.3.1, будь-яка мінімальна не -Група є група типу 1) - 4) з леми 5.3.1.
Нехай --- Група типу 3) з леми 5.3.1. Тоді . Нехай --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Так як --- Тотально насичена формація, то --- Насичена формація. Згідно лемі . Нехай . Так як --- Насичена формація, то , Що неможливо. Отже, . А це означає, що --- Група простого порядку . Але тоді неважко помітити, що --- Група Шмідта. Згідно лемі 2.2.21, --- Група Шмідта.
Нехай --- Група типу 4) з леми 5.3.1. Тоді


де . Покажемо, що --- Група Шмідта. Так як --- Тотально насичена формація, то --- Насичена формація. З причини леми 2.2.21, при доказі тверджень, можемо вважати, що . Нехай --- Максимальний внутрішній локальний екран формації . Згідно з теоремою 2.2.5,

де .
Так як --- Тотально насичена формація, то є насиченою формацією. Як і вище, неважко довести, що . Звідси випливає, що --- Група Шмідта. Лема доведена.
3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Нехай --- Спадкова здійсненне формація Фиттинг, --- Деяке фіксоване просте число. Тоді і тільки тоді містить будь-яку розв'язної групи , Де і --- -Підгрупи та індекси , не діляться на деякий просте число , Коли є перетин деяких класів груп одного з наступних типів:
1) клас всіх розв'язаних -Замкнутих груп;
2) клас всіх розв'язаних груп з -Довжиною ;
3) клас всіх розв'язаних груп таких, що --- -Група, де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число .
Доказ. Необхідність. Згідно з результатами роботи [33] є тотально насиченою формацією. Тепер можна застосувати результати леми 5.3.2.
Нехай будь-яка мінімальна не -Група є група типу 1), 2) з леми 5.3.2. Тоді є -Формацією Шеметкова. Згідно з теоремою 5.1.4 , Де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число .
Нехай будь-яка мінімальна не -Група є групою типу 1), 3). Тоді --- -Формація Шеметкова. Згідно з теоремою 5.2.2, вона має наступну будову:

де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число . Згідно лемі 5.2.3, . А це означає, що .
Нехай будь-яка мінімальна не -Група --- група типу 1), 4). Нехай --- Максимальний внутрішній локальний екран формації .
Відомо, що

Покажемо, що для будь-якого простого числа з , Відмінного від , . Припустимо протилежне. Нехай --- Група найменшого порядку з . Так як --- Спадкова формація, то . Так як --- Тотально насичена формація, то --- Насичена формація. Звідси неважко показати, що . Очевидно, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу , Причому . Так як --- Повний екран, то . А значить, --- -Група, де .
Згідно лемі 2.2.18, існує точний непріводімий -Модуль , Де --- Поле з елементів. Нехай . Покажемо, що . Так як точний, то . Так як , То очевидно, що . Нехай --- Довільна максимальна підгрупа з . Якщо , То . Звідси випливає, що . А значить, . Нехай . Тоді , Де --- Деяка максимальна підгрупа з . Так як , То . Так як , То з повноти екрану випливає, що . Так як --- Внутрішній екран, то . Отже, . Остання суперечить тому, що --- Група типу 4) з леми 5.3.2.
Отже, для будь-якого з . Тоді

Звідси неважко помітити, що

Розглянемо насичену формацію . Так як будь-яка мінімальна не -Група або група простого порядку, або група Шмідта з ненормальною циклічної -Сіловской підгрупою, то --- -Формація Шеметкова. Згідно з теоремою 5.2.2,

де --- Деякий безліч простих чисел, що містить просте число . Отже,

Як і в лемі 5.2.3 можна показати, що . Отже, --- Формація з пункту 3).
Неважко показати, що формація , У якої будь-яка мінімальна не -Група є група одного з типів 1), 2), 3), 4) леми 5.3.2, тобто перетин деяких формацій з пунктів 1), 2), 3) даної теореми.
Достатність випливає з теореми 5.1.5 та леми 5.2.4. Теорема доведена.

Висновок

У главі 1 отримано опис спадкових насичених -Формацій Шеметкова, теорема 1.4, і знайдений ряд властивостей таких формацій, теорема 1.6.
У розділі 2 отримано опис спадкових насичених -Формацій Шеметкова, теорема 2.2.
У розділі 3 в класі кінцевих розв'язаних груп отримано опис спадкових формацій Фиттинг , Замкнутих щодо твору -Підгруп, індекси яких не діляться на деяке фіксоване просте число, теорема 3.3.

Список використаних джерел

1. Васильєв, А.Ф. Про максимальну спадкової подформаціі локальної формації / А.Ф. Васильєв / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во народного обр. БРСР, Гомельський держ. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Мінськ: Університетське, 1990. - Вип. 5. - С. 39 - 45.
2. Васильєв, А.Ф. Про грати підгруп кінцевих груп / А.Ф. Васильєв, С.Ф. Каморніков, В.М. Семенчук / / Нескінченні групи і примикають алгебраїчні системи / Ін-т математики Акад. Україна, Македон.: Н.С. Черніков [и др.]. - Київ, 1993. - С. 27 - 54.
3. Васильєв, А.Ф. Про вплив Примарна -Субнормальних підгруп на будову групи / А.Ф. Васильєв / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во обр. і науки Республіки Білорусь, Гомельський держ. ун-т ім. Ф. Скорини, Македон.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Гомель, 1995. - Вип. 8. - С. 31 - 39.